(完整版)2018年高考数学专题71不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用理

专题7.1

不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用

【三年高考】

1.12017山东，理7］若a b

0 ,且ab 1 ,则下列不等式成立的是

(A) a

10g 2（a b ），所以选 B.

x

f （x ） |- a|在R 上恒成立，则a 的取值范围是 2

(C) a 10g 2 a

b 2a

(D) log 2 a

1,0

因为

0, 且ab

1所以

1,

b 2a

1,1og 2(a

b) log 2 2 , ab 1, (B)

2. 【2017天津，理8］已知函数 2

x f(x) x x 3,x

2 ,x 1. x 1,

设a R ,若关于

x 的不等式

(C) [ 2 3,2]

39

①[2醒]

【解析】不等式 f (x)

f(x) f (x) (*),当 x

1时, (*) 式即为

(x

4)2 3,

3,

3时取等

号）

4

47 16 47 16

47 16 1 , 一

（x —时取等号）

4

39

,

一，当x 1时，

（*）式为

(x

;)2

39 39 16 16 2 x 一， x

(2

x

2

-)2J3 (当 x x

2.3 , 一

——时取等号），

3

2时取等号），所以2 J3 a 2 ,综上生 a 2 .故选A.

16

2 2

2 (当x

x

x

x 2 2 x

一个等铝成立的条件是而两个等号可以同时取得J 则当且仅当〃二半力,二立时取等言). 2 2 4

(A) a c b c

(B) ab c ba c

(C) al0g b e blog a c (D) log a c 10g b e

【答案】C

1

1 1 1

【解析】用特殊值法，令a 3, b 2, c ,得3" 2'选项A 错误，3 2攵2 3攵，选项B

2

1 1.1 — ............................................... 专日反，310923 2log 3 2,选项C 正确，log 3 a log

2 —,选项D 错反，故选C.

5.12016高考浙江理数】已知实数 a, b, c ()

A.若 | a 2+b +c |+| a +b 2+c |w1,则 a 2+b 2+c 2<100 B .若 |a 2+b +c |+| a 2+b - c | < 1,则 a 2+b 2+c 2<100 C.若 | a +b +c 2|+| a +b - c 2|

< 1,则 a 2+b 2+c 2<100 D .若 | a 2+b +c |+| a +b 2- c | < 1,则 a 2+b 2+c 2<100 【答案】D

【解析】举反例排除法：A.令a b 10,c 110,排除此选项，B.令a 10,b 100,c 0,

排除此选项，C.令a 100,b

100,c 0,排除此选项，故选 D.

6.12016高考上海理数】设 x R,则不等式x 3 1的解集为 .

【答案】(2,4)

【解析】由题意得： 1 x 3 1 ,即2 x 4 ,故解集为(2,4). x 2 x 一

7.12015局考江苏，7】不等式2

4的解集为 .

【答案】(1,2).

［解析］由题意得：x 2 x 2

1x2,解集为(1Z.

8.12015高考湖北，理10】设x R , ［x ］表示不超过的最大整数.若存在实数，使得［t ］ 1, ［t 2］ 2,…，［t n ］ n 同

时成立，则正整数的最大值是(

)

A. 3 B . 4 C . 5 D . 6

3.12017天津，理12］若a, b

【答案】

R , ab 0 ,则a —竺—1的最小值为

ab

【解析】

44 8

ab

二位弓"* 5=4 '(前一个等号成立和牛是1=物，后

4.12016高考新课标1卷】若a b 10 c 1,则（）

【答案】B

【解析】因为因表示不超过'的最大整数,由m =1得由［产］=2得2Vp<3,由［力=3得 4

1 2

9.12015局考四川，理9】如果函数fx — m2x 2 n 8 x 1 m 0, n 0在区

2

、一 1

间,，2上单调递减，则 mn 的最大值为(

)

2

当m 2时，抛物线开口向下，据题意得，

上一8 1即

m 2 2 故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有 m 2n 18 (m 2,n 8).所以 mn (18 2n)n (18 2 8) 8 16 ,所以最大值为 18.选 B..

