东北大学离散数学复习总结满分版
方法、知识点总结（知识重点和考题重点）
前三章重点内容（知识重点）：
1、蕴含（条件）“→”的真值
P→Q的真值为假，当且仅当P为真，Q为假。
2、重言(永真)蕴涵式证明方法
<1>假设前件为真，推出后件也为真。
<2>假设后件为假，推出前件也为假。
易错
3、等价公式和证明中运用
4、重要公式
重言蕴涵式：P∧Q => P or Q
P or Q => p∨Q
A->B =>(A∧or∨C)->(B∧or∨C)
其他是在此基础上演变
等价公式：幂等律P∧P=P P∨P=P
吸收律P∧(P∨Q)=P P∨(P∧Q)=P
同一律P∨F=P P∧T=P
P∨T=T P∧F=F
P <-> Q = (P->Q)∧(Q->P) = (P∧Q)∨(﹁P∧﹁Q)
5、范式的写法（最方便就是真值表法）
6、派遣人员、课表安排类算法：
第一步：列出所有条件，写成符号公式
第二步：用合取∧连接
第三步：求上一步中的析取范式即可
7、逻辑推理的写法
直接推理论证：其中I公式是指重言蕴涵式那部分
其中E公式是指等价公式部分
条件论证: 形如~ , ~, ~ => R->S
R P(附加条件)
... ...
S T
R->S CP
8、谓词基本内容
注意：任意用—> 连接
存在用∧连接量词的否定公式
量词的辖域扩充公式
量词分配公式
其他公式
9、带量词的公式在论域内的展开
10、量词辖域的扩充公式
11、前束范式的写法
给定一个带有量词的谓词公式，
1)消去公式中的联接词→和←→(为了便于量词辖域的扩充)；
2)如果量词前有“﹁”，则用量词否定公式﹁”后移。再用摩根定律或求公式的否定公式，将“﹁”后移到原子谓词公式之前；
3)用约束变元的改名规则或自由变元的代入规则对变元换名(为量词辖域扩充作准备)；
4)用量词辖域扩充公式提取量词，使之成为前束范式形式。简要概括：1、去-> ，<-> 2、移﹁
3、换元
4、量词辖域扩充12、谓词演算的推理理论
推理规则：P、T、CP、US、ES、EG、UG 的使用ES US 去量词
EG UG 添量词
★谨记：ES要在US之前,很重要
添加量词注意事项：
13、集合的幂集（用P表示，也常有花P表示）
A是集合，由A的所有子集构成的集合，称之为A的幂集。记作P(A)或2的A次方
给定有限集合A，如果|A|=n, 则|P(A)|=2的n次方
14、求集合的划分数与等价关系数——相同
15、三种重要集合运算
一、差运算- (相对补集)
二、绝对补集~
三、对称差
前三章重点内容（考题重点）：最常考
内容和方法需要看自己课件，前三章考试内容不多且简单
1、命题符号化（包括第一章简单的命题和第二章谓词的命题）
2、逻辑推理（命题逻辑和谓词逻辑两种推理，每章书最后部分）
3、主析取范式与主合取范式（命题逻辑和谓词逻辑中的两种范式
写法）
4、真值的判断
后五章重点内容（知识重点）：
1、笛卡尔积
定义:设A、B是集合，由A的元素为第一元素，B 的元素为第二元素组成序偶的集合，称为A和B 的笛卡尔积，记作A×B
如果A、B都是有限集，且|A|=m, |B|=n，则|AXB |=mn.
