二向应力状态分析的解析法

[知识回顾]

基本变形下的强度条件:(板书)

FNmax1、拉压 ,,,[,]maxA 正应力强度条件

Mmax2、弯曲 ,,,[,]maxW

*FSsz ,,,[,]maxbIz3、扭转剪应力强度条件

T,,,[,]max Wt

[教学导入]

特点:

以上强度条件考虑了危险点上只有正应力或只有剪应力的情况，即单向应力状态;当考虑的点上既有

正应力又有剪应力时，就不能用单向应力状态理论来建立强度条件，需要用强度理论来建立强度条件

[新课教学]

材料力学教案力学教研室于月民

二向应力状态分析的解析法一、应力状态的概述

(一)一点处的应力状态(ppt)

1、

不同截面上,各点的应力不同

F2F ,,,,12AA

2、

横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明:同一横截面上,不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。

3、

F横截面上: ,,,,0A

F22,,cos,,,cos,,斜截面上: A

,F,,sin2,,sin2,, 2A2

同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。

点的应力状态:(State of the Stresses of a Given Point)

通过受力构件内某一点的不同方向面上的应力的集合，称之为这一点的应力状态

材料力学教案力学教研室于月民 (二)点的应力状态的表示(板书)

1、单元体:围绕所考查的点，取三方向上尺寸无穷小的正六面体。

特点:1、各面上应力均匀分布

2、相互平行的面上应力值相等

如:轴向拉伸杆中过A取单元体，

1)横、纵取

F左右二面是杆横截面的一部分: ,,xA

,,0上下和前后面都平行轴线:

2)若与横纵成α角截取

四个侧面与轴线即不平行也不垂直是斜截面，其上有正应力和剪应力

2,,,cos,,x

,x ,,sin2,,2由此可见:

单元体的应力状态实质上代表一个点的应力状态，研究研究过一点的不同截面上应力变化情况，就是应力分析的内容。

取单元体的方位不同，表示出的形态不同，但二者等价。即:同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式。

2、单元体选取原则

一般以纵、横截面截取，截出的单元体各面上应力可以计算出来(由基本变形知识)。若单元体各个面上的应力已知，由平衡即可确定任意方向面上的正应力和切应力。 3、应力单元体:有应力的单元体。

(三)应力状态的分类

1、主平面:单元体上剪应力为零的平面

2、主应力:主平面上的正应力。通过任意的受力构件中任意

一点，总可以找到三个相互垂直的主平面，因此每

一点都有三个主应力，以σ，σ 和σ 表示，且 123

,,,,,123

3、主应力单元体:无剪应力的单元体

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4、单元体(应力状态)分类:(按有几个主应力不为零来分类)

1、单向应力状态(简单应力状态):

只有一个主应力不为零

2、二向应力状态(平面应力状态):

( Plane State of Stresses )

只有二个主应力不为零

复杂应力状态

3、三向应力状态(空间应力状态):

( Three-Dimensional State of Stresses ) 三个主应力都不为零

(四)知识巩固

取单元体

1、 2、

学生练习

3、

材料力学教案力学教研室于月民二、解析法

1、斜截面上应力

取一已知单元体(其上应力已知)，平面应力状态下的一般单元体(左图)，其投影(右图) 求:任意斜截面ef上的应力。

应用截面法:将其沿ef截开，保留左侧研究，并将ef上应力设成正的情形。

正应力正负号规则: 拉为正压为负

切应力正负号规则:使微元或其局部顺时针方向转动为正;反之为负。α角正负号规则:由x正向逆时针转到n正向者为正;反之为负。

微元局部的平衡方程:

,,,,,,,dA,(dAcos)cos，

(dAcos)sin，,xxyF ,0,n ,(dAsin,)cos,,,(dAsin,)sin,,0yxy ,,,,,,,dA,(dAcos)sin,(dAcos)cos，,xxyF ,0 ,t,(dAsin,)sin,，,(dAsin,) cos,,0yxy

根据剪应力互等定理，和在数值上相等，以代换，并考虑到下列三角关

系 ,,,,xyyxxyyx

1cos21sin2，,,,22cos,sin ， 2sin,cos,,sin2,,,,,22

简化两个平衡方程，得

,,,,，,xyxy ,,，cos2,,,sin2,,xy22

1 ,,,(,,)sin2,，,cos2,,xyxy2

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上式表明:

和都是的函数，即任意截面上的正应力和剪应力随截面方位的改变而变

化 ,,,,,,,,,2、主应力的极值及其所在平面的方位

为求正应力的极值，可将公式对取导数，得 ,

,,,，，,dxy, 2sin2,,cos2,,,，,,xyd2,，，

以,代入上式，并令其等于零 0

,,,xy sin2,，,cos2,,00xy02

得 ,2xy 2,,,tg0,,,xy

,,,2,,,有两个解;和，即和。因此，相差的两个角度， 902,,180,,9000000 在它们所确定的两个互相垂直的平面上，正应力取得极值。可以证明:在这两个互相垂直的平面中，一个正应力是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。

设α,α时，上式值为零，即 0

,,(,,)sin2,,2,cos2,,0xy0xy0

(σ,σ)，，xy,2sin2α，τcos2α,,2τ,0 0xy0α,,02，，

即α,α 时，切应力为零。 0

可知:正应力为极值的面是主平面，相应的正应力极值是主应力。

即主应力就是最大或最小的正应力。

正应力的最大值和最小值是:

,,，12xy2，，,,，,,,，4,maxxyxy 22

,,，12xy2 ，，,,,,,,，4,minxyxy22

材料力学教案力学教研室于月民 3、剪应力极值和方向

,d,,,,,(,)cos2,2,sin2, xyxyd,

以代入上式，令其等于零，得 ,1

(,,,)cos2,,2,sin2,,0xy1xy1

由此可得

,,,xy, 2tg,12,xy

,,可以解出两个角度值和，它们相差也为，从而可以确定两个相互垂

直 ,,9090,11

的平面，在这两个平面上分别作用着最大或最小剪应力。

剪应力的最大值和最小值是:

