初三数学三角形存在性问题

1.如图2-1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动的过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．

知识点一（等腰三角形的存在性问题）

【知识梳理】

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．

已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．

解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．

几何法一般分三步：分类、画图、计算．

代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．

【例题精讲】

例1.如图1-1，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3, 4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．

图1-1

【解析】分三种情况讨论等腰三角形△DOP：①DO＝DP，②OD＝OP，③PO＝PD．

①当DO＝DP时，以D为圆心、DO为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P，此时点D在OP的垂直平分线上，所以点P的坐标为(6, 0)（如图1-2）．

②当OD＝OP＝5时，以O为圆心、OD为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P(5, 0) （如图1-3）．

③当PO＝PD时，画OD的垂直平分线与x轴的正半轴交于点P，设垂足为E（如图1-4）．

在Rt△OPE中，

3

cos

5

OE

DOP

OP

∠==，

5

2

OE=，所以

25

6

OP=．

此时点P的坐标为

25

(,0)

6

．

图1-2 图1-3 图1-4

上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P，其中①和②画好图就知道答案了，只需要对③进行计算．

代数法先设点P的坐标为(x, 0)，其中x＞0，然后罗列△DOP的三边长（的平方）．

DO2＝52，OP2＝x2，PD2＝(x－3)2+42．

①当DO＝DP时，52＝(x－3)2+42．解得x＝6，或x＝0．

当x＝0时既不符合点P在x轴的正半轴上，也不存在△DOP．

②当OD＝OP时，52＝x2．解得x＝±5．当x＝－5时等腰三角形DOP是存在的，但是点P此时不在x轴的正半轴上（如图1-5）．

③当PO＝PD时，x2＝(x－3)2+42．这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意义是两条直线（x轴和OD的垂直平分线）有且只有一个交点．

代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验．

图1-5

【课堂练习】

1.如图2-1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动的过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．

图2-1

【解析】在P、Q两点移动的过程中，△PQC的6个元素（3个角和3条边）中，唯一不变的就是∠PCQ的大小，夹∠PCQ的两条边CQ＝t，CP＝10－2t.因此△PQC符合“边角边”的解题条件，我们只需要三个∠C就可以了，在∠C的边上取点P或Q画圆．

图2-2 图2-3 图2-4

①如图2-2，当CP＝CQ时，t＝10－2t，解得

10

3

t=(秒).

②如图2-2，当QP＝QC时，过点Q作QM⊥AC于M，则CM

1

5

2

PC t ==-.

在Rt△QMC中，

45

cos

5

CM t

QCM

CQ t

-

∠===，解得25

9

t=(秒).

③如图2-4，当PQ＝PC时，过点P作PN⊥BC于N，则CN.

在Rt△PNC中，

1

42

cos

5102

t

CN

PCN

CP t

∠===

-

，解得

80

21

t=(秒).

这道题中，我们从“有限”的矩形中，选择我们需要的“无限”的∠PCQ，使得画图简洁，计算简练．

2.如图3-1，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标．

图3-1

【解析】我们先用代数法解这道题．

由y ＝2x ＋2得，A (－1，0)，B (0，2)．所以OA ＝1，OB ＝2．

如图3-2，由于∠QPA ＝∠ABO ，所以OP ∶OQ ＝OB ∶OA ＝2∶1．

设点Q 的坐标为(0，m )，那么点P 的坐标为(2m ，0)．

因此AP 2＝(2m ＋1)2，AQ 2＝m 2＋1，PQ 2＝m 2＋(2m )2＝5m 2．

①当AP ＝AQ 时，解方程(2m ＋1)2＝m 2＋1，得0m =或43

m =-．所以符合条件的点P 不存在．

②当PA ＝PQ 时，解方程(2m ＋1)2＝5m 2，得25m =±．所以(425,0)P +．

③当QA ＝QP 时，解方程m 2＋1＝5m 2，得12

m =±．所以(1,0)P ．

图3-2 图3-3 图3-4

我们再用几何法验证代数法，并进行比较．如图3-3，在直线PQ 平移的过程中，根据

“两直线平行，同位角相等”，可知∠QPO 的大小是不变的，因此△PQA 也符合“边角边”的解题条件，我们只需要三个∠P ，点P 在点A 的右侧，暂时不画y 轴（如图3-4）．

