2019高考数学复习专题：逻辑与命题(含解析)
2019高考数学复习专题：逻辑与命题(含
解析)
一、考情分析
在高考数学中，集合是一个重要的考点，难度通常为中等或中等以下。考查的主要形式是判断命题的真假、全称命题与特称命题的否定，以及充分条件与必要条件的判断。这些知识点常常与其他知识点交织考查，其中由命题真假或两条件之间的关系确定参数范围是本节中的一个难点。
二、经验分享
1.两个命题互为逆否命题时，它们有相同的真假性。
2.注意“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件
是q”的区别。
3.充分条件、必要条件的三种判定方法包括定义法、集合
法和等价转化法。
4.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求
解上。解题时需要注意将条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解，同时要注意区间端点值的检验。
5.对于“p∨q”、“p∧q”、“p”等形式命题真假的判断，需要确定命题的构成形式，判断其中命题p、q的真假，然后确
定“p∧q”、“p∨q”、“p”等形式命题的真假。
6.判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题需要对集合M中
的每一个元素x，证明p(x)成立。要判断特称命题是真命题，
只需在限定集合内至少找到一个x＝x，使p(x)成立。
7.对全（特）称命题进行否定的方法包括找到命题所含的
量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词，以及对原命题的结论进行否定。
8.已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真
假利用集合的运算求解参数的取值范围。含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数值域（或最值）解决。
三、知识拓展
1.从集合角度理解充分条件与必要条件，若p以集合A的
形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝
{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：若A B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的必要条件；若A
＝B，则p是q的充要条件；若AB，则p是q的充分不必要
条件；若AB，则p是q的必要不充分条件。
2.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律
1) 对于命题p∨q，只要p或q有一个为真，则p∨q为真，即真为真。
2) 对于命题p∧q，只有当p和q都为真时，XXX才为真，即真真为真。
3) 对于命题p，它与p的真假相反，即当p为真时，p 为假；当p为假时，p为真。
3.“否命题”与“命题的否定”的区别。这两个概念是不同的，“否命题”是对原命题的条件和结论都进行否定，而“命题的否定”只是对原命题的结论进行否定。
题型分析
一) 与充分条件、必要条件有关的参数问题
充分条件和必要条件可以理解为“若p则q”的命题真假，
或者集合与集合之间的包含关系。特别是在转化为集合间的关系后，可以利用集合知识进行处理。
例1】【2017湖南省郴州市上学期第一次质量监测】已知集合A={y|y=x2-2x+1,0≤x≤3}，集合B={x|x2-(2m-1)x+m(m-
1)≤0}，命题p:x∈A，命题q:x∈B，且p是q的必要不充分条件。求实数m的取值范围。
分析】先化简给定集合，再利用p是q的必要不充分条件，即有p⊆q且q⊈p。
解析】由已知得A={y|0≤y≤4}，B={x|m-1≤x≤m}。
因为p⊆q，所以当x∈A时，x∈B。即当x=0或3时，有
m-1≤x≤m，解得-1≤m≤4.因为q⊈p，所以当x∈B但x∉A时，
即当x=1或2时，有m(m-1)≤0，解得m≤1或m≥2.综合可得，-1≤m≤1或2≤m≤4，即m∈[1,4]。
点评】在处理充分条件、必要条件或充要条件时，需要将其转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）进行求解。同时，需要注意区间端点值的检验。
小试牛刀】【2019届河北辛集8月月考】已知f(x)是实数集R上的减函数，且f(0)=3，f(3)=-1.设集合P={x| |f(x+t)-1|<2}，集合Q={x|f(x)<-1}。若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，
则实数t的取值范围是（）。
答案】C
二) 与逻辑联接词有关的参数问题