2、域的表示：
定义域dom（关系的第一个元素的范围）
值域Ran（关系的第二个元素的范围）
3、空关系、完全关系、A上的恒等关系IA的定义空关系只有点，没有一条边。
4、关系的个数
5、对称、反对称、自反、反自反、传递的判定
6、等价关系、等价类
定义：设R是A上关系,若R是自反的、对称的和传递的，则称R是A中的等价关系
等价关系的个数：划分数；
由等价关系图求等价类：
R图中每个独立子图上的结点，构成一个等价类。
不同的等价类个数=独立子图个数
7、相容关系、相容类
特点：自反、对称。
图的简化：⑴不画环；
⑵两条对称边用一条无向直线代替
相容类：设r是集合X上的相容关系，C X,如果对于C中任意两个元素x,y有
从简化图找最大相容类：
最大相容类的意义是——一个相容类加多一个点就不是相容类了，所以最大相容类可以是多个而不是唯一的“最大”的概念，定义类似极大线性无关组，但元素个数不同
------找最大完全多边形。最大完全多边形：含有结点最多的多边形中，每个结点都与其它结点相联结。
通过最大相容类求完全覆盖：
完全覆盖就是指所有最大相容类构成的集合。
8、关系的分类：
偏序关系定义：R是A上自反、反对称和传递的关系，则称R 是A上的偏序关系。并称
全序关系定义：
9、偏序集Hasse图的画法
1).用“。”表示A中元素。
2).如果x≤y,且x≠y，则结点y要画在结点x的上方。
3). 如果x≤y,且y盖住x，x与y之间连一直线。
4). 一般先从最下层结点(全是射出的边与之相连(不考虑环))，逐层向上画，直到最上层结点(全是射入的边与之相
连)。(采用抓两头，带中间的方法)
10、重要元素定义（极大小元、最大小元、上下界、最大下界与最小上界）
11、如何求映射是入（单）、满、双射？
第一步：分别求出定义域和值域
第二步：比较就出来了，就那么简单
但是要证明的话：
两者结合得：双射成立
12、复合函数中的重要性质（常考）：
f:X→Y, g:Y→Z是两个函数, 则
⑴如果f和g是满射的，则g。f 也是满射的；
⑵如果f和g是入射的，则g。f 也是入射的；
⑶如果f和g是双射的，则g。f 也是双射的
⑴如果g。f 是满射的，则g是满射的；
⑵如果g。f 是入射的，则 f 是入射的；
⑶如果g。f 是双射的，则f是入射的和g是满射的
13、函数种类个数的求法
14、逆函数（性质）
设f:X→Y是双射的函数，f C:Y X 也是函数, 称之为 f 的逆函数。
设f:X→Y是双射的函数，则有
15、第六章基础知识重点
幂等元、幺元e、零元0、逆元的概念同态同构：f(x)满射、并且满足
*不是双射就一定复合同构的条件：
必须具有幺元对幺元、零元对零元......
代数系统（重点）
半群：封闭、可逆独异点：有幺元
群：可逆交换群：可交换
群的特征：1.消去律 2.无零元 3.除幺元外无其他幂等元运算表中：每个元素在每一行、列必须出现仅出现一次！
16、第七章基础知识重点
格：
平凡格：所有全序都是格，称之为平凡格。
分配格：（判定定理）
所有链均为分配格。
设
有界格：（判定定理）
有界格定义：如果一个格存在全上界1与全下界0，则称此格为有界格。
从格的图形看：全上界1，就是图的最上边元素(只一个)。全下界0，就是图的最下边元素(只一个)。
有补格：（判定定理：根据定义看是不是每个中间元素都有补元）
补元：设
有补格的定义：一个有界格中，如果每个元素都有补元，则称之为有补格
布尔格：如果一个格既是分配格又是有补格，则称之为布尔格。
*重要定理：
在有界分配格中，如果元素有补元，则补元是唯一的。
17、格的同构条件（特别）需同时满足：
钻石定律：
一个布尔代数的所有原子（直接覆盖最小元0的元素）构成的布尔代数一定与元代数同构
18、布尔代数表达式和布尔函数
含有变元x1,x2,…,xn 的布尔表达式记作E(x1,x2,…xn),也可以看成是一个函数f:Bn→B, 称之为布尔函数
布尔表达式的范式的写法（很重要，与第一第二章的方法类似）
19、第八章图论的重要知识点（好多好多的定义自己记吧）图的同构：
两个图同构的必要条件:
1.结点个数相等.
2.边数相等.
3.度数相同的结点数相等.
4.对应的结点的度数相等.
