应力与应力状态分析
应力与应力状态分析
拉伸模量
拉伸模量是指材料在拉伸时的弹性，其计算公式如下：
拉伸模量（㎏/c ㎡)=△f/△h(㎏/c ㎡)
其中，△f 表示单位面积两点之间的力变化，△h 表示以上两点之间的应变化。更具体地说，△h ＝（L-L0）/L0，其中L0表示拉伸长前的长度，L 表示拉伸长后的长度。
§4-1 几组基本术语与概念
一、变形固体的基本假设
1、均匀连续性假设：假设在变形固体的整个体积内均匀地、毫无空隙地充满着物质，并且各点处的力学性质完全相同。
根据这一假设，可从变形固体内任意一点取出微小单元体进行研究，且各点处的力学性质完全相同，因而固体内部各质点的位移、各点处的内力都将是连续分布的，可以表示为各点坐标的连续函数。
2、各向同性假设：假设变形固体在所有方向上均具有相同的力学性质。
3、小变形假设：认为构件的变形与构件的原始尺寸相比及其微小。
根据小变形假设，在研究构件上力系的简化、研究构件及其局部的平衡时，均可忽略构件的变形而按构件的原始形状、尺寸进行计算。
二、应力的概念
1、正应力的概念
分布内力的大小（或称分布集度），用单位面积上的内力大小来度量，称为应力。 由于内力是矢量，因而应力也是矢量，其方向就是分布内力的方向。 沿截面法线方向的应力称为正应力，用希腊字母σ表示。
应力的常用单位有牛/米2 （2/m N ，12/m N 称为1帕，代号a P ）、千米/米2（2/m KN ，12/m KN 称为1千帕，代号K
a P ），此外还有更大的单位兆帕（M a P ）、吉帕（G a P ）。
几种单位的换算关系为：
1 K a P =310a P 1 M a P =310K a P 1 G a P =310M a P =610K a P =910a P
2、切应力与全应力的概念
与截面相切的应力分量称为切应力，用希腊字母τ表示。
K 点处某截面上的全应力K p 等于该点处同一截面上的正应力K σ与切应力K τ的矢量和。
三、位移、变形及应变的概念
变形：构件的形状和尺寸的改变。
位移：构件轴线上点的位置变化和截面方位的改变。
变形和位移的关系：构件的变形必然会使结构产生位移，但结构的位移不一定是由构件的变形引起的，温度变化、支座移动等也会使结构产生位移。
单元体：围绕构件内某一点截取出来的边长为无限小的正六面体。
应变：描述单元体变形程度的几何量，包括线应变和角应变两类。
线应变（正应变）ε：单元体线性尺寸的相对改变量。ε=Δu / u
角应变（切应变）γ：单元体上直角的改变量。γ= 90°- θ
应力与应变的对应关系：正应力σ与正应变ε相互对应；切应力τ与切应变γ相互对应。
四、受力构件内一点处的应力状态的概念
构件内某点处的应力状态，是指通过该点的各个不同方位截面上的应力情况的总体。 研究应力状态，对全面了解受力杆件的应力全貌，以及分析杆件的强度和破坏机理，都是必需的。
为了研究一点处的应力状态，通常是围绕该点取一边长为无限小的正六面体，即单元体。 主平面：单元体上没有切应力的面称为主平面。
主应力：主平面上的正应力称为主应力。
可以证明，通过一点处的所有方向面中，一定存在三个互相垂直的主平面（即一定存在主单元体），因而每一点都对应着三个主应力。
一点处的三个主应力分别用σ1 , σ2 和σ3来表示，并按应力代数值的大小顺序排列，即σ1≥σ2≥σ3。
原始单元体：从一点处取出的各面上应力都已知的单元体，称为该点的原始单元体。对于杆件，通常用一对横截面和两对互相垂直的纵截面截取原始单元体。
主单元体：各面上没有切应力的单元体称为主单元体。
应力状态的分类：
空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零
平面（二向）应力状态：一个主应力为零
单向应力状态：两个主应力为零
一种特殊的二向应力状态——纯剪应力状态：单元体的四个面上有切应力，各面上均无正应力。
简单应力状态与复杂应力状态：单向应力状态和纯剪应力状态合称为简单应力状态，除了二向纯剪应力状态之外的其他二向应力状态和三向应力状态统称为复杂应力状态。
五、切应力互等定理
切应力互等定理：单元体的两个相互垂直的平面上，垂直于公共棱边的切应力同时存在，都指向或都背离公共棱边，并且大小相等。
六、应力与应变之间的关系
试验表明，当只要杆件处于线弹性阶段（应力不超过一定限度），杆件内某点的主应力与主应变之间以及切应力与剪应变之间存在一定的关系，这种关系统称为胡克定律。
虎克定理的表现形式有以下几种：单向应力状态下的胡克定律；轴向拉压杆胡克定律的另一种表达形式；剪切胡克定律；广义胡克定律。
注意：所有胡克定律的适用条件均为：材料处于线弹性阶段。
单向应力状态下的胡克定律和剪切虎克定律均可看作是广义虎克定律的一种特例。
1、单向应力状态下的胡克定律
单向应力状态下，在材料的线弹性范围内，单元体沿正应力σ方向的线应变ε与正应力σ之间存在如下的正比关系：
σx = E εx
式中比例常数 E 称为材料的弹性模量，其常用单位为 GPa 。
弹性模量E 只与材料的种类有关，它属于材料的弹性常数。
单向应力状态下横向应变与纵向应变之间的关系：
μεε-='
泊松比μ也属于材料的弹性常数，它也只与材料的种类有关。
2、轴向拉压杆胡克定律的另一种表达形式
EA l
F l N =∆
这是轴向拉压杆胡克定律的另一种表达形式。它表明：对于轴向拉压杆，当等直杆段内轴力为常数时，只要杆件处于弹性状态（正应力不超过一定限度），则其伸缩变形量与轴力成正比，与杆段原长成正比，与杆件横截面积成反比，比例系数即材料的弹性模量。
3、剪切胡克定律
在材料的线弹性范围内，单元体的切应力τ引起的角应变γ与切应力τ之间存在如下的正比关系：
τ =G γ
式中比例常数G 称为材料的剪切弹性模量（又称为切变模量），其常用单位为 GPa 。
剪切弹性模量G 只与材料的种类有关，它属于材料的弹性常数。
4、广义虎克定律
三向应力状态下主单元体沿三个主应力1σ、2σ、3σ方向的线应变分别用1ε、2ε、3ε表示，这种沿主应力方向的线应变称为主应变(principal strain )。
对于各向同性材料，在应力不超过其比例极限时，可以用叠加法来求其主应变。
()[]()[]()[]⎪⎭⎪⎬⎫+-=+-=+-=
213313223211111σσμσεσσμσεσσμσεE E E 上式表示在三向应力状态下，主应变和主应力或应变分量与应力分量之间的关系，称为广义虎克定律，它表明各向同性材料在弹性范围内应力和应变之间的线性本构关系。广义虎克定律只有在应力不超过材料的比例极限时才能使用。
使用上式时，其中的1σ、2σ、3σ应以代数值代入，求的1ε、2ε、3ε中，正值表示伸长，负值表示缩短，三个主应变仍按代数值大小顺序排列，即321εεε≥≥。单向和二向应力状态可以认为是三向应力状态的特例，上式仍然适用。
当单元体的各面上既有正应力，又有切应力时，即成为三向应力状态的一般情况。可以证明，在小变形条件下，切应力引起的线应变比起正应力引起的线应变是高阶微量，可以忽略，即可认为线应变只与正应力有关，而与切应力无关。此时，若将上式中应力和应变的脚标1、2、3相应的改为x 、y 、z ，等式仍然成立，即：
()[]()[]()[]⎪⎭⎪⎬⎫+-=+-=+-=y x z z x z y y z y x x E
E E σσμσεσσμσεσσμσε111
应注意按上式求出的应变x ε、y ε、z ε不一定是主应变。 在三向应力状态下，切应力和切应变之间也有一定关系，即
τx y = G γxy
τyz = G γyz
τzx = G γzx
广义胡克定律应用非常广泛，例如弹性力学分析物体的应力和应变时，需用它作为物理方程；在实验应力分析中，根据某点处测出的应变，可以计算主应力或正应力、切应力。
5、弹性常数E 、G 、 μ之间的关系
对各向同性材料可以证明，弹性常数E 、G 、μ存在如下关系
上式表明3个常数只有2个是独立的
§4-2 轴向拉压杆与受扭杆横截面上的应力
一、轴向拉压杆横截面上的应力
由于轴向拉（压）杆横截面上只有均匀分布的拉（压）力，故横截面上各点只有正应力，且正应力相等。设轴向拉（压）杆横截面上轴力为
N F ，面积为A ，则横截面上任一点的正
应力为
A F N =σ 轴力N F 为拉力时，正应力σ取正号；N F 为压力时，σ取负号。
由于 2266/1/10101mm N m N P MP a a ===，因此，在计算应力值时，只要力的单
位换算为N ，长度单位换算为mm ，得到的应力单位就是
a MP 。
二、应力集中的概念 等直杆不论受轴向拉力作用还是受轴向压力作用，其横截面上都只产生均匀分布的正应力，但是，若等直杆件横截面有局部削弱的情况（如开槽、钻孔等），即使外力仍是轴向拉压，被削弱横截面上的正应力也不再均匀分布。实测表明，在被削弱横截面上，靠近削弱部位的正应力急剧增大的现象，称为应力集中。
