湖南省衡阳市八中2013-2014学年高二下学期学业水平模拟考试

2014年衡阳市八中高二学业水平模拟考试试卷答案

数 学

注意: 本卷共20小题, 满分100分, 考试时间90分钟. 请把答案写在答题卡相应的位置上。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.

1．设集合{1,0,1}A =-，{|0}B x R x =∈>，则A B =（ D ）

A.{1,0}-

B.{1}-

C.{0,1}

D.{1}

2. 函数2()log f x x =在区间[1,2]上的最小值是( B )

A. 1-

B. 0

C. 1

D. 2

3. 已知(,3)a x =, (3,1)b =, 且//a b , 则x 等于 ( C )

A ．－1

B ．－9

C ．9

D ．1

4. 不等式(1)0x x -<的解集是( C )

A.{}|0x x <

B. {}|1x x <

C.{}|01x x <<

D. {}|01x x x <>或

5. 如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，

俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积．．．

为（ C ） A. 4

π B. 2π C. π D.

32π

6. 式子cos

cos sin sin 126126ππππ-的值为（ B ）

A.12

C. D. 1

7. 已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，若416a =，错误！未找到引用源。则1a = ( B )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

8. 下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（ A ）

A.2x y =

B.1y x =

C.2y x =

D. tan y x =

9．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若135A =?,30B =?,2=a ,

则b 等于( A )

A. 1

B.2

C. 3

D. 2

10．下表是某厂1—4

y ^＝－0.7x ＋a ，则a 等于( D )

A ．10.5

B ．5.15

C ．5.2

D ．5.25

非选择题（共60分）

二、 填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。

11. 化简sin()2x π

+= . cos x

12. 直线10x y -+=的倾斜角为 . 45?

13. 右边的程序中, 若输入5x =，则输出的y = . 2

14. 已知向量a , b 的夹角为60, 且||2a =, ||1b =,

则 a b ?= . 1

15. 若实数,x y 满足约束条件：12220

x y x y ì￡???￡í??+- ???，则z x y =+的最大值等于 .3

三、解答题：本大题共5小题，共40分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. （本小题满分6分）

已知函数()2sin cos ,f x x x x R = .

（1）求函数()f x 的最小正周期；

（2）判断函数()y f x =的奇偶性, 并说明理由。

解：（1）因()sin 2f x x =， 故最小正周期为2.2

T ππ== ………………（3分） （2）因()sin(2)sin 2(

)f x x x f x -=-=-=-，且x R ∈。

故()y f x =是奇函数。 ………………（6分）

17．（本小题满分8分）

某校在高二年级开设了A ，B ，C 三个兴趣小组，为了对兴趣小组活动的开展情况进行调查，用分层抽样方法从A ，B ，C 三个兴趣小组的人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表（单位：人）

（1）求x ，y 的值； （2）若从A ，B 两个兴趣小组所抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自兴趣 小组B 的概率．高 考 资 源 网

解：（1）1,4x y ==， ………………（3分）

（2）设A 组抽取的人记为a ，B 组抽取的人记为,,b c d 。

从中选2人，可能的结果为,;,;,;,;,;,.a b a c a d b c b d c d 共6种。

其中这2人都来自B 组的结果为,;,;,.b c b d c d 共3种。………………（6分）

由古典概型公式知: 这2人都来自兴趣小组B 的概率为1.2

P = ……（8分）

18．（本小题满分8分）

如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1AD ,1CD 中点。

（1）求异面直线EF 与CD 所成角的大小;

（2）求证：EF ⊥平面11BDD B 。

（1）解: 连结AC 。

E 、

F 分别为

1AD ,1CD 中点。

∴E F A C

∴异面直线EF 与CD 所成角即为DCA ∠。…（2分）

在等腰直角DCA ?中45.DCA ∠=?

故异面直线EF 与CD 所成角的大小为45?。…（4分）

（2）证明：在正方形中1,.AC BD AC BB ⊥⊥

,E F

A C 1,.EF BD EF B

B ∴⊥⊥ …（6分）

又1111,,.BD BB BDD B BD BB B ?=面 EF ∴⊥平面11BDD B …（8分）

19．（本小题满分8分）

已知圆:C 22

4210.x y y ++-=

（1）将圆C 的方程化为标准方程，并指出圆心坐标和半径；

（2）求直线:230l x y -+=被圆C 所截得的弦长。

解：（1）22(2)25.x y ++=故圆心的坐标是(0,2)-，半径 5.r = ………………（3分）

（2）弦心距

d == ………………（5分）

==………………（7分）故直线l被圆C

所截得的弦长为

=………………（8分）

20．（本小题满分10分）

已知{}n a是首项11

a=的递增等差数列，

n

S为其前n项和，且223

a S

=．

（1）求数列{}n a的通项公式；

（2）设数列{}n b满足

1

2

n

n n

b

a a

+

=

?

，

n

T为数列{}n b的前n项和．若对任意的n*N

∈，不

等式8(1)n

n

T n

λ<+?-恒成立，求实数λ的取值范围.

解：（1）由2

23

a S

=，

1

1

a=得22

(1)332021

d d d d d

+=+?--=∴=-

或0

d > 2.

d

∴=………………（2分）

21,*

n

a n n N

∴=-∈………………（4分）

（2）由（1）得

211

(21)(21)2121

n

b

n n n n

==-

-+-+

所以

1111112

(1)()...[]1

33521212121

n

n

T

n n n n

=-+-++-=-=

-+++

……（6分）由已知得：

2

8(1)

21

n

n

n

n

λ?<+?-

+

恒成立，

因

2

21

n

n

>

+

，所以

21

[8(1)]

2

n

n

n

n

λ

+

<+?-?恒成立，……（7分）令

21

()[8(1)]

2

n

n

f n n

n

+

=+?-?，则

min

()

f n

λ<

当n为偶数时，

214171725

()(8)4

2222

n

f n n n

n n

+

=+?=++≥+=

当且仅当

4

n

n

=，即2

n=时，

min

25

()

2

f n=，所以

25

2

λ<；……（8分）当n为奇数时，

21415

()(8)

22

n

f n n n

n n

+

=-?=--

可知()

f n随n的增大而增大，所以

min

21

()(1)

2

f n f

==-，所以

21

.

2

λ<-…（9分）综上所诉，λ的取值范围是

21

(,)

2

-∞-……（10分）（其他解法请酌情给分）