图的连通：强连通、单侧连通和弱连通（一般不考）
如果任何两个结点间相互可达, 则称G是强连通. 如果任何一对结点间, 至少有一个结点到另一个结点可达, 则称G是单侧连通. 如果将G看成无向图后(即把有向边看成无向边)是连通的,则称G是弱连通
东北大学 19春学期《离散数学》在线作业2 答案
试卷总分:100 得分:0 一、单选题(共10 道试题,共50 分) 1.单选题。一棵树有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点，该树有（）个4度结点。 A.4； B.3； C.2； D.1； E.不在给定的选择的范围内。 正确答案:D 2. A.B:①：⑵⑶⑺⑻ B.B:②：⑶⑷⑻ C.B:③：⑶⑹⑺⑻ D.B:④：⑶⑺ 正确答案:D 3.单选题。一棵根树是完全m叉树，当且仅当该图（）。 A.每个结点的度数是m； B.每个结点的出度都是m； C.每个结点的出度不是0就是m； D.恰有一个结点入度为0：其余结点入度为1。 正确答案:C 4.令命题P表示“没有大学生不懂外语。”下面命题( )与P等价。 A.有些大学生懂一些外语。 B.所有大学生都懂一些外语。 C.有些大学生懂所有外语。 D.没有大学生懂所有外语。 正确答案:B 5. A.矛盾式 B.重言式 C.无法确定 D.不知道
正确答案:B 6.7.选择题：在一次集会中，与奇数个人握手的人数共有()个。 A.奇数 B.不能确定 C.偶数 D.不知道 正确答案:C 7.下面是 "xC(x), $x(A(x)ÚB(x)), "x(B(x)?ØC(x)) Þ $xA(x) 的谓词推理过程。在这个过程中每一步中的（）处是此步所用的推理规则。请写出这些推理规则。 ⑴$x(A(x)ÚB(x)), ( ) ⑵A(a)ÚB(a) ( ) ⑴ ⑶"xC(x) ( ) ⑷C(a) ( ) ⑶ ⑸"x(B(x)→ØC(x)) ( ) ⑹B(a)→ØC(a) ( ) ⑸ ⑺ØB(a) ( ) ⑷⑹I12 ⑻A(a) ( ) ⑵⑺I10 ⑼$xA(x)) ( ) ⑻ A.⑴P；⑵T；⑶T；⑷UG；⑸P；⑹US；⑺P；⑻T；⑼ES。 B.⑴P；⑵EG；⑶T；⑷UG；⑸P；⑹UG；⑺P；⑻T；⑼EG。 C.⑴P；⑵ES；⑶P；⑷US；⑸P；⑹US；⑺T；⑻T；⑼EG。 D.⑴P；⑵US；⑶T；⑷UG；⑸P；⑹UG；⑺P；⑻T；⑼UG。 正确答案:C 8. 选择填空。如果集合X满足XÍD 且XÇB＝Ф，则X可能与下面给定的集合( ) 相等。 A.A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}， B.B＝{2,4,6,8}， C.C＝{1,3,5,7,9}， D.D＝{3,4,5}， E.E＝{3,5}， 正确答案:E
离散数学必备知识点总结
离散数学必备知识点总 结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 第三章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；
2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 第四章集合 1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 第五章关系 1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基 2种不同的关系； 数为mn，A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系；
离散数学期末练习题-(带答案)
离散数学复习注意事项： 1、第一遍复习一定要认真按考试大纲要求将本学期所学习内容系统复习一遍。 2、第二遍复习按照考试大纲的要求对第一遍复习进行总结。把大纲中指定的例题及书后习题认真做一做。检验一下主要内容的掌握情况。 3、第三遍复习把随后发去的练习题认真做一做，检验一下第一遍与第二遍复习情况，要认真理解,注意做题思路与方法。 离散数学综合练习题 一、选择题 1．下列句子中，（）是命题。 A．2是常数。B．这朵花多好看呀！ C．请把门关上！D．下午有会吗？ 2．令p: 今天下雪了，q:路滑，r:他迟到了。则命题“下雪路滑，他迟到了” 可符号化为（）。 A. p q r ∨→ ∧→ B. p q r C. p q r ∨? ∧∧ D. p q r 3．令:p今天下雪了，:q路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（）。 A.p q ∧ ∧? B.p q C.p q →? ∨? D. p q 4．设() Q x:x会飞，命题“有的鸟不会飞”可符号化为（）。 P x:x是鸟，() A. ()(()()) Q x ??∧()) x P x Q x ??→ B. ()(() x P x C. ()(()()) Q x ??∧()) x P x Q x ??→ D. ()(() x P x 5.设() L x y：x大于等于y；命题“所有整数 f x:x的绝对值，(,) P x:x是整数，() 的绝对值大于等于0”可符号化为（）。 A. (()((),0)) ?→ x P x L f x ?∧B. (()((),0)) x P x L f x C. ()((),0) ?→ xP x L f x ?∧ D. ()((),0) xP x L f x 6.设() F x:x是人，() G x:x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（）。 A．(()()) ??→? x F x G x ?∧B．(()()) x F x G x C．(()()) ??∧? x F x G x ??∧D．(()()) x F x G x 7.下列命题公式不是永真式的是（）。 A. () p q p →→ →→ B. () p q p C. () →∨ p q p p q p ?∨→ D. () 8．设() R x:x为有理数；() Q x:x为实数。命题“任何有理数都是实数”的符号化为（）