①如果AP ＝AQ ，以A 为圆心、AP 为半径画圆，得到点Q （如图3-5）．因为点Q 在y 轴上，于是“奇迹”出现了，点A (－1, 0)怎么可以在y 轴的右侧呢？

图3-5 图3-6

②当PA ＝PQ 时，以P 为圆心、PA 为半径画圆，得到点Q ，再过点Q 画y 轴．此时由215m m +=，解得25m =+，所以(425,0)P +（如图3-6）．请问代数法解得的点

(425,0)P -在哪里？看看图3-7就明白了．

③当QA ＝QP 时，点Q 在AP 的垂直平分线上，由于A (－1, 0)，所以P (1, 0) （如图3-

8）．

我们可以体验到，几何法可以快速找到目标，而且计算比较简便．

图3-7 图3-8

知识点二（相似三角形的存在性问题）

【知识梳理】

相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．

判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验

应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等

应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．

【例题精讲】

例1. 如图1-1，抛物线213482

y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C ．动直线EF （EF //x 轴）从点C 开始，以每秒1个单位的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动．是否存在t ，使得△BPF 与△ABC 相似．若存在，试求出t 的值；若不存在，请说明理由．

图1-1

【解析】△BPF 与△ABC 有公共角∠B ，那么我们梳理两个三角形中夹∠B 的两条边． △ABC 是确定的．由213482

y x x =-+，可得A (4, 0)、B (8, 0)、C (0, 4)．

于是得到BA ＝4，BC ＝45．还可得到12CE CO EF OB ==． △BPF 中，BP ＝2t ，那么BF 的长用含t 的式子表示出来，问题就解决了．

在Rt △EFC 中，CE ＝t ，EF ＝2t ，所以5CF t =．

因此4555(4)BF t t =-=-．

于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程：

①当BA BP BC BF =时，42455(4)

t t =-．解得43t =（如图1-2）． ②当BA BF BC BP =时，45(4)245

t t -=．解得207t =（如图1-3）．

图1-2 图1-3 【课堂练习】

1. 如图2-1，在平面直角坐标系中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；

（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．

图2-1

【解析】△ABC 与△AOM 中相等的一组角在哪里呢？

本题由简到难，层层深入．第（1）题求出抛物线的解析式，得到顶点M 的坐标，为第

（2）题求∠AOM 的大小作铺垫；求得了∠AOM 的大小，第（3）题暗示了要在△ABC 中寻找与∠AOM 相等的角．

（1）如图2-2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ．容易得到A (1,3)-．

再由A (1,3)-、B (2,0)两点，可求得抛物线的解析式为232333y x x =

-． （2）由2232333(1)3333y x x x =-=--，得顶点M 3(1,)3

-． 所以3tan 3BOM ∠=

．所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．

图2-2 （3）由A (1,3)-、B (2,0)，可得∠ABO ＝30°．

因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°．

所以△ABC 与△AOM 相似，存在两种情况：

①当

3BA OA BC OM ==时，23233

BA BC ===．此时C (4,0)（如图2-3）． ②当3BC OA BA OM ==时，33236BC BA ==?=．此时C (8,0)（如图2-4）．

图2-3 图2-4

2. 如图3-1，抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于A (1, 0)、B (3, 0)两点，与y 轴交于点D ，顶点为C ．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

图3-1

【解析】△AMN 是直角三角形，因此必须先证明△BCD 是直角三角形．一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程．

（1）抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x －3．

（2）由y ＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1，得D (0,－3)，C (2, 1)．

