不等式解法习题集含答案
不等式的解法
解一元二次不等式的基本步骤：
1、通过去分母、去括号、合并同类项等同解变形后将一元二次不等式变成标准形式
20
ax bx c
++=（简称“右化零”）
2、将二次项系数a化为正数
3、求判别式?
4、如果判别式?大于等于0，顺便求出1x和2x，如果判别式?小于0，
5、结合判别式以及两根画出对应的二次函数的草图
6、结合图像写出不等式的解集。
解不等式原理和思想：
一、同解变换原理：（略）
二、解一元高次不等式的注意事项： 1、右化零 2、左分解
3、查各因式的首项系数是否为正
4、检查是否有相同因式的指数没有合并
这里3和4其实都是因式分解是否彻底的标准
5、求各因式等于零时对应的x 值，也就是所谓的零点（求零点）
6、画一条数轴
7、在数轴上将各零点按从小到大（或者从大到小）的顺序依次标出（标根）
8、从最大的零点（根）的右上方引入一条曲线依次经过各个零点，经过零点的时候遵循奇过偶不过的原则（即该零点对应的因式的次数为奇数时曲线经过这个零点时需跨越数轴，否则就不穿越数轴，也就是原来曲线在上方经过零点后曲线还停留在上方）
9、根据不等式是大于0还是小于0或者不大于0等等具体要求，标出曲线对应的区域， 10、写出满足条件的区域对应的区间或者解集。
注意：易错点：
（1）相同因式的次数不合并 （2）首项系数不化正
（3）画曲线时曲线走向不清楚或者没有完全覆盖(),-∞+∞ （4）一元二次多项式分解彻底的标准： 在实数范围内分解彻底需满足：0?≥
在实数范围内分解彻底需满足：0?≥，并且()2
k k ?=这里为整数
（5）奇过偶不过
（6）23x x 和等x 的幂不能随便约分，它们也有相应的零点（零点就是0），不能漏画它们对应的零点，
（7）大于等于0时往往是先只考虑大于0的解，然后在单独考虑等于0的解，最后两者取并集即可。小于等于0类似处理。
三、分式不等式的求解步骤： 1、右化零 2、左通分
3、分式不等式同解转换成不等式组处理。一个是分子分母之积的不等式 一个是分母不等于零的不等式
4、对于分子分母之积的不等式按一元高次不等式不等式的求法进行
对于分母不等于0的不等式，先求出分母等于0的x 的取值，然后全部都挖掉（舍去） 5、画数轴，结合数轴指出不等式的解集
分式不等式特指分母中含有未知数的不等式，解分式不等式的基本思想是将其化归为整式不等式来解。在由分式不等式向整式不等式的转化中，变形的等价性尤为重要，因此，解分式不等式一般不去分母，而先将分式不等式化归为
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()
0f x g x >的形式，再实施同解变形，即()()()()()()()()
00
0000f x f x f x f x g x g x g x g x >?>???>
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00f x g x f x g x g x ≥??≥??≠??
易错点：千万不要随便约分或者两边同时除以某个平方数（式） 分母不等于0的点一定不要忘记舍掉。 在第一步时千万不要两边同时乘以分母。
根式不等式：
1、尽量将根式不等式整理成我们熟悉的几种形式，
2、利用同解转换原理，将相应的根式不等式化为对应的不等式组，
3、解相应的不等式组即可。
根式不等式常用解法: 一、等价转换 二、图像法 三、平方法
根式不等式的常见同解转换形式如下：
(
()()()()()()()2
00100f x f x g x g x g x f x g x ?≥?≥???
≥?≥?
?
(()()()()()()()2
00200f x f x g x g x g x f x g x ?>?≥???
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30
f x
g x g x f x g x ?≥??
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g x g x f x g x ?≥??
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g x f x g x ≥??
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()
00
90h x g x f x f x g x h x ≥??
≥?>??
≥??