-快题表现教学大纲
《快题表现》课程教学大纲 (Fast design） 一、课程基本情况 开课单位：设计系 课程代码：132016 课程学时：64 课程学分：4 考核方式：考试 先修课程：手绘效果图表现技法，工程制图 教材与教学参考书： 1. 《室内空间快题与表现》，杨健邓蒲冰，沈阳：辽宁科学技术出版社，2011.3 2．《设计思维与徒手表现-空间快题设计》，赵国斌周雪，沈阳：辽宁美术出版社，2013.1 3.《室内快题范例解析》，邓蒲冰，沈阳：辽宁科学技术出版社，2013.9 二、课程的性质、任务和目的 快题表现是为环境艺术设计专业开设的一门专业课，是环境艺术设计专业知识结构的重要组成部分。通过本课程的教学，使学生比较全面、系统的掌握快题设计的基本知识和基本技能，能熟练和正确运用快速表现手法，快速的表现方案构思，并尽可能完整、流畅地完成一份设计成果。 三、课程内容、基本要求和学时 （一）课程内容和基本要求 第一章快题设计基础概论（ 4学时） 第一节空间快题设计概念的含义与应用（1学时） 1.了解快题设计概念 2.了解快题设计主要应用范围 3.重点了解快题在升学考试以及设计实践中的作用 第二节室内快题设计的作用（1学时） 1.了解其为构思设计的重要手段
2.了解其为设计团队的交流语言 3.了解其为与甲方沟通方案、洽谈业务、思想交流的有效传播媒介第三节快题设计的基础要求及表现内容（2学时） 1.了解快题设计的基础要求 2.掌握快题设计的表现内容 第二章快题设计方案形成的过程及方法（4学时）第一节快题设计思维方式（1学时） 1．了解思维由概念产生的方式 第二节快题设计思维分析（1学时） 1.掌握正确方法之后逐步分析，推敲方案 第三节快题方案形成过程（1学时） 1.了解方案形成的过程 第四节快题设计方案确定及表现方式（1学时） 1.了解快题设计方案形成的 2.了解快题设计的表现程序 3.掌握快题设计表现要点 4.掌握快题设计表现的方法 5.掌握快题设计的排版方式 第三章空间快题表现技法（ 20学时） 第一节表现工具（4学时） 1.了解绘制工具 第二节马克笔表现技法 了解渲染的工具的特性 1.理解效果图渲染技法 2.掌握平面转透视的综合方法的应用 3.重点掌握渲染综合技法 第三节表现要素（12学时） 1.掌握手绘徒手平面制图，立面制图 2.熟练掌握平面转透视效果的绘制方法
离散数学谓词逻辑课后总结
第二章谓词逻辑 2—1基本概念 例题1. 所有的自然数都是整数。 设N(x):x是自然数。I(x):x是整数。此命题可以写成?x(N(x)→I(x)) 例题2. 有些自然数是偶数。 设E(x):x是偶数。此命题可以写成?x(N(x)∧E(x)) 例题3. 每个人都有一个生母。 设P(x):x是个人。M(x,y):y是x的生母。此命题可以写 成:?x(P(x)→?y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化 例题1. 如果x是奇数,则2x是偶数。 其中客体x与客体2x之间就有函数关系,可以设客体函数g(x)=2x, 谓词O(x):x是奇数,E(x):x是偶数, 则此命题可以表示为:?x(O(x)→E(g(x))) 例题2 小王的父亲是个医生。 设函数f(x)=x的父亲,谓词D(x):x是个医生,a:小王,此命题可以表示为D(f(a))。 例题3 如果x和y都是奇数,则x+y是偶数。 设h(x,y)=x+y ,此命题可以表示为:?x?y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y)) 命题的符号表达式与论域有关系 两个公式:一般地,设论域为{a1,a2,....,an},则有 (1). ?xA(x)?A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an) (2). ?xB(x)?B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an) 1.每个自然数都是整数。该命题的真值是真的。 表达式?x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的, 因?x(N(x)→I(x))?(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an)) 式中的x不论用自然数客体代入,还是用非自然数客体代入均为真。例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。 而?x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。
建筑快题总结必看!!