三、圆截面扭转杆横截面上的应力分布规律及其计算
圆杆受扭时，横截面上的内力是扭矩，该扭矩是横截面上切线方向分布内力的合力偶矩。也就是说，只发生扭转变形的圆轴横截面上有且只有切应力。
圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算公式为
P x I ρρτM )(=
P I 称为截面的极惯性矩。 对于受扭圆轴，其横截面上切应力在圆轴边缘处达到最大，即：
P x P x I r I M M max max ==
ρτ 若令 r I W P P =
)
1(2μ+=E
G
P W 称为抗扭截面系数，则又有
P x
W M max =τ
p I 、p W 的计算
对于直径为d 的圆截面杆：
324
d I P π= 163
d W P π=
对于空心圆截面杆，其内径为d ，外径为D ，内外径比值D d =α，有
)1(3232324
4
4
4
απππ-=-=D d D I P )1(1643
απ-=D W P
四、矩形截面自由扭转杆的扭转切应力
非圆截面杆扭转时，若截面翘曲不受约束，这时杆的横截面上只有切应力而没有正应力，这种扭转称为自由扭转。若杆端存在约束或杆的各截面上扭矩不同，这时，横截面的翘曲受到限制，因而各截面上翘曲程度不同，这时杆的横截面上除有切应力外，还伴随着产生正应力，这种扭转称为约束扭转。由约束扭转产生的正应力，在实体截面杆中很小，可不予考虑；但在薄壁截面杆中，却不能忽略。
1、矩形截面杆的扭转
矩形截面杆扭转时，横截面周边上各点处的切应力平行于周边，凸角处和截面形心处无切应力存在，长边中点处的切应力是整个横截面上的最大切应力。
2、开口薄壁截面杆的扭转
工程中广泛采用薄壁杆件。薄壁杆件横截面的壁厚平分线称为中线。若中线是一条不闭合的线，这种杆称为开口薄壁截面杆；若中线是一条闭合线，这种杆称为闭口薄壁截面杆。
可以证明，形状和尺寸相同的闭口薄壁截面与开口薄壁截面相比，在相同的外力偶矩作用下，前者所产生的最大切应力和最大扭转角比后者小得多，即闭口薄壁截面形式的受力和变形性能比开口薄壁截面好。
§4-3 截面的几何性质
一、 研究截面几何性质的意义
不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小及杆件的尺寸，且与杆件截面的几何性质有关。研究杆件的应力与变形，研究杆件的强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形的几何形状和尺寸有关的量，这些量统称为截面的几何性质。例如形心、静矩、
惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积等。
二、形心、静矩及其相互关系
定义下列积分：
⎰=A y z S dA ⎰=A z y S dA
分别为图形对于y 轴和z 轴的静矩，其单位为3m 。
图形几何形状的中心称为形心，可以将面积看作垂直于图形平面的均匀分布力，则形心即为合力的作用点。设c c z y 、为形心坐标，根据合力矩定理有：A y S c z ⋅=；A z S c y ⋅=。
由上述定义可以得出结论：
1 静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。对有些坐标轴为正，对有些为负；对于通过形心的坐标轴为零。
2如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，就可以计算图形的静矩。
实际计算中，对于简单的规则的图形，其形心位置可以直接判断，例如矩形、正方形、圆形、正三角形等图形形心位置是显而易见的。对于组合图形，则先将其分解为若干简单图形（可以直接确定形心位置的图形）；然后由式A y S c z ⋅=及A z S c y ⋅=分别计算它们对于给定坐标的静矩，并求代数和；再利用式A y S c z ⋅=及A z S c y ⋅=既可得组合图形的形心坐标。
三、 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
定义下列积分：
⎰=A y dA z I 2、⎰=A z dA y I 2分别为图形对y 轴和z 轴的截面惯性矩。 定义积分
⎰=A P dA I 2ρ为图形对于点O 的极惯性矩。 定义积分⎰=A yz yz I dA
为图形对于z y 、两个坐标轴的惯性积。 定义A I i y
y = ，A I i z
z =分别为图形对于坐标轴z y 、的惯性半径。
由上述定义可知：
1、惯性矩和极惯性矩恒为正；而惯性积则由于坐标轴位置的不同，可能为正，也可能为负。三者的单位均为4m 或4
mm 。
2、因为222y z +=ρ，所以由上述定义有： ⎰⎰+=+==A z y A P I I dA z y dA I )(222ρ
3、根据极惯性矩的定义，可以计算出圆截面对于其形心的极惯性矩为：
32πd 4=P I 或
2πR 4
=P I 式中，d 为圆的直径；R 为圆的半径。
类似地，还可以得到圆环截面对于圆环中心的极惯性矩为：
)1(32πD 44α-=P I
D d =α 式中，d 为圆环内径，D 为圆环外径，如图4-3-3所示。
4．根据惯性矩的定义，可以计算出圆截面对于通过其形心的任意轴惯性矩为：
644
d I I y Z π==
对于内径为d ，外径为D 的圆环截面
)1(6444
απ-==D I I y Z D d =α
对于坐标轴过形心点且分别平行于两边的矩形截面，其惯性矩为：
12123
3hb I bh I y Z ==，
可以看出，应用定义进行积分，可以计算各种简单图形对于给定坐标轴的惯性矩。 另外，对于由简单几何图形组合而成的图形，为避免复杂的数学运算，一般不采用积分的方式计算惯性矩；而是利用简单图形的惯性矩计算结果以及图形对于平行轴惯性矩之间的关系，由求和的方式求出。
四、惯性矩平行移轴公式
1、图形对于任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。
2、 因为面积及包含a 2、b 2的项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。
六、主惯性轴与形心主惯性轴、主惯性矩与形心主惯性矩
定义：过一点存在这样一对坐标轴，图形对于其惯性积等于零，这一坐标轴便称为过这一点的主轴。图形对于主轴的惯性矩称为主轴惯性矩，简称主惯性矩。对于通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。
当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。
§4-4 梁横截面上的应力
弯曲是杆件的基本变形形式之一。梁平面弯曲时横截面上一般既有正应力又有切应力。
一、梁横截面上的正应力
横截面上只有弯矩而无剪力的梁段叫做纯弯曲梁段，既有弯矩又有剪力的梁段称为横力弯曲梁段。
（一）纯弯曲梁横截面上的正应力
设想梁是由无数根纵向纤维组成的，梁在正弯矩作用下，靠近顶面的纵向纤维缩短，靠近底面的纵向纤维伸长，由连续性假设知，从梁顶部到底部的纵向纤维由缩短到伸长是连续变化的。所以，其间必有一层纵向纤维既不伸长，也不缩短，该层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。中性轴将梁的横截面分成了两个区域，中性轴以上的为受压区，中性轴以下为受拉区。
梁在纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式：
y
I
M
z =
σ
由上式知，梁横截面面上任一点处的正应力σ，与截面上的弯矩M和该点到中性轴的距离y成正比，而与截面对中性轴的惯性矩z I成反比。
（二）正应力公式的适用条件
1）由正应力计算公式（9-4）式的推导过程可知，它的适用条件是：①纯弯曲梁；②梁的最大正应力σ不超过梁所用材料的比例极限P
σ；
2）由矩形截面推导出的公式（9-4），也适用于圆形、工字形、T形、圆环形等其它截面形式的梁。
3）横力弯曲是弯曲问题中最常见的情况，在这种情况下，梁横截面上不仅有正应力存在，而且还有切应力的存在。截面上存在的从上到下各点不均匀的切应力将引起不均匀的错动，因此，横截面不可能再保持为平面。而且由于横向力的存在，将引起梁纵向纤维间的相互挤压，因此，对于横力弯曲，纯弯曲时关于变形的两个假设均不成立。即切应力的存在对正应力的分布规律有影响。弹性理论的精确分析告诉我们，这种影响与梁的跨高比l/h有关，跨高比l/h越大，影响越小。即梁越是细长，影响越小。l/h>5时，横力弯曲时可近似地用纯弯曲时的正应力计算公式计算弯曲正应力。