+?+
易错点：
容易忽略有两种类型的根式不等式在进行同解转换时会出现两种情况。
绝对值不等式： 1、基本类型利用同解转换原理和等价不等式除掉绝对值符号（|x|>a 和|x| 绝对值不等式的常用解法： 1、等价转换 2、几何意义 3、平方法 4、零点分段讨论法 绝对值不等式的常用等价转换： ()()()()()()()()()()()()()()()()() 12f x g x f x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x -??>?><-或 零点分段讨论法： 1、检查各绝对值里面的多项式的首项系数是否为正，如果不是正的，要变正， 2、求出各绝对值等于零时对应的x 的值，（求零点） 3、画出数轴，并把各零点按从小到大的顺序依次标出，然后以这些零点为界，将数轴划分成若干区间段（如有3个零点，则可将区间分成4个区间段） 4、从数轴上最左边的区间段进行讨论，按从左往右依次进行，分别化简原不等式，达到化绝对值不等式为普通的不含绝对值不等式的目的，并求出该不等式对应的解，然后综合取此解与它所在的区间的交集。 5、对所有分段区间得到的解集取并集。 易错点： 检查各绝对值里面的多项式的首项系数是否为正，分段讨论取绝对值符号是要正确判断去完绝对值符号后所得的式子应该是什么形式。 因式分解常用方法： 提取公因式法 公式分解法 分组分解法 求根分解法（因式定理） 十字相乘法（交叉相乘法） 待定系数法 拆项法 添项法 双十字相乘法 指定主元法（反客为主法） 换元法 轮换对称式 1. 23(2)(1)(1)(2)0{|22112} x x x x x x x x +-+- 题1 2. |32|4 43243243241371 7 3 x x x x x x x x x x x x -≤+?--≤-≤+-≤+??? -≥--?-≤??? ≥??-≤≤ 3. |1|2121(2)2112 1 212 1 {|} 2 x x x x x x x x x x x +≥-?+≥-+≤--?≥≤-?≥?≥ ≥或或或x不存在 解集为 4. 2222 |24|11241 25023022()(022(3)(1)01131 1131{|1131x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --??+- -??-<<-???<<-<<+<<-<<+或或解集为或 题4 5. 22222|1|2 121(2)3010 11(0221122x x x x x x x x x x x x x x ->+?->+-<-+?-->++<-+?- ->+?>< ，或，或，或x不存在或 6. 3 |21||3|63312638 8 3 1 32 31262232 1 2 213634 4343 4 {|2} 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x <--++≥<--+-≥-≥≤- -≤<++-≥-≥≤--≤≤-≥-++≥≥≥ ≥ ≤-≥解： ①当时 即此时②当时 即此时③当时 即此时综上，原不等式的解集为或 题6 7. |21||3||2|6|21||3||x 2|633(2)(21)655 1 32 3(2)(21)626x 1 22 21(2)(21)6 323 2 2 2213(2)612 {|x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++--≥?-++--≥<-------≥≤-≤--≤<+----≥≥≤<-----≥≥ ≤<≥-++--≥≥≥①当时 即此时②当时 即此时不存在 ③当时 即此时④当时 解得此时综上不等式的解集3 5} 2 x x ≤-≥或 8. ()() 2 24520x x x x --++< ()()() 25120x x x x ?-+++< ()()510x x ?-+< 15x ?-<< 9.()()()()5 21480x x x x ++--≤- ()()()()5214800x x x x ?++--+≤ ()()()()5421800x x x x ?????+-+-+≤???? ()() 22 20 2800x x x x ?+-+-+≤ ()()202800t t ?--+≤（令2t x x =+） 2221200t t ?-+≤ ()()10120t t ?--≤ 1012t ?≤≤ 21012x x ?≤+≤ 22100120 x x x x ?+-≥??+-≤? ()()11022430x x x x ?????---+--≥? ? ?? ? ???????? +-≤?? 11或2 243 x x x ?-+--?≥ ?≤??-≤≤? 114或322 x x ---+?-≤≤ ≤≤. 10.解：() ()()2 2 1 210x x x +--≥ 原不等式的解集为 {} -≥=1或1x x x 容易漏掉x=‐1这个遥远的点。 11.解： ()() 2 2120x x x ---≤ ()()()2 1210x x x ?--+≤ 原不等式的解集为{} 12x x -≤≤ 12.()()()2 3 4 520x x x ++-< ()()()2 3 4520x x x ?++-> 原不等式的解集为{}5或54或2x x x x <--<<-> 13.解： ()()() 2 21120x x x x ----< ()()()()()111210x x x x x ?-+--+< () () ()2 2 1120x x x ?+--< 原不等式的解集为{}1或11或12x x x x <--<<<<. 14. 22(1)(2)(1)0 {|1} 1x x x x x x -≥=-+-≥原不等式的解集为或 15. 32 2222232 0712 (32)(712)07120(1)(2)(712)0 7120(1)(2)(3)(4)0(3)(4)034{|12} x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+≤-+-?-+-+-≤?? -+-≠??---+≥?? -+≠? ----≥??? --≠? ≤≤<>原不等式的解集或或 易错点：分母不能为0 16. 2222222 22222222 22911 7 2191170 21 9117147021 6540 (1)(654)(1)0(1)0(654)(1)0 (1)0(2+1)(34)(1)0 (1)01 {|112 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+≥-+-+?