8小时快题（建筑、规划、环艺）这一类快题，经常是以应试的方式出现，如：考研、考工作、考注册等等。其实，真正的实际项目方案设计，都是经历了无数轮的快题过程在不断修改中完成。 时间-任务分配 8小时，通常是上午8：30-17：30，9个小时中有1小时吃饭（看东家给不给了），当然可以不吃，赚1小时，不提倡，但也是一招，看身体的本钱如何。 30分钟审题：不超过半小时，在此期间可以做一些机械的活，如写标题、画图框等。 要搞清楚设计对象的功能和性质， 要搞清楚基地的环境潜在的设计条件，是否需要退让、是否需要功能协调等。 要搞清楚形象和形体，需要产生什么样的文化联想？ 90分钟构思立意：必须边想边画草图，多草没关系，但得有比例关系，小心放不到基地上。 要计算面积和体量，决定空间组合是水平布局还是垂直叠落？ 要计算基地的面积和尺寸，决定总平面布局的空间次序和外部空间的形式。 30分钟尺寸放样：在准备好的正式图纸上，用铅笔放样，最好“H”以上，不会脏图。 千万别在另一张纸上先画好了，再誊到正式图上，基本只有下次再考了。 要按要求的平立剖面图的图纸比例，计算每个图有多大，进行简单图面排版。 最好先确定柱网或空间的基本模数，在平立剖面上，铅笔画上轴线，不会错。 60分钟细部设计：决定平立剖面的细部和空间处理，同步画透视的草图。 注意平立剖面图的相互对应关系，注意透视的方位和表现的细节。 1 小时该吃饭了：别弄脏图纸。（也许没有） 4 小时绘图表现：不需要很多线条和色彩，不是显摆咱笔多，清晰明了，统一是关键。 30分钟拾遗补漏：看看还有遗漏，看看任务书，有无没完成的内容，别忘了按要求写名字号码。 2006同济景观复试快题设计总体感受(转) 昨日进行了2006年的景观复试 W正好被安排在现场监考6小时 总体感觉是相当数量的考生还是没能顾全大局在个别细部精雕细琢最后才发现时间已经远远不够只好草草收场 这是快题考试的大忌！ 在开考前已经多次“友情提示”看好题目看清楚想明白
东北大学离散数学复习总结(满分版)
方法、知识点总结（知识重点和考题重点） 前三章重点内容（知识重点）： 1、蕴含（条件）“→”的真值 P→Q的真值为假，当且仅当P为真，Q为假。 2、重言(永真)蕴涵式证明方法 <1>假设前件为真，推出后件也为真。 <2>假设后件为假，推出前件也为假。 易错 3、等价公式和证明中运用
4、重要公式 重言蕴涵式：P∧Q => P or Q P or Q => p∨Q A->B =>(A∧or∨C)->(B∧or∨C) 其他是在此基础上演变 等价公式：幂等律P∧P=P P∨P=P 吸收律P∧(P∨Q)=P P∨(P∧Q)=P 同一律P∨F=P P∧T=P P∨T=T P∧F=F P <-> Q = (P->Q)∧(Q->P) = (P∧Q)∨(﹁P∧﹁Q) 5、范式的写法（最方便就是真值表法） 6、派遣人员、课表安排类算法： 第一步：列出所有条件，写成符号公式 第二步：用合取∧连接 第三步：求上一步中的析取范式即可 7、逻辑推理的写法 直接推理论证：其中I公式是指重言蕴涵式那部分 其中E公式是指等价公式部分 条件论证: 形如~ , ~, ~ => R->S
R P(附加条件) ... ... S T R->S CP 8、谓词基本内容 注意：任意用—> 连接 存在用∧连接 量词的否定公式 量词的辖域扩充公式
量词分配公式 其他公式 9、带量词的公式在论域内的展开 10、量词辖域的扩充公式 11、前束范式的写法 给定一个带有量词的谓词公式， 1)消去公式中的联接词→和←→(为了便于量词辖域的扩充)； 2)如果量词前有“﹁ ”，则用量词否定公式﹁ ”后移。再用摩根定律或求公式的否定公式，将“﹁ ”后移到原子谓词公式之前； 3)用约束变元的改名规则或自由变元的代入规则对变元换名(为量词辖域扩充作准备)； 4)用量词辖域扩充公式提取量词，使之成为前束范式形式。 简要概括：1、去-> ，<-> 2、移﹁ 3、换元 4、量词辖域扩充
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结
数理逻辑部分 第2章一阶逻辑 2.1 一阶逻辑基本概念 个体词（个体）: 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围 有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成 谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项：F(a)：a是人 谓词变项：F(x)：x具有性质F 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n≥2): 表示事物之间的关系 如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x≥y，… 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项 量词: 表示数量的词 全称量词?: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如?x 表示对个体域中所有的x
