2006年北京市崇文区第二学期高三期末统一练习(一)数学(理)试题

2006年北京市崇文区高三统一练习数学（理）试题

第一卷（选择题，共40分）

一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知向量a ＝（－5，3），b ＝（2，x ），且a//b ，则x 的值是 A.

6

5

B.

103

C. -

65

D. -

103

2. 已知集合A x x x =-=-{|()}332，B x x x =-=-{|}33，p x A ：∈，q x B ：∈，则p 是q 的

A. 充分条件，但不是必要条件

B. 必要条件，但不是充要条件

C. 充分必要条件

D. 既不是充分条件，也不是必要条件

3. 椭圆x y 2

24

1+=上的一点P 到左焦点的距离为1，则它到相对应的准线的距离为 A.

32

B.

23

3

C. 1

D.

43

3

4. 如果复数

11++bi

i

（b R ∈）的实部和虚部互为相反数，则b 等于 A. 0 B. 1 C. -1 D. 2

5. 已知直线m 、n 及平面α、β，则下列命题正确的是

A. m n //////αβαβ?

??

?

B. m m n n //////αα???

?

C.

m m ⊥⊥?

??

?ααββ//

D.

m n m n ⊥?

??

?⊥αα// 6. 欲对某商场作一简要审计，通过检查发票及销售记录的2％来快速估计每月的销售总额。现采用如下方法：从某本25张的发票存根中随机抽一张，如15号，然后按序往后将40号，65号，90号，…发票上的销售额组成一个调查样本。这种抽取样本的方法是 A. 简单随机抽样 B. 系统抽样 C. 分层抽样 D. 其它方式的抽样 7. 已知θ是第二象限角，sin θ=45，则tan()θπ

24

-的值为 A. 7

B. -

1

3

C. 13

D. -43

8. 函数f x ()和g x ()的定义域为［a ，b ］，若对任意的x a b ∈[]，，总有|()()|11

10

-

≤g x f x ，

则称f x ()可被g x ()“置换”。下列函数中，能置换函数f x x ()=，x ∈[]416，的是

A. g x x ()()=

+1

5

6，x ∈[]416， B. g x x ()=+26，x ∈[]416， C. g x x ()=+6，x ∈[]416， D. g x x ()=+26，x ∈[]416，

第二卷（共110分）

二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。

9. 若x y x y ≥≥+≤???

?

?126，则目标函数z x y =+2的最小值为_____________

10. 函数f x x x x x R ()cos (sin cos )()=-+∈222取得最大值时，自变量x 的集合是_____________

11. 小明上楼梯每步可以登一级或两级台阶，若小明上有四级台阶的楼梯，则有_____________种不同的走法。

12. 若()127

+x 展开式的第三项为168，则x ＝_____________

13. 已知x R ∈，［x ］表示不大于x 的最大整数，如[]π=3，[]-=-1

21，[]12

0=，则

[]-=3_____________；使[]x -=13成立的x 的取值范围是_____________

14. 双曲线

x y 22

916

1-=的左、右焦点为F 1、F 2，则左焦点F 1到渐进线的距离为_____________，若双曲线上一点P 使得∠F PF 12为锐角，则P 点横坐标的取值范围是_____________。

三. 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. 本小题共12分

已知一次函数f x ax ()=-2

（I ）当a =3时，解不等式|()|f x <4； （II ）当函数g x f x x ()(sin )()=-≤≤

26

3

π

π

的最大值为4，求实数a 的值。

16. （本小题共14分）

如图，直三棱柱ABC －A’B’C’中，CB ⊥平面ABB’A’，点E 是棱BC 的中点，AB ＝BC ＝AA’

（I ）求证直线CA’//平面AB’E ；

（II ）求二面角C －A’B’－B 的大小；

（III ）求直线CA’与平面BB’C’C 所成角的大小。

17. （本小题共13分） 已知数列{}a n 满足

a a n n n N n n n -=+-∈>11

1

1()*，，a 12= （I ）求证：数列{}a n 的通项公式为a n n n =+()1 （II ）求数列{

}1

a n

的前n 项和T n ； （III ）是否存在无限集合M ，使得当n M ∈时，总有||T n -<

11

10

成立。若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由。 18. （本小题共13分）

某足球赛事中甲乙两中球队进入决赛，但乙队明显处于弱势，乙队为争取胜利决定采取这样的战术：顽强防守，0：0逼平甲队，进入点球大战。现规定：点球大战中每队各出5名队员，且每名队员都踢一球，假设在点球大战中双方每名运动员进球概率均为3

4

。求： （I ）乙队踢进4个球的概率有多大？

（II ）5个点球过后是4：4或5：5平局的概率有多大？ 19. （本小题共14分）

已知f x ax x cx ()=++3

2

是定义在R 上的函数，f x ()在［－1，0］和［4，5］上是减函数，在［0，2］上是增函数。 （I ）求c 的值；

（II ）求a 的取值范围；

（III ）在函数f x ()的图象上是否存在一点M （x 0，y 0），使得曲线y f x =()在点M 处的切线的斜率为3，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由。

20. （本小题共14分）

过抛物线x px p 220=>()的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点 （I ）证明：?ABO 是钝角三角形； （II ）求?ABO 面积的最小值；

（III ）过A 点作抛物线的切线交y 轴于点C ，求线段AC 中点M 的轨迹方程。

2006年北京市崇文区高三统一练习数学（理）试题答案

一. 选择题 1. C 2. B

3. B

4. A

5. D

6. B

7. C 8. A

二. 填空题 9. 4 10.