如图3-2，由B (3, 0)、D (0,－3)、C (2, 1)，可知∠CBO ＝45°，∠DBO ＝45°．

所以∠CBD ＝90°，且213

32BC BD ==．

图3-2 图3-3 图3-4

设点M 、N 的横坐标为x ，那么NM ＝－y M ，而NA 的长要分N 在A 的右边或左边两种情况，因此列方程要“两次分类”：

当N 在A 右侧时，NA ＝x －1，分两种情况列方程：

①当

3NA BD NM BC ==时，13(1)(3)x x x -=--．解得103x =．此时M 107(,)39-（如图3-3）． ②当13

NA BC NM BD ==时，11(1)(3)3x x x -=--．解得x ＝6．此时M (6,－15)（如图3-5）． 当N 在A 左侧时，NA ＝1－x ，也要分两种情况列方程：

①当

3NA BD NM BC ==时，13(1)(3)x x x -=--．解得83x =＞1，不符合题意（如图3-4）． ②当13

NA BC NM BD ==时，11(1)(3)3x x x -=--．解得x ＝0，此时M (0,－3)（如图3-6）．

图3-5 图3-6

知识点三（直角三角形的存在性问题）

【知识梳理】

解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三

步解方程并验根．

一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．

有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．

解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．

如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．

在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．

怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．

例1.如图1-1，在△ABC中，AB＝AC＝10，cos∠B＝4

5

．D、E为线段BC上的两个动点，且DE＝3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止．过E作EF//AC交AB于F，连结DF．设BD＝x，如果△BDF为直角三角形，求x的值．

图1-1

【解析】△BDF中，∠B是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况．如果把夹∠B的两条边用含有x的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了．如图1-2，作AH⊥BC，垂足为H，那么H是BC的中点．

在Rt△ABH中，AB＝10，cos∠B＝4

5

，所以BH＝8．所以BC＝16．

由EF//AC，得BF BE

BA BC

=，即

3

1016

BF x+

=．所以BF＝

5

(3)

8

x+．

图1-2 图1-3 图1-4

①如图1-3，当∠BDF＝90°时，由

4

cos

5

BD

B

BF

∠==，得

4

5

BD BF

=．

解方程

45

(3)

58

x x

=?+，得x＝3．

②如图1-4，当∠BFD ＝90°时，由4cos 5BF B BD ∠==，得45

BF BD =． 解方程5154885x x +=，得757

x =． 我们看到，在画示意图时，无须受到△ABC 的“限制”，只需要取其确定的∠B ．

【课堂练习】

1. 如图2-1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，，，．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成

△ABC ，设AB ＝x ，若△ABC 为直角三角形，求x 的值．

图2-1

【解析】△ABC 的三边长都可以表示出来，AC ＝1，AB ＝x ，BC ＝3－x ．

如果用斜边进行分类，每条边都可能成为斜边，分三种情况：

①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，此方程无实根．

②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得3

5

=x （如图2-2）．

③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得3

4=x （如图2-3）． 因此当35=x 或34=x 时，△ABC 是直角三角形．

图2-2 图2-3

2. 如图3-1，已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-2, 0），点B 是点A 关于原点的对称点，P 是函数)0(2>=x x

y 图象上的一点，且△ABP 是直角三角形，求点P 的坐标． 4=MN 1=MA 1>MB

图3-1

【解析】A 、B 两点是确定的，以线段AB 为分类标准，分三种情况．

如果线段AB 为直角边，那么过点A 画AB 的垂线，与第一象限内的一支双曲线没有交

点；过点B 画AB 的垂线，有1个交点．

以AB 为直径画圆，圆与双曲线有没有交点呢？先假如有交点，再列方程，方程有解那么就有交点．如果是一元二次方程，那么可能是一个交点，也可能是两个交点．

由题意，得点B 的坐标为（2，0），且∠BAP 不可能成为直角．

①如图3-2，当∠ABP ＝90°时，点P 的坐标为（2，1）．

②方法一：如图3-3，当∠APB ＝90°时，OP 是Rt △APB 的斜边上的中线，OP ＝2．

设P 2(,)x x ，由OP 2＝4，得2244x x

+=．解得2x =±．此时P (2,2)．

图3-2 图3-3

方法二：由勾股定理，得PA 2＋PB 2＝AB 2．

解方程2222222(2)()(2)()4x x x x

+++++=，得2x =±． 方法三：如图3-4，由△AHP ∽△PHB ，得PH 2＝AH ·BH ．

解方程22()(2)(2)x x x

=+-，得2x =±．

图3-4 图3-5

这三种解法的方程貌似差异很大，转化为整式方程之后都是(x 2－2)2＝0．这个四次方程的解是x 1＝x 2＝2，x 3＝x 4＝2-，它的几何意义就是以AB 为直径的圆与双曲线相切于P 、P ′两点