逻辑联接词“或”“且”“非”与集合运算的并集、交集、补集有关。由这些逻辑联接词组成的复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关，其中往往会涉及参数的取值范围问题。根据命题真假求参数的方法步骤如下：（1）先根据题目条件推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）；（2）然后求出每个命题是真命题时参数的取值范围；（3）最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围。
例2】【XXX月考】已知命题函数$f(x)=\frac{1}{3}$，命题$q$：函数$mx+x^2+x$在区间$(1,2)$上单调递增；数$C$的图象上任意一点处的切线斜率恒大于1.若“$p\vee(\neg q)$”为真命题，“$(\neg p)\vee q$”也为真命题，求实数$m$的取值范围。
分析】先确定$p,q$真值相同，再根据$p,q$同真时或同假确定实数$m$的取值范围。
解析】若$p$为真命题，则$f'(x)=mx^2+2x+1$在
$x\in(1,2)$上恒成立，$m\geq-\frac{2}{3}$。若$q$为真命题，则当$x>-1$时，$g'(x)=x-m+1>1$，$mx>-1$，所以$m<3$。由已知可得，若$p$为真命题，则$q$也为真命题；若$p$为假命题，则$q$也为假命题。当$p,q$同真时，$-\frac{2}{3}\leq
m<3$；同假时$m$无解，故$m\in[-\frac{5}{4},3)$。
点评】含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假，解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围。然后再根据复合命题的真假列不等式（组）求参数范围。
小试牛刀】【2019届一轮复讲练测】已知命题函数的值域为$[-10,6]$，命题函数在区间$B$内单调递增。若命题
$C$为真命题，则实数$x$的取值范围是（$D$）。
解析】因为命题函数的值域为$[-10,6]$，所以在区间
$B$内，$f(x)$取到最小值$-10$，最大值$6$。由于命题函数在区间$B$内单调递增，所以当$x\in B$时，$f(x)$单调递增。因为命题$C$为真命题，所以$f(x)\leq 0$在$x\in B$上恒成立。因此，$x\in [a,b]$，其中$a$为区间$B$的左端点，$b$为
$f(x)=0$的根的右端点。由于$f(a)=-10<0$，所以根在区间
$B$内，$b\leq 6$。综上所述，$x\in [a,b]\subseteq B$，即$x\in [a,b]$，其中$a$为区间$B$的左端点，$b$为$f(x)=0$的根的右
端点，$b\leq 6$。因此，答案为$D$。
点评】全称命题和特称命题从逻辑结构而言是含义相反的两种命题，利用正难则反的思想互相转化，达到解题的目的。在解决与全称命题、特称命题真假有关的参数问题时，要根据命题的真假情况来确定参数的取值范围。
2.已知 $m\in R$，设 $p:\forall x\in [-1,1]。x^2-2x-
4m^2+8m-2\geq 0$，$q:\exists x\in [1,2]。\log_1x^2-mx+1<-1$。若 $p\lor q$ 为真，$p\land q$ 为假，求 $m$ 的取值范围。
分析】首先根据已知条件求出 $p$ 和 $q$ 的参数范围，然后求它们的交集，即可得到 $m$ 的取值范围。
解答】命题 $p$ 是恒成立问题，命题 $q$ 是有解问题。
对于命题 $p$，由于 $x^2-2x-4m^2+8m-2\geq 0$，即 $(x-1)^2-4m^2+8m-3\geq 0$，所以 $(x-1)^2\geq 4m^2-8m+3$，又
因为 $x\in [-1,1]$，所以 $|x-1|\leq 1$，即 $(x-1)^2\leq 1$。因此，$4m^2-8m+3\leq 1$，即 $2m^2-4m+1\leq 0$，解得 $m\in [\frac{1}{2},1]$。
对于命题 $q$，由于 $\log_1x^2-mx+1\ln 2$，$mx-2\leq \ln e^m$，解得 $m\in (-\infty。\frac{\ln 2+2}{x}]$。注意到这里的$m$ 取值范围与 $x$ 有关，因此需要进一步讨论。
若 $m\in [\frac{1}{2},1]$，则 $mx-2\geq \frac{1}{2}x-
