(完整版)正弦定理练习题(经典)(2)(可编辑修改word版)
6 2 3
2 3 6 6 3 6 2 3 2 3 6 2 × sin 30° 正弦定理练习题
1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，则 b 等于(
) A. B. C. D ．2
2．在△ABC 中，已知 a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则 b 等于(
)
32 A ．4 B ．4 C ．4 D. 3 3.
在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝
2，则 c ＝(
)
1 A.1 B.
2 1
C ．2 D.4
4.
在△ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝4
3，b ＝4 2，则角 B 为( ) A ．45°或 135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 5. △ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c .若c ＝ A. B ．2 C. D. 2，b ＝ 2 6，B ＝120°，则 a 等于( ) 6.
在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则 sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定
cos A b 7.
在△ABC 中，若 ＝ ，则△ABC 是( )
cos B a
A. 等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形
8.
在△ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝ π 3，C A ＝
.
4 3
9．在△ABC 中，已知 a ＝ 3 ，b ＝4，A ＝30°，则 sin B ＝
.
＝3
，则
10．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则 a ＋c ＝
.
11．在△ABC 中，b ＝4 3，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有
组解．
12 . 判断满足下列条件的三角形个数 （1）b=39,c=54, C = 120? 有 组解 （2）a=20,b=11, B = 30? （3）b=26,c=15, C = 30? （4）a=2,b=6, A = 30?
有 组解有 组解有
组解
正弦定理
1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则 b 等于( )
A. B. C. D ．2 a 解析：选 A.应用正弦定理得： ＝ ，求得 b a sin B ＝ 6.
sin A sin B ＝
sin A
2．在△ABC 中，已知 a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则 b 等于( )
32
A ．4
B ．4
C ．4 D. 3
解析：选 C.A ＝45°，由正弦定理得 b a sin B ＝4 6.
＝ sin A
3. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 所对的边，若 A ＝105°，B ＝45°，b ＝ 2，则 c ＝(
)
1 A.1 B.
2 1
C ．2 D.4
b c 解析：选 A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由 ＝ 得 c ＝ ＝1.
6 6
sin B sin C sin45°
2
6 3 6 3 3 4 3
3 c
4.
在△ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝4
3，b ＝4 2，则角 B 为( ) A ．45°或 135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对
a b b sin A 解析：选 C.由正弦定理 ＝ 得：sin B ＝ ＝ ，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°.
sin A sin B a 2
5.
△ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c .若c ＝ A. C. 解析：选 D.由正弦定理得 ＝2，b ＝ 6，B ＝120°，则 a 等于( )
1
∴sin C ＝ .
2
sin120° 又∵C 为锐角，则 C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.
6.
在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则 sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定
解析：选 A.由正弦定理知 sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.
cos A b
7. 在△ABC 中，若 ＝ ，则△ABC 是( )
cos B a
A. 等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形
b sin B cos A sin B
解析：选 D.∵ ＝ ，∴ ＝ ，
a sin A cos B sin A
sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B
π
即 2A ＝2B 或 2A ＋2B ＝π，即 A ＝B ，或 A ＋B ＝2
.
8. 已知△ABC 中，AB ＝ 3 A. 2 3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )
3 B. 3 3 C. 2 或 D.
4 或 2
AB AC
解析：选 D. ＝ ，求出 sin C ＝ ，∵AB ＞AC ，
sin C sin B 2
∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或 120°，∴∠A ＝90°或 30°. 1
再由 S △ABC ＝ AB ·AC sin A 可求面积．
2
9. 在△ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝
π 3，C A ＝
.
＝3，则
a c
解析：由正弦定理得： ＝ ，
sin A sin C
a ·sin C 1
所以 sin A ＝ ＝ .
2 π π
又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝3，∴A ＝6
.
π 答案：
6
10. 在△ABC 中，已知 a ＝ ，b ＝4，A ＝30°，则 sin B ＝ .
a b
解析：由正弦定理得 ＝
b sin A 1 4 × 2 sin A 3
sin B ?sin B ＝ a ＝ 4 3 ＝ 2
.
