2015年5月北京市西城区高三二模文科数学试题及答案(word版)

北京市西城区2015年高三二模文科数学试卷

2015.5

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项．

1．设集合{|10}A x x =->，集合3{|}B x x =≤，则A B =（ ）

（A ）(1,3)-

（B ）(1,3]

（C ）[1,3)

（D ）[1,3]-

3. 设命题p ：函数1()e x f x -=在R 上为增函数；命题q ：函数()cos 2f x x =为奇函数. 则 下列命题中真命题是（ ）

（A ）p q ∧ （B ）()p q ?∨ （C ）()()p q ?∧? （D ）()p q ∧?

4．执行如图所示的程序框图，若输入的{1,2,3}n ∈， 则输出的s 属于（ ） （A ）{1,2} （B ）{1,3} （C ）{2,3}

（D ）{1,3,9}

2．已知平面向量,,a b c 满足(1,1)=-a ，(2,3)=b ，(2,)k =-c ，若()//+a b c ，则实数k =（ ） （A ）4 （B ）4- （C ）8 （D ）8-

5. 一个几何体的三视图中，正（主）视图和侧(左)视图如图所示，则俯视图可以为（）

（A）（B）（C）（D）

6. 某生产厂商更新设备，已知在未来x年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与

x满足函数关系2

464

y x

=+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（）

（A）3（B）4

（C）5（D）6

7. “3

m>”是“曲线22

(2)1

mx m y

--=为双曲线”的（）

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

8. 在长方体

1111

ABCD A B C D

-

中，

1

1

AB BC AA

===，点P为对角线1

AC上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P，Q可以重合），则1B P PQ

+的最小值为（）（A

（B

（C）

3

2

（D）2

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数

10i

3i

=+____. 10. 抛物线24C y x =：的准线l 的方程是____；以C 的焦点为圆心，且与直线l 相切的圆的 方程是____.

11．设函数,11

,

1()2,.

x x f x x x -?>?=??-?≤ 则[(2)]f f =____；函数()f x 的值域是____.

12．在ABC ?中, 角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，

若a =3b =，2c =， 则A =____；ABC ?的面积为____.

13. 若,x y 满足,2,1,y x y x x y +??

???

≥≤≤若z x my =+的最大值为

53

，则实数m =____.

14. 如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时

针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为([0,π])x x ∈，OP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论：

○1

π()3f =；

○2 函数()f x 在区间π

(,π)2上为减函数；

○3 任意π

[0,]2

x ∈，都有()(π)4f x f x +-=.

其中所有正确结论的序号是____.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分） 已知函数cos 2(sin cos )

()cos sin x x x f x x x

+=

-.

（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的单调增区间. 16．（本小题满分13分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，*11()n n a S n +=+∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b 为等差数列，且11b a =，公差为2

1

a a . 当3n ≥时，比较1n

b +与121n b b b +++

+的大小．

17．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥，CD ⊥平面ADE , AB ⊥平面ADE ，

6CD DA ==，2AB =，3DE =.

（Ⅰ）求棱锥C A D E -的体积； （Ⅱ）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；

（Ⅲ）在线段DE 上是否存在一点F ,使//AF 平面BCE ？若存在,求出EF ED

的值；若不

存在，说明理由.

18．（本小题满分13分）

某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.

为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．

（Ⅰ）求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；

（Ⅱ）若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求a >b 的概率； （Ⅲ）若a =1，记乙型号电视机销售量的方差为s 2，根据茎叶图推断b 为何值时，s 2达到最小值．（只需写出结论） （注：方差2

222121

[()()()]n s x x x x x x n

=-+-++-，其中x 为1x ，2x ，…，n x

的平均数）

19．（本小题满分14分）

设1F ，2F 分别为椭圆22

22 + 1(0)x y E a b a b

=>>：的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶

点，点B 为椭圆E 的上顶点，且||2AB =.

（Ⅰ）若椭圆E E 的方程；

（Ⅱ）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线2F P 与y 轴相交于点Q . 若以PQ 为直径的圆经过点1F ，证明：点P 在直线20x y +-=上.

20．（本小题满分13分）

已知函数2

1()1x

f x ax

-=+，其中a ∈R . （Ⅰ）当1

4a =-时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；

（Ⅱ）当0a >时，证明：存在实数0m >，使得对任意的x ，都有()m f x m -≤≤成立； （Ⅲ）当2a =时，是否存在实数k ，使得关于x 的方程()()f x k x a =-仅有负实数解？当1

2a =-时的情形又如何？(只需写出结论)

北京市西城区2015年高三二模试卷参考答案及评分标准

高三数学（文科） 2015.5

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．B 2．D 3．D 4．A 5．C 6．B 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．13i + 10．1x =- 22(1)4x y -+= 11．52- [3,)-+∞ 12．π3

13．2 14．○1 ○3 注：第10，11题第一问2分，第二问3分. 第14题多选、漏选或错选均不得分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由题意，得cos sin 0x x -≠， ……………… 1分

即 tan 1x ≠， (2)

分

解得 π

π4

x k ≠+

， ……………… 4分

所以函数()f x 的定义域为π

{|π,}4

x x k k ≠+∈Z . (5)

分

（Ⅱ）解：cos 2(sin cos )

()cos sin x x x f x x x

+=

-

22(cos sin )(sin cos )

cos sin x x x x x x

-+=

-

(7)

分

(cos sin )(sin cos )x x x x =++

sin 21x =+， (9)

分 由 ππ

2π22π22k x k -

++≤≤， 得 ππ

ππ44

k x k -++≤≤， (11)