2\geq -\frac{3}{2}$，所以 $\ln 2 2 若 $m<\frac{1}{2}$，则 $mx-2<-\frac{1}{2}$，所以 $e^{mx-2} 综上所述，$m\in [\frac{\ln 2+2}{2},1]$。 答案：B。 4.已知方程 $x^2+mx+n=0$ 有实数根，则 $m^2-4n\geq 0$ 是非为真命题的充分不必要条件。因为如果 $m^2-4n<0$， 则方程的判别式小于 $0$，无实数根，与已知条件矛盾；而如 果 $m^2-4n\geq 0$，则方程有实数根，符合已知条件。因此， 实数 $m$ 的取值范围是 $m^2-4n\geq 0$，即 $m\in (-\infty。- 2]\cup [2,+\infty)$。选项 A 正确。 5.已知命题函数 $f(x)=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$ 的值域为 $(- \infty。2]$，在区间 $(-\infty。1)$ 内单调递增。若命题 “$f(x)\leq 2$”是真命题，则实数 $x$ 的取值范围是 $(-\infty。2]$。因为当 $x\leq 1$ 时，$f(x)$ 单调递增，所以 $f(x)\leq f(1)=2$；当 $x>1$ 时，$f(x)\leq 2$ 已经成立。因此，实数 $x$ 的取值范围是 $(-\infty。2]$。选项 D 正确。 6.记命题为“点 $P(x,y)$ 满足 $x^2+y^2\leq 1$”，记命题为“点 $P(x,y)$ 满足 $x+y\geq 0$”，若命题“$\exists P(x,y)$ 满足 两个命题”是真命题，则实数的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。因为两个命题的交集是在第四象限的一个扇形区域，其边界是$x+y=0$ 和 $x^2+y^2=1$，而最大的满足条件的点是 $(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$，其 $x$ 和 $y$ 坐标的 最大值都是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。因此，实数的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。选项无正确答案。 7.已知命题 $p$：“存在 $x\in\mathbb{R}$，使得 $x^2+x+m>0$”。若“非$p$”是假命题，则实数 $m$ 的取值范围是 $m<0$。因为“非$p$”是假命题，即对任意 $x\in\mathbb{R}$，$x^2+x+m\leq 0$，所以 $x^2+x+\frac{1}{4}\leq \frac{1}{4}-m$，即 $(x+\frac{1}{2})^2\leq \frac{1}{4}-m$。当 $x=-\frac{1}{2}$ 时取等号，所以 $\frac{1}{4}-m\geq 0$，即 $m<\frac{1}{4}$。因此，实数 $m$ 的取值范围是 $m<0$。选项 A 正确。 9.已知命题 $P(x)$：“$x^2-2x+2>0$”为真命题，命题 $Q(x)$：“$x^3-2x^2+3x-40$，即 $x^2-2x+1+1>0$，即 $(x-1)^2+1>0$，所以 $f(P(x))=\frac{1}{x-1}<1$。同理，因为 $Q(x)$ 为假命题，所以 $x^3-2x^2+3x-4\geq 0$，即 $(x-2)(x^2-2x+2)\leq 0$，所以 $x\leq 2$ 且 $x^2-2x+2\leq 0$，即 $(x- 1)^2+1\leq 0$，矛盾。因此，$f(Q(x))<0$。因此，$f(P(x))\leq f(Q(x))$ 等价于 $\frac{1}{x-1}\leq 0$，即 $x\in (\frac{1}{2}。 1)$。又因为 $P(x)$ 为真命题，所以 $x\in (-\infty。\infty)$。综上，实数$x$ 的取值范围是$(\frac{1}{2}。2)$。选项C 正确。 10.已知命题 $f(x)=x^3+bx^2+cx+d$ 在区间 $[0,1]$ 内恰有 一个零点，命题函数 $g(x)=f(x+1)-f(x)$ 在 $[0,1]$ 上是减函数。若 $f(0)\geq 0$，则实数 $b,c,d$ 的取值范围是 $b\geq 0$， $c\leq -3b$，$d\geq 2b$。因为 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 内恰有一个零点，所以 $f(0)$ 和 $f(1)$ 异号。因为 $f(x)$ 是一个三次函数，所以$f(x)$ 的导函数$f'(x)$ 是一个二次函数，有一个极值点。因为 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的差分，所以 $g(x)$ 的导函数 $g'(x)$ 是$f'(x)$ 的差分，即一个一次函数。