-≥-+-+-+-?≥-+-++?≥-?-++-≥?? -≠??---≤??-≠? ?--≤?? -≠? -≤<<≤所以不等式的解集为或4} 3 易错点： 直接两边乘以分母 17.解： 2 2331 x x x ->++ ? 223301 x x x -->++ ?22 2333301x x x x x ---->++ ?22 36101 x x x x --->++ ?()() 2236110x x x x ---++> ?()() ++<223+6+110x x x x ?() <++223+6+10因为1恒大于0x x x x 663066x x ???? ---+?--< ? ? ? ????? 333033x x ????---+?--< ? ? ? ????? 3333 x ---+? <<， 原不等式的解集为33x x ?-+?< 18.解： ()()() () () () 2 34 5 6 1120345x x x x x x +--≤--- ()()()()()()()()()23456456 1123450 3450x x x x x x x x x ?+-----≤? ???---≠? 原不等式的解集为{} ≤-<<=≤<1或或23或314x x x x x 易错点: 容易漏掉x=1. 19.解：()() () ()2 3 2 1130x x x x ++--> 原不等式的解集为 {} 21或11或3x x x x -<<--<<> 20.解：()() () () 2 3 2 1130x x x x ++--≥ ()()()()2 3 21130x x x x ?++--≤ 原不等式的解集为{} =-≤-≤≤12或或13x x x x 易错点: 容易漏掉x=‐1. 21.解： ()()() 2 21120x x x x ----≤ ()()()()()111210x x x x x ?-+--+≤ () () ()2 2 1120x x x ?+--≤ 原不等式的解集为 {}2x x ≤ 22.解： ()()()() 2 12034x x x x -+≤-- ()()()()()()212340340x x x x x x ?-+--≤???--≠?? 2或1或34 3且4x x x x x ?≤-=≤≤?? ≠≠? 原不等式的解集为{} =≤-<<12或或34x x x x 易错点: 容易漏掉x=1. 易错点：不能随便约分，哪怕是平方式 () -2 1x 。 23.解：22 32 023 x x x x -+≤-- ()() 22232230 230x x x x x x ?-+--≤????--≠? ()()()()()()21310310x x x x x x ?---+≤???-+≠?? 原不等式的解集为{} 11或23x x x -<≤≤< 24、解： 第九章、不等式（组）单元测试题 一、 选择题（.每题3分，共30分） 1、如果a 、b 表示两个负数，且a ＜b ，则( )． (A)1>b a (B)b a ＜1 (C)b a 11< (D)ab ＜1 2、 a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )． (A)若a ＞b ，则a 2＞b 2 (B)若a 2＞b 2，则a ＞b (C)若a ≠b ，则｜a ｜≠|b | (D)若｜a ｜≠|b |，则a ≠b 3、 若由x ＜y 可得到ax ＞ay ，应满足的条件是( )． (A)a ≥0 (B)a ≤0 (C)a ＞0 (D)a ＜0 4、 若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足( )． (A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜－1 (D)a ＜1 5、 某市出租车的收费标准是：起步价7元，超过3km 时，每增加1km 加收2.4元(不足1km 按1km 计)．某人乘这种 出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x km ，那么x 的最大值是( )． (A)11 (B)8 (C)7 (D)5 6、 若不等式组?? ?>≤ 含绝对值的不等式解法练习题及答案 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58- 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ]答选C． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A．3 B．2 C．－2 D．－5 分析列出不等式． 解根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x＜－2或2＜x≤5，其中最小整数为－5， 答选D． 例3不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析利用所学知识对不等式实施同解变形． 解原不等式可化为4＜|3x－1|≤7，即4＜3x－1≤7或－7例4已知集合A＝{x|2＜|6－2x|＜5，x∈N}，求A． 分析转化为解绝对值不等式． 解∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x－6|＜5 因为x∈N，所以A＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a，b满足ab＜0，那么 [ ] A．|a－b|＜|a|＋|b| B．|a＋b|＞|a－b| C．|a＋b|＜|a－b| D．|a－b|＜||a|＋|b|| 分析根据符号法则及绝对值的意义． 解∵a、b异号， ∴ |a＋b|＜|a－b|． 答选C． 例6 设不等式|x－a|＜b的解集为{x|－1＜x＜2}，则a，b 的值为 [ ] A．a＝1，b＝3 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 分析解不等式后比较区间的端点． 解由题意知，b＞0，原不等式的解集为{x|a－b＜x＜a＋b}，由于解集又为{x|－1＜x＜2}所以比较可得． 答选D． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组．