（如图3-5）．

1.如图4-1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0, m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．当△APD 是等腰三角形时，求m 的值．

图4-1

【解析】点P (0, m )在运动的过程中，△APD 的三个角都在变化，因此不符合几何法“边角边”的解题条件，我们用代数法来解．

因为PC //DB ，M 是BC 的中点，所以BD ＝CP ＝2－m ．所以D (2, 4－m )．

于是我们可以罗列出△APD 的三边长（的平方）：

22(4)AD m =-，224AP m =+，2222(42)PD m =+-．

①当AP ＝AD 时，22(4)4m m -=+．解得32

m =（如图4-2）． ②当PA ＝PD 时，22242(42)m m +=+-．

解得43

m =（如图4-3）或4m =（不合题意，舍去）． ③当DA ＝DP 时，222(4)2(42)m m -=+-．

解得23

m =（如图4-4）或2m =（不合题意，舍去）． 综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23

．

图4-2 图4-3 图4-4

其实①、②两种情况，可以用几何说理的方法，计算更简单：

①如图4-2，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．

所以12PC MB CM BA ==．因此12PC =，32

m =． ②如图4-3，当PA ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．

所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得43

m =． 2. 如图4-1，在平面直角坐标系中，A (8,0)，B (0,6)，点C 在x 轴上，BC 平分∠OBA ．点P 在直线AB 上，直线CP 与y 轴交于点F ，如果△ACP 与△BPF 相似，求直线CP 的解析式．

图4-1

【解析】首先求得点C (3,0)．△ACP 与△BPF 中，相等的角在哪里啊？

①如图4-2，当点P 在线段AB 上时，△ACP 与△BPF 中，∠APC 与∠BPF 是邻补角，如果这两个邻补角一个是锐角，一个是钝角，两个三角形怎么可能相似呢？因此CP 与AB 是垂直的．可以求得F (0,－4)，于是直线CF (CP )为443

y x =-．

②如图4-3，当点P 在AB 的延长线上时，△ACP 与△BPF 有公共角∠P ．于是∠OFC ＝∠PFB ＝∠A ，可以求得F (0, 4)，因此直线CF (CP )为443y x =-+．

③如图4-4，当点P 在BA 的延长线上时，∠B 与∠PCA 不可能相等．在△AOB 中，根据大边对大角，∠B ＞∠BAO ；∠BAO 又是△PCA 的一个外角，∠BAO ＞∠PCA ．

图4-2 图4-3 图4-4

3.如图4-1，已知直线y ＝kx －6经过点A (1,－4)，与x 轴相交于点B ．若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．

图4-1

【解析】和例题3一样，过A、B两点分别画AB的垂线，各有1个点Q．

和例题3不同，以AB为直径画圆，圆与y轴有没有交点，一目了然．而圆与双曲线有没有交点，是徒手画双曲线无法肯定的．

将A(1,－4)代入y＝kx－6，可得k＝2．所以y＝2x－6，B(3,0)．

设OQ的长为m．分三种情况讨论直角三角形ABQ：

①如图4-2，当∠AQB＝90°时，△BOQ∽△QHA，BO QH

OQ HA

=．所以

34

1

m

m

-

=．

解得m＝1或m＝3．所以Q(0,－1)或(0,－3)．

②如图4-3，当∠BAQ＝90°时，△QHA∽△AGB，QH AG

HA GB

=．所以

42

14

m

-

=．

解得

7

2

m=．此时

7

(0,)

2

Q-．

③如图4-4，当∠ABQ＝90°时，△AGB∽△BMQ，AG BM

GB MQ

=．所以

2

43

m

=．

解得

3

2

m=．此时

3

(0,)