【2017考试大纲】

1 .不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系 ，了解不等式(组)的实际背景

2 . 一元二次不等式；(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型 ^

(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系 .

(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 3 .基本不等式：a b 2Tab (a 0, b 0)

(1) 了解基本不等式的证明过程.(2)会用基本不等式解决简单的最大

(小)值问题.

【三年高考命题回顾】 纵观前三年各地高考试题，对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查，主要考 查不等式性质、不等关系、二次不等式解法、基本不等式及其应用，高考中一般会以小题形 式形式考查，个别省市在大题中考查不等式的应用.

【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 不等式是中学数学的主体内容之一 , 是进一步学习高 等数学的基础知识和重要工具

, 因而是数学高考命制能力题的重要版块

. 在近年来的高考数

学中 , 有关不等式的试题都占有较大的比重 . 不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能、基

(A) 16

(B) 18 (C) 25 【答案】B

【解析】m 2时，抛物线的对称轴为 x

(D)

81 2

工~8.据题意，当m 2时, m 2

2m n 12. Q \2m n

2m n

6, mn 18.由2m n 且 2m n 12 得 m 3,n 6.

八 一一 -------- ----- 2n m -

m 2n 18. Q : 2nm

9,

mn

81

一.由 2n m 且 m 2n

2

18 得 m 9 2,

本思想方法, 而且注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的能力. 在题型上, 选择题、填空题主要考查不等式的性质、解简单不等式、绝对值不等式、简单转化求参

数范围、比较大小等; 解答题主要考查基本不等式的应用、含参不等式的解法、求恒成立中的

参数范围、证明不等式、最值型综合题以及实际应用题等. 试题常常是不等式的证明、解不

等式、求参数范围于函数、数列、复数、三角、解析几何、立体几何、实际应用等问题之中, 知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高, 是高考数学思想、数学方法、考能力、

考素质的主阵地. 从近几年数学试题得到启示：涉及不等式解法的题目，往往较为容易；对

基本不等式的考查，较多的寓于综合题目之中. 因此，在2017 年复习备考中，要注意不等式

性质运用的条件，以及与函数交汇考查单调性，对不等关系，要培养将实际问题抽象为不等

关系的能力，从而利用数学的方法解决，对不等式解法主要是二次不等式的解法，往往与集

合知识交汇考查，注意含参数的二次不等式的解法. 对基本不等式及其应用，会涉及求函数的

最值问题，或者将实际问题抽象出数学最优化问题，利用基本不等式求解．不等式几乎能与

所有数学知识建立广泛的联系，通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列

的综合问题的形式出现，尤其是以导数或向量为背景的不等式，函数的综合题和有关不等式

的证明或性质的代数逻辑推理题，问题多属于中档题甚至是难题，对不等式的知识，方法与

技巧要求较高．预测2018 年可能有一道选择或者填空出现，考查不等式的解法，或不等式的

性质，或基本不等式，可能与导数结合出一道解答题．

【2018 年高考考点定位】

高考对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查有以下几种主要形式：一是考查

不等式的性质；二是不等式关系；三是不等式解法；四是基本不等式及应用，其中经常与函

数、方程等知识的相联系．

【考点1】不等式性质

【备考知识梳理】

1．不等式的基本性质：（1）a b b a （2）a b,b c a c （3）

c 0 ac bc

,a b a c b c (1)加法法则：a b,c d b,c d a d b c, (3) ac bd 0

a b - b 0, c d 0 — — 0, d c

0(n N,n 2) b 0

n.

a n

b 0(n N ,n

(4) a b c 0 ac bc

c 0 ac bc

a c

b d

乘法法则：

(5 )乘方法则：

2)

【规律方法技巧】

1 .判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找 到与命题相

近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识, 比如对数函数、指数函数的性质.