例7 解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R) 绝对值不等式的解法教案 教学目标 （1）掌握与（）型的绝对值不等式的解法． （2）掌握与（）型的绝对值不等式的解法． （3）通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集，培养学生数形结合的能力。 （4）通过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式，培养学生化归的思想和转化的能力。 教学重点：型的不等式的解法； 教学难点：利用绝对值的意义分析、解决问题． 教学过程设计 教师活动 一、导入新课 【提问】正数的绝对值什么负数的绝对值是什么零的绝对值是什么举例说明【概括】 【不等式的代数意义及几何意义】 学生活动 口答：代数意义 几何意义 |a|的意义是a在数轴上的相应点到原点的距离。 设计意图 绝对值的概念是解与（）型绝对值不等式的概念，为解这种类型的绝对值不等式做好铺垫． 【不等式的性质】: ①若a>b ；c∈R 则 a+c>b+c ②若a>b ；c>0 则 ac>bc ③若a>b ；c<0 则 ac 不等式的解集表示为 【设问】解绝对值不等式，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗这个绝对值不等式的解集怎样表示 【质疑】的解集有几部分为什么也是它的解集 【讲述】这个集合中的数都比－2小，从数轴上可以明显看出它们的绝对值都比2大，所以是解集的一部分．在解时容易出现只求出这部分解集，而丢掉这部解集的错误． 画出数轴思考答案 不等式的解集为或表示为，或 2、自主演练：解下列不等式 1） | x | < 4 | x | < -1 | x | ≤ 0 2） | x | > 4 | x | > -3 | x | >0 3、抽象概括绝对值不等式的解集答案：{ x | -4 < x < 4 } Ф 答案：{ x | x>4,或x<-4 } R 初中精品数学精选精讲 学科：数学任课教师：授课时间：年月姓名年级课时 教学课题不等式与不等式组 教学目标 （知识点、考点、能力、方法）知识点：不等式及性质，一元一次不等式，一元一次不等式组。 考点：不等式的解集，一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，列一元一次不等式组解实际问题。 能力：能判断及解不等式组及不等式组，通过具体实例建立不等式，探索不等式的基本性质。 方法：了解一般不等式的解、解集以及解不等式的概念；然后具体研究一元一次不等式、一元一次不等式组的解、解集、 难点 重点 一元一次不等式及一元一次不等式组的解法.实际问题与一元一次不等式（组） 课堂教学过程 课前 检查 作业完成情况：优□良□中□差□建议______________________________________________ 一、知识点大集锦 不等式与不等式组 １.熟悉知识体系 ２．不等式与不等式组的概念 不等式：用“大于号”、“小于号”、“不等号”、“大于等于”或“小于等于”连接并具有大小关系的式子，叫做不等式。 不等式组：几个不等式联立起来，叫做不等式组．（注意：当有A 性质l:不等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），不等号的方向不变； 性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变； 性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变２． ５.解不等式组 解不等式组，可以先把其中的不等式逐条算出各自的解集，然后分别在数轴上表示出来。 （1） 求出不等式组中每个不等式的解集 （2） 借助数轴找出各解集的公共部分 （3） 写出不等式组的解集 求公共部分的规律:大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解. 以两条不等式组成的不等式组为例， ①若两个未知数的解集在数轴上表示同向左，就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同小取小” ②若两个未知数的解集在数轴上表示同向右，就取在右边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同大取大” ③若两个未知数的解集在数轴上相交，就取它们之间的值为不等式组的解集。若x 表示不等式的解集，此时一般表示为a 八下2.6一元一次不等式组 一、选择题 1、下列不等式组中，解集是2＜x ＜3的不等式组是( ) A 、???>>23x x B 、???<>23x x C 、? ??><23x x D 、???<<23x x 2、在数轴上从左至右的三个数为a ，1＋a ，－a ，则a 的取值范围是（ ） A 、a ＜12 B 、a ＜0 C 、a ＞0 D 、a ＜－12 3、不等式组10235x x +??+??，②4x >，③2x <，④21x ->-，从这四个不等式中取两个，构成正整数解是2的不等式组是（ ）A 、①与② B 、②与③ C 、③与④ D 、①与④ 7、如果不等式组x a x b >?? B. 109m > C. 1910m > D. 1019 m > 二、填空题 9、若y 同时满足y ＋1＞0与y －2＜0，则y 的取值范围是______________. 10、不等式组3010x x -+<121m x m x 无解，则m 的取值范围是 ． A B C D 热点2 方程（组）和不等式（组）的解法 （时间：100分钟分数：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题分，共30分，在每小题给出的四个选项中，?只有一个是符合题目要求的） 1 ．不等式 12 5 x + ≤1的解集在数轴上（图3-1）表示正确的是（） 2．在 5 , 1,1,3,2 5,1,7,11 , 2 x x x x y y y y ? = ? =-== ???? ???? =-==- ????= ?? 四对数值中，满足方程 3x-y=2的有（） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3．与3x-6<0同解的不等式为（） A．6>3x B．x>2 C．3x≤6 D．3x>6 4．若a>b，且c为有理数，则（） A．ac>bc B．ac 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 一．课题：含绝对值的不等式的解法 二．