对于T形截面梁，最大拉应力与最大压应力有可能不在同一截面上，其原因是中性轴不是对称轴。中性轴为对称轴时，σtmax与σCmax在同一截面上，即在|M|max所在的面上；中性轴为非对称轴时，σLtmax与σCmax可能不在同一截面上，但只能在M+max或M-max所在的截面上。
二、梁横截面上的切应力
（一）矩形截面梁横截面上的切应力分布规律
两个假设：
(1) 截面上任何点处的切应力τ方向与横截面的侧边平行，与剪力同向；
(2) 切应力沿横截面宽度均匀分布，即距中性轴等距离处的各点的切应力相等。
根据弹性力学进一步的研究可知，以上两条假设，对于高度为h 大于宽度b 的矩形截面是足够准确的。有了上述两条假设，利用切应力双生互等定律，仅通过静力平衡条件，便可导出切应力的计算公式。
*Q b I S F z z
=τ
这就是弯曲切应力的一般表达式。
式中*z s 为横截面上所求切应力作用点的水平横线以下（或以上）部分截面积对中性轴的面积矩；Q F 为所要求切应力横截面上的剪力；b 为所求切应力点处的截面厚度；z I 为横截面对中性轴的惯性矩。 对矩形截面梁 )y -4h (6 22
3Q bh F =τ。可见，矩形截面梁横截面上的切应力沿截面高度
按抛物线规律分布，上下边缘点处切应力为零，中性轴处切应力最大。
二、工程中常用截面的最大弯曲切应力
1． 矩形截面梁的最大弯曲切应力
ττ5.123 23Q max ===A F bh F Q
2．工字形截面梁的最大弯曲切应力
工字形截面梁由腹板和翼缘组成。横截面上的剪力绝大数由腹板承担，极少数由翼缘承担。对于腹板上的切应力仍可由公式
*Q b I S F z z =
τ计算，腹板上的最大切应力可由下式计算 )(max max ∙=
Z Z Q S I b F τ
式中，b 为工字钢板厚度。
3.圆形截面梁的最大弯曲切应力 半径为R 的圆截面梁，其最大切应力为：
τπτ3434342Q max ===A F R F Q
§4-5 平面应力状态分析
平面应力状态的应力分析，也就是根据处于平面应力状态的点处某些截面上的已知应力确定通过该点其他截面上的应力，进而确定主应力和主平面。
一、任意方向面上的应力
=ασ++2y
x σσ2y
x σσ--α2cos x τα2sin
ατ＝2y
x σσ-α2sin x τα2cos
单元体上任意两个互相垂直方向面上的正应力之和为常数。
二、主应力和主平面
主平面的方位角0α按下式计算：
tg2-=0αy x x
σστ-2
主应力计算公式：
=⎭⎬⎫j i σσ2y x σσ+±22)2(x y x τσσ+-
将由上式求得的两个主应力i σ、
j σ与单元体零应力面上的零值主应力比较，便可确定
三个主应力1σ、2σ和3σ。
三、应力圆 应力圆绘制在以σ为横坐标，τ为纵坐标的直角坐标系中，圆心坐标为（
2y
x σσ+，0），半径为22)2(x y
x τσσ+-。
⒉应力圆的作图方法
取τσ-直角坐标系；选择适当的比例尺量取横坐标OB1=x σ，纵坐标B1Dx=x τ，得点x D ；同理，量取横坐标OB2=y σ，纵坐标B2Dy=y τ，得点y D （如图4-5-3b 所示）；连x D y D ，与σ轴交于C 点，以C 点为圆心，x CD （或
y CD ）为半径作圆，即得单元体对应的应力圆。
⒊应力圆的应用
⑴确定单元体任意斜截面上的应力 若欲求单元体α面上的应力,可自应力圆上的x D 点按照单元体上α角的转向沿圆周转2α角至E 点，E 点的横、纵坐标值就代表了α面上的正应力ασ和切应力ατ。
应力圆与单元体存在着如下对应关系：
①点面对应——应力圆圆周上任一点的横、纵坐标值分别对应着单元体对应截面上的正应力和切应力。圆上任一直径两端点的坐标对应着单元体上互相垂直的两个平面上的应力。
②夹角两倍，转向相同——应力圆圆周上任意两点所引半径的夹角为单元体上对应两个截面外法线之间的夹角的两倍，而且二者的转向相同。
利用应力圆解题的关键是：点面对应，先找基准。若应力圆上以x D 点为基准，则单元体上应以x 面为基准。
（2）确定主应力的大小和主平面的位置
应力圆与σ轴的两个交点A1和A2的横坐标值分别为最大和最小，纵坐标值为零，这两个点分别对应着单元体上的两个主平面，因此这两个点的横坐标分别代表着两个主平面上的主应力大小。
主平面的位置也可以由应力圆来确定，在应力圆上以x D 点为基准，由x D 点沿圆周转至
A1点（或A2点）所对的圆心角为20α（注意2 900±≤α），则在单元体上应以x 面为基
准，由其外法线x 以相同的转向转角度0α（ 450≤α），这样就确定了i σ（或j σ）所在主
平面的外法线。在应力圆上由A1点到A2点所对圆心角为 180，则在单元体上，两个主应力i σ和j σ所在主平面的外法线之间的夹角为
90，说明两个主平面互相垂直。 由确定主平面位置的解析式解出的两个角度0α和0α/= 900+α，分别代表着i σ和j
σ的方向。若仅用解析式计算时，哪个角代表i σ的方向，哪个角代表
j σ的方向，还需加以判断。经分析可知，较大的主应力i σ总是偏向于x σ和y σ之中的较大者；较小的主应力j σ总
是偏向于x σ和y σ之中的较小者。当x σ＝y σ时， 450±=α，主应力方向可直接由单元体
上的切应力指向判断。为便于记忆，上述规则可用口诀表述为：“大偏大，小偏小，夹角不比
45大”。
§4-6 受力构件内一点处的最大应力
通过受力构件内任意一点处的最大正应力max σ和最大切应力max τ，都可以由该点的最大主应力1σ和最小主应力3σ所作的应力圆来确定，最大正应力max σ也就是最大主应力1σ，最大切应力max τ为最大应力圆的半径，即：
max σ=1σ
23
1max σστ-=
最大切应力max τ所在平面与2σ平行，且与1σ和3σ所在的主平面各成 45角。
上述结论同样适用与单向和二向应力状态。
§4-7 各种基本变形杆件的应力状态
一、轴向拉压杆件的应力状态分析
轴向拉伸杆件内任一点处于单向应力状态。
轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上，该截面上不存在切应力。
轴向拉压杆件的最大切应力发生在45°斜截面上，该斜截面上同时存在正应力。 轴向拉压杆件纵截面上不存在任何应力。
二、扭转杆件应力状态分析
扭转圆杆内任一点除了轴线上的点处无应力外，其余各点处于纯切应力状态。
扭转圆杆的最大切应力发生在横截面上，该截面上不存在正应力。
三、梁的应力状态分析
在梁的任一横截面m-m 上，梁顶和梁底处的单元体均处于单向应力状态。中性层处的单元体处于纯切应力状态。梁顶、梁底与中性层之间各点处的单元体均为一般二向应力状态。
四、主应力轨迹线的概念
所谓主应力轨迹线，是两组正交的曲线；其中一组曲线是主拉应力轨迹线，在这些曲线上，每点的切线方向表示该点的主拉应力方向；另一组曲线是主压应力轨迹线，在这些曲线上，每点的切线方向表示该点的主压应力方向。
梁的主应力轨迹线有如下特点：主拉应力轨迹线和主压应力轨迹线互相正交；所有的主应力轨迹线在中性层处与梁的轴线夹45°；在弯矩最大而剪力等于零的截面上，主应力轨迹线的切线是水平的；在梁的上、下边缘处，主应力轨迹线的切线与梁的上、下边界线平行或正交。绘制主应力轨迹线时，可先将梁划分成若干细小的网格，计算出各节点处的主应力方向，再根据各点主应力的方向，即可描绘出主应力轨迹线。
§4-8 组合变形杆内危险点的应力状态分析
一、弯弯组合变形梁内危险点的应力状态
弯弯组合变形的情况有斜弯曲和双向弯曲两种情况，这两种情况都可以分解为两个方向的平面弯曲。
根据弯弯组合变形梁两个平面内的弯矩图可确定危险截面。
应用叠加法原理可确定危险截面上的危险点，并可计算出危险点处的应力值。
弯弯组合变形梁内危险点的应力状态通常是单向应力状态。
二、拉（压）弯组合变形杆内危险点的应力状态
拉（压）弯组合变形的情况有一般的拉（压）弯组合、偏心拉伸、偏心压缩等，这几种情况都可以分解为轴向拉伸（或轴向压缩）和一个或两个平面弯曲。
根据拉（压）弯组合变形杆的轴力图和弯矩图可确定危险截面。
应用叠加法原理可确定危险截面上的危险点，并可计算出危险点处的应力值。
拉（压）弯组合变形杆内危险点的应力状态通常是单向应力状态。
三、受压杆件的截面核心
对于受压杆件，当压力作用在截面形心处时，杆件轴心受压，发生的变形是轴向压缩变形；当压力作用点偏离截面形心时，杆件偏心受压，发生的变形是压弯组合变形。
对于受压杆件，当压力作用在横截面形心周围的某一区域内时，横截面上就只产生压应力而不出现拉应力，这一区域称为截面核心。
四、弯扭组合变形杆内危险点的应力状态