2 .特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可

以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题. 【考点针对训练】

1 .【贵州省遵义市 2017届高三第一次联考】 已知1 -

a b

a b ab ③a b ④ab b 2其中正确结论的序号是(

A.①② B .②③ C .②④ D .③④

【答案】C

1

1

2

【斛析】一 一 0 b a 0 |a||b|,a b 0 ab,b ab,因此选 C. a b

2 .【重庆市第八中学 2017届高三第二次适应性考试】已知下列四个关系：① , 2 , 2 _

1

1

a b …，,

a b ac bc ；②ab ——；③ab0,cd0 一一；④ab1, a b

d c

c c

c 0 a b .其中正确的有( )

a b c a c b

2.不等式的运算性质：

(2)减法法则：a a b 0,c d 0 (4)除法法则：a

a b 0 a n b n

(6 )开方法则：a

0，给出下列四个结论：①a b ②

)

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

c 0时，①错误.a 0 b时②错误.根据不等式的性质知③正确.根据指数函数的

单调性可知④正确.故有两个正确

【考点2】不等关系

【备考知识梳理】

在日常生产生活中，不等关系更为普遍，利润的优化、方案的设计等方面都蕴含着不等关系, 再比如几何中的两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等等，用数学中的不等式表示这些不等关系，建立数学模型，利用数学知识解决现实生活的不等关系.

【规律方法技巧】区分不等关系与不等式的异同，不等关系强调的是关系，可用符号等式则是表现两

者的不等关系，可用a b,a b, a b,a b,a

是通过不等式表现.

【考点针对训练】

1.【福建省2017届高三毕业班总复习过关测试】若

7,Q j a"飞J a 4 a 0 ,则P,Q的大小关系为（的大小关系是（）

, 表不，而不b等式子表示，不等关系

A.. P Q

B.P Q

C.P Q

D. 由的取值确定

【解析】假设P

log23 2.【河南省郑州市第一中学2017届高三期中】,b 1

10g

5

4

,c31n3,则a,b,c

A. cab

D. a c b

ln3 0 log 2 1 log 51, 3ln3 0 310g 24 310g 53, c b a ,故选 C. 4

3

【考点3】一元二次不等式解法 【备考知识梳理】

对于一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0)的两根为x 1、*2且小 x 2，设 b 2 4ac ,它的

解按照 0,

0, 0可分三种情况，相应地，二次函数

y

ax 2 bx c (a 0)的

图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式

2

,

2

ax bx c 0 (a 0)或 ax bx c 0 (a 0)的解集.

【规律方法技巧】

1 .解一元二次不等式首先要看二次项系数 a 是否为正；若为负，则将其变为正数;

2 .若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；

log 2 3

i 10g 2-

3 3,b

log 5 4

1 10g5 ;

3 4,c

31n 3 ,Q 10g i 2

3

10gl 5,

3

10g 'I

10g 5 4

3.写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；

4.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解

集与其系数之间的关系；

5.若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数^

【考点针对训练】

2

1.【安徽师范大学附属中学2017届局二期中】已知不等式ax 5x b 0的解集为

{x| 3 x 2},则不等式bx25x a 0的解集为.

1 1

【答案】{ x | x -或x -}

3 2

5 b . 2 _ 一

【解析】根据题意可得一1,- 6, a 5,b 30,所以bx 5x a 0可化为

a a

2 .. ...................................................... 一. 1 1 一

6x x 1 0 3x 1 2x 1 0,所以不等式的解集为{x|x &或x -}.

2.【江苏省苏北三市2017届三模】已知对于任意的x ,1 5, ，都有

I- 2

x 2 a 2 x a 0,则实数的取值范围是.

【答案】1,5 (或1 a 5)

【解析】利用一元二次方程根的分布去解决，设fx x2 2a2xa,当

2 I ------------------- ---------------------------------------------------------- 1 ---------- 1

4 a 2 4a 0时，即1 a 4时，f x 0对x R恒成立；当a 1时，

1 a

2 5

f 1 0，不合题意；当a 4时，f 2 0符合题意；当0时，，

f 1 0

f 5 0

a 1或a 4

即2 a 7 ,即：4 a 5 ,综上所述：实数的取值范围是1,5 .

a 5

a 5

【考点4】基本不等式及应用

【备考知识梳理】

1、如果a,b R,那么a2b2 2ab (当且仅当a b时取等号“=”)

2 卜？

推论：ab ------ ------ (a,b R)

2

2、如果a 0, b 0,则a b 2痴，(当且仅当a b时取等号“=").