教学目标：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法． 三．教学重点：解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次） 不等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间 的交、并等各种运算． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2．当0c >时，||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． （三）例题分析： 例1．解下列不等式： （1）4|23|7x <-≤；（2）|2||1|x x -<+；（3）|21||2|4x x ++->． 解：（1）原不等式可化为4237x <-≤或7234x -≤-<-，∴原不等式解集为17[2,) (,5]22--． （2）原不等式可化为22(2)(1)x x -<+，即12x > ，∴原不等式解集为1[,)2+∞． （3）当12x ≤- 时，原不等式可化为2124x x --+->，∴1x <-，此时1x <-； 当122 x -<<时，原不等式可化为2124x x ++->，∴1x >，此时12x <<； 当2x ≥时，原不等式可化为2124x x ++->，∴53 x >，此时2x ≥． 综上可得：原不等式的解集为(,1)(1,)-∞-+∞． 例2．（1）对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞； （2）对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是(4,)+∞． 解：（1）可由绝对值的几何意义或|1||2|y x x =++-的图象或者绝对值不等式的性质|1||2||1||2||12|3x x x x x x ++-=++-≥++-=得|1||2|3x x ++-≥，∴3a <； （2）与（1）同理可得|1||3|4x x --+≤，∴4a >． 例3．（《高考A 计划》考点3“智能训练第13题”）设0,0a b >>，解关于x 的不等式：|2|ax bx -≥． 解：原不等式可化为2ax bx -≥或2ax bx -≤-，即()2a b x -≥①或2()2a b x x a b +≤?≤ +②， 第九章 不等式与不等式组 全章测试题 一、选择题 1．下列变形错误的是( ) A ．若a －c ＞b －c ，则a ＞b B ．若12a ＜12 b ，则a ＜b C ．若－a － c ＞－b －c ，则a ＞b D ．若－12a ＜－12 b ，则a ＞b 2．不等式x 2－x －13 ≤1的解集是( ) A ．x≤4 B．x≥4 C ．x≤－1 D ．x≥－1 3．将不等式组???12x －1≤7－32x ，5x －2＞3（x ＋1） 的解集表示在数轴上，正确的是( ) 4．若关于x 的方程3(x ＋k)＝x ＋6的解是非负数，则k 的取值范围是( ) A ．k≥2 B．k ＞2 C ．k≤2 D．k ＜2 5．若关于x 的一元一次不等式组???x －1＜0，x －a ＞0 无解，则a 的取值范围是( ) A ．a≥1 B．a ＞1 C ．a≤－1 D ．a ＜－1 6．若不等式组???x －b ＜0，x ＋a ＞0 的解集为2＜x ＜3，则a ，b 的值分别为( ) A ．－2，3 B ．2，－3 C ．3，－2 D ．－3，2 7．三个连续正整数的和小于39，这样的正整数中，最大一组的和是( ) A ．39 B ．36 C ．35 D ．34 8．某天然气公司在一些居民小区安装天然气管道时，采用一种鼓励居民使用天然气的收费办 法，若整个小区每户都安装，收整体初装费10000元，再对每户收费500元．某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后，每户平均支付不足1000元，则这个小区的住户数( ) A ．至少20户 B ．至多20户 C ．至少21户 D ．至多21户 9．某种出租车的收费标准是：起步价7元(即行驶距离不超过3千米都收7元车费)，超过3千米以后，超过部分每增加1千米，加收元(不足1千米按1千米计)．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x 千米，那么x 的取值范围是 ( ) A ．1＜x≤11 B．7＜x≤8 C ．8＜x≤9 D ．7＜x ＜8 二、填空题 10．已知x 2是非负数，用不等式表示____；已知x 的5倍与3的差大于10，且不大于20，用不等式组表示____________． 11．若|x ＋1|＝1＋x 成立，则x 的取值范围是__________． 12．若关于x ，y 的二元一次方程组???3x －2y ＝m ＋2，2x ＋y ＝m －5 中x 的值为正数，y 的值为负数，则m 的取值范围为____________. 13．在平面直角坐标系中，已知点A(7－2m ，5－m)在第二象限内，且m 为整数，则点A 的坐标为_________． 14．一种药品的说明书上写着：“每日用量60～120 mg ，分4次服用”，则一次服用这种药品的用量x(mg)的范围是____________． 15．按下列程序(如图)，进行运算规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若x ＝5，则运算进行______次才停止；若运算进行了5次才停止，则x 的取值范围是__________． 16．为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每一个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．则这个中学共选派值勤学生_______人，共有______个交通路口安排值勤． 三、解答题 17．解下列不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来： (1)5x －13－x ＞1； 一元一次不等式与不等式组 综合测试题 一、填空（每小题3分，共30分） 1.如果，则 （用“＞”或“＜”填空）. 2.当 时，式子的值大于的值. 3.满足不等式组的整数解为 . 4.不等式的负整数解是 . 5.某足协举办了一次足球比赛，计分规则为：胜一场积3分，平一场积1 分，负一场积0分.