3
答案：
2
11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则 a ＋c ＝ .
解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，
a b 由 ＝ 得，a 12 × sin30°
4 3， sin A ＝ ＝
sin120° ∴a ＋c 答案：12．在△ABC 中，b ＝4 3，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有 组解．
c b 2 4 3
解析：∵
sin C = sin B ，有sin 30? =
sin B ，得 sinB=
∴此三角形无
解． 答案：0 一，二，二，无
3＞ 1
北师大版高中数学必修5正弦定理2
正弦定理 教学目标 （1）要求学生掌握正弦定理及其证明； （2）会初步应用正弦定理解斜三角形，培养数学应用意识； （3）在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 教学重点，难点 正弦定理的推导及其证明过程． 教学过程 一．问题情境 在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角．那么斜三角形怎么办？我们能不能发现在三角形中还蕴涵着其他的边与角关系呢？ 探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在Rt ABC ?中，设90C =?，则 sin a A c =， sin b B c =， sin 1C =， 即：sin a c A =， sin b c B =， sin c c C =， sin sin sin a b c A B C ==． 探索2 对于任意三角形，这个结论还成立吗？ 二．学生活动 学生通过画三角形、测量边长及角度，再进行计算，初步得出该结论对于锐角三角形和钝角三角形成立．教师再通过几何画板进行验证．引出课题——正弦定理． 三．建构数学 探索3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设C 为最大角，若C 为直角，我们已经证得结论成立，如何证明C 为锐角、钝角时结论也成立？ 证法 1 若C 为锐角（图（1）），过点A 作AD BC ⊥于D ，此时有 sin AD B c =，sin AD C b =，所以sin sin c B b C =，即sin sin b c B C =．同理可得sin sin a c A C =，
所以sin sin sin a b c A B C ==． 若C 为钝角（图（2）），过点A 作AD BC ⊥，交BC 的延长线于D ，此时也有sin AD B c =，且sin sin(180)AD C C b =?-=．同样可得sin sin sin a b c A B C ==．综上可知，结论成立． 证法2 利用三角形的面积转换，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则s i n A D c B =，sin B E a C =，sin C F b A =．所以111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ?===，每项同除以12abc 即得：sin sin sin a b c A B C ==． 探索 4 充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法．我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？ 在ABC ?中，有BC BA AC =+ ．设C 为最大角，过点A 作AD BC ⊥于D （图（3））， 于是BC AD BA AD AC AD ?=?+? ．设AC 与AD 的 夹角为α， 则0||||cos(90)||||cos BA AD B AC AD α=???++? ， 其中，当C ∠为锐角或直角时，90C α=?- ；当
(完整版)正弦定理练习题经典
正弦定理练习题 1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.323 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.14 4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 6．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 7．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3 ，则A ＝________. 9．在△ABC 中，已知a ＝433 ，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 10．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 11．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 12 . 判断满足下列条件的三角形个数 （1）b=39,c=54,? =120C 有________组解 （2）a=20,b=11,?=30B 有________组解 （3）b=26,c=15,?=30C 有________组解 （4）a=2,b=6,?=30A 有________组解 正弦定理 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.323 解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝4 6. 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )
解三角形高考典型例题汇编
《解三角形》 一、 正弦定理：sin sin sin a b c A B C ===2R 推论：(1) ::sin :sin :sin a b c A B C = (2) a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC (3) sin =,sin =,sin = 222a b c A B C R R R 1. 在△中，若，则= 2. 在△中，a =b=6, A=300 ,则B= 3. 【2013山东文】在中，若满足，，，则 4.【2010山东高考填空15题】在△ABC 中a ，b=2，sinB+cosB ，则A=？ 5.【2017全国文11】△ABC 中，sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C =？ 6. 在△ABC 中, C =90o , 角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c.则 a b c +的取值范围是？ 二、余弦定理：222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 推论 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 1. 在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，求cos C 的值 2. 在△ABC 中，若则A= 3. 【2012上海高考】在中，若，则的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 4.【2016山东文科】ABC △中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，,b c = 22 2(1sin )a b A =-, 则A =? （A ）3π4 （B ）π3 （C ）π4 （D ）π6
《正弦定理和余弦定理》典型例题.