因为 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上是 减函数，所以 $g'(x)$ 是负的，即 $f'(x)$ 是下凸的。因此， $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的零点是一个局部极小值点。因为 $f(0)\geq 0$，所以 $f(1)0$，即 $6x+2b>0$，即 $x>- \frac{b}{3}$。因为 $f(0)\geq 0$，所以 $d\geq 2b$。综上，实 数 $b,c,d$ 的取值范围是 $b\geq 0$，$c\leq -3b$，$d\geq 2b$。 选项无正确答案。 11.已知集合 $A=\{x\in\mathbb{R}|x^2-2x+2>0\}$，集合 $B=\{x\in\mathbb{R}|x^2+2x+2>0\}$，$C=\{x\in\mathbb{R}|- 10$ 或者 $x^2+2x+2>0$，即 $(x-1)^2+1>0$ 或者 $(x+1)^2+1>0$，即 $x\in (-\infty。-1)\cup (1,+\infty)$。又因为$x\in C$，所以 $-1 1,1)$。选项 B 正确。 12.已知命题p：x在[-2,10]范围内。命题q：1-m≤x≤1+m，m＞0.若q是p的必要而不充分条件，则m的取值范围是[9， ＋∞)。 13.设命题p：x是定义在R上的函数。命题q：x+1/x≥2，若q是p的必要不充分条件，则实数x的取值范围是(-∞,- 1]∪[1,∞)。 14.已知命题p：函数y=x^2-4x+3是上凸函数。命题q： 当x≥2时，y≥0.若p∧q为真命题，则实数x的取值范围是(-∞,1]∪[3,∞)。 15.设命题p：函数y=x^2+c是R上的减函数。命题q：函 数y=2x-1在区间[0,1]上恒成立。若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围。对p，q进行分类讨论，当p真时， 得到0 到c≥1/4. 17.已知命题：(Ⅰ)若x≥1，则x^2-2x+1≥0；(Ⅱ)若x≤-2或 x≥2，则x^2-4x+3≤0.求实数x的取值范围。根据命题(Ⅰ)，得 到x≤1或x≥1，即x∈(-∞,1]∪[1,∞)。根据命题(Ⅱ)，得到 x∈(-∞,-2]∪[2,∞)。综合两个命题，得到x∈(-∞,-2]∪[- 2,1]∪[1,2]∪[2,∞)。 18.设实数a、b、c满足：a+b+c=6，ab+bc+ca=9.求a、b、c的正实数的取值范围。根据给定的条件，可以得到 a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=18.由均值不等式，得到(a+b+c)^2/3≥a^2+b^2+c^2，即6^2/3≥18，即a^2+b^2+c^2≥12. 又因为a、b、c都是正实数，所以a^2+b^2+c^2>0，即 a^2+b^2+c^2≥12.根据(a+b+c)^2≥3(ab+bc+ca)，得到 a+b+c≥3√(ab+bc+ca)，即6≥3√9，即2≥√3.又因为a、b、c都是正实数，所以a、b、c中至少有一个大于2/√3，否则 a^2+b^2+c^22/√3，则b+c(b+c)^2/2>(6-2/√3)^2/2-a^2≈3.15-a^2. 又因为b、c都是正实数，所以b^2+c^2>0，即3.15-a^2>0，即 a<√3.15≈1.77.综上可得2/√3 19.设命题p：实数m使曲线y=x^2-4x-2y-m^2+6m+12表示一个圆。命题q：实数m使曲线x^2y^2-4x^2-2y^2+m^2- 8m+12=0有解。若p∧q为真命题，则m的正实数的取值范围是[2,∞)。由命题p，得到圆的方程为(x-2)^2+(y-1)^2=m^2-2.由命题q，得到m^2-8m+12>0，即m>2或m<6.综合两个条件，得到m的正实数的取值范围是[2,∞)。 1.给定命题p和q，其中p表示双曲线，q表示一个关于x 的方程。已知p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围。 解析：首先，p表示双曲线，即命题p为：(x-2)^2+(y-1)^2=m-6m-7表示圆，因此m^2-6m-7>22.解得：m>7或m0，即m>a或m 2.已知a>0，给出两个命题p和q，其中p表示函数 f(x)=ln(x+1)-ln(a-2+x)小于0恒成立，q表示关于x的方程 x^2+(1-a)x+1=0有一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上。已知 p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围。 解析：首先，根据命题p，我们可以得出ln(x+1)-ln(a- 2+x)1.