若甲队比赛了5场后的积7分，则甲队平 场. 6.若不等式组的解集中任何一个的值均在的范围内，则a的取值范围是 . 7.k满足时，方程的解是正数. 8.不等式组的解集是 . 9.已知不等式的正整数解是1，2，则a的取值范围是 . 10.尚明要到离家5千米的某地开会，若他6时出发，计划8时前赶到，那 么他每小时至少 走 千米. 二、选择（每小题3分，共30分） 11.若，那么下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 12.一个数的与-4的差不小于这个数的2倍加上5所得的和，则可列不等 式是（ ） A. B. C. D. 13.已知关于的不等式组的解集为，则的值是( ) A. B.-2 C.-4 D. 14.若不等式组有解，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15.已知，若要使不为负数，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16.若不等式的解集是，则a的值是( ) A.34 B.22 C.-3 D.0 17.一家三口准备参加旅行团外出旅游，甲旅行社告知:“父母买全票， 女儿按半价优惠.”乙旅行社告知：“家庭旅游可按团体票价，即每人 均按全价的收费.”若这两家旅行社的票价相同，那么（ ） A.甲比乙优惠 B.乙比甲优惠 C. 甲与乙相同 D.与原来票价相同 18.不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ） 高一数学一元二次不等 式解法练习题及答案 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】 例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01 a [ ] A a x B x a ．＜＜ ．＜＜1 1 a a C x a D x x a ．＞或＜．＜或＞x a a 1 1 分析比较与的大小后写出答案． a 1 a 解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜． 选． 0a 1a a x A 11 a a 例有意义，则的取值范围是 ．2 x x 2--x 6 分析 求算术根，被开方数必须是非负数． 解 据题意有，x 2－x －6≥0，即(x －3)(x ＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x ≥3或x ≤－2． 例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________． 分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理． 解 根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知 -=-+=-=-=-?? ?????b a a ()()1211122×得 a b = =-121 2 ，． 例4 解下列不等式 (1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2) (4)3x 2-+- -+-3132 511 3 122x x x x x x ＞＞()() 分析 将不等式适当化简变为ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)． 答 (1){x|x ＜2或x ＞4} (2){x|1x }≤≤3 2 (3)? (4)R (5)R 说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式． 例不等式＋＞的解集为5 1x 1 1-x [ ] A ．{x|x ＞0} B ．{x|x ≥ 1} C ．{x|x ＞1} D ．{x|x ＞1或x ＝0} 分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分． 解不等式化为＋－ ＞，通分得＞，即＞， 1x 0001 11122 ----x x x x x ∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ． 说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解． 例与不等式≥同解的不等式是6 0x x --3 2 [ ] A ．(x －3)(2－x)≥0 B ．0＜x －2≤1 C ．≥23 0--x x D ．(x －3)(2－x)≤0 解法一原不等式的同解不等式组为≥， ≠． ()()x x x ---???32020 故排除A 、C 、D ，选B ． 《一元一次不等式的解法》教案 第1课时 教学目标 知识与技能：知道一元一次不等式的标准形式，理解不等式的解与解集的概念，了解什么是一元一次不等式. 过程与方法：理解用不等式的性质解一元一次不等式的基本方法，会熟练的解一元一次不等式. 情感态度与价值观：培养学生的分析能力.训练学生的动手能力，提高综合分析解题能力、转化的数学思想.通过本节的学习，进一步渗透化归的数学美. 教学重难点 重点：一元一次不等式的解法. 难点：不等式的两边同乘以(或除以)一个负数. 教学过程 一、创设情境，导入新课 动脑筋： 水果批发市场的梨每千克3元，苹果每千克4元，小王购进50千克梨后还想购进些苹果，但他只有350元，他最多能买多少千克苹果？ 思考： 1、买梨子用去的钱和买苹果用去的钱以及身上有的350元钱有什么关系？ 买梨子用去的钱_____买苹果用去的钱_____身上有的350元钱. 2、若设他买了x千克苹果可以列出关系式：_____________________ 3、这个关系式有什么特点呢？(含有___个未知数，且未知数的次数为____)这样的不等式叫什么不等式？你认为呢？ 含有___个未知数，且未知数的次数为____的不等式叫_______不等式. 4、请你把一元一次不等式的概念与一元一次方程的概念对比，看看它们有什么异同？ 5、什么叫一元一次方程的标准形式？_________，__________，由此请你猜想什么是一元一次不等式的标准形式？ ________________________叫一元一次不等式的标准形式. 怎样求出小王最多能买多少千克苹果呢？只需要解上面的一元一次不等式，这节课我们来研究一元一次不等式的解法. 