《正弦定理和余弦定理》典型例题透析 类型一：正弦定理的应用： 例1．已知在ABC ?中，10c =，45A = ，30C = ，解三角形. 思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b . 解析：sin sin a c A C = ， ∴sin 10sin 45sin sin 30c A a C ?=== ∴ 180()105B A C =-+= ， 又sin sin b c B C =， ∴sin 10sin10520sin 7520sin sin 304 c B b C ?====?= 总结升华： 1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题； 2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式. 举一反三： 【变式1】在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。 【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=； 根据正弦定理，0 sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0 sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在?ABC 中，已知075B =，0 60C =，5c =，求a 、A . 【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=， 根据正弦定理5sin 45sin 60o o a =，∴a =【变式3】在?ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c 【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2．在60,1ABC b B c ?=== 中，，求：a 和A ，C ． 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a .
正弦定理、余弦定理综合应用典型例题
正弦定理、余弦定理综合应用 例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1 sin 2 B = ， 由ABC △为锐角三角形得π6B = ． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π?? +=+π-- ?6?? cos sin 6A A π??=++ ???1cos cos 2A A A =++ 3A π? ?=+ ???． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336 A πππ <+<， 所以1sin 23A π??+< ???． 3A π??<+< ?? ? 所以，cos sin A C +的取值范围为322?? ? ?? ?，． 例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1 sin 6 C ，求角C 的度数． 解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=， 两式相减，得1AB =． （II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ，得1 3 BC AC =g ， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=g 22()21 22 AC BC AC BC AB AC BC +--= =g g ， 所以60C =o ． 例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ， 且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6 π . 例4.设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60o ，c =3b.求a c 的值； 解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117 ()2,3329 c c c c c +-=g g g 故3a c = 例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===, 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 61 2 例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若() C a A c b cos cos 3=-， 则=A cos _________________. 3 例7.(2009年广东卷文)已知ABC ?中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==且 75A ∠=o ，则b = 【解析】0000000 sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=
正弦定理典型例题与知识点
正弦定理 教学重点：正弦定理 教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用,边角转化。多解问题 1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即 A a s i n = B b sin =C c sin 2. 三角形面积公式 在任意斜△ABC 当中S △ABC =A bc B ac C ab sin 2 1sin 2 1sin 2 1== 3.正弦定理的推论： A a sin = B b sin =C c sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 4.正弦定理解三角形 1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角； 2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。 3）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:（多解情况） ○ 1若A 为锐角时: ??? ?? ? ?≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a 已知边a,b 和∠A 有两个解 仅有一个解无解 CH=bsinA
2、ΔABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sin A=，b=sin B，则a等于 ( D ) A．3B．C． D．