弯扭组合变形可以分解为扭转变形和一个或两个方向的平面弯曲。
根据弯扭组合变形杆的扭矩图和弯矩图可确定危险截面。
应用叠加法原理可确定危险截面上的危险点，并可计算出危险点处的应力值。
弯扭组合变形杆内危险点的应力状态通常是一般的二向应力状态。
第七章应力状态及应变状态分析
第七章 应力状态及应变状态分析 第一节 概 述 在第一章中将应力定义为内力的集度或单位面积的内力值。应力又分正应力 σ和剪应力τ两种。前面各章的知识表明，受力杆件中任一点的应力是随截面位置 及点的位置的不同而不同，如7-1（a ）中a 、b 两点分别在两个截面上，其应力是不同的。同一截面上的各点，如图7-1（b ）中b 、c 两点的应力一般情况下也是不 同的。同一点不同方向的应力也是不同的。过一点各个方向上的应力情况称为该点的应力状态．．．．，应力状态分析就是要研究杆件中某一点（特别是危险点）各个方向上的应力之间的关系，确定该点处的最大正应力和最大剪应力，为强度计算提供重要依据。 研究应力状态的方法是过杆件中的任一点取出一个微小的六面体——单元．．体． 。如图7-1（a ）中过a 点取出的单元体放大如图7-2所示。单元体三个方向的边长很小且趋于零，则该单元体代表一点，即a 点，互相平行的平面上的正应力相等，剪应力也相等。杆件在任意荷载作用下，从中所取出的单元体表面上一般既有正应为又有剪应力，如图7-2所示。 当图7-2所示的单元体各面上的,0,0,0,0,0,0======zy zx yx yz xz xy ττττττ 即六个面上均没有剪应力作用时，这种面叫做特殊平面，并定义为主平面．．． 。该主(a) (b) 图7-1各点的应力情况
平面上作用的正应力称为主应力．．．，用,,,321σσσ表示（,321σσσ≥≥），如图7-3所示。各面均为主平面的单元体，称为主单元体．．．．。 三个主应力中若有两个等于零一个不等于零，该单元体称为单向应力状态．．．．．．，如图7-4（a ）；三个主应力中有一个等于零，两个不等于零，该单元体称为二向应．．．力状态．．．，如图7-4（b ）；三个主应力均不等于零，该单元体称为三向应力状态．．．．．．，如7-3。单向应力状态和二向应力状态属平面应力状态，三向应力状态属空间应力状．．．．．态．。单向应力状态又称为简单应力状态．．．．．．，二向三向应力状态又称为复杂应力状态．．．．．． 。 若从受力杆件中取出的单元体（如图7-5）各面都没有正应力，而单元体承受侧面（abb ′a′）上分布的剪应力x τ作用，为了满足0=∑y 的平衡条件，则在另一个侧面（cdd′c′）上必须作用有大小相等且方向相反的剪应力，但是这一对剪应力的合力组成一个力偶，对轴z 会产生力偶矩，那么，上、下两个平面(ac c ′a′, bdd′b′）上也应有剪应力y τ组成一个对z 轴的力偶矩，以保持单元体的平衡，并且由推导 y z 1 图7-2 单元体 图7-3 三向应力状态 (a) (b) 图7－4 单向、二向应力状态
工程力学-应力状态与应力状态分析
8 应力状态与应变状态分析 1、应力状态的概念， 2、平面应力状态下的应力分析， 3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。 （1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为: 321σσσ≥≥ 最大切应力为 13 2 max σστ-= （2）任斜截面上的应力 α τασσσσσα2sin 2cos 2 2 xy y x y x --+ += α τασστα2cos 2sin 2 xy y x +-= （3) 主应力的大小 2 2min max )2 ( 2 xy y x y x τσσσσσ+-±+= 主平面的方位 y x xy tg σστα--= 220 4、主应变 12 2122x y x y xy xy x y ()()tg εεεεεεγγϕεε⎡ = +±-+⎣ = - 5、广义胡克定律
)]( [1 z y x x E σσμσε+-= )]([1 x z y y E σσμσε+-= )]([1 y x z z E σσμσε+-= G zx zx τγ= G yz yz τγ= ， G xy xy τγ= 6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。” 8.1 试画出下图8.1(a)所示简支梁A 点处的原始单元体。 图8.1 [解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A 点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy 平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A 点偏上和偏下的一对与xz 平行的平面。截取出的单元体如图8.1(d)所示。 (2)分析单元体各面上的应力: A 点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A 点的坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面的应力为： z M y I σ= b I QS z z *=τ 由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ ；前后边面为自由表面，应力为零。在单元 解题范例
应力状态概念
应力状态概念 一、应力的定义和分类 1. 应力的定义 应力是力对物体单位面积的作用。即使物体本身并不发生运动，仍然可以存在应力。应力的量纲是力除以面积，单位常用帕斯卡（Pa）来表示。 2. 应力的分类 根据作用力的特点和方向，应力可以分为以下几种类型： •拉应力（tensile stress）：作用力是拉伸物体的方向，使物体变长。 •压应力（compressive stress）：作用力是压缩物体的方向，使物体变短。•剪应力（shear stress）：作用力是平行于物体表面的方向，使物体发生形变。 •弯应力（bending stress）：作用力使物体弯曲。 二、应力与强度 1. 应力与材料的强度 应力与材料的强度密切相关。强度是指材料所能承受的最大应力。当材料的应力超过其强度时，材料就会发生破坏。 2. 不同材料的强度差异 不同材料具有不同的强度特性。一般而言，金属材料的强度较高，而塑料等非金属材料的强度较低。
三、应力的计算方法 1. 基本应力计算方法 基本应力的计算方法根据材料的受力情况而定。对于不同的受力情况，我们采用不同的计算方法。 •拉伸应力的计算公式为：stress = force / area •压缩应力的计算公式为：stress = -force / area •剪切应力的计算公式为：stress = force / area •弯曲应力的计算公式为：stress = M * y / I 其中，force表示受力大小，area表示受力区域的面积，M表示弯矩，y表示弯曲点到中性轴的距离，I表示截面的惯性矩。 2. 组合应力的计算方法 组合应力是指不同方向的应力同时作用在材料上的情况。对于组合应力，我们需要将不同方向的应力进行合成。 •对于平面应力状态下的组合应力，可以使用莫尔圆的方法进行计算。 •对于空间应力状态下的组合应力，可以使用三维应力变换公式进行计算。 四、应力的效应 1. 弹性效应 当施加的应力作用在材料上时，材料会产生弹性变形。当应力去除后，材料会恢复原状。这种应力引起的变形称为弹性变形。 2. 塑性效应 当施加的应力超过材料的屈服强度时，材料会发生塑性变形。即使应力去除，材料也无法完全恢复原状。
材料力学应力分析知识点总结
材料力学应力分析知识点总结应力是材料力学研究中的关键概念之一，它描述了物体内部的受力 状态。在材料力学中，应力分析是十分重要的，它使我们能够了解材 料在受力时的行为和特性。本文将对材料力学应力分析的相关知识点 进行总结，包括概念、分类和计算方法等。 一、应力的概念 应力是指材料内部单位面积上的力，用符号σ表示，单位为帕斯卡（Pa）。在力学中，应力可分为正应力、剪应力和法向应力等几种形式。正应力是垂直于截面方向的应力，常用符号σ表示；剪应力是平 行于截面方向的应力，常用符号τ表示；法向应力是指垂直于截面的应力，也可称为径向应力。 二、应力的分类 根据受力方向不同，应力可分为一维、二维和三维应力。一维应力 是指只在一条方向上有应力存在，例如拉伸或压缩，常用符号σ表示。二维应力是指在平面内有应力存在，常见的有正应力和剪应力。三维 应力是指在空间内存在应力，常用符号σx、σy和σz表示。 三、应力的计算方法 1. 一维应力的计算方法： 对于拉伸应力，应力值可通过应力公式σ = F/A计算，其中F为 作用在物体上的力，A为力作用的截面面积。