因此，我们可以得出实数a的取值范围为1 3.已知全集U=R，非空集合A={x|x<0}，B={x|x<0}，且 命题p表示x∈A，命题q表示x∈B。已知q是p的必要条件，求实数a的取值范围。 解析：首先，根据命题p和q，我们可以得出x<0.其次， 因为q是p的必要条件，所以如果q成立，则p一定成立。因此，我们可以得出x<0且x<0-a^2/(2-3a)。又因为A和B的定义，我们可以得出a<1.因此，实数a的取值范围为0 2019高考数学复习专题：逻辑与命题(含 解析) 一、考情分析 在高考数学中，集合是一个重要的考点，难度通常为中等或中等以下。考查的主要形式是判断命题的真假、全称命题与特称命题的否定，以及充分条件与必要条件的判断。这些知识点常常与其他知识点交织考查，其中由命题真假或两条件之间的关系确定参数范围是本节中的一个难点。 二、经验分享 1.两个命题互为逆否命题时，它们有相同的真假性。 2.注意“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件 是q”的区别。 3.充分条件、必要条件的三种判定方法包括定义法、集合 法和等价转化法。 4.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求 解上。解题时需要注意将条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解，同时要注意区间端点值的检验。 5.对于“p∨q”、“p∧q”、“p”等形式命题真假的判断，需要确定命题的构成形式，判断其中命题p、q的真假，然后确 定“p∧q”、“p∨q”、“p”等形式命题的真假。 6.判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题需要对集合M中 的每一个元素x，证明p(x)成立。要判断特称命题是真命题， 只需在限定集合内至少找到一个x＝x，使p(x)成立。 7.对全（特）称命题进行否定的方法包括找到命题所含的 量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词，以及对原命题的结论进行否定。 8.已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真 假利用集合的运算求解参数的取值范围。含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数值域（或最值）解决。 三、知识拓展 1.从集合角度理解充分条件与必要条件，若p以集合A的 形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝ {x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：若A B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的必要条件；若A 高考数学《常用逻辑用语》解答题专题训练 (40) 1.设命题p：实数x满足x?2，或x>6，命题q：实数x满足x2?3ax+2a2<0(其中a>0) (Ⅰ)若a=2，且为真命题，求实数x的取值范围； (Ⅱ)若q是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 2.已知命题p:方程2x2+ax?a2=0在[?1,1]上有解；命题q:只有一个实数x满足不等式x2+ 2ax+2a≤0，若“p∨q”为假命题，求a的取值范围． 3.已知命题p:“?x∈[0,1],a≥2x”，命题q:“?x∈R,x2+4x+a=0”.若命题“p∧q”是真命 题，求实数a的取值范围． 4.设a∈R，命题p：?x∈[1,2]，满足(a?1)x?1>0，命题q：?x∈R，X2+ax+1>0． (1)若命题p∧q是真命题，求a的取值范围； (2)(￢p)∧q为假，(￢p)∨q为真，求a的取值范围． 5.已知命题p:{x+2≥0, x?10≤0,命题q:1?m≤x≤1+m，若?p是?q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 6.已知p：函数y=log2(x2+2x?3)有意义，q：1<2x<4，r：(x?m+1)(x?m?1)<0 (Ⅰ)若p且q是真命题，求x的取值范围； (Ⅱ)若p是r的必要条件，求m的取值范围． 7.已知p：复数(a?1)+(a?4)i所对应的点在复平面的第四象限内(其中a∈R)，q：?x∈R,x2+ 2√3x+a≥0(其中a∈R)； (1)如果“p∧q”为真，求实数a的取值范围； (2)如果“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围。 8.已知p:对?x∈[?2,2]函数f(x)=lg(3