1. 在ABC ?中，若sin 2sin 2A B =，则ABC ?一定是( ) 3.在Rt △ABC 中，C= 2 π ，则B A sin sin 的最大值是_______________. [解析] ∵在Rt △ABC 中，C= 2 π ，∴sin sin sin sin( )2 A B A A π =-sin cos A A = 1sin 22A = ，∵0,2A π<<∴02,A π<<∴4A π=时，B A sin sin 取得最大值12 。 4. 若ABC ?中，10 10 3B cos ,21A tan == ，则角C 的大小是__________ 解析 11 tan ,cos ,sin tan 23A B O B B B π==<<∴=∴= tan tan 3tan tan()tan()1,tan tan 14 A B C A B A B O C C A B π ππ+∴=--=-+= =-<<∴=- 7.在△ABC 中，已知2a b c =+，2 sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。 解：由正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===得：sin 2a A R =，sin 2b B R =， sin 2c C R = 。 所以由2sin sin sin A B C =可得：2()222a b c R R R =?，即：2 a bc =。 又已知2a b c =+，所以224()a b c =+，所以24()bc b c =+，即2()0b c -=， 因而b c =。故由2a b c =+得：22a b b b =+=，a b =。所以a b c ==，△ABC 为等边三角形。 ６．在ABC ?中， b A a B sin sin <是B A >成立的 ( C ) Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 1.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =2，b =6，B =120°,则 a 等于 （ ） A.6 B.2 C.3 D.2 答案 D 3.下列判断中正确的是 （ ）
1.1.1正弦定理 (2)
1．1．1正弦定理 （一）教学目标 1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形中的一类简单问题 2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 （二）教学重、难点 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点：正弦定理的推导即理解 （三）教学过程 1[创设情景] 如图1．1-1，固定?ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动。 A 思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B 2[探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt?ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,你有什么发现？ A B a C 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： C b a A c B 结论： 类似可推出，当?ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。 讨论探究：对于上面的性质，你能给出证明么？ 正弦定理： [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2） sin sin a b A B = sin c C =等价于 sin sin a b A B =， sin sin c b C B =， sin a A = sin c C 从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 sin sin b A a B =； β ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 3[例题分析] 例1．：已知?ABC，根据下列条件，解三角形 (1)∠A= 60,∠B= 30,a=3; (2) ∠A= 45,∠B= 75,b=8;
正弦定理知识点与典型例题
正弦定理 【基础知识点】 1. 三角形常用公式：A ＋B ＋C ＝π；S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝＝2 1ca sin B ； sin(A+B)=sinC, cos(A+B)=-cosC, sin(A+B)/2=cosC/2, cos(A+B)/2=sinC/2 2．三角形中的边角不等关系: A>B ?a>b,a+b>c,a-b
高三数学教案 正弦定理2
课题: §1．1．1正弦定理 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定ABC 的边CB 及B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定 义 ， 有 ， ，又 , A 则 b c 从而在直角三角形ABC 中， C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则， C 同理可得， b a 从而 A c B ?∠∠∠?sin a A c =sin b B c =sin 1c C c == sin sin sin a b c c A B C = = =sin sin sin a b c A B C = = ?sin sin a B b A =sin sin a b A B = sin sin c b C B = sin sin a b A B = sin c C =
解三角形(正弦定理余弦定理)知识点例题解析高考题汇总及答案
解三角形 【考纲说明】 1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 【知识梳理】 一、正弦定理 1、正弦定理：在△ABC 中，R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为△AB C 外接圆半径）。 2、变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === （2）化角为边：sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R === （3）::sin :sin :sin a b c A B C = （4）2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C ++====++. 3、三角形面积公式：21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABC abc S ah ab C ac B bc A R A B C R ?====== 4、正弦定理可解决两类问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一） （2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 二、余弦定理 1、余弦定理：A bc c b a cos 22 2 2 -+=?bc a c b A 2cos 2 2 2 -+= B ac a c b cos 22 2 2 -+=?ca b a c B 2cos 2 2 2 -+= C ab b a c cos 22 2 2 -+=?ab c b a C 2cos 2 2 2 -+= 2、余弦定理可以解决的问题： （1）已知三边，求三个角；（解唯一） （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）： （3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）.