对于压缩应力，计算方法与拉伸应力相同，但结果为负值。 2. 二维应力的计算方法： 对于正应力，可通过计算垂直于所考察点（x,y）的方向上的力除以相应的面积得到。例如，正应力σx可通过计算剪断力F除以剪断面积A得到。 对于剪应力，计算方法是计算平行于所考察点的方向上的力除以相应的面积。例如，剪应力τxy可通过计算平行于x方向的力除以垂直于该方向的长度得到。 3. 三维应力的计算方法： 在三维应力情况下，应力的计算稍显复杂，在此不再详述。但通常可以通过应力分量之间的关系进行计算，例如通过Mohr圆进行图解分析。 四、应力分析的应用 应力分析在工程实践中具有广泛的应用，特别是在结构力学、材料力学和土木工程中。通过对材料的应力分析，我们可以了解材料在不同应力下的表现，为工程设计和材料选型提供指导。 在结构力学中，应力分析是设计安全和可靠结构的关键步骤之一。通过对结构中各个部位的应力进行分析，确定结构是否满足强度和稳定性等要求。
应力与应力状态分析
应力与应力状态分析 拉伸模量 拉伸模量是指材料在拉伸时的弹性，其计算公式如下： 拉伸模量（㎏/c ㎡)=△f/△h(㎏/c ㎡) 其中，△f 表示单位面积两点之间的力变化，△h 表示以上两点之间的应变化。更具体地说，△h ＝（L-L0）/L0，其中L0表示拉伸长前的长度，L 表示拉伸长后的长度。 §4-1 几组基本术语与概念 一、变形固体的基本假设 1、均匀连续性假设：假设在变形固体的整个体积内均匀地、毫无空隙地充满着物质，并且各点处的力学性质完全相同。 根据这一假设，可从变形固体内任意一点取出微小单元体进行研究，且各点处的力学性质完全相同，因而固体内部各质点的位移、各点处的内力都将是连续分布的，可以表示为各点坐标的连续函数。 2、各向同性假设：假设变形固体在所有方向上均具有相同的力学性质。 3、小变形假设：认为构件的变形与构件的原始尺寸相比及其微小。 根据小变形假设，在研究构件上力系的简化、研究构件及其局部的平衡时，均可忽略构件的变形而按构件的原始形状、尺寸进行计算。 二、应力的概念 1、正应力的概念 分布内力的大小（或称分布集度），用单位面积上的内力大小来度量，称为应力。 由于内力是矢量，因而应力也是矢量，其方向就是分布内力的方向。 沿截面法线方向的应力称为正应力，用希腊字母σ表示。 应力的常用单位有牛/米2 （2/m N ，12/m N 称为1帕，代号a P ）、千米/米2（2/m KN ，12/m KN 称为1千帕，代号K a P ），此外还有更大的单位兆帕（M a P ）、吉帕（G a P ）。 几种单位的换算关系为：
1 K a P =310a P 1 M a P =310K a P 1 G a P =310M a P =610K a P =910a P 2、切应力与全应力的概念 与截面相切的应力分量称为切应力，用希腊字母τ表示。 K 点处某截面上的全应力K p 等于该点处同一截面上的正应力K σ与切应力K τ的矢量和。 三、位移、变形及应变的概念 变形：构件的形状和尺寸的改变。 位移：构件轴线上点的位置变化和截面方位的改变。 变形和位移的关系：构件的变形必然会使结构产生位移，但结构的位移不一定是由构件的变形引起的，温度变化、支座移动等也会使结构产生位移。 单元体：围绕构件内某一点截取出来的边长为无限小的正六面体。 应变：描述单元体变形程度的几何量，包括线应变和角应变两类。 线应变（正应变）ε：单元体线性尺寸的相对改变量。ε=Δu / u 角应变（切应变）γ：单元体上直角的改变量。γ= 90°- θ 应力与应变的对应关系：正应力σ与正应变ε相互对应；切应力τ与切应变γ相互对应。 四、受力构件内一点处的应力状态的概念 构件内某点处的应力状态，是指通过该点的各个不同方位截面上的应力情况的总体。 研究应力状态，对全面了解受力杆件的应力全貌，以及分析杆件的强度和破坏机理，都是必需的。 为了研究一点处的应力状态，通常是围绕该点取一边长为无限小的正六面体，即单元体。 主平面：单元体上没有切应力的面称为主平面。 主应力：主平面上的正应力称为主应力。 可以证明，通过一点处的所有方向面中，一定存在三个互相垂直的主平面（即一定存在主单元体），因而每一点都对应着三个主应力。 一点处的三个主应力分别用σ1 , σ2 和σ3来表示，并按应力代数值的大小顺序排列，即σ1≥σ2≥σ3。 原始单元体：从一点处取出的各面上应力都已知的单元体，称为该点的原始单元体。对于杆件，通常用一对横截面和两对互相垂直的纵截面截取原始单元体。 主单元体：各面上没有切应力的单元体称为主单元体。 应力状态的分类： 空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零 平面（二向）应力状态：一个主应力为零 单向应力状态：两个主应力为零
第七章 应力状态分析与强度理论
第七章 应力状态分析与强度理论 内容提要 一、应力状态分析 Ⅱ、应力状态分析是通过围绕构件内一点截取出的单元体(如图7-1)进行分析的，单元体的三个边长同时趋于零，即单元体是无 限小的，单元体代表构件中的一个点。因此，单元体的每个面上的 应力均匀分布，且互相平行面上相应的应力大小相等方向相反。 Ⅲ、平面应力状态分析 1、解析法 外法线为z 的面(称为z 面)上没有应力，通常为平面应力状态(图7-2a )，图7-2b 为其投影图，正应力仍以拉应力为正，压应力为负； 切应力绕单元体内任一点错动针错动为正，反之为负。由x 方向逆时针转至斜截面外法线n 的α为正，反之为负(图7-2d )。 当已知x σ、x τ、y σ、y τ时，通过单元体的ebf 部分力(应力乘以相应微面积)的平衡条件，求出ασ、ατ(千万不能用应力平衡条件，因为应力是分布内力的集度，而不是力)的结果为： cos 2sin 22 2 x y x y x ασσσσσατα+-= + - (7-1) sin 2cos 2 2 x y x ασστατα-= + (7-2) 2、应力圆 ▲已知x σ+、x τ+、y σ+、y τ-，且x σ>y σ。求ασ、ατ(图7－3a )，其作法为，由x 面上的应力x σ、x τ确定x D 点，由y 面上的应力y σ、y τ确定y D 点，x D 和y D 的连线交σ轴于C 点，以C 为圆心，x CD (或y CD )为半径画圆，由x CD 逆时针旋转2α至CD α，D α点横坐
标为ασ，纵坐标为ατ。如图7-3b 所示。应力圆的圆心为C( 2 x y σσ+，0) ，半径为 R = ▲应力圆上点的坐标和单元体截面上的应力一一对应，称为点面对应关系。 应力圆上两点间圆弧的圆心角为2α，单元体上相应两截面法外的夹角为α，且转向一致，称为两倍角转向一致关系。 ▲切应力等于零的平面为主平面，主平面上的正应力为主应力。可以证明一般情况下单元体存在三个主应力，按其代数值排列顺序为 123123σσσσσσ≥≥⊥⊥ 且 (7-3) ▲图(7-3b)所示应力圆上1A 、2A 的切应力等于零，则1OA 、2OA 为图(7-3a)所示单元体的主应力。由应力圆可见： 11222 2x y x y OA OC CA OA OC CA σσσσσσ?+?'==+= +?? ??+''==-=? ?? (7-4) 按主应力顺序排列为 1σσ'=，2σσ''=，30σ= 应注意以上主应力排列顺序，是针对(图7-3a)所示单元体的。一般情况下，应先由(7-4)式计算σ'和σ''，连同一个为零的主应力，按其代数值进行排序。 ▲由(7-4)式和(7-1)可得 () 1290x y αασσσσσσ++=+=+ (7-5) 单元体上两上互相垂直截面上的正应力之和等于常量。 ▲主平面方位 由图7-3b 所示的应力圆，可见 02tan 2 x x y τασσ-= - (7-6)
预应力混凝土中的应力状态分析与计算
预应力混凝土中的应力状态分析与计算 一、引言 预应力混凝土是一种特殊的混凝土结构体系，其特点是在混凝土成型 前设置预应力钢筋，以在混凝土固化后施加预应力，以达到增强混凝 土受力能力和延长混凝土使用寿命的目的。预应力混凝土结构体系中，预应力钢筋所施加的预应力会对混凝土产生一定的应力状态，本文将 对预应力混凝土中的应力状态进行分析与计算。 二、预应力混凝土中的应力状态 1. 应力状态的定义 应力状态是指物体内部存在的应力分布状态，包括正应力、剪应力、 轴向应力等。 2. 预应力混凝土中的应力状态 预应力混凝土中的应力状态是由预应力钢筋所施加的预应力和混凝土 自重、活荷载等所引起的应力状态组成。预应力钢筋所施加的预应力 会对混凝土产生拉应力，使混凝土内部形成压应力。同时，混凝土的