二、合作交流，探究新知 1、不等式的解和解集的概念 七年级数学测验卷 第九章 不等式与不等式组 班级： 姓名： 座号： 成绩： 一. 选择题。（每题3分，共15分） 1. 已知3a ，则下列不等式中，不一定正确的是（ ） A. 30a - B. 14a + C. 26a D. 3am m 2. 不等式230x -≥的解集是（ ） A. 32x ≥ B. 32x C. 23x D. 32 x ≤ 3. 三个连续自然数的和不大于12，符合条件的自然数共有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 4. 已知三角形的两边3,7a b ==，第三边是c ，且a b c ，则c 的取值范围是（ ） A. 47c B. 710c C. 410c D. 713c 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 如果1a ，那么101a B. 如果1a ，那么11a C. 如果20a ，那么0a D. 如果10a -，那么21a 二. 填空题。（每题3分，共15分） 1. 不等式组34112 x x +???-??的解集是 。 2. 若不等式429x +与60ax -的解集相同，则_______a =。 3. 在直角坐标系中，点()26,5P x x --在第四象限，则x 的取值范围是 。 4. 若a b ，则2____2a b --（填"","",""=） 5. 若代数式 912x ++的值不小于代数式113 x +-的值，则x 的取值范围是 。 三. 解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来。（每题10分，共40分） 1. ()5231x x --≤- 2. 11237 x x -- 3. 260 53 x x - ? ? +- ? 4. () 3245 1 31 2 x x x x x -+ ? ? ?- -≥+ ? ? 四. 解答题。（每题15分，共30分） 1. 某校为了鼓励在数学竞赛中获奖的学生，准备买若干本课外读物送给他们， 如果每人送3本，则还剩8本；如果每人送5本，则最后一人得到的课外读物不足3本，求该校的获奖人数及所买的课外读物的本数？ 2. 要使关于x的方程52361 x m x m -=-+的解在-3与2之间，试求适合条件的m 的整数值。 一元一次不等式组测试题（提高） 一、选择题 1．如果不等式的解集是x＜2，那么m的取值范围是( ) A．m＝2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≥2 2．(贵州安顺)若不等式组有实数解．则实数m的取值范围是 ( ) A． B． C． D． 3．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ( ) A．a＜1 B．a≤l C．1 D．a≥1 4．关于x的不等式的整数解共有4个，则m的取值范围是 ( ) A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7 D．6＜m≤7 5．某班有学生48人，会下象棋的人数比会下围棋的人数的2倍少3人，两种棋都会下的至多9人，但不少于5人，则会下围棋的人有（） A．20人 B．19人 C．11人或13人 D．20人或19人 6．某城市的一种出租车起步价是7元（即在3km以内的都付7元车费），超过3km后，每增加1km加价元（不足1km按1km计算），现某人付了元车费，求这人乘的最大路程是（） A．10km B．9 km C．8km D．7 km 7．不等式组的解集在数轴上表示为（）． 8．解集如图所示的不等式组为（）． A． B． C． D． 二、填空题 1.已知，且，则k的取值范围是________． 2．某种药品的说明书上，贴有如右所示的标签，一次服用这种药品的剂量设为x， 则x范围是 . 3．如果不等式组的解集是0≤x＜1，那么a+b的值为_______． 4．将一筐橘子分给几个儿童，若每人分4个，则剩下9个橘子；若每人分6个，则最后一个孩子分得的橘子将少于3个，则共有_______个儿童，_______个橘子． 5．对于整数a、b、c、d，规定符号．已知则b+d的值是________． 6. 在△ABC中，三边为、、, （1）如果，，，那么的取值范围是； （2）已知△ABC的周长是12，若是最大边，则的取值范围是； （3）． 7. 如图所示，在天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体A的质量m(g)的取值范围为． 三、解答题 13.解下列不等式组． (1) (2) 一元二次不等式及其解法 1.一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式. 当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为. 2.一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式. (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________. (3)一元二次不等式的解： (1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为 f（x） g（x） 的形式. (2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如： f（x） g（x） ＞0?f(x)g(x)＞0； f（x） g（x） ＜0 ?f(x)g(x)＜0； f（x） g（x） ≥0 ? ?? ? ??f（x）g（x）≥0， g（x）≠0； f（x） g（x） ≤0 ? ?? ? ??f（x）g（x）≤0， g（x）≠0. (2014·课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( ) A.[－2，－1] B.[－1，2) C.[－1，1] D.[1，2) 解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1].故选A . 设f (x )＝x 2 ＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( ) A.{x |x ∈R } B.{x |x ≠1，x ∈R } C.{x |x ≥1} D.