(经典)高中数学正弦定理的五种全证明方法
(经典)高中数学正弦定理的五种全证明方法
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高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD⊥BC,垂足为D 则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21= ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21== 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C 由向量的加法原则可得 AB CB AC =+ a b D A B C A B C D b a D C B A
正弦定理经典练习题
《正弦定理、余弦定理、解斜三角形》 一、复习要求 ： 1． 掌握正弦、余弦定理，能运用知识解斜三角形。 2． 用正弦、余弦定理判断三角形的形状。 二、知识点回顾 （1） 正弦定理：,22sin sin sin ? ====S abc R C c B b A a （2R 为三角形外接圆直径）， （?S 为三角形面积），其他形式： a ：b ：c = sinA ：sinB ：sinC a=2RsinA, b=2RsinB , c=2RsinC (2) 余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA,(可按a,b,c,a 轮换得另二式) 余弦定理变式：bc a c b A 2cos 2 22-+= , (轮换得另二式) 余弦定理向量式：如图 a=b+ c , c= a – b c 2=|c|2=|a-b |2=(a-b)2=a 2+b 2 - 2﹒a ﹒b =a 2+b 2 - 2abcosC (其中｜a|=a,|b|=b,|c|=c) 三、典型例题分析： 例1：在三角形ABC 中，若C=3B ，求b c 的范围 分析：角边比转化，可用正弦定理 解：1cos 4cos 22cos sin ) 2sin(sin 3sin sin sin 2-=+=+===B B B B B B B B B C b c A+B+C=1800 ，C=3B ， ∴４Ｂ<１８００，００<Ｂ<４５０， 1cos 22 <C ,且b 2+c 2 =a 2+bc, 求A ，B ，C 。 解：21 22cosA 2 22==-+=bc bc bc a c b ， ∴ A=600 又 4sinBsinC=1 ∴4sinBsin(1200-B)=11 sin 22sin 31)sin 21 cos 23 (sin 42=+?=+?B B B B B B con B 22sin 3=? ∴33 2t a n =B ∴2B=300 或2100 B>C , ∴2B=2100 即 B=1050 ∴A=600 B=1050 C=150 练习2：在?ABC 中，2B=A+C 且tanAtanC=2+3 求（1）A 、B 、C 的大小 （2） 若AB 边上的高CD=43，求三边a 、b 、c 例３：如图，已知Ｐ为?ABC 内一点，且满足∠ＰＡＢ ＝∠ＰＢＣ＝ ∠ＰＣＡ＝θ 求证cot θ=cotA+cotB+cotC C A B a c b θ A B C P θ θ
正弦定理练习题典型题(含答案)
正弦定理一 1、在ABC ?中，060A ∠=，6a =，3b =，则ABC ?解的情况（ ） A ．无解 B ．有一解 C ．有两解 D ．不能确定 2、在△ABC 中，若b=2，A=120°，三角形的面积S= ，则三角形外接圆的半径为( ) A ． B ．2 C ．2 D ．4 3、在ABC △中，,,a b c 分别是角A,B,C 的对边,已知1,2a b ==，3cos 2 A =，求角C ． 4、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知acosC ＋ccosA ＝2bcosA ． （1）求角A 的值； （2）求sinB ＋sinC 的取值范围． 5、在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=2csinA ． （1）求角C 的值； （2）若c=，且S △ABC =，求a+b 的值．
参考答案 1、【答案】A 2、【答案】B 3、【答案】解：在ABC △中，3cos 2A = ，得6A π=， 又1,2a b ==，由正弦定理得sin sin a b A B =， ∴sin 2sin 2 b A B a ==， 又b a >，得4B π= 或4 B 3π=， 当4B π=时，6412 C ππ7π=π--=； 当4B 3π=时，6412 C π3ππ=π--=， ∴角C 为127π或12π． 4、【答案】（1）A ＝；（2）(，]． 试题分析：（1）要求解，已知条件中有角有边，一般情况下我们可以利用正弦定理把边化为角的关系，本题acosC ＋ccosA ＝2bcosA ，由正弦定理可化为sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=，于是有 sin()2sin cos A C B A +=，即sin 2sin cos B B A =，而sin 0B ≠，于是1cos 2A =，3 A π=；（2）由（1）23C B π=-，且203B π<<，2sin sin sin sin()3 B C B B π+=+-，由两角和与差的正弦公式可转化为3sin()6 B π+，再由正弦函数的性质可得取值范围. 试题解析： （1）因为acosC ＋ccosA ＝2bcosA ，所以sinAcosC ＋sinCcosA ＝2sinBcosA ， 即sin(A ＋C)＝2sinBcosA ． 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C)＝sinB ． 从而sinB ＝2sinBcosA ． 因为sinB ≠0，所以cosA ＝． 因为0＜A ＜π，所以A ＝． （2）sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin(－B)＝sinB ＋sin cosB －cos sinB ＝sinB ＋cosB ＝sin(B ＋)． 因为0＜B ＜，所以＜B ＋ ＜．
正弦定理例题讲解
【典型例题】 类型一：正弦定理的简单应用： 例1．已知在ABC ?中，10c =，45A =，30C =，求,a b 和B. 举一反三： 【变式1】（2015 广东高考）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若1,26a B C π= ==， 则b=________. 【变式2】在?ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c 例2．在60,1ABC b B c ?===中，，求a 和A ，C ． 举一反三： 【变式1】在ABC ?中，c = 45A =，2a =，求b 和,B C ． ． 【变式2】在ABC ?中20a =, 210b =,45A =, 求B 和c ； 【变式3】在ABC ?中，60B =，14a =, b =求A ∠.