自重和活荷载会对混凝土产生压应力。 三、预应力混凝土中应力状态的计算 1. 预应力钢筋所施加的预应力计算 预应力钢筋所施加的预应力与钢筋的应力、钢筋的弹性模量、钢筋的伸长量、钢筋的截面积等因素有关。预应力钢筋所施加的预应力的计算公式如下： $F_p = E_p A_p \epsilon_p$ 其中，$F_p$为预应力钢筋的预应力；$E_p$为钢筋的弹性模量；$A_p$为钢筋的截面积；$\epsilon_p$为钢筋的伸长量。 2. 混凝土内部应力的计算 混凝土内部应力的计算需要考虑混凝土受到的预应力、自重和活荷载等因素。计算时需要先计算出混凝土内部的应力分布状态，然后再进行应力的计算。 (1) 预应力钢筋所施加的预应力产生的应力
预应力钢筋所施加的预应力会使混凝土内部形成拉应力和压应力。在预应力钢筋周围的混凝土中，拉应力的大小为： $\sigma_{p}=\frac{F_{p}}{A_{p}}$ 其中，$F_p$为预应力钢筋的预应力；$A_p$为钢筋的截面积。 在预应力钢筋周围的混凝土中，压应力的大小为： $\sigma_{c}=-\frac{F_{p}}{A_{c}}$ 其中，$A_c$为混凝土的截面积。 (2) 混凝土自重产生的应力 混凝土自重会对混凝土内部产生压应力，压应力的大小为： $\sigma_{self}=-\frac{G}{A_{c}}$ 其中，$G$为混凝土的自重。 (3) 活荷载产生的应力
第九章 应力、应力状态分析(习题解答)
8-9 矩形截面梁如图所示，绘出1、2、3、4点的应力单元体，并写出各点的应力计算式。 解：(1)求支反力R A =1.611KN,R B =3.914KN (2)画内力图如图所示。 τ x Pl (-) (+) Pl M kN ·m) P P y y (-) (-) (+) 3) V kN) 题8-9图 (3) 求梁各点的正应力、剪应力： (4)画各点的应力单元体如图所示。 9-1 试用单元体表示图示构件的A 、B 的应力单元体。 （a ）解：（1）圆轴发生扭转变形，扭矩如图所示。 111m ax 2 222223 3 333 3m ax 442 330 ,22(')[( )] 4 4 8 114 ()12 12 00 (0,0) 16Z Z Z Z z V p A b h h h h P P b M V S P l h y I I b b h b h b M S M P l W b h σττστστστ==-=- ?=-??-???-?= ?= ? = = ??????=====- =- =??
x x 80A -+ 160 80 T (kN ·m ) （2）绘制A 、B 两点的应力单元体： A 、 B 两点均在圆轴最前面的母线上，横截面上应力沿铅垂方向单元体如图所示： 3 3 160 1020.216 80 510.2 16 A A t b B t T Pa kPa W T Pa kPa W τπτπ= = =?= = =-? （b ）解：（1）梁发生弯曲变形，剪力、弯矩图如图所示。 -+ 120 V kN) 40 M kN ·m) + 120 40 20 60 题9-1（b ）
应力和应变分析
应力和应变分析 应力和应变分析是材料力学中非常重要的一项内容，它们研究材料在 外力作用下的变形行为。应力是表征材料单位面积内的力的大小，而应变 则是描述材料单位长度内的变形程度。应力和应变的分析可以帮助我们理 解材料的强度和刚度，以及材料在不同条件下的变形和破坏机制。本文将 从应力和应变的定义、材料的本构关系和应变测量等方面进行探讨。 首先，应力的定义为单位面积内的力的大小，常用符号为σ，其计 算公式为σ=F/A，其中F为施加力的大小，A为力作用的面积。应力的单 位通常为帕斯卡（Pa），1Pa等于1N/m^2、根据作用力的不同方向，应力 又可以分为正应力和剪应力。正应力是垂直于材料截面的力，剪应力则是 在材料截面上平行于切平面的力。 其次，应变是材料受力后发生的形变程度，常用符号为ε，其计算 公式为ε=ΔL/L0，其中ΔL为长度的增量，L0为力作用前的长度。应变 的单位为无量纲。类似于应力，应变也有正应变和剪应变之分。正应变是 材料在力作用下产生的沿体积方向的变化，剪应变则是在截面上平行于剪 切力方向的变化。 应力和应变之间的关系可以通过材料的本构关系来描述。材料的本构 关系是材料在应力与应变之间的函数关系，通常以应力-应变曲线的形式 表示。根据材料的性质不同，应力-应变曲线可以分为线性区、弹性区、 屈服区、塑性区和断裂区。在线性区内，应力和应变呈线性关系，材料具 有良好的弹性行为。在弹性区内，材料回复到原始形状，没有永久性变形。当应力超过一定的值时，材料进入屈服区，出现塑性变形。塑性区内，材 料的应变增大，但没有太大的应力增加。当材料无法再承受应力引起继续 塑性变形时，出现断裂。
工程力学-应力状态与应力状态分析
8 应力状态与应变状态分析 1、应力状态的概念， 2、平面应力状态下的应力分析， 3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。 （1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为: 321σσσ≥≥ 最大切应力为 13 2 max σστ-= （2）任斜截面上的应力 α τασσσσσα2sin 2cos 2 2 xy y x y x --+ += α τασστα2cos 2sin 2 xy y x +-= （3) 主应力的大小 2 2min max )2 ( 2 xy y x y x τσσσσσ+-±+= 主平面的方位 y x xy tg σστα--= 220 4、主应变 12 122x y xy x y ()tg εεεεγ?εε? = +±? = - 5、广义胡克定律 )]([1 z y x x E σσμσε+-=
)]([1 x z y y E σσμσε+-= )]([1 y x z z E σσμσε+-= G zx zx τγ= G yz yz τγ= ， G xy xy τγ= 6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。” 8.1 试画出下图8.1(a)所示简支梁A 点处的原始单元体。 图8.1 [解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A 点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy 平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A 点偏上和偏下的一对与xz 平行的平面。截取出的单元体如图8.1(d)所示。 (2)分析单元体各面上的应力: A 点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A 点的坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面的应力为： z M y I σ= b I QS z z *=τ 由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ ；前后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到A 点单元体如图8.1(d)。 8.2 图8.2(a)所示的单元体,试求（1）图示斜截面上的应力;（2）主方向和主应力，画出主单元体;（3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。 解题范例
应力状态分析与强度理论
第五章 应力状态分析与强度理论 一、 内容提要 1.应力状态的概念 1.1一点的应力状态 通过受力构件的一点的各个截面上的应力情况的集合，称为该点的应力状态。 1.2一点的应力状态的表示方法——单元体 研究受力构件内一点处的应力状态，可以围绕该点取一个无限小的正六面体，即单元体。若单元体各个面上的应力已知或已计算出，则通过该点的其他任意方位截面上的应力就可用解析法或图解法确定。 1.3主平面、主应力 单元体上切应力为零的平面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。 过受力构件内任一点总有三对相互垂直的主平面。相应的主应力用1σ、2σ、3σ来表示，它们按代数值的大小顺序排列，即321σσσ≥≥。1σ是最大主应力，3 σ是最小主应力，它们分别是过一点的所有截面上正应力中的最大值和最小值。 1.4应力状态的分类 （1）单向应力状态，只有一个主应力不为零，另两个主应力均为零； （2）二向或平面应力状态，两个主应力不为零，另一个为零； （3）三向或空间应力状态，三个主应力都不为零。 单向应力状态又称简单应力状态，二向、三向应力状态称为复杂应力状态。 2.平面应力状态分析的解析法 在平面应力状态的单元体中，有一对平面上的应力等于零，即为主平面，其 上主应力为零。可将单元体用平面图形表示，如图5-1所示。 图5-1 2.1任意α斜截面上的应力 当已知x σ、y σ、yx xy ττ=时，应用截面法，可得 α τασστα τασσσσσαα2cos 2sin 2 2sin 2cos 2 2xy y x xy y x y x +-= --+ += （5-1）