存在量词?: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如?x表示在个体域中存在x 一阶逻辑中命题符号化 例1 用0元谓词将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲 符号化为p, 这是真命题 在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲 符号化为F(a) 例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 . 解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为?x G(x) (2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为?x G(x) (b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中
离散数学课程总结
离散数学课程总结 姓名： 学号： 班级：级计科系软件工程（）班 近年来，计算机科学与技术有了飞速发展，在生产与生活的各个领域都发挥着越来越重要的作用。离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程。 一、课程总结 本书的主要内容有数理逻辑、集合论、代数结构、组合数学、图论以及初等数论六部分，而我们主要学习的有第一部分数理逻辑、第二部分集合论以及第五部分图论，第三部分代数结构也学习了一部分。第一部分：数理逻辑 数理逻辑是研究推理的数学分支，推理有一些列的陈述句组成。在数理逻辑中，主要学习了命题逻辑的基本概念、命题逻辑的等值演
算、命题逻辑的推理理论、一阶逻辑基本概念、一阶逻辑等值演算与推理。 1.在命题逻辑的基本概念中学习了命题的真值及真值表、命题与联 结词、命题及其分类、联结词与复合命题、命题公式及其赋值。2.在命题逻辑的等值演算中主要学习了等值式与基本的等值式模式、 等值演算与置换规则、析取范式与合取范式，极大值和极小值，主析取范式与主合取范式、联结词完备集。 3.在命题逻辑的推理理论中主要学习了推理的正确与错误、推理的 形式结构、判断推理正确的方法、推理定律；自然推理系统P、形式系统的定义与分类、自然推理系统P，在P中构造证明：直接证明法、附加前提证明法、归谬法。 4.在一阶逻辑基本概念中主要学习了一阶逻辑命题符号化、个体词、 谓词、量词、一阶逻辑公式及其解释、一阶语言、合式公式及合式公式的解释、永真式、矛盾式、可满足式。 5.在一阶逻辑等值演算与推理中主要学习了一阶逻辑等值式与基本 等值式、置换规则、换名规则、代替规则、前束范式、自然推理系统N及其推理规则。 第二部分：集合论 在集合论中，主要学习了集合代数、二元关系和函数。 1.在集合代数中，学习了集合的基本概念：属于、包含、空集、元 集、幂集、全集；集合的基本运算：并、交、补相对、对称差等； 集合恒等式：集合运算的主要算律、恒等式的证明方法。
第三单元快题设计的表现方法
第三单元 快题设计的表现方法 能力目标： 掌握快题设计的表现方法。 知识目标： 了解快题设计表现的三项任务。 重点难点与解决方案： 重点难点：快题设计的表现方法。 解决方案：针对具体情况分析、讲解，帮助同学们树立信心，找方向，结合历届毕业生情况介绍，并组织同学发言、交流。 教学活动设计概要：（包括实施步骤、教学内容、方法手段、学生活动、时间分配、学习成果评价标准） 第二章 快题设计的表现方法 第一节 快题设计的常用工具 一、绘线工具：针管笔和马克笔。针管笔以一次性的为好 二、着色工具：彩铅、马克笔、水彩、水色等。 三、纸张：纸我通常用两种：一种是普通的复印纸，用来起稿画草图，另一种是硫酸纸（A3-A4） 四、辅助工具：圆规，三角板，直尺等 第二节 快题设计表现有三项任务 一、线条图形的快速绘制——内容包括图形的主要基线，轮廓线；透视效果图线条表现；绿化、配景、陈设线条和各种字体。这部分内容占据3/5的作业时间，是制作的主体、表现的基础。 二、影调、色彩的快速铺陈——内容包括图形的影调与材质色彩；绿化与配景的影调、纹理和色彩；各种用以调整构图的字体与装饰色块的填色。这部分内容虽然只占1/5的作业时间，却很影响最终的表现效果。 三、版面构图设计与调整——内容包括版面内各种图形的常用布局程式；针对敏感部位的构图检查方法；构图失衡时的调整手段。这部分内容占据作业时间很短，费神而不费力。开局和收尾总是关键。 第三节 快题设计的表现技法
1、方案草图的表现 草图设计方案构思的随意性表现，也就是把头脑中的概念、审美意识、感性分析用简单的线，块，面的方式表现设计分析过程。简约而具有摸索性。 这个阶段是在快题设计表现在图纸之前的工作阶段，是对个人思考的演化，是对萌生新设计，寻找火花的记录。 2、图面组合 一张快题设计表现图，包括平面、立面、透视效果图等组成。这些图纸各有特点，只要巧妙的把他们组合在一起，就能得到良好的效果。图面组合是在做快题设计首要面临的问题，一般图面组合通常采用两种方法： 一是按一定的比例把多个图纸缩小，然后勾勒出几种不同的组合形式进行比较，从中确定一个比较理想的构图。 二是把方案设计草图在图板上做排列组合，找到合适的构图感。 为使画面完整统一又富有变化，必须处理好以下几个关系： 1.主与从的关系：避免平均对待，应突出重点； 2.疏与密的关系：画面不易均匀填满，有些内容相对集中，其他部分予以放松，以其求得疏密的对比与变化。联系到前面所讲的主从变化，可以认为重点所在，必然也是内容集中、变化丰富、要素密集的地方。 3.黑白灰的关系：在表现图中为了求得色调的统一与变化,黑白灰分别占有适当的比重，并且相互穿插，交织，叠合而达到你中有我，我中有你，共同组合成统一的图案。 