2 2

ab\2 a b ,ab、2

推企：ab ( ------------ ) (a 0, b 0)；------------------------ ( ----------- )

2 2 2

a b a 2 b 2

彳 ab 2 (a 0，b 0)

b

【规律方法技巧】

1 .利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不

等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项, 并项，也可乘上一个数或加上一个数，“ 1”的代换法等.

2 .在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等

①一正：函数的解析式中，各项均为正数;

②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值; ③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值 等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值

3、

若使用基本不等式时, 【考点针对训练】

1 .【山东省滨州市 2016-2017学年高三期中】设正实数,

y 满足4x y

小值是

4x

xy (x

4 y)( ■ y

4x

4x

9 ,当且仅当—— y

-时，取最小值9.

x

2 .【天津市耀华中学

2017届高

一模】已知

b,二次三项式

2

ax 2x b 0对于一切

实数恒成立，又 飞

2

R ,使 ax 。 2x 0 b 0,

2

,2

…a b

则 -----------

a b

的最小值为

【解析】不等式恒成立，则 a 0且 V 4 4ab

0 ,即ab 1,又存在x 0 R ,使

. 2

ax 0 2x 0

b 0成立，可得V 0 ,所以ab 1 , a 1 .可得

2

1 a

2 ______a_ 1 a —

a —1 0

3 a a

4x y y x

囱2

日故本题应填2贬.

【应试技巧点拨】

1 .使用均值不等式求最值时，注意在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”

等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)

、“定”(不等式的另

边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 ^

2 .基本不等式及其变式中的条件要准确把握.

如 a 2 b 2 2ab ( a,b R ) , a b 240b ( a, b R )等.

3 .利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值时，注意观察其是否具有“和为定

值” “积为定值”的结构特点.在具体题目中，一般很少直接考查基本不等式的应用，而是 需要将式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式得出最值.即应用基本不 等式，应注意“一正、二定、三相等”，缺一不可 .灵活的通过“拆、凑、代(换)”，创造

应用不等式的条件，是解答此类问题的技巧

；忽视等号成立的条件，是常见错误之一

.

4 .求解含参不等式恒成立问题的关键是过好双关：第一关是转化关，即通过分离参数，先转

化为 f (a ) >g (x )(或 f (a ) wg (x ))为:寸? xC D 恒成立,再转化为 f (a ) Rg (x ) ma)(或 f (a)w g (x )min )； 第二关是求最值关，即求函数

g (x )在区间D 上的最大值(或最小值)问题.

5 .应用导数证明不等式，解题格式明确、规范，基本思路清晰，能使问题解决的领域更宽广 .

解题过程中，注意处处应用转化与化归思想，化生为熟、化难为易、化繁为简，是解决问题 的基本方法.

6 .对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法.解答本题时能够对四个选项逐个利

用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式.

1.【重庆市第八中学 2017届高三第二次适应性考试】已知 a 0, b 0且2ab a 2b,

a 4 1

a 4

1

2 a

-4

2 2

10

/

2

1

a 2 2 4 a 2

4

a

a

2,

12 2

a

4 a 3

a

2 ,2

a b 的最小值为

贝U a 8b 的最小值为（

【答案】B

1 1

【解析】2ab a 2b 两边除以2ab 得1 — 1,所以

a 2b

,,,,

… 一 _ 一1

4,, 一，一 —

a n 满足 v/a m a n 4a 1,且 a 6 a 5 2a 4,则— —的取小值(

)

11abi 1

1,y log ab

log ab ( ) log ab 1,z 10g b 一 a b

ab

ab

a

A. 4 2

B.

C. 10

D.巴

2

1 a 8b - a

1

2b 8b a

2b

9.