{x |x ≤1} 解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ， 由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ， 解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2 －2x ＋1>0，x 的取值围是x ≠1.故选B. 已知－12<1 x <2，则x 的取值围是( ) A.－2 高中数学-不等式的解法 考点不等式的解法 1不等式ax>b 若a>0，解集为 ? ? ? ? ? ? x| x> b a；若a<0，解集为?? ? ? ? ? x| x< b a；若a＝0，当b≥0时，解集为?，当b<0时，解集为R. 2一元二次不等式 “三个二次”分三种情况讨论，对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集，可归纳为： 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根 有两相异实根 x＝x1或x＝x2 有两相同实根 x＝x1＝x2 无实根 一元 二次 不等 式的 解集 ax2＋bx＋ c>0(a>0) {x|x 不等式与不等式组单元测试卷 班级 __________ 座号___________ 姓名 成绩____________ 一、选择题（每小题3分，共18分） 1．下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） Ａ、５＋４>８ Ｂ、12-x Ｃ、x 2≤５ Ｄ、x x 31-≥０ 2．不等式4（x -2）＞2（3x -6）的非负整数解的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3．若不等式组的解集为-1≤x ≤3，则图中表示正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．已知a -的解集为2x >，则m 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．32 D ．12 6．不等式组123x x -≤??-3，化简x －｜3－x ｜=______． 9．当x 时，式子3x -4的值大于5x + 3的值。 10．某次数学测验中共有18道题目，评分办法：答对一道得5分，答错或不 答一道扣2分，那么这个同学至少要答对______道题，成绩才能在60分以上． 三、解不等式（组）（每小题8分，共32分） 11、11237 x x --≤ 12、1)1(22≥---x x 13、? ??-≤-->x x x 2813 2 14、513(1)131722x x x x ->+???-≤-?? 二元一次方程组和不等式组测试题 1．已知关于x 的不等式组?? ???<->>a x x x 12 无解，则a 的取值范围是（ ） A 、1-≤a B 、2≤a C 、21<<-a D 、1-a 2.已知方程组???=+=+15 231032y x y x ，不解方程组则=+y x 3.已知关于x 的不等式组()324213 x x a x x --≤???+>-??的解集是13x ≤<，则=a 4．已知关于x 的不等式组???--≥-1 230φx a x 的整数解有5个，则a 的取值范围是_____ 5.某商场计划在一月份销售彩电1000台，据统计本月前10天平均每天销售32台.现商场决定开展促销活动，并追加月计划量的20%，则这个商场本月后20天至少平均每天销售多少台？ 6.风景点门票是每人10元，20人以上（含20人）的团体八折优惠.现有18位游客买20人的团体票； (1)问这样比普通票总共便宜多少钱？ (2)此外，不足20人时，需多少人以上买20人的团体票才比普通票便宜？ 7.车站有有待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，原计划用50节A，B两种型号的车厢将这批货物运至北京，已知每节A型货箱的运费为0.5万元，每节B型货箱的运费为0.8万元，甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货箱，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货箱，按此要求安排B A,两种货箱的节数，共有哪几种方案？请你设计出来，并说明哪种方案的运费最少？ 8.某园林的门票每张10元，一次使用.考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该 园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年），年票分A，B，C三类：A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元. （1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式； （2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算. 例1 不等式｜8－３ｘ｜>0的解集是 ［ ] A B R C {x|x } D {83 } ．．．≠．?8 3 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 8 3 答 选C ． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] Ａ.3? B ．2 C.-2 Ｄ.－5 分析 列出不等式. 解 根据题意得2<|x|≤5． 从而－5≤x<－２或2 C.|ａ＋b|<|a －b| D.|a-b|<||ａ|+|b ｜| 分析 根据符号法则及绝对值的意义. 解 ∵ａ、ｂ异号, ∴ |a ＋b|<｜a －b ｜. 答 选C ． 例６ 设不等式｜x-a|＜b 的解集为{ｘ|－1＜x<2}，则a ，ｂ的值为 [ ] A.a ＝1，b=３ B.ａ=-１，ｂ=３ C ．a=－１,b=-3 D a b ．＝，＝123 2 分析 解不等式后比较区间的端点． 解 由题意知,b>0,原不等式的解集为{x|a －b ＜ｘ0,所以原不等式转化为2(３-|x ｜)≥｜ｘ|+２，整理得(完整版)一元一次不等式组测试题1含答案
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