类型二：正弦定理的综合运用 例3.（2015 湖南高考文）设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =。 （I ）证明：sin cos B A =； (II)若3sin sin cos 4C A B -= ，且B 为钝角，求,,A B C 。 举一反三： 【变式】在△ABC 中，已知a ＝5，B ＝105°，C ＝15°，则此三角形的最大边的长为________． 类型三：利用正弦定理判断三角形的形状 例4.在ABC ?中，若22tan :tan :,A B a b =试判断ABC ?的形状. 举一反三： 【变式】在△ABC 中，cos cos b A a B =试判断三角形的形状.
(经典)高中数学正弦定理的五种最全证明方法
(经典)高中数学正弦定理的五种最全证明方法
高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD⊥BC,垂足为 D.则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ,∴AD=AB·sinB=csinB. ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?.同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21=. ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21==.∴absinc=bcsinA=acsinB, 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==.即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得 AB CB AC =+, a b D A B C B C D b a D C B A
正弦定理练习题(经典)
… 正弦定理练习题 1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) D ．26 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 C ．2 ? 4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) B ．2 6．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 . 7．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3 ，则A ＝________. 9．在△ABC 中，已知a ＝433 ，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. ! 10．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 11．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 12 . 判断满足下列条件的三角形个数 （1）b=39,c=54,? =120C 有________组解 （2）a=20,b=11,?=30B 有________组解 （3）b=26,c=15,?=30C 有________组解 , （4）a=2,b=6,?=30A 有________组解 正弦定理 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) D ．26 解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 … 解析：选＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝4 6.
(完整版)正弦定理练习题(经典)(最新整理)
6 2 3 2 3 6 6 3 6 2 3 2 3 6 2 × sin 30° 正弦定理练习题 1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，则 b 等于( ) A. B. C. D ．2 2．在△ABC 中，已知 a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则 b 等于( ) 32 A ．4 B ．4 C ．4 D. 3 3. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝ 2，则 c ＝( ) 1 A.1 B. 2 1 C ．2 D.4 4. 在△ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝4 3，b ＝4 2，则角 B 为( ) A ．45°或 135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 5. △ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c .若c ＝ A. B ．2 C. D. 2，b ＝ 2 6，B ＝120°，则 a 等于( ) 6. 在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则 sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 cos A b 7. 在△ABC 中，若 ＝ ，则△ABC 是( ) cos B a A. 等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 8. 在△ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝ π 3，C A ＝ . 4 3 9．在△ABC 中，已知 a ＝ 3 ，b ＝4，A ＝30°，则 sin B ＝ . ＝3 ，则 10．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则 a ＋c ＝ . 11．在△ABC 中，b ＝4 3，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有 组解． 12 . 判断满足下列条件的三角形个数 （1）b=39,c=54, C = 120? 有 组解 （2）a=20,b=11, B = 30? （3）b=26,c=15, C = 30? （4）a=2,b=6, A = 30? 有 组解有 组解有 组解 正弦定理 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则 b 等于( ) A. B. C. D ．2 a 解析：选 A.应用正弦定理得： ＝ b ，求得 b a sin B ＝ 6. sin A sin B ＝ sin A 2．在△ABC 中，已知 a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则 b 等于( ) 32 A ．4 B ．4 C ．4 D. 3 解析：选 C.A ＝45°，由正弦定理得 b a sin B ＝4 6. ＝ sin A 3. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 所对的边，若 A ＝105°，B ＝45°，b ＝ 2，则 c ＝( ) 1 A.1 B. 2 1 C ．2 D.4 b c 解析：选 A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由 ＝ 得 c ＝ ＝1. sin B sin C sin45° 6 6