是指最深的色调，例如平面中墙的切断面，立面中门窗洞口或者阴影。这些地方巧妙的加以表现，就会使画面充满生气。白是指图与图之间的间空，白可以是纯白也可以是浅色调，与黑形成对比。灰在着色上强调过度与渐变空间。 三、平面图表现技法 设计方案的平面在表现图中占有重要的地位，一般情况下都是被当做重点充分表现的。 表现技法： 1.定出房间的划分： 开间、进深或者柱网排列的轴线，用级轻级细的导线来完成，标注尺寸。墙的厚薄要注意，适合画面比例就行，不要过厚或者成为单线。墙线的粗细表现跟CAD绘制图中线性区别是一样的道理。 2.表现出室内家具陈设及地面肌理，使设计布局一目了然。 家具陈设用单细线表示即可，根据房间特点选择具有代表性的家具陈设进行详细表现。各种地面的处理，即材料的表现。例如：马赛克应该小而密，而大理石或者预置水磨石可以大一些。地面分格线不需要太张扬，注意不要喧宾夺主了。 四、立面图的表现技法 立面表现图的效果取决于以下几个方面表现： 1.凸凹层次 2.光影 3.虚实关系 4.材料色彩与质感 五、.透视图的表现技法 1.透视的基本原理 一点透视：又称平行透视，就是有一面与画面成平行的正方形或长方形物体的透视，只有一个消失点。这种透视表现范围广，纵深感强，整齐稳定，适合于表现庄重的室内
离散数学部分概念和公式总结
离散数学部分概念和公式总结 命题：称能判断真假的陈述句为命题。 命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。 命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。 命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。 （2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。 （3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。 主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。 主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。 命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A?B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。 约束变元和自由变元：在合式公式?x A和?x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A?B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。 前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。 笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。 二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。特殊关系：（1）、空关系：Φ（2）全域关系：EA={
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总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项 (m) 之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为 0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项 时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为 1 的项为极小项，值为0 的项为极大项； 7.n 个变元共有2n个极小项或极大项，这2n为(0~ 2n -1)刚好为化简完 后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法 (=>) ：真值表法；分析法 (假定前键为真推出后键 为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则， T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 第三章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取 ^;
3.既有存在又有全称量，先消存在量，再消全称量； 第四章集合 1.N ，表示自然数集， 1,2,3 ??，不包括 0； 2.基：集合 A 中不同元素的个数， |A|； 3.集：定集合 A，以集合 A 的所有子集元素成的集合，P(A) ； 4.若集合 A 有 n 个元素，集 P(A) 有2 n个元素， |P(A)|= 2| A| = 2 n； 5.集合的分划： (等价关系 ) ①每一个分划都是由集合 A 的几个子集构成的集合； ② 几个子集相交空，相并全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比： 分划：每个元素均出且出一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出，没有要求只出一次； 第五章关系 1.若集合 A 有 m 个元素，集合 B 有 n 个元素，笛卡 A×B 的基数mn， A 到 B 上可以定2mn种不同的关系； 2.若集合 A 有 n 个元素， |A ×A|= n2，A 上有2n2个不同的关系； 3.全关系的性：自反性，称性，性； 空关系的性：反自反性，反称性，性；