,,,,,xymax22 ,,()，,,xy2,min,

最大和最小剪应力的值及所在平面的方位。与正应力的极值和所在两个平面方位的对应关系相似，剪应力的极值与所在两个平面方位的对应关系是:若，则绝对值较小 ,,0xy的对应最大剪应力所在的平面。 ,1

1, tg2,,0tg2,1

所以有

,,22, ,，,，,,,,101024

,即最大和最小剪应力所在的平面的外法线与主平面的外法线之间的夹角为。

材料力学教案力学教研室于月民三、解析法的应用

例:分析受扭构件(铸铁)的破坏规律。

解:

1、确定危险点并画其原始单元体

M ,,,,0,,,,xyxyW t

2、求极值应力

,,,,,，,,xyxymax22 2,,()，,,,,,,,,xyxy22, min,

,,,;,,0;,,,,123

,2xy,, ,,,,,tg20,,,45 或,,,135 00,,,xy

3、破坏分析

圆截面铸铁扭转时，表面各点的最大正应力所在主平面联成螺旋面，由于铸铁抗拉强度较低，将沿这一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。

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材料力学教案第8章应力状态分析和强度理论

第8章应力状态分析和强度理论教学目的：通过本章学习，掌握应力状态的概念及其研究方法；会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况；会计算平面应力状态下斜截面上的应力；掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力、主方向的计算，并会排列主应力的顺序；掌握广义胡克定律；了解复杂应力状态应变能密度的计算；掌握常用的四种强度理论。教学重点：平面应力状态下斜截面上的应力计算，主应力及主方向的计算，最大剪应力的计算。教学难点：应力状态的概念，工程实际中从受力杆件中截面单元体并进行分析计算。教具：多媒体。教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。教学内容：应力状态的概念；斜截面上的应力；二向应力状态分析；广义胡克定律；复杂应力状态下的应变能密度和强度理论。教学学时：6学时。教学提纲： 8.1 应力状态的概述单向拉伸时斜截面上的应力一、为什么要研究一点的应力状态？本章与前几章在研究对象上的不同之处。回顾：内力图：N F 、T 、S F 、M -- 一根（杆、轴、梁）强度计算??? ??一面（危险截面）一段—、 —、max max max max M F T F S N 本章：应力状态— 一点。简单回顾：

拉压：强度条件：[]?????=≤=n n A F b s N σσσσ 扭转：强度条件：[]?????=≤=n n W T b s n ττττmax 弯曲：强度条件：[][]????? ????? ????? ?=≤?=?????=≤=* n n b I S F n n W M b s z z x ma S x ma b s x ma ττττσσσσmax 我们可以对构件的某一横截面进行校核，到目前为止尚不能对截面内某一点（如上图中第4点）的应力情况进行校核，因此：为了对某些复杂受力构件中既存在σ又存在τ的点建立强度条件提供依据，为实验应力分析奠定基础，我们应对构件内的任意点进行应力状态分析。通过实验来研究和了解结构或构件中应力情况的方法，称为实验应力分析。二、什么叫一点的应力状态？通过某一点的所有截面上的应力情况，或者说构件内任一点沿不同方向的斜面上应力的变化规律，称为一点的应力状态。三、怎样研究一点的应力状态？

第七章应力状态及应变状态分析

第七章应力状态及应变状态分析第一节概述在第一章中将应力定义为内力的集度或单位面积的内力值。应力又分正应力 σ和剪应力τ两种。前面各章的知识表明，受力杆件中任一点的应力是随截面位置及点的位置的不同而不同，如7-1（a ）中a 、b 两点分别在两个截面上，其应力是不同的。同一截面上的各点，如图7-1（b ）中b 、c 两点的应力一般情况下也是不同的。同一点不同方向的应力也是不同的。过一点各个方向上的应力情况称为该点的应力状态．．．．，应力状态分析就是要研究杆件中某一点（特别是危险点）各个方向上的应力之间的关系，确定该点处的最大正应力和最大剪应力，为强度计算提供重要依据。研究应力状态的方法是过杆件中的任一点取出一个微小的六面体——单元．．体．。如图7-1（a ）中过a 点取出的单元体放大如图7-2所示。单元体三个方向的边长很小且趋于零，则该单元体代表一点，即a 点，互相平行的平面上的正应力相等，剪应力也相等。杆件在任意荷载作用下，从中所取出的单元体表面上一般既有正应为又有剪应力，如图7-2所示。当图7-2所示的单元体各面上的,0,0,0,0,0,0======zy zx yx yz xz xy ττττττ 即六个面上均没有剪应力作用时，这种面叫做特殊平面，并定义为主平面．．．。该主(a) (b) 图7-1各点的应力情况

平面上作用的正应力称为主应力．．．，用,,,321σσσ表示（,321σσσ≥≥），如图7-3所示。各面均为主平面的单元体，称为主单元体．．．．。三个主应力中若有两个等于零一个不等于零，该单元体称为单向应力状态．．．．．．，如图7-4（a ）；三个主应力中有一个等于零，两个不等于零，该单元体称为二向应．．．力状态．．．，如图7-4（b ）；三个主应力均不等于零，该单元体称为三向应力状态．．．．．．，如7-3。单向应力状态和二向应力状态属平面应力状态，三向应力状态属空间应力状．．．．．态．。单向应力状态又称为简单应力状态．．．．．．，二向三向应力状态又称为复杂应力状态．．．．．．。若从受力杆件中取出的单元体（如图7-5）各面都没有正应力，而单元体承受侧面（abb ′a′）上分布的剪应力x τ作用，为了满足0=∑y 的平衡条件，则在另一个侧面（cdd′c′）上必须作用有大小相等且方向相反的剪应力，但是这一对剪应力的合力组成一个力偶，对轴z 会产生力偶矩，那么，上、下两个平面(ac c ′a′, bdd′b′）上也应有剪应力y τ组成一个对z 轴的力偶矩，以保持单元体的平衡，并且由推导 y z 1 图7-2 单元体图7-3 三向应力状态 (a) (b) 图7－4 单向、二向应力状态

