电磁学知识点总结(一)

电磁学中有三大实验定律：库仑定律，安培定律及法拉第电磁感应定律；并在此基础上，麦克斯韦进行归纳总结，得出了描述宏观电磁学规律的麦克斯韦方程组。

1 电荷守恒与库伦定律

1.1 电荷守恒定律

摩擦起电和静电感应实验表明，起电过程是电荷从某一物体转移到另一物体的过程。

电荷守恒定律电荷不能被创造，也不能被凭空消失，只能从一个物体转移到另外的物体，或者是从物体的一部分转移到另一部分。也就是说，在任何物理过程中，电荷代数式守恒的。

在1897年，英国科学家汤姆逊在实验中发现了电子；1907-1913年，美国科学家密立根通过油滴实验，精确测定除了电荷的量值：e =1.602 177 33×10^-19 C。这表明电子式量子化的。

1.2 库伦定律

库伦定律两个静止电荷q1和q2之间的相互作用力大小和与q1与q2的乘积呈正比，和它们之间的距离r的平方呈反比；作用力的方向沿着它们的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸，即：

其中，ε0为真空介电常数。ε0 ≈8. 854187817×10-12 C2 / (N?m2)。

在MKSA单位制中，1库伦定义为：如果导线中有1A的恒定电流，在1s内通过导线横截面的电量为1C，即：1 C=1 A?s。

1.3 电场强度

电场强度E 这是一个矢量，表示置于该点的点位电荷所受到的力，是描述电场分布的物理量，即：

场强叠加原理由于电场是矢量，服从矢量叠加原理，因此我们可以得出：电荷组所产生的电场在某点的场强等于各点电荷单独存在时所产生的电场为该点场强的矢量叠加。

电场线形象描述电场分布，我们可以引入电场线的概念，利用电场线可以得出较为直观的图像。

1.4 电荷分布

为了对概念有更清晰的认识，我们介绍实际带电系统中电荷分布的4种形式：体分布电荷；面分布电荷；线分布电荷及点电荷。

电荷体密度：电荷连续分布于体积V 内，用电荷体密度来描述其分布，即：

电荷面密度：若电荷分布在薄层上，当仅考虑薄层外、距薄层的距离要比薄层的厚度大得多处的电场，而不分析和计算该薄层内的电场时，可将该薄层的厚度忽略，认为电荷是面分布。面分布的电荷可用电荷面密度表示:

电荷线密度：若电荷分布在细线上，当仅考虑细线外、距细线的距离要比细线的直径大得多处的电场，而不分析和计算线内的电场时，可将线的直径忽略，认为电荷是线分布。线分布的电荷可用电荷线密度表示。

点电荷：对于总电荷为 q 的电荷集中在很小区域 V 的情况，当不分析和计算该电荷所在的小区域中的电场，而仅需要分析和计算电场的区域距离电荷区很远，即场点距源点的距离远大于电荷所在的源区的线度时，小体积 V 中的电荷可看作位于该区域中心、电荷为 q 的点电荷。

2 电势、环路定理及电势的梯度

2.1 电势

单个电荷产生的电场是有心力场。有心力场中，做功与路径无关，与F(r)的具体形式无关，只由于起始点位置有关。

假设在电场中把一试探电荷从P点移动到Q点，静电场力对其做功为：

上式表明电势能变化量与试探电荷q0呈正比，电势能与试探电荷带电量q0的比值WPQ / q0与试探电荷无关，只与电场在P, Q两点有关，这个量可以定义为P, Q两点的电势差，用UPQ 表示：

连续分布电荷的电势可以表示为：

若要定义某点电势大小，需要定义电势零点。电势相等的点所组成的面叫做等势面。等势面有以下性质：

等势面与电场正交等势面较密集的地方场强较大；较为稀疏的地方等势面较小。

从定义式中我们知道：电势差和电势的单位为J / C，单位名称为伏特，简称伏，用V表示。

2.2 环路定理

环路定理对该静电场任意的闭合环路L进行线积分恒等于0：

我们改写为微分形式，即：

对环路定理，我们可以得出以下结论：

空间中静电场旋度处处为零，静电场中不存在旋涡源，电力线不构成闭合回路；静电场沿任意闭合回路的积分都为零；电场旋度和电场强度是不同的两个物理量，从不同角度描述同一个物理对象；虽然空间中电场的旋度处处为零，但电场却可能存在，二者没有必然的联系；

环路定理表明：静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径无关。

2.3 电势梯度

电势U是一个标量，在任何空间坐标的标量函数称为标量场。梯度通常指一个物理量的空间变化率，数学上表示为gradU或者▽U

若等势面的垂直间距Δn非常小：

即：

由于E的方向总是指向电势减少的方向，E与Δn方向相反，有：

展开：

3 高斯定理

3.1 电通量和立体角的概念

电场强度通量：通过电场某一面的电场线数量叫做通过这个面的电场强度通量：

立体角：由一点（顶点）到某一闭合曲线上所有各点作直线，由这些直线为界所围成的空间部分称为立体角。立体角是以锥的顶点为心，半径为1的球面被锥面所截得的面积来度量的。如果立体角在该球面上所切出的面积ds，就是该立体角的量值dΩ。