分

又因为 π

π4

x k ≠+

， 所以函数()f x 的单增区间是ππ(π,π)44k k -

++，k ∈Z . （或写成ππ

[π,π)44

k k -++） ……………… 13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：因为11n n a S +=+， ○1 所以当2n ≥时，11n n a S -=+， ○2

由 ○1○2两式相减，得1n n n a a a +-=，

即12n n a a +=(2)n ≥， ………………3分

因为当1n =时，2112a a =+=，

所以2

1

2a a =， ………………4分

所以 *1

2()n n

a n a +=∈N ． ………………5分

所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，

所以 12n n a -=． ………………7分

（Ⅱ）解：因为1(1)221n b n n =+-?=-， ………………9分

所以121n b n +=+，212(121)

1112

n n n b b b n +-++++=+

=+， ………………11分

因为2(1)(21)(2)n n n n +-+=-， ………………12分

由3n ≥，得(2)0n n ->，

所以当3n ≥时，1121n n b b b b +<++++. (13)

分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：在Rt ΔADE 中，AE == (1)

分

因为CD ⊥平面ADE ，

所以棱锥C A D E -的体积为Δ113

32

C ADE ADE AE DE

V S CD CD -?=

=

??=? ………………4分

（Ⅱ）证明：因为 CD ⊥平面ADE ，AE ?平面ADE ，

所以CD AE ⊥. ………………5分

又因为AE D E ⊥，CD

DE D =,

所以AE ⊥平面C D E . ………………7分

又因为AE ?平面ACE ，

所以平面ACE ⊥平面CDE . …………………8分

（Ⅲ）结论：在线段DE 上存在一点F ,且13

EF ED =

，使//AF 平面BCE (9)

分

解：设F 为线段DE 上一点, 且

13

EF ED

=， (10)

分

过点F 作//FM CD 交CE 于M ，则1

=3

FM CD .

因为CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ， 所以//CD AB . 又因为3C D A B =

所以M F AB =，//FM AB ,

所以四边形ABMF 是平行四边形，

则//AF BM . ………………12分

又因为AF ?平面BCE ，BM ?平面BCE ，

所以//AF 平面BCE . ………………14分

18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：根据茎叶图， 得甲组数据的平均数为10101418222527304143

2410

+++++++++=， (2)

分

由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数为5. ………………4分

（Ⅱ）解：记事件A 为“a >b ”， ………………5分

因为乙组数据的平均数为26.7， 所以

10182022233132(30)(30)43

26.710

a b +++++++++++=，

解得 8a b +=. ………………7分

所以 a 和b 取值共有9种情况，它们是：(0,8)，(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)， (6,2)，

(7,1)，(8,0)， ………………8分

A

B

C

E

D F

M

其中a >b 有4种情况，它们是：(5,3)，(6,2)，(7,1)，(8,0)， ………………9分 所以a >b 的概率4

()9

P A =. ………………10分

（Ⅲ）解：当b =0时，2s 达到最小值． ………………13分

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解

：设c

由题意，得224a b +=

，且c a = ………………2分

解得a 1b =

，c = ………………4分

所以椭圆E 的方程为2

213

x y +=. (5)

分

（Ⅱ）解：由题意，得2

2

4a b +=，所以椭圆E 的方程为22

22

14x y a a +=-，

则1(,0)F c -，2(,0)F c

，c =. 设00(,)P x y ，

由题意，知0x c ≠，则直线1F P 的斜率1

0F P y k x c

=+， ………………6分

直线2F P 的斜率20

0F P y k x c

=

-， 所以直线2F P 的方程为0

0()y y x c x c

=

--， 当0x =时，00y c

y x c -=

-，即点00(0,)Q y c x c

--，

所以直线1F Q 的斜率为1

F Q y k c x =-， ………………8分

因为以PQ 为直径的圆经过点1F ， 所以11PF FQ ⊥.

所以110000

1F P F Q y y

k k x c c x ?=?=-+-， ………………10分

化简，得22200(24)y x a =--， ○

1 又因为P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，

所以2200

22

14x y a a +=-，00x >，00y >， ○

2 由○1○2，解得2

02

a x =，20122y a =-， (12)

分

所以002x y +=，

即点P 在直线20x y +-=上. ………………14分

20．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当14

a =-

时，函数21()114

x

f x x -=

-， 求导，得222222

24(1)3

()114(1)4(1)

44

x x x f x x x -+----'==--， (2)

分

因为(1)0f =，(1)4

3

f '=-， ………………3分

所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为4340x y +-=.………………4分

（Ⅱ）证明：当0a >时，2

1()1x

f x ax -=

+的定义域为R .

求导，得222

21()(1)

ax ax f x ax --'=+， (5)

分

令()0f x '=，解得110x =<，211x =+>， (6)

分

当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：

………………8分

所以函数()f x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减.

又因为(1)0f =，当1x <时，2

1()01x f x ax

-=

>+；当1x >时，2

1()01x f x ax

-=

<+，

所以当1x ≤时，10()()f x f x ≤≤；当1x >时，2()()0f x f x <≤.

记12max{()|,()|}||M f x f x =，其中12max{()|,()|}||f x f x 为两数1()||f x ， 2()|

|f x 中最大的数， 综上，当0a >时，存在实数[,)m M ∈+∞，使得对任意的实数x ，不等式()m f x m -≤≤ 恒成立. ………………10分

（Ⅲ）解：当12

a =-

与2a =时，不存在实数k ，使得关于实数x 的方程()()f x k x a =-仅

有负实数解.