材料力学习题册答案_第7章_应力状态

第七章应力状态强度理论一、判断题 1、平面应力状态即二向应力状态，空间应力状态即三向应力状态。 (√) 2、单元体中正应力为最大值的截面上，剪应力必定为零。 (√) 3、单元体中剪应力为最大值的截面上，正应力必定为零。 (×) 原因：正应力一般不为零。 4、单向应力状态的应力圆和三向均匀拉伸或压缩应力状态的应力圆相同，且均为应力轴上的一个点。 (×) 原因：单向应力状态的应力圆不为一个点，而是一个圆。三向等拉或等压倒是为一个点。 5、纯剪应力状态的单元体，最大正应力和最大剪应力值相等，且作用在同一平面上。(×) 原因：最大正应力和最大剪应力值相等，但不在同一平面上 6、材料在静载作用下的失效形式主要有断裂和屈服两种。 (√) 7、砖,石等脆性材料式样压缩时沿横截面断裂。 (×) 8、塑性材料制成的杆件，其危险点必须用第三或第四强度理论所建立的强度条件来校核强度。 (×) 原因：塑性材料也会表现出脆性，比如三向受拉时，此时，就应用第一强度理论 9、纯剪应力状态的单元体既在体积改变，又有形状改变。(×) 原因：只形状改变，体积不变 10、铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀被胀裂，而管的冰不会被破坏，只是因为冰的强度比铸铁的强度高。(×) 原因：铸铁的强度显然高于冰，其破坏原因是受到复杂应力状态二、选择题 1、危险截面是（ C ）所在的截面。 A 最大面积 B 最小面积 C 最大应力 D 最大力 2、关于用单元体表示一点处的应力状态，如下论述中正确的一种是( D )。 A 单元体的形状可以是任意的 B 单元体的形状不是任意的，只能是六面体微元 C 不一定是六面体，五面体也可以，其他形状则不行 D 单元体的形状可以是任意的，但其上已知的应力分量足以确定任意方向面上的硬力 3、受力构件任意一点，随着所截取截面方位不同，一般来说（ D ） A 正应力相同，剪应力不同 B 正应力不同，剪应力相同 C 正应力和剪应力均相同 D 正应力和剪应力均不同 4、圆轴受扭时，轴表面各点处于（ B ） A 单向应力状态 B 二向应力状态 C 三向应力状态 D 各向等应力状态 5、分析处于平面应力状态的一点，说确的是（ B ）。 A a σ=0时，必有a τ=max τ或a τ=min τ B a τ=0时，必有a σ=max σ或a σ=min σ C a σ+90a σ+及|a τ|+|90a τ+|为常量 D 1230σσσ≥≥≥

第七章应力和应变分析强度理论材料力学 Sky出品 (华理的学弟学妹们,膜拜你们伟大的学姐吧!~)

第七章应力和应变分析强度理论 7.1应力状态概述应力的基本特性： 1、应力是位置的函数 2、对于确定点的应力，过该点不同方向截面上其应力的表示一般也是不同的应力状态：一点的应力状态是指过该点所有不同方向截面上其应力大小和方向组成的集合由于是微元体，假设表面上的应力是均匀的且等于该截面上的应力。单元体内平行面上的应力或相同或相反单元体表面上的应力分解为正应力和切应力，切应力在相应的表面内再分解成两个切应力正应力符号：拉为正，压为负切应力符号：对内点求矩，顺时针为正，逆时针为负由剪应力互等定理可知τij = -τji 单元体上仅有六个独立量：σx , σy , σz ,τxy (τyx ) , τxz (τzx ) , τyz (τzy ) ———应力分量主平面：一点的应力状态，切应力等于0的面主平面上的正应力称为该点的主应力；主平面的法向称为该点的主应力方向对于一点的应力状态，主平面（主应力，主应力方向）总是存在的；且总是存在有相互垂直的三个主应力方向。一般情况下，三个主应力方向是唯一的应力状态的分类简单应力状态 1、单向应力状态：三个主应力中仅有一个不等于零例如：杆的简单拉压问题；梁的纯弯曲问题复杂应力状态 2、平面（二向）应力状态：三个主应力中仅有两个不等于零例如：圆柱的扭转问题；梁的剪切弯曲问题 3、空间（三向）应力状态：三个主应力皆不等于零通常用σ1 、σ2 、σ3代表该点的三个主应力，且σ1 >σ2 >σ3（包括符号） 7.3 二向应力状态分析——解析法 α τασστατασσσσσα α2cos 2sin 2 2sin 2cos 2 2xy y x xy y x y x +-=--++= 正应力σα的极值点、最大值和最小值极值点：y x xy tg σστα-- =220 在极值点a 0处正应力σα( 0 ≤α≤ 2π ) 取最大值或最小值