2.【河南省豫北名校联盟

2017届高三精英对抗赛】已知在正项等比数列

a n 中,存在两项a m ,

m A. 3

B . 2

C.

2

【答案】A

【解析】由a 6 a 5 224得45 q 4 2q 3解得q 所以mn 6,所以14124 m n m n 6 m n

n 7 D

.丝

3

6

2 ,再由 Ja m a n

4a l 得q m

n

2 16 24,

1

n

4m

1 3 5 一 ——

— 9 . 6 m n

6

2

3.【贵州省遵义市 2017届高三第一次联考】

一一 1

1 ..................................

已知一 一 0,给出下列四个结论: a b

.

.一

. 一 一 2 一- .............................................. .

a b ab ③a b ④ab b 其中正确结论的序号是（

A.①② B .②③ C .②④ D .③④

【答案】C

1

1

2

【斛析】一 一 0 b a 0 |a||b|,a b 0 ab,b a b 4.【河北省武邑2017届高三三调】已知

ab,因此选C.

a b 0,a b 1,x A. x z y B D. x y z

【答案】B 【解析】

b

1

1 1

一,y log ab

一 —

a

a b

x y z C.

z y x

(1)0

log b a log b b 1 x y z,故选 B. 5.【贵州省遵义市第四中学

2016届高三第四次月考】 已知直线l ：x _y 1 a 0,b 0在

a b

两坐标轴上的截距之和为 4,则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是

（

）

A. 2&

B.

C.

D. 2

【答案】D

_ ____ ，… x y ， = 一 ................................................ 【解析】直线1：一 21 a 0,b 0在两坐标轴上的截距之和为

4,所以a b 4,即

a b

11

4 2庙 ab 4

-ab 2 ,则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是 .

2

6.【福建省莆田2017届高三二模】若实数、、c R ,且ab ac bc 2n 6 a 2,则 2a b c 的最小值为（ ）

A. V 5 1

B. 木 1

C. 275 2

D.

275 2

【答案】C

【解析】因为M 十8十加十=6一/ .所以向十43,十W 十%二口（口 +匕）十0（0十。）二（O 十+8） =6-2^5=

（-1） f 所以2口+b+e =（口+七）十（也+ 6）^2玳口+仁）（已十白）=2 ,当且仅当 S+c ）二（q + b ）时，等W

成立.故选口.

7.【湖南省岳阳2018届高三第一次月考】如右图所示，已知点 y f x 是m J3,2的

重心，过点C 一作直线与S 8 1两边分别交于 6

2 3sinAsinBsinC sin 2A sin 2B

最小值为（ ）

Z~~—

2

,2

2

a b c A. 2 B. .3sinC

2ab

_2 __________ ... _

sin C 两点，且

C.

2^y3absinC a 2 b 2 c 2,

3sinC cosC

D. tanC 3

3

则2ab 的

【解析】因为

三点共线，所以 工后=/声，五一%万=上|方一怒|，因为G 是

---- 1 / -------------

、 1 ——r —、 —— （ —r 1 r

―r ―|

在必C 重心，所以 AG=-[.4B^AC] , j （^ + JC ）-^45 = /l ）

,

所以T 3 ，化简得（3栗-1）（力■ T ） = l ,解得题目所给图像可知 1

1 q 11H l

2 2

-=Z f — — A

13 - 3

由基本不等式得

2 = （%-1）（61-2三：虫二詈二? ,即3（工十2M — 3之川工工十2j ,之上苴.当且

仅当3工一1 = 6i1 —2 ,即W + 1 1:

卢+ 2时,等号成立，故最小值为 A 2也

“

3 …

6

3

【答案】C

r 解析】由题意可得：/ + 之缶+ 之血声』结合不等式的性质有： /+/+/之人（知+声），当且仅苜，=1二盛>时等号成立，即

二;婢 /邑 2

7 + 7

+/

2

的最小值为一■本题选择c 选项. 2

9.【陕西省黄陵中学 2017届考前模拟】两圆x 2 y 2 2ax a 2 4 0和 2

2

2

1 1..

x 2 y 2 4by 1 4b 2 0恰有三条公切线，若 a R, b R,且ab 0,则下 1的 a b

最小值为（）

A. 4

B. 10

C.