快题设计总结
快题设计总结 所针对报考学校及专业：重庆大学建筑设计及其理论 所论述作图工具与纸张：钢笔尺规+马克笔+白纸 提纲：一，关于工具的选择 1．铅笔 2。绘图笔 3。草图笔 4．马克笔 5．草图纸 6．硫酸纸 7．其他工具 8．饮品 一，关于工具的选择 1．铅笔：4—6B的软铅笔用来画构思草图。HB—2B的硬铅笔用来画一些控制线和细节。0.7的自动铅笔备一支。 2。绘图笔：推荐德国产的施德楼pigment liner，灰色杆，粗细选用0.2---0.7。这笔的价格适中。好处就是干得比较快，上马克的时候不容易把图蹭黑。强烈不建议红环一次性,水太大，容易蹭。也反对红环绘图针管笔，笔尖是金属的，出水慢，常断线，也容易划伤纸。 3。草图笔：推荐stabilo的。不分粗细。常用红，兰，绿，黑等颜色。大到构思小到轴线网格都可以用其来画。 4．马克笔：马克笔较快，也较易出效果。当然如果有功底的兄弟姐妹选用彩铅之类也可。对于色彩和马克笔功底比较弱的同学，建议多用灰色系。浅灰到黑的各个层次的都要有。绿。蓝，主选灰色调的。比较艳丽的大红，大绿，大兰，大黄只用来画比例人。 5．草图纸：用来构思的要提前裁好，裁成你用着最顺手的大小。 6．硫酸纸：可用白色硫酸纸，略带颜色的也行，就当有了个底色。硫酸纸的图显正式，而草图纸皱皱的。硫酸纸比草图纸也结实，不易弄破。裁五张左右小一号的（为了换纸方便，不推介裁成标准一号大的），打上黑色边框。一张直接用电工胶带贴在一号板上。可省去考场上裁纸，打框的时间。要知道，集少成多，考场上的每一秒钟都很关键。 7．其他工具：大号的工具盒，比例尺，橡皮、刀子、双面胶带、透明胶带、电工胶带，三角板、90厘米的一字尺绑好在一号画板上、圆模版、曲线板，红环圆规加红环针管笔专门用来画圆。 8．饮品：两罐红牛。建议考场上少喝水，虽然可以出去方便，但是时间是自己的。 二，关于表现的训练 1．钢笔练习 2．透视感 3．一点与两点透视 4．马克笔练习 5．用色的复色原理 6．透视中钢笔线多些 7．透视图的大小 8．大的图面效果 9，表现与方案哪个重要 10．时间安排 1．钢笔练习：以临摹为主。先掌握一套纯钢笔的程式化的表现技法。学会如何求透视，学会如何表达透视关系。这方面的书很多。推介钟训正的《建筑画环境表现技法》和彭一刚的《建筑绘画与表现图》这两本老院士的书讲的都很系统，详尽；范例也是经久考验的名作。无论从哪方面来说，远非那些后辈们的泛泛而谈可比。认真研究与临摹几个月，会有比较大的进步。 2．透视感：表现透视感就两条原则：形象上近大远小，前后遮挡：灰度上前后互挤，同面退晕。
大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)
1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项，这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则，T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 3.谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 4.集合 1.N ，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A 中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A ，以集合A 的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A 有n 个元素，幂集P(A)有n 2个元素，|P(A)|=||2A =n 2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 5.关系 1.若集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，则笛卡尔A ×B 的基数为mn ，A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系； 2.若集合A 有n 个元素，则|A ×A|=2n ，A 上有22n 个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4.前域(domR)：所有元素x 组成的集合； 后域(ranR)：所有元素y 组成的集合； 5.自反闭包：r(R)=RU Ix ; 对称闭包：s(R)=RU 1-R ; 传递闭包：t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系：集合A 上的二元关系R 满足自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系； 7.偏序关系：集合A 上的关系R 满足自反性，反对称性和传递性，则称R 是A 上的一个偏序关系； 8.covA={