式中，正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力以对单元体内任意点的矩为顺时针转向为正，反之为负；α为斜截面外法线与x 平面外法线即x 轴间的夹角，α角从x 轴量起，反时针转向为正，反之为负。 2.2主应力 2 2 min max 22xy y x y x τσσσσσσ+??? ? ? ?-±+=??? （5-2） 式中， max σ和min σ分别表示单元体上垂直于零应力面的所有截面上正应力的最大值和最小值。它们是三个主应力中的两个，而另一个主应力为零。三个主应力 m ax σ、min σ和0要按代数值大小排列，分别用1σ、2σ、3σ表示。 2.3主平面的方位角0α 主平面与x 轴间的夹角0α可按下式计算 y x xy tg σ-στ- =α220 （5-3） 由上式可确定两个主平面的方位角0α和 900+α，其中当y x σ≥σ时，0α主平面上的主应力为max σ， 900+α主平面上的主应力为min σ； 当y x σ<σ时，0α主平面上的主应力为min σ， 900+α主平面上的主应力为max σ。 3．平面应力状态分析的图解法 图5-2 3.1应力圆 方程 2 2 2 2 22xy y x y x τ+??? ? ? ?σ-σ=τ+???? ? ?σ+σ-σαα
二向应力状态分析的解析法
二向应力状态分析的解析法 二向应力状态分析的解析法 [知识回顾] 基本变形下的强度条件:(板书) FNmax1、拉压 ,,,[,]maxA 正应力强度条件 Mmax2、弯曲 ,,,[,]maxW *FSsz ,,,[,]maxbIz3、扭转剪应力强度条件 T,,,[,]max Wt [教学导入] 特点: 以上强度条件考虑了危险点上只有正应力或只有剪应力的情况，即单向应力状态;当考虑的点上既有 正应力又有剪应力时，就不能用单向应力状态理论来建立强度条件，需要用强度理论来建立强度条件 [新课教学] 材料力学教案力学教研室于月民 二向应力状态分析的解析法一、应力状态的概述 (一)一点处的应力状态(ppt) 1、
不同截面上,各点的应力不同 F2F ,,,,12AA 2、 横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明:同一横截面上,不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。 3、 F横截面上: ,,,,0A F22,,cos,,,cos,,斜截面上: A ,F,,sin2,,sin2,, 2A2 同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。
点的应力状态:(State of the Stresses of a Given Point) 通过受力构件内某一点的不同方向面上的应力的集合，称之为这一点的应力状态 1 材料力学教案力学教研室于月民 (二)点的应力状态的表示(板书) 1、单元体:围绕所考查的点，取三方向上尺寸无穷小的正六面体。 特点:1、各面上应力均匀分布 2、相互平行的面上应力值相等 如:轴向拉伸杆中过A取单元体， 1)横、纵取 F左右二面是杆横截面的一部分: ,,xA ,,0上下和前后面都平行轴线: 2)若与横纵成α角截取 四个侧面与轴线即不平行也不垂直是斜截面，其上有正应力和剪应力 2,,,cos,,x
弹性力学_第二章__应力状态分析
第二章应力状态分析 一、内容介绍 弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。 应力状态是本章讨论的首要问题。由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。因此，一点各个截面的应力是不同的。确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。 本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。 二、重点 1、应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量； 2、平衡微分方程与切应力互等定理； 3、面力边界条件； 4、应力分量的转轴公式； 5、应力状态特征方程和应力不变量； 知识点： 体力；面力；应力矢量；正应力与切应力；应力分量；应力矢量与应力 分量；平衡微分方程；面力边界条件；主平面与主应力；主应力性质； 截面正应力与切应力；三向应力圆；八面体单元；偏应力张量不变量； 切应力互等定理；应力分量转轴公式；平面问题的转轴公式；应力状态 特征方程；应力不变量；最大切应力；球应力张量和偏应力张量 §2.1 体力和面力 学习思路:
本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。 应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。 体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。 面力矢量用F s表示，其分量用F s i（i=1，2，3）或者F s x、F s y和F s z表示。 体力和面力分量的方向均规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。 学习要点： 1、体力； 2、面力。 1、体力 作用于物体的外力可以分为两种类型：体力和面力。 所谓体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。 面力是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，物体之间的接触力等。为了表明物体在xyz坐标系内任意一点P 所受体力的大小和方向，在P点的邻域取一微小体积元素△V，如图所示 设△V 的体力合力为△F，则P点的体力定义为 令微小体积元素△V趋近于0，则可以定义一点P的体力为
工程力学之应力状态分析和强度计算
工程力学之应力状态分析和强度计算 工程力学是研究物体受力和变形规律的学科，其基础之一就是应力状态分析和强度计算。应力状态分析主要是通过计算和评估物体内部的应力分布情况，强度计算则是根据应力状态来确定物体的强度和稳定性。 应力状态分析是力学中的一个重要步骤，它不仅可以用来评估物体的受力情况，还可以为工程设计提供依据。在进行应力状态分析时，首先需要确定物体所受的外力，然后利用力学原理和相关公式计算物体内部的应力分布。具体来说，首先我们需要确定物体所受的外力，包括静力、动力以及热力等，这些外力会作用在物体的不同部位上。然后，通过应用牛顿第二定律、平衡方程等力学原理，可以计算得到物体内部的应力分布情况。在实际工程中，通常使用数值计算方法来解决这些力学方程，比如有限元法和边界元法等。 强度计算则是根据应力状态来评估物体的强度和稳定性，以确定物体是否满足设计和使用要求。在进行强度计算时，首先需要确定物体的强度参数，比如抗拉强度、屈服强度、抗剪强度等。然后，根据物体所受的应力状态，通过应力分析和计算，可以得到物体内部的应力大小。接下来，比较物体内部的应力和其强度参数，就可以判断物体是否安全和稳定。 应力状态分析和强度计算在各个工程领域中都有广泛的应用。在土木工程中，它可以用来评估建筑物、桥梁和道路等结构的受力情况，以确保它们的安全使用。在机械工程中，它可以用来评估机械零件和设备的强度和稳定性，以确保它们能够正常