D.

9

9

【答案】C

【解析】因为两圆的圆心和半径分别为

C 1 a,0 ,r 1 2,C 2 0,2b ,r 2 1,所以由题设可知

8.【天津市耀华中学

2017届高三二模】 已知x, y,z 为正实数，则

广

2y

z 2的最大值为（

x y z

A. B. C. D.

两圆相外切，则C 1C 2 1 a 2 4b 2 b 2 9 一 一9 10. 【湖南省长沙市 当xy 取得最大值时, z A. 0 B. 1 C. r i r 2,故 a 2

4b 2

2017届高三 【解析】据已知不等式得 xy xy 2 2 x 3xy 4y 2 2

a 4

b 9 ,即一一1 ,所以 9 9 1 4 4b 2 a 2 5 4 22

9 9 9a 2 9b 2 9 9 5月模拟】设正实数x,y,z 满足 1 2 ,一…， 一 一的取大值为 y z

D. 3 2 -

x 3xy

4y 2

1 ,应选答案Co

2

_

2

_

… ,

x 3xy 4y z 0 ,则

2 2

x 3xy 4y x 4y - ----------- 3

y x

,据均值不等式得

xy

1 2 2

xy z 1,当且仅当-￡y y x

即x 2y 时取得最大值，此时

2

2y 2 1时取得最大值1. 11.12016届河南省新乡卫辉一中高考押题一】 若一组数据 2, 4,

6, 8的中位数、方差分别

为m, n ,且ma nb 1 a 0,b …1 1 . 一 . .. ，则—一的取小值为 a b A. 6 2 3 B D. 由题意得 1仆 m 5,n (9 4 1 9) 5,所以 1 1 5a ( )(5a 5b) 10 —

a b b 5b s c — 10 2 a 5a 5b 20 , a

当且仅当a

b 时取等号,

12.【2016年福建厦门一中高三质量检测】函数 f x x 2 3x a, g x

f g x 0对x 0,1恒成立，则实数的取值范围是

1 A. e, B In 2, C 2, D .

— 0 2，

【答案】C

【解析】令 t g(x) ,

x [0,1],则 g(x)

2x ln2 2x 设 g (x 0) 0,则函数 g(x)在[0, x0]

上单调递增，在上[x 0,1]单调递减，g(x)在x 0,1的值域

[1, g(xj 口， ( g x°) 2x 0 %2) f(t)

0,即 a t 2 3t,

a 2.故选 C.

13.12016届湖南省郴州市高三第四次教学质量检测】已知函数

f x 的定义域为R,对任

意 x 〔 x 2 ,有 f x f x 2

X I x 2,且 f 3

f lo

g 1 3x 1 log 1 3x 1 1 的解集为(

)

2

2

g(x) f (x) x,则g(x)为R 上的增函数.因为 f 3

4,所以g 3

f lo

g 1 3x 1

log 1 3x 1 1 等价于 g log 1 3x 1

2

2

2

解得x 2且x 0,故选D.

2

x 2x, x 0,什 ,若

ln(x 1),x 0 f (x) ax 1,则a 的取

值范围是

【答案】 4,0

【解析】由题意得，作出函数 f x 的图象，如图所示，此时当 x 0时，f x x 2 2x, 要使得f (x) ax 1成立，当x 0时，直线y ax 1与f x x 2 2x 相切，联立方程组

y x 2 2x /口 2

，得 x 2 (a 2)x

y ax 1

4,则不等式

A. 2,

B

【答案】D

,2 C 0,1 U 1,2 D . ,0 U 0,2

【解析】由对任意x 1 x 2，有f x 1

f x 2 X I X 2,得 f X I x 1

f x 2 x 2 .令 1,所以

g( 3),所以 log 1 3x 1

3,

2

14.12016届江西省上高二中高三全真模拟

】已知函数f(x)