π，{|()}x x k k z =-

∈ππ

8

11. 8 12.

14

13. 2 14. 4，x <-3415或x >341

5

三. 解答题

15. 解：（I ）若a ＝3，则f x x ()=-32

∴

3

2 ∴不等式的解集为{|}x x -

<<2

3

2 4分

（II ）|()|||f x ax ax ax

当a>0时，不等式的解集为{|}x a x a -<<26 当a<0时，不等式的解集为{|}x a x a

62

<<-

9分

（III ）|()|||f x ax ≤?-≤323 ?-≤-≤?-≤≤32315a x a x

?≤≥-???

ax ax 5

1

又x ∈(]01，

所以，-≤≤≠150a a ，

13分

16. 证明：（I ）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，AD 为交线，CD ⊥AD

∴⊥CD 平面PAD AE ?平面PAD

∴⊥AE CD

又 ?PAD 为正三角形，E 为PD 中点

∴⊥AE PD

PD DC D ?= ∴⊥AE 平面PCD 5分

（II ）作PQ//AB 且PQ ＝AB ，连QB 、QC 可得AD ＝BC ＝BQ ＝AP ＝DP ＝CQ ∴???PAD QBC

CD ⊥平面PAD ，所以CD PD CD PA ⊥⊥， ∴⊥⊥PQ BQ PQ CQ ，

∴∠B Q C 是平面PAB 与平面PDC 所成二面角的平面角

∠=∠=B Q C APD 60

∴平面PAB 与平面PDC 所成二面角的大小为60°

10分

（III ）作BF QC ⊥，则F 为QC 中点，连PF EF AB //

∴四边形AEFB 是平行四边形，BF//AE AE ⊥平面PDC ∴⊥BF 平面PDC

∴∠BPF 是BP 与平面PDC 所成的角 设PA ＝a ，则BF a =

3

2

，BP a =2 则由直三角形PFB 可得

s i n

∠==BPF BF BP 6

4

∴∠=BPF arcsin

64

∴直线PB 与平面PDC 所成角的大小为arcsin 64

14分

17. 解：（I ）乙队以4：3点球取胜的概率为 P C C =54

4

53

3

2

3

4

14

34

14

()()()()

=?=2532

01047

19.

6分

数学期望

E ξ=+++++=012115224523135244052524323751010991010(/)(/)(/)(/)(/)(/).

13分

18. 证明：（I ）由32S n a n n =+() 得31211S n a n n n --=+≥()()

二式相减得3211a n a n a n n n =+-+-()() ()()n a n a n n -=+-111 ∴

=+-≥-a a n n n n n 11

1

2() ∴

=-===--a a n n a a a a a n n 12322112423

1

2；；；； 叠乘得：a n n n N n =+∈()()*

1 7分

（II ）

11111

1

a n n n n n =+=-+() ∴=-

+-+-++-+=-+=+T n n n n n n 112121313141111111

10分

（III ）令|||

|T n n n n -=+-=+<11111110

得：n n +>>1109，

故满足条件的M 存在，M n N n n N =∈>∈{|}*9，是一个这样的集合 12分

19. 解：（I ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 方程y kx p

=+

2

由y kx p x py =+=?

???

?222，得x pkx p 2220--=

∴=-=x x p y y p 122

122

4

，

∴→?→=+=-+=-

224340 ∴∠=→?→

→→

||||

A O

B OA OB

OA OB 0 ∴∠A O B 为钝角，?ABO 为钝角三角形 5分

（II ）由（I ）x x p 122

=-，x x pk 122+=

∴=

-S OF x x ABC ?1

212|||| =+-p

x x x x 4

412212() =+=+≥p p k p p k p 4442

12

222

22

2

()

当k ＝0时取等号

∴?ABO 面积的最小值是p 2

2

9分

（III ）解法一

由x py 2

2=，得y p

x =

122

∴=

y p

x '1

∴过点A 的抛物线的切线方程为y y p

x x x -=

-1111

() 令x ＝0，得y x

p

y y y y =-+=-+=-12

11112

∴线段AC 中点M 为（x ，0）

∴点M 的轨迹方程为y x =≠00()

14分

解法二

设过点A 的切线方程为y k x x y =-+()11

由y k x x y x py

=-+=???()11

22得x pkx pkx py 2112220-+-=

令?=--=442202211p k pkx py () 解得k p

x =

11 ∴切线方程为y p

x x x y =

-+1

111() 令x ＝0，得y x

p

y y y y =-+=-+=-12

11112

∴线段AC 中点M 为（x ，0）

∴点M 的轨迹方程为y x =≠00()

14分

20. 解：（II ）原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线y ＝x 上

2分

（III ）证明：设点（a ，b ）是f x ()的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关于直线y ＝x 对称，则点（b ，a ）也是f x ()的图象与其反函数图象的交点，且有

b f a a f b ==()()，

若a ＝b 时，交点显然在直线y x =上

若a

若a

综上所述，如果函数f x()是增函数，并且f x()的图象与其反函数的图象有交点，则 上；

交点一定在直线y x

如果函数f x()是减函数，并且f x()的图象与其反函数的图象有交点，则交点不一定在直线y＝x上。14分