材料力学基本公式

力分别为： []s s n σσ=，[]b b n σσ=，强度条件：[] σσ≤??? ??=max max A F N ，等截面杆 [] σ≤A F m a x 轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：l l l -=?1，沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为：l l ?= ε， A F N =σ。横向应变为： b b b b b -=?= 1'ε，横向应变与轴向应变的关系为： μεε-='，μ为横向变形系数或泊松比。胡克定律：当应力低于材料的比例极限P σ时，应力与应变成正比，即 εσE =，这就是胡克定律。E 为弹性模量（GPa 1=pa MPa 9 31010=）。将应力与应变的表达式带入得： EA Fl l = ?EA 为抗拉或抗压刚度。静不定(超静定)：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。需要由几何关系构造变形协调方程。扭转变形时的应力，薄壁圆筒扭转 δ πτ202R M e = 其中 )min () (9549 )(r n kw p m N M e =? 420d D r R R +=+=为圆筒的平均半径。剪切胡克定律：当剪切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力τ与切应变γ成正比。γ τ G =. 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φ ρ γρ=。物理关系——剪切胡克

应力状态分析与强度理论

第五章应力状态分析与强度理论一、内容提要 1.应力状态的概念 1.1一点的应力状态通过受力构件的一点的各个截面上的应力情况的集合，称为该点的应力状态。 1.2一点的应力状态的表示方法——单元体研究受力构件内一点处的应力状态，可以围绕该点取一个无限小的正六面体，即单元体。若单元体各个面上的应力已知或已计算出，则通过该点的其他任意方位截面上的应力就可用解析法或图解法确定。 1.3主平面、主应力单元体上切应力为零的平面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。过受力构件内任一点总有三对相互垂直的主平面。相应的主应力用1σ、2σ、3σ来表示，它们按代数值的大小顺序排列，即321σσσ≥≥。1σ是最大主应力，3 σ是最小主应力，它们分别是过一点的所有截面上正应力中的最大值和最小值。 1.4应力状态的分类（1）单向应力状态，只有一个主应力不为零，另两个主应力均为零；（2）二向或平面应力状态，两个主应力不为零，另一个为零；（3）三向或空间应力状态，三个主应力都不为零。单向应力状态又称简单应力状态，二向、三向应力状态称为复杂应力状态。 2.平面应力状态分析的解析法在平面应力状态的单元体中，有一对平面上的应力等于零，即为主平面，其上主应力为零。可将单元体用平面图形表示，如图5-1所示。图5-1 2.1任意α斜截面上的应力当已知x σ、y σ、yx xy ττ=时，应用截面法，可得 α τασστα τασσσσσαα2cos 2sin 2 2sin 2cos 2 2xy y x xy y x y x +-= --+ += （5-1）

式中，正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力以对单元体内任意点的矩为顺时针转向为正，反之为负；α为斜截面外法线与x 平面外法线即x 轴间的夹角，α角从x 轴量起，反时针转向为正，反之为负。 2.2主应力 2 2 min max 22xy y x y x τσσσσσσ+??? ? ? ?-±+=??? （5-2）式中， max σ和min σ分别表示单元体上垂直于零应力面的所有截面上正应力的最大值和最小值。它们是三个主应力中的两个，而另一个主应力为零。三个主应力 m ax σ、min σ和0要按代数值大小排列，分别用1σ、2σ、3σ表示。 2.3主平面的方位角0α 主平面与x 轴间的夹角0α可按下式计算 y x xy tg σ-στ- =α220 （5-3）由上式可确定两个主平面的方位角0α和 900+α，其中当y x σ≥σ时，0α主平面上的主应力为max σ， 900+α主平面上的主应力为min σ；当y x σ<σ时，0α主平面上的主应力为min σ， 900+α主平面上的主应力为max σ。 3．平面应力状态分析的图解法图5-2 3.1应力圆方程 2 2 2 2 22xy y x y x τ+??? ? ? ?σ-σ=τ+???? ? ?σ+σ-σαα

二向应力状态分析的解析法

二向应力状态分析的解析法二向应力状态分析的解析法 [知识回顾] 基本变形下的强度条件:(板书) FNmax1、拉压 ,,,[,]maxA 正应力强度条件 Mmax2、弯曲 ,,,[,]maxW *FSsz ,,,[,]maxbIz3、扭转剪应力强度条件 T,,,[,]max Wt [教学导入] 特点: 以上强度条件考虑了危险点上只有正应力或只有剪应力的情况，即单向应力状态;当考虑的点上既有正应力又有剪应力时，就不能用单向应力状态理论来建立强度条件，需要用强度理论来建立强度条件 [新课教学] 材料力学教案力学教研室于月民二向应力状态分析的解析法一、应力状态的概述 (一)一点处的应力状态(ppt) 1、

不同截面上,各点的应力不同 F2F ,,,,12AA 2、横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明:同一横截面上,不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。 3、 F横截面上: ,,,,0A F22,,cos,,,cos,,斜截面上: A ,F,,sin2,,sin2,, 2A2 同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。

点的应力状态:(State of the Stresses of a Given Point) 通过受力构件内某一点的不同方向面上的应力的集合，称之为这一点的应力状态 1 材料力学教案力学教研室于月民 (二)点的应力状态的表示(板书) 1、单元体:围绕所考查的点，取三方向上尺寸无穷小的正六面体。特点:1、各面上应力均匀分布 2、相互平行的面上应力值相等如:轴向拉伸杆中过A取单元体， 1)横、纵取 F左右二面是杆横截面的一部分: ,,xA ,,0上下和前后面都平行轴线: 2)若与横纵成α角截取四个侧面与轴线即不平行也不垂直是斜截面，其上有正应力和剪应力 2,,,cos,,x