整个球面对球心O所张的立体角为4π：

对于不含顶点的闭合曲面的立体角：Ω=0。

3.2 高斯定理

高斯定理通过一个任意闭合曲面S的电通量ΦE等于该面所包围的所有电量的代数和Σ q除以ε0，与闭合曲面无关。

对于电荷体分布：

我们可以改写为：

高斯定理表明：静电场是有源场，电力线起始于正电荷，终止于负电荷。在电场分布具有一定对称性的情况下（球对称分布，轴对称分布及无限大平面电荷），可以利用高斯定理计算电场强度。

4 恒定电流

4.1 恒定电流

电流电流是电荷的定向运动形成的，用I表示，电流是标量，其大小定义为单位时间内通过某一横截面S的电荷量：

单位为A（安），电流方向为正电荷的流动方向。不随时间变化的电流称为恒定电流。

4.2 电流密度

电流密度是一个矢量，其在导体中的各点方向代表该电流的方向，其数值等于通过该点单位垂直截面的电流。通过任意截面S的电流I与电流密度矢量关系为：

一般情况下，在空间不同的点，电流的大小和方向往往是不同的。在电磁理论中，常用体电流、面电流和线电流来描述电流的分别状态。

体电流电荷在某一体积内定向运动所形成的电流称为体电流，用电流密度矢量j来描述。

单位为A/m2。

面电流电荷在一个厚度可以忽略的薄层内定向运动所形成的电流称为面电流，用面电流密度矢量来描述其分布

单位为A/m。

线电流密度当电流沿一横截面可以忽略的曲线流动，电流被称为线电流。长度元dl上的电流Idl称为电流元。

4.3 恒定电流

恒定电流是指电流场不随时间变化，这要求电荷产生的电荷分布不随时间变化，即：dq/qt=0，用积分表示为：

4.4 欧姆定律的微分形式

在恒定电路中，欧姆定律为：通过一段导体的电流I和导体两端的电压U呈正比：

其中，R为导体的电阻；电阻的导数为电导，用G表示：

电阻的单位为欧姆（Ω），电导的单位为西门子（S），其互为倒数。

导体电阻的大小和导体的材料及几何形状有关，对于由一定材料制成的横截面均匀的导体，它的电阻R与长度l成正比，与横截面S成反比：

其中，ρ是材料的电阻率，其倒数称为电导率，用σ表示。

设想通过小的圆柱体的dS的电流，有：

我们引入电流密度：

而这个小的圆柱体两端的电势差为：（参考2.1节电势），这一小段的导体电阻为：

我们代入上式，得：

这就是欧姆定律的微分形式。

5 静电场中的导体

5.1 导体的平衡条件

静电平衡当一带电体系中的电荷静止不动，从而电场分布不随时间变化时，我们说该带电体系达到了静电平衡。导体内存在着自由电荷，在电场作用下电荷移动，改变电荷的分布，导体链段积累到足够电荷时，达到电荷平衡，此时，外加电场与导体内部电场的大小相等，这样导体内部电场等于0，自由电荷便不再移动。达到静电平衡时，导体内部没有未抵消的电荷，电荷只分布在导体表面上。

静电感应导体中的自由电子在电场力的作用下作宏观定向运动，引起导体中电荷重新分布而呈现出带电的现象，叫作静电感应。

从静电平衡，我们可以推论出：

a) 导体是个等势体，导体表面是个等势面；

由

静电平衡时导体内场强为0，故导体内部电势处处相等。

b) 导体以外靠近其表面地方的场强与表面处处垂直。

电场线与等势面正交，故导体以外靠近其表面地方的场强与表面处处垂直。

5.2 导体的电荷分布

当导体达到静电平衡时，导体内部没有未抵消的电荷，电荷只分布在导体表面上。在导体内部，用一个封闭的面，其电通量S等于q / ε0，若其内部仍有电荷存在，场强E不为0，与上边的推论矛盾。

面电荷密度与场强的关系在静电平衡的条件下，导体表面之外附件空间的电场强度E与该处导体表面的电荷密度σe有：

我们设想在取一小面积为ΔS，当逼近无穷小时，该面积与导体表面的面积相等：

由于侧边与与导体表面垂直，cos θ= 0，下底面在导体内部，E=0故：

其包围的电荷为：σe ΔS / ε0，由高斯公式，EΔS=σe ΔS / ε0，联立得出。从这个式子我们可以看出，导体表面电荷密度大的地方场强大；面电荷密度小的地方场强小。导体以外，当存在其它电荷或电场时，导体表面电场强度和电荷面密度关系不变，但大小可变。通常来说，导体较为平坦的地方（曲率较小），电荷密度较小；反之（曲率较大）电荷密度较大。

尖端放电带电导体尖端附近的电场特别大，可使尖端附近的空气发生电离而成为导体产生放电现象。