2

Q．

图4-2 图4-3 图4-4

三种情况的直角三角形ABQ，直角边都不与坐标轴平行，我们以直角顶点为公共顶点，构造两个相似的直角三角形，这样列比例方程比较简便．

已知A(1,－4)、B(3,0)，设Q(0, n)，那么根据两点间的距离公式可以表示出AB2，AQ2和BQ2，再按照斜边为分类标准列方程，就不用画图进行“盲解”了．

1.如图5-1，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，点D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，∠ADE ＝∠B ．设BD 的长为x ，如果△ADE 为等腰三角形，求x 的值．

图5-1

【解析】在△ADE 中，∠ADE ＝∠B 大小确定，但是夹∠ADE 的两条边DA 、DE 用含有x 的式子表示太麻烦了．

本题的已知条件∠ADE ＝∠B ＝∠C 非常典型，由于∠ADC ＝∠ADE ＋∠1，∠ADC ＝

∠B ＋∠2，∠ADE ＝∠B ，所以∠1＝∠2．于是得到典型结论△DCE ∽△ABD ．

①如图5-2，当DA ＝DE 时，△DCE ≌△ABD ．因此DC ＝AB ，8－x ＝6．解得x ＝2．

②如图5-3，如果AD ＝AE ，那么∠AED ＝∠ADE ＝∠C ．由于∠AED 是△DCE 的一个外角，所以∠AED ＞∠C ．如果∠ADE ＝∠C ，那么E 与C 重合，此时D 与B 重合，x ＝0．

③如图5-4，当EA ＝ED 时，∠DAE ＝∠ADE ＝∠B ＝∠C ，所以△DAC ∽△ABC ．因此8668x -=．解得72

x =．

图5-2 图5-3 图5-4

2.如图5-1，二次函数y ＝x 2＋3x 的图象经过点A (1,a )，线段AD 平行于x 轴，交抛物线于点D ．在y 轴上取一点C (0, 2)，直线AC 交抛物线于点B ，连结OA 、OB 、OD 、BD ．求坐标平面内使△EOD ∽△AOB 的点E 的坐标；

图5-1

【解法一】点A 、D 、B 都是确定的，可以求得A (1, 4)，D (－4, 4)，B (－2,－2)．

所以17AO =，22BO =，35AB =，42DO =．

△EOD ∽△AOB ，对应边已经确定，因此我们可以根据判定定理3列方程．

由EO OD DE AO OB BA ==，得42172235

EO DE ==．所以217EO =，65DE =． 设点E 的坐标为(x , y )，根据EO 2＝68，DE 2＝180，列方程组222268,(4)(4)180.x y x y ?+=??++-=??

解得118,2,x y =??=-? 22

2,8,x y =??=-? 所以点E 的坐标为(8,－2)或(－2, 8)．

上面的解题过程是“盲解”，我们并不明白两个三角形的位置关系．

【解法二】如图5-2，△AOB 是确定的，△AOB 与△EOD 有公共点O ，OB ∶OD ＝1∶2，∠BOD ＝90°．

如果△EOD ∽△AOB ，我们可以把△AOB 绕着点O 顺时针旋转，使得点B ′落在OD 上，此时旋转角为90°，点B ′恰好落在OD 的中点．

按照这个运动规则，点A (1, 4) 绕着点O 顺时针旋转90°，得到点A ′(4,－1)，点A ′是线段OE 的中点，因此点E 的坐标为(8,－2)．

如图5-3，点E (8,－2)关于直线OD （即直线y ＝－x ）对称的点为E ′(2,－8)．

图5-2 图5-3

3.如图6-1，在△ABC 中，AB ＝AC ＝42，BC ＝8．⊙A 的半径为2，动点P 从点B 出发沿BC 方向以每秒1个单位的速度向点C 运动．延长BA 交⊙A 于点D ，连结AP 交⊙A 于点E ，