工作。在航空航天工程中，它可以用来评估飞机和航天器在各种飞行状态下的受力情况，以确保它们在高速和极端环境下的安全性。 总之，应力状态分析和强度计算是工程力学的重要内容，它们不仅可以为工程设计提供依据，还可以用来评估物体的强度和稳定性。在实际应用中，我们可以通过数值计算的方法来解决应力分析和强度计算问题，从而确保工程项目的安全性和可靠性。在工程实践中，应力状态分析和强度计算是非常重要的步骤，涉及到许多领域，如结构工程、材料工程、土木工程等。下面将重点介绍这两个方面的应用。 应力状态分析是通过计算和评估物体内部应力分布情况来研究物体的受力状态。在结构工程中，应力状态分析常常用于评估建筑物、桥梁、水坝等的受力情况。通过对建筑物的结构进行应力分析，可以确定主要受力构件的应力分布情况，以评估其承载能力和安全性。同样，在桥梁设计中，应力状态分析可以帮助工程师确定桥梁梁体和桥墩的应力分布及变形情况，从而更好地设计和改进桥梁结构。 在材料工程中，应力状态分析也非常重要。材料的力学性能与应力状态密切相关，了解材料受力情况可以帮助我们设计和选择合适的材料。例如，在机械设计中，对零件进行应力状态分析可以确定其所受的最大应力，从而选择合适的材料和加工工艺以满足设计要求。此外，在材料工程中，应力状态分析还可以用来确定材料疲劳寿命和断裂特性，以提高材料的可靠性和使用寿命。
材料的应力分析与变形分析
材料的应力分析与变形分析 材料的应力分析与变形分析对于工程设计和材料研究具有重要意义。通过对材料的应力和变形进行分析，可以更好地理解和预测材料在不 同条件下的力学行为，为工程设计提供可靠的依据。本文将对材料的 应力分析与变形分析进行探讨。 一、应力分析 材料的应力分析是通过施加外力或负荷在材料上产生的内部反应来 进行的。应力是指单位面积上的力，常用符号为σ。在应力分析中，常见的几种应力包括拉应力、压应力和剪应力。 拉应力是指作用于材料内部单位面积的拉力，通常用F/A表示。拉 应力能够使材料发生伸长变形，当达到一定程度时，材料可能发生拉断。压应力与拉应力相反，是指作用于材料内部单位面积的压力，常 用符号为-σ。压应力会使材料发生压缩变形，当压应力超过材料的承 受能力时，材料可能发生压碎。 剪应力是指作用在材料内部平行面上的力，剪应力使材料发生剪切 变形。剪应力能够使材料内部的相对位移产生，常用符号为τ。剪应力 的大小与作用力的大小和作用面的面积有关，通常用F/A表示。 二、应变分析 材料的应变是指材料在外力作用下发生的形变。与应力一样，应变 也可以分为拉应变、压应变和剪应变。
拉应变是指单位长度的伸长量，通常用∆L/L表示。压应变是指单位长度的压缩量，常用符号为-∆L/L。剪应变是指材料内部平行面之间的相对位移，剪应变常用符号γ表示。 在材料的应变分析中，常用的参数有伸长应变、膨胀应变和剪切应变。伸长应变是指材料在拉应力作用下发生的伸长变形，膨胀应变是指材料在压应力作用下发生的膨胀变形，而剪切应变则是指材料在剪应力作用下发生的剪切变形。 三、应力-应变关系 材料的应力-应变关系是指材料在外力作用下，其应力和应变之间的关系。不同材料具有不同的应力-应变关系，其中最为常见的是杨氏模量、屈服强度和断裂强度。 杨氏模量是指材料在弹性变形阶段，应力和应变之间的比值，通常用E表示。杨氏模量越大，说明材料的刚度越高，其弹性变形能力也越大。 屈服强度是指材料开始发生塑性变形时的应力值，常用符号为σy。当材料的应力超过屈服强度时，材料可能发生塑性变形。 断裂强度是指材料在断裂前的最大承受应力，常用符号为σf。断裂强度是评估材料抗断裂能力的重要指标，常用于材料的强度设计。 四、应力-变形分析
应力状态及应变状态分析
通过对前几章的讨论，我们已经了解了杆件在基本变形时横截面上的应力情况。实际上一点的应力情况除与点的位置有关以外，还与通过该点所截取的截面方位有关。为了讨论一点在不同截面上的应力情况，为讨论组合变形打下一定的理论基础，本章介绍：应力状态、应变状态的概念；应力状态、应变状态分析；复杂应力状态下一点的应力与应变的关系—— 广义虎克定律，复杂应力状态下的变形比能。在此基础上介绍强度理论的概念及常用的四种强度理论。 9.1 应力状态的概念 一点处的应力状态 受力构件内任意一点、在不同方位各个截面上的应力情况，称为该点处的应力状态。判断一个受力构件的强度，必须了解这个构件内各点处的应力状态，即了解各个点处不同截面的应力情况，从而找出哪个点、哪个面上正应力最大，或剪应力最大。据此建立构件的强度条件，这就是研究应力状态的目的。 通过单元体分析一点的应力状态 如上所述，应力随点的位置和截面方位不同而改变，若围绕所研究的点取出一个单元体（如微小正六面体），因单元体三个方向的尺寸均为无穷小，所以可以认为：单元体每个面上的应力都是均匀分布的，且单元体相互平行的面上的应力都是相等的，它们就是该点在这个方位截面上的应力。所以，可通过单元体来分析一点的应力状态。 主应力及应力状态的分类 包括受力构件内的某点，所截取出的单元体，一般来说，各个面上既有正应力，又有剪应力（图a ）。以下根据单元体各面上的应力情况，介绍应力状态的几个基本概念。 ①主平面如果单元体的某个面上只有正应力，而无剪应力，则此平面称为主平面。 ②主应力主平面上的正应力称为主应力。 ③主单元体若单元体三个相互垂直的面皆为主平面，则这样的单元体称为主单元体。可以证明：从受力构件某点处，以不同方位截取的诸单元体中，必有一个单元体为主单元体。主单元体在主平面上的主应力按代数值的大小排列，分别用和表示，即321σσσ≥≥（图b ）。 ④应力状态的类型若在一个点的三个主应力中，只有一个主应力不等于零，则这样的应力状态称为单向应力状态。若三个主应力中有两个不等于零，则称为二向应力状态或平面应力状态。若三个主应力皆不为零，则称为三向应力状态或空间应力状态。单向应力状态也称为简单应力状态。二向和三向应力状态统称为复杂应力状态。关于单向应力状态，已于第二章中进行过讨论，本章将重点讨论二向应力状态。 9.2 应力状态的实例 直杆轴向拉伸时的应力状态 直杆轴向拉伸时（图a ），围绕杆内任一点A 点以纵横六个截面取出单元体（图b ），其平面图则表示在图c 中，单元体的左右两侧面是杆件横截面的一部分，其面上的应力皆为 A P =σ。单元体的上、中、前、后四个面都是平行于轴线的纵向面，面上皆无任何应力。根据主单元体的定义，知此单元体为主单元体，且三个垂直面上的主应力分别为 ,0,321===σσσA P 围绕A 点也可用与杆轴线成 45 ±的截面和纵向面截取单元体（图d ），前、后面为纵向面，面上无任何应力，而在单元体的外 法线与杆轴线成 45 ±的斜面上既有正应力又有剪应力（见第二章）。因此，这样截取的单元体不是主单元体。 由此可见，描述一点的应力状态按不同的方位截取的单元体，单元体各面上的应力也就不同，但它们均可表示同一点的应力状态。 圆轴扭转时，轴的表面上任一点A 的应力状态 图9.2 直杆轴向拉伸时杆内任一点的应力状态 图应力状态的一般情况和已知三个主应力的应力状态
应力状态分类
应力状态分类 引言： 应力是指物体受到外部力作用时的一种物理量。根据物体受力的不同方式和受力后的变形程度，应力状态可以分为四种类型：拉应力、压应力、剪应力和扭应力。本文将对这四种应力状态进行详细介绍。 一、拉应力 拉应力是指物体受到外部力的拉伸作用时，在其内部产生的一种应力状态。当物体受力方向与其初始长度方向一致时，会发生拉应力。拉应力会导致物体产生正向的线性变化，即物体的长度会增加。拉应力可以通过应力-应变关系来描述，即拉应力等于物体的应变乘以杨氏模量。拉应力在工程领域中广泛应用，如在建筑结构中使用钢材来承受拉力。 二、压应力 压应力是指物体受到外部力的压缩作用时，在其内部产生的一种应力状态。当物体受力方向与其初始长度方向相反时，会发生压应力。压应力会导致物体产生负向的线性变化，即物体的长度会减小。与拉应力类似，压应力也可以通过应力-应变关系来描述，即压应力等于物体的应变乘以杨氏模量。压应力在许多工程领域中都有应用，例如在汽车制造中，轮胎受到路面的压力而产生的压应力。 三、剪应力
剪应力是指物体受到外部力的剪切作用时，在其内部产生的一种应力状态。当物体受到平行于其初始形状的剪切力时，会发生剪应力。剪应力会导致物体产生切变变形，即物体的形状会发生扭曲。剪应力可以通过剪应力等于物体的剪应变乘以剪切模量来描述。剪应力在工程领域中非常常见，如在金属加工中，剪应力用于切割金属材料。 四、扭应力 扭应力是指物体受到外部力的扭转作用时，在其内部产生的一种应力状态。当物体受到扭矩作用时，会发生扭应力。扭应力会导致物体产生扭转变形，即物体的形状会围绕中心轴旋转。扭应力可以通过扭应力等于物体的扭应变乘以扭转模量来描述。扭应力在机械工程中十分重要，如在传动装置中，扭应力用于传递转矩。 结论： 应力是物体受到外部力作用时的一种物理量，根据物体受力的不同方式和受力后的变形程度，应力状态可以分为拉应力、压应力、剪应力和扭应力。这四种应力状态在工程领域中都有重要的应用。了解和分析应力状态对于设计和优化工程结构以及预测材料的力学性能具有重要意义。因此，深入研究和理解不同应力状态的特点和影响因素，对于工程领域的发展具有重要意义。