《工程力学》复习指导含答案

材料力学重点及其公式材料力学的任务（1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。变形固体的基本假设（1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。外力分类：表面力、体积力；内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。应力： dA dP A P p A = ??=→?lim 0 正应力、切应力。变形与应变：线应变、切应变。杆件变形的基本形式（1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不在变化的载荷动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。失效原因：脆性材料在其强度极限 b σ破坏，塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统称为极限应力理想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为： []3n s σσ=， []b b n σ σ=，强度条件： []σσ≤??? ??=max max A N ，等截面杆 []σ≤A N max 轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：l l l -=?1，沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为： l l ?= ε，A P A N ==σ。横向应变为：b b b b b -=?=1'ε，横向应变与轴向应变的关系为：μεε-=' 。胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 εσE =，这就是胡克定律。E 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得：EA Nl l = ? 静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。圆轴扭转时的应力变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φργρ=。物理关系——胡克定律dx d G G φργτρρ==。力学关系dA dx d G dx d G dA T A A A ??? === 2 2ρφφρρτρ 圆轴扭转时的应力：t p W T R I T ==max τ；圆轴扭转的强度条件： ][max ττ≤= t W T ，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷。圆轴扭转时的变形：??== l p l p dx GI T dx GI T ?；等直杆：p GI Tl =? 圆轴扭转时的刚度条件： p GI T dx d = = '??，][180max max ?π?'≤?='p GI T 弯曲内力与分布载荷q 之间的微分关系)()(x q dx x dQ =；()()x Q dx x dM =；()()()x q dx x dQ dx x M d ==2 2 Q 、M 图与外力间的关系 a ）梁在某一段内无载荷作用，剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。 b ）梁在某一段内作用均匀载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。

应力与应力状态分析

应力与应力状态分析拉伸模量拉伸模量是指材料在拉伸时的弹性，其计算公式如下：拉伸模量（㎏/c ㎡)=△f/△h(㎏/c ㎡) 其中，△f 表示单位面积两点之间的力变化，△h 表示以上两点之间的应变化。更具体地说，△h ＝（L-L0）/L0，其中L0表示拉伸长前的长度，L 表示拉伸长后的长度。 §4-1 几组基本术语与概念一、变形固体的基本假设 1、均匀连续性假设：假设在变形固体的整个体积内均匀地、毫无空隙地充满着物质，并且各点处的力学性质完全相同。根据这一假设，可从变形固体内任意一点取出微小单元体进行研究，且各点处的力学性质完全相同，因而固体内部各质点的位移、各点处的内力都将是连续分布的，可以表示为各点坐标的连续函数。 2、各向同性假设：假设变形固体在所有方向上均具有相同的力学性质。 3、小变形假设：认为构件的变形与构件的原始尺寸相比及其微小。根据小变形假设，在研究构件上力系的简化、研究构件及其局部的平衡时，均可忽略构件的变形而按构件的原始形状、尺寸进行计算。二、应力的概念 1、正应力的概念分布内力的大小（或称分布集度），用单位面积上的内力大小来度量，称为应力。由于内力是矢量，因而应力也是矢量，其方向就是分布内力的方向。沿截面法线方向的应力称为正应力，用希腊字母σ表示。应力的常用单位有牛/米2 （2/m N ，12/m N 称为1帕，代号a P ）、千米/米2（2/m KN ，12/m KN 称为1千帕，代号K a P ），此外还有更大的单位兆帕（M a P ）、吉帕（G a P ）。几种单位的换算关系为：

1 K a P =310a P 1 M a P =310K a P 1 G a P =310M a P =610K a P =910a P 2、切应力与全应力的概念与截面相切的应力分量称为切应力，用希腊字母τ表示。 K 点处某截面上的全应力K p 等于该点处同一截面上的正应力K σ与切应力K τ的矢量和。三、位移、变形及应变的概念变形：构件的形状和尺寸的改变。位移：构件轴线上点的位置变化和截面方位的改变。变形和位移的关系：构件的变形必然会使结构产生位移，但结构的位移不一定是由构件的变形引起的，温度变化、支座移动等也会使结构产生位移。单元体：围绕构件内某一点截取出来的边长为无限小的正六面体。应变：描述单元体变形程度的几何量，包括线应变和角应变两类。线应变（正应变）ε：单元体线性尺寸的相对改变量。ε=Δu / u 角应变（切应变）γ：单元体上直角的改变量。γ= 90°- θ 应力与应变的对应关系：正应力σ与正应变ε相互对应；切应力τ与切应变γ相互对应。四、受力构件内一点处的应力状态的概念构件内某点处的应力状态，是指通过该点的各个不同方位截面上的应力情况的总体。研究应力状态，对全面了解受力杆件的应力全貌，以及分析杆件的强度和破坏机理，都是必需的。为了研究一点处的应力状态，通常是围绕该点取一边长为无限小的正六面体，即单元体。主平面：单元体上没有切应力的面称为主平面。主应力：主平面上的正应力称为主应力。可以证明，通过一点处的所有方向面中，一定存在三个互相垂直的主平面（即一定存在主单元体），因而每一点都对应着三个主应力。一点处的三个主应力分别用σ1 , σ2 和σ3来表示，并按应力代数值的大小顺序排列，即σ1≥σ2≥σ3。原始单元体：从一点处取出的各面上应力都已知的单元体，称为该点的原始单元体。对于杆件，通常用一对横截面和两对互相垂直的纵截面截取原始单元体。主单元体：各面上没有切应力的单元体称为主单元体。应力状态的分类：空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零

一般二向应力状态下求解主应力方法

一般二向应力状态下求解主应力方法 1.引言二向应力状态是指材料在受力情况下同时受到两个不同方向的应力作用。在工程实践中，很多材料都会出现二向应力状态，因此如何准确求解在这种情况下的主应力是非常重要的。本文将介绍一般二向应力状态下求解主应力的方法。 2.二向应力状态的概念在材料受力的情况下，如果同时存在两个不同方向的应力作用，就形成了二向应力状态。一般来说，二向应力状态可以分为各向同性的和各向异性的两种情况。各向同性是指材料在各个方向上的性能均相同，而各向异性则是指材料在不同方向上的性能存在差异。在工程实践中，需要根据具体情况来判断材料的二向应力状态，以便正确求解主应力。 3.一般二向应力状态下求解主应力方法一般二向应力状态下求解主应力的方法可以分为数学方法和实验方法两种。 3.1 数学方法数学方法是通过数学推导和计算来求解主应力的方法。在一般二向应力状态下，可以采用坐标变换的方法将二向应力状态转化为主应