连结DE 并延长交BC 于点F ．设点P 运动的时间为t 秒，当△ABP 与△FBD 相似时，求t 的值．

图6-1

【解析】△ABC 是等腰直角三角形，⊙A 是确定的，先按照题意把图形补充完整．

如图6-2，容易发现△ABP 与△FBD 有公共角∠B ，如果根据对应边成比例列方程

BA BD BP BF =或BA BF BP BD

=，其中BA ＝42，BP ＝t ，BD ＝42＋2，但是用含t 的式子表示BF 困难重重啊！

图6-2 图6-3 图6-4

我们另起炉灶，按照判定定理1来解决．

△ABP 与△FBD 有公共角∠B ，我们以∠D 为分类标准，分两种情况讨论它们相似：

第一种情况，如图6-3，∠BAP ＝∠D 是不可能的，这是因为∠BAP 是等腰三角形ADE 的外角，∠BAP ＝2∠D ．

第二种情况，如图6-4，当∠BPA ＝∠D 时，在△ABP 中，由于∠BAP ＝2∠D ＝2∠BPA ， 因此45°＋3∠BPA ＝180°．解得∠BPA ＝45°．

此时△ABP 是等腰直角三角形，P 与C 重合，所以t ＝8．

解答这道题目，如果选取点P 的3个不同位置，按照题意画图，可以帮助我们探究．在讨论第二种情况∠BPA ＝∠D 时，我们容易被已知图6-1给定的点P 的位置所误导，以为图6-2中“锐角∠D ”与“钝角∠BPA ”不可能相等．

4.如图5-1，抛物线23

3384

y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．若直线

l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．

图5-1

【解析】有且只有三个直角三角形ABM 是什么意思呢？

过A 、B 两点分别画AB 的垂线，与直线l 各有一个交点，那么第三个直角顶点M 在哪里？以AB 为直径的⊙G 与直线l 相切于点M 啊！

由23333(4)(2)848

y x x x x =--+=-+-，得A (－4, 0)、B (2, 0)，直径AB ＝6．

如图5-2，连结GM ，那么GM ⊥l ．

在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．因此3tan 4GEM ∠=．

设直线l 与y 轴交于点C ，那么OC ＝3．所以直线l （直线EC ）为334y x =-+．

根据对称性，直线l 还可以是3

34y x =-．

图5-2

5. 如图6-1，在△ABC 中，CA ＝CB ，AB ＝8，4cos 5

A ∠=．点D 是A

B 边上的一个动点，点E 与点A 关于直线CD 对称，连结CE 、DE ．

（1）求底边AB 上的高；

（2）设CE 与AB 交于点F ，当△ACF 为直角三角形时，求AD 的长；

（3）连结AE ，当△ADE 是直角三角形时，求AD 的长．

图6-1 【解析】这道题目画示意图有技巧的，如果将点D 看作主动点，那么CE 就是从动线

段．反过来画图，点E 在以CA 为半径的⊙C 上，如果把点E 看作主动点，再画∠ACE 的平分线就产生点D 了．

（1）如图6-2，设AB 边上的高为CH ，那么AH ＝BH ＝4．

在Rt △ACH 中，AH ＝4，4cos 5

A ∠=，所以AC ＝5，CH ＝3． （2）①如图6-3，当∠AFC ＝90°时，F 是A

B 的中点，AF ＝4，CF ＝3．

在Rt △DEF 中，EF ＝CE －CF ＝2，4cos 5E ∠=，所以52DE =．此时52

AD DE ==． ②如图6-4，当∠ACF ＝90°时，∠ACD ＝45°，那么△ACD 的条件符合“角边角”． 作DG ⊥AC ，垂足为G ．设DG ＝CG ＝3m ，那么AD ＝5m ，AG ＝4m ．

由CA ＝5，得7m ＝5．解得57m =．此时2557

AD m ==．

图6-2 图6-3 图6-4

（3）因为DA ＝DE ，所以只存在∠ADE ＝90°的情况．

①如图6-5，当E 在AB 下方时，根据对称性，知∠CDA ＝∠CDE ＝135°，此时△CDH 是等腰直角三角形，DH ＝CH ＝3．所以AD ＝AH －DH ＝1．

②如图6-6，当E 在AB 上方时，根据对称性，知∠CDA ＝∠CDE ＝45°，此时△CDH 是等腰直角三角形，DH ＝CH ＝3．所以AD ＝AH ＋DH ＝7．