1 0 ,由 0,解得a 4 , 所以要使得f (x) ax 1

成立，则实数的取值范围是4,0

15.【2016年江西南昌高三模拟】已知抛物线C：x2=4y的焦点为F,过点F且斜率为1的直

uuur 线与抛物线相交于M N两点.设直线l是抛物线C的切线，且l //MN P为l上一点，则PM uuu PN

的最小值为

【答案】14

【解析】过焦点F(0,1)且斜率为1的直线y x 1与抛物线x2 4 y相交于

M (x.), Nd, y2),联立x 1 2

，得x24x 4 0,则4y X i x24, x1x2

4 ；

设直

线与抛物线

2

x ，一，

一，

一相切于点

4

Q(X0,y O),因为l〃MN ,所以1, 则Q(2,1),直线的方程为2, 1, 设点P(a,a 1),则

PM PN (X1 a)(x2 a) (y1 a 1)(y2 a 1) (x1 a)(x2 a) (X a 2)(x2 a 2)

2x1x2 (2a 2)(x1X2) 2a2_ 2

4a 4 2a 12a 4 _ 4 2

2(a 3) 14

【一年原创真预测】

1.若x 1,则下列各式中一定成立的是(

a

A. x y b C D.

b y

因为 a 0,所以a y.易知哥函数f(x) x y在(0,)上单调递增，又0 a 1,所以a y b y,所以b，，选C.

【入选理由】本题考查指数函数、对数函数的图象与性质，意在考查学生分析问题、解决

问

题的能力.本题是不等式的一个应用，难度不大，故选此题

2.设a b c 0,若不等式log a 2017 log b 2017 d log a 2017对所有满足题设的

x y 时取等号，从而d 4,即实数d 的最大值为

【入选理由】本题考查对数运算、基本不等式求最值等基础知识，意在考查运用等价转化思 想分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力.本题是基本不等式问题，难度不 大，故选此题

|2x 1|

【入选理由】本题考查不等式恒成立，含绝对值不等式解法等基础知识，意在考查分析能力 及基本运算能力.本题是基本不等式的一个灵活应用，难度不大，故选此题

.

一

2 2-1

4.已知x,y

R ,x 一 2y

— 6,则x 2 y 的最大值为.

x

y

【答案】

a,b,c 均成立，则实数

d 的最大值为

【解析】log/017 10g b 2017 b

c

a

b a b

c 0,所以 iga 0,1g - b

c

.

1

1、, 、一…

d (— —)(x y)的最小值，而

x y

d1og a 2017

c

a

0,1g a 0,设 x

c 1g 2017 1K ,a 1g b,y

1g 2017

1gb

c b a 1g —,则 1g —

d 1g2017

1g- c

，，—一，， 冗 3.对任意白( (0,—),不等式

2

1

2 sin 4 2 cos

|2x 1|恒成立,

则实数的取值范围是

[4,5]

因为

1 sin 2

4 2 cos

(12 sin

4

2

——)(sin cos

2

cos

2

cos )5 cos sin

4sin 2 2 cos

2

cos sin 2

*9 cos

当且仅当

2

cos

~~2

sin

2

4sin 2 cos

2

,即 cos

2 . 2

,sin 3

1 , _ -

一时取等号，所以

3

c

c

(--)(x y) 2 -- x y

x y

4,当且仅当

【解析】令H +2产=和,则一 十一二6-m, % y

>-（+ + 2 -> = -,当且仅当H = 2,时取等号，所以6-出左号,一一6胡+

8MQ2V 机V4,即

娥 Y x y *

nt

工十2事的最大值为4 C 当且仅当工=2, = 2时取等号）.

【入选理由】本题考查基本不等式，一元二次不等式解集等基础知识，意在考查运用等价转 化思想分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力.本题是基本不等式，一元二 次不等式解集有机结合在一起，难度不大，故选此题

^

因为=上（4十曳+为

工 yxy 加 m x y