力状态。具体步骤如下：（1）确定材料受力情况并获取二向应力状态的数值；（2）根据材料的各向同性或各向异性特点，选择合适的坐标系，进行坐标变换；（3）利用坐标变换后的应力矩阵，通过数学运算求解出主应力的数值。 3.2 实验方法实验方法是通过实验手段来求解主应力的方法。在一般二向应力状态下，可以采用应变片法或光栅法来进行主应力的实验测量。具体步骤如下：（1）利用应变片或光栅在材料表面进行应力测量；（2）根据实验测量结果，计算出主应力的数值。 4.应用举例为了更好地理解一般二向应力状态下求解主应力的方法，我们可以举一个具体的应用例子。某种材料同时受到水平和垂直方向的应力作用，需要求解主应力。可以采用数学方法进行坐标变换，将二向应力状态转化为主应力状态，再通过数学计算求解主应力的数值。 5.总结一般二向应力状态下求解主应力是工程实践中的重要课题。通过数学方法和实验方法的结合，可以准确求解出材料在二向应力状态下的

二向等拉第二强度理论

二向等拉第二强度理论一般认为，第一强度理论（最大拉应力理论）是由拉梅（Lame, 1795-1870 ）和兰金（Rankine, 1820-1872 ）独立提出来的。第一强度理论认为，当材料中的第一主应力σ 1 达到材料能承受的最大应力时，材料将发生脆性断裂。第一强度理论的提出使工程师的结构设计从经验设计阶段步入到了依据理论分析结果的科学设计阶段。然而，对于三向受压结构的破坏，就难以利用第一强度理论进行合理的解释。三向压缩状态下，材料的三个主应力均为压应力，不受拉应力作用，理论上不会发生断裂，但对于某些材料在三向压缩下也会发生断裂，这就不能用第一强度理论解释。现在我们知道，第二强度理论（最大线应变理论）认为当材料的最大线应变超过材料的变形极限时，材料将发生断裂。设材料在某点受主应力状态为-σ 1 ，-σ 2 ，-σ 3 ( 负号表示受压) ，则根据虎克定律，其最大线应变为显然，虽然三个主应力小于0 ，但是当μ(σ 2 +σ 3 )>σ 1 时，线应变ε 1 >0 ，当该应变值超过材料变形的极限值时材料也会发生断裂，这就解释了三向受压状态下的材料断裂。最早认识到材料变形到一定程度会引起材料破坏的是享有法国实验物理学之父美誉的马略特（Edme Mariotte ，1620-1684 ）。马略特最为著名的贡献是他与玻义耳（Robert Boyle, 1627-1691 ）先后独立发现的“玻义耳- 马略特定律”。1666 年，路易十四成立法国

科学院，马略特被遴选为第一批会员。马略特，全名Edme Mariotte ，1620-1684 17 世纪80 年代，马略特曾负责设计一条通向凡尔赛宫的供水管线，由于设计需求，他对梁的抗弯强度产生了兴趣，他利用木杆和玻璃杆做了实验，如下图 a 表示在他的木材拉伸试验中所采用的装置，b 为纸的拉伸试验，得出了许多重要结果。马略特的强度试验 1686 年，马略特发表了《论水和其他液体的流动》，修正了伽利略求解梁发生断裂时“绝对抗力”的求解公式。伽利略认为梁的“绝对抗力”为其中，W 为梁的绝对抗力（断裂载荷），T 是通过悬臂梁中心纵向作用力，d 是梁的高度，L 是梁长。马略特通过实验证明式(2) 中的系数应该为1/3 或1/4 ，而不是1/2 。更进一步，他还发现，所有试验过的材料中，其伸长量都与所加的力成正比，他断定：当材料的伸长量超过某一极限时材料将发生断裂。这很可能是人们第一次将材料断裂与材料伸长联系起来。马略特的工作至少有两个重要意义，其一是他提出材料变形与所加力成正比，这也是材料变形中的虎克定律，虎克大约在1687 年将虎克定律引入梁的变形分析中；其二，马略特梁理论的提出，为工程界提供了重要分析和设计工具。法国数学家、工程师吉拉德（Pierre-Simon Girard, 1765-1836 ）在他所著的《固体抗力分析》（1798 ）中提到，伽利略梁理论和马略

材料力学公式总结

材料力学重点及其公式材料力学的任务（1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。变形固体的基本假设（1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。外力分类：表面力、体积力；静载荷、动载荷。内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。应力：dA dP A P p A = ∆∆=→∆lim 正应力、切应力。变形与应变：线应变、切应变。杆件变形的基本形式（1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；（5）组合变形。静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不再变化的载荷。动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。失效原因：脆性材料在其强度极限 b σ破坏，塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统称为极限应力理想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为： []3n s σσ=，[]b b n σσ=，强度条件： []σσ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=max max A N ，等截面杆 []σ≤A N m a x 轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：l l l -=∆1，沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为：l l ∆=ε，A P A N == σ。横向应变为：b b b b b -=∆=1'ε，横向应变与轴向应变的关系为：μεε-=' 。胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即εσE =，这就是胡克定律。E 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得：EA Nl l = ∆ 静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。圆轴扭转时的应力变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φργρ=。物理关系——胡克定律dx d G G φργτρρ==。力学关系dA dx d G dx d G dA T A A A ⎰⎰ ⎰ === 22ρφ φρρτρ圆轴扭转时的应力：t p W T R I T == max τ；圆轴扭转的强度条件： ][max ττ≤= t W T ，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷。

材料力学知识点总结

材料力学总结一、根本变形

二、还有：〔1〕外力偶矩：)(9549 m N n N m •= N —千瓦；n —转/分〔2〕薄壁圆管扭转剪应力：t r T 22πτ= （3）矩形截面杆扭转剪应力：h b G T h b T 32max ;βϕατ= = 三、截面几何性质（1）平行移轴公式：;2A a I I ZC Z +=abA I I c c Y Z YZ += （2）组合截面： 1．形心：∑∑=== n i i n i ci i c A y A y 1 1 ； ∑∑=== n i i n i ci i c A z A z 1 1 2．静矩：∑=ci i Z y A S ； ∑=ci i y z A S 3. 惯性矩：∑=i Z Z I I )( ；∑=i y y I I )( 四、应力分析：（1）二向应力状态〔解析法、图解法〕 a ．解析法：b.应力圆： σ：拉为“+〞，压为“-〞 τ：使单元体顺时针转动为“+〞 α：从*轴逆时针转到截面的法线为“+〞 c ：适用条件：平衡状态 (2)三向应力圆： 1max σσ=； 3min σσ=；2 3 1max σστ-=

〔3〕广义虎克定律： *适用条件：各向同性材料；材料服从虎克定律〔4〕常用的二向应力状态 1．纯剪切应力状态： τσ=1 ，02=σ，τσ-=3 2．一种常见的二向应力状态：五、强度理论 *相当应力：r σ 11σσ=r ，313σσσ-=r ，()()()][2 12132322214σσσσσσσ-+-+-= r 六、材料的力学性质脆性材料 δ＜5% 塑性材料 δ≥5% 低碳钢四阶段：〔1〕弹性阶段〔2〕屈服阶段〔3〕强化阶段 ε

材料力学要点与结构

《材料力学》知识要点与结构《材料力学》是土木工程专业的主要专业基础课，它与实际工程结合紧密。《材料力学》是为结构设计、施工设计、施工管理等服务的。我们设计的杆件，满足强度、刚度、稳定性的要求,做到既安全又经济适用。杆件材料是变形体，作了均匀性、连续性、各向同性的假设，且研究的变形是弹性变形中的小变形。从三方面来认识知识结构：一、杆件的强度方面：保证受拉或压的杆件不破坏思路: 外力→内力→应力（σ、τ）→强度条件 1.外力分析：选取计算简图(外力的简化，约束反力的求解等)。 2.内力分析：（1）杆件横截面上内力类型：①轴向力（N）；②剪力（Q）； ③扭矩（M n）；④弯矩（M）。（2）求内力方法——截面法（分离体+平衡条件）（对超静定结构，还必须考虑变形协调条件）（3）作内力图——N图，M n图，Q图，M图。（4）求指定截面内力的规律： ①某截面的轴力N等于该截面一侧所有轴向外力的代数和。外力离开该截面时取正(产生正的轴力)，反之为负。（N图应标（+）、（-）号） ②某个截面的扭矩M n等于该截面一侧所有扭转外力偶矩

的代数和。用右手螺旋法则，外力偶矩的矢量方向离开该截面时取正 (产生正的扭矩)，反之为负。（M n 图应标（+）、（-）号） ③ 某个截面的剪力Q 等于该截面一侧所有横向外力（包括均布力）的代数和。外力使研究对象绕该截面作顺时针转动时取正(产生正的剪力)，反之产生负的剪力（Q 图应标（+）、（-）号）。 ④ 某个截面上的弯矩M 等于该截面一侧所有外力（包括反力、集中力、均布力、力偶矩等）对该截面形心取力矩的代数和，使该截面处产生凹变形的外力矩取正(下边受拉产生正弯矩)，反之为负。弯矩图画在受拉一侧，不必标（+）、（-）号。作内力图的基本方法：① 列内力方程，根据方程作图； ② 找出q (x )、Q (x )、M (x )三者之间的微分关系，总结规律，按规律作图；关于q (x )、Q (x )、M (x )三者之间的微分关系： ) ()(x q dx x dQ =， ) ()(x Q dx x dM =，则 2 2 ()()()() d M x dQ x q x dx dx = =↑ 第一：没有均布荷载作用的段上（q (x )＝0），Q 图与杆轴线平行（即各截面的剪力相等，为常量）；M 图为斜直线。第二：有均布荷载作用的段上（q (x )＝q ），Q 图为斜直线，M 图为二次曲线，曲线的凸向与q 的箭头的关系为： P P 第三：在集中力作用的截面上，Q 图有突变，突变的值等于集中力的大小，M 图有跃变，跃变突向与集中力箭头的关系为： q q 第四：在力偶矩作用的截面上，Q 图左右相等，M 图有突变，

材料力学7-第七章应力状态分析强度理论汇总

第七章应力状态分析强度理论 § 7.1 应力状态概述、工程实例 1. 压缩破坏 2. 弯曲拉伸破坏 3. 弯曲剪切破坏 4. 铸铁扭转破坏 5. 低碳钢扭转破坏、应力状态的概念 1. 点的应力状态过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。 2. 一点应力状态的描述以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。 3. 求一点应力状态（1）单元体三对面的应力已知，单元体平衡（2）单元体任意部分平衡（3）截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。三、应力状态的分类 1. 单元体：微小正六面体 2. 主平面和主应力：主平面：无切应力的平面主应力：作用在主平面上的正应力 3. 三种应力状态单项应力状态：三个主应力只有一个不等于零，如 A 、E 点二向应力状态：三个主应力中有两个不等于零，如 B 、D 点三向应力状态：三个主应力都不等于零斜向主拉应力垂直裂缝斜裂缝

四、应力状态分析的方法 1. 解析法 2. 图解法 7.2 应力状态分析的解析法、解析法 q 图示单元体，已知应力分量x y 、xy 和yx 。 y y

（一）任意截面上的正应力和切应力：利用截面法，考虑楔体 bef 部分的平衡。设 ef 面的面积为 dA ， F n 0 dA ( xy dA cos )sin ( x dA cos )cos ( yx dA sin )cos ( y dAsin )sin 0 F t 0 dA ( xy dA cos )cos ( x dAcos )sin ( y dA sin )cos ( yx dAsin )sin 0 根据切应力互等定理： xy yx 三角函数关系： 2 1 cos2 2 1 cos2 cos ， sin ， sin2 2sin cos 22 解得： x y x y cos2 xy sin2 (7-1) 2 2 xy xy sin 2 xy cos2 (7-2) 二）主应力即主平面位置并令其等于零可确定正应力的极值和所在平面的位置。 d x y sin 2 0 xy cos2 0 0 2 xy tan2 0 xy 将 0 和 0 90 代入（ 8-1），求出最大及最小的正应力为：三）最大切应力及其作用平面的位置将式（ 8-2）对取一次导数，并令其等于零可确定切应力的极值和它所在平面的位置。 min 所以有： 2 1 2 0 2 ， 1 0 4 即最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为 45 将式（8-1）对取一次导数，令 0 时， d 0 d 即： max min ( x y )2 x 2y 令 1 时， d d 0 即： tan2 1 max 2 2 xy

9 应力状态及应变状态分析

9 应力状态及应变状态分析通过对前几章的讨论，我们已经了解了杆件在基本变形时横截面上的应力情况。实际上一点的应力情况除与点的位置有关以外，还与通过该点所截取的截面方位有关。为了讨论一点在不同截面上的应力情况，为讨论组合变形打下一定的理论基础，本章介绍：应力状态、应变状态的概念；应力状态、应变状态分析；复杂应力状态下一点的应力与应变的关系——广义虎克定律，复杂应力状态下的变形比能。在此基础上介绍强度理论的概念及常用的四种强度理论。 9.1 应力状态的概念 9.1.1 一点处的应力状态受力构件内任意一点、在不同方位各个截面上的应力情况，称为该点处的应力状态。判断一个受力构件的强度，必须了解这个构件内各点处的应力状态，即了解各个点处不同截面的应力情况，从而找出哪个点、哪个面上正应力最大，或剪应力最大。据此建立构件的强度条件，这就是研究应力状态的目的。 9.1.2 通过单元体分析一点的应力状态如上所述，应力随点的位置和截面方位不同而改变，若围绕所研究的点取出一个单元体（如微小正六面体），因单元体三个方向的尺寸均为无穷小，所以可以认为：单元体每个面上的应力都是均匀分布的，且单元体相互平行的面上的应力都是相等的，它们就是该点在这个方位截面上的应力。所以，可通过单元体来分析一点的应力状态。图9.1应力状态的一般情况和已知三个主应力的应力状态

9.1.3 主应力及应力状态的分类包括受力构件内的某点，所截取出的单元体，一般来说，各个面上既有正应力，又有剪应力（图9.1a ）。以下根据单元体各面上的应力情况，介绍应力状态的几个基本概念。 ① 主平面如果单元体的某个面上只有正应力，而无剪应力，则此平面称为主平面。 ② 主应力主平面上的正应力称为主应力。 ③ 主单元体若单元体三个相互垂直的面皆为主平面，则这样的单元体称为主单元体。可以证明：从受力构件某点处，以不同方位截取的诸单元体中，必有一个单元体为主单元体。主单元体在主平面上的主应力按代数值的大小排列，分别用1σ，2σ和3σ表示，即321σσσ≥≥（图9.1b ）。 ④ 应力状态的类型若在一个点的三个主应力中，只有一个主应力不等于零，则这样的应力状态称为单向应力状态。若三个主应力中有两个不等于零，则称为二向应力状态或平面应力状态。若三个主应力皆不为零，则称为三向应力状态或空间应力状态。单向应力状态也称为简单应力状态。二向和三向应力状态统称为复杂应力状态。关于单向应力状态，已于第二章中进行过讨论，本章将重点讨论二向应力状态。 9.2 应力状态的实例 9.2.1 直杆轴向拉伸时的应力状态直杆轴向拉伸时（图9.2a ），围绕杆内任一点A 点以纵横六个截面取出单元体（图9.2b ），其平面图则表示在图9.2c 中，单元体的左右两侧面是杆件横截面的一部分，其面上的应力皆为A P =σ。单元体的上、中、前、后四个面都是平行于轴线的纵向面，面上皆无任何应力。根据主单元体的定义，知此单元体为主单元体，且三个垂直面上的主应力分别为 0,0,321===σσσA P 图9.2 直杆轴向拉伸时杆内任一点的应力状态

二向应力状态分析的解析法

材料力学教案 第8章 应力状态分析和强度理论

第七章应力状态及应变状态分析

材料力学习题册答案_第7章_应力状态

第七章 应力和应变分析 强度理论 材料力学 Sky出品 (华理的学弟学妹们,膜拜你们伟大的学姐吧!~)

材料力学基本公式

应力状态分析与强度理论

二向应力状态分析的解析法

《工程力学》复习指导含答案

应力与应力状态分析

一般二向应力状态下求解主应力方法

二向等拉第二强度理论

材料力学公式总结

材料力学知识点总结

材料力学要点与结构

材料力学7-第七章应力状态分析强度理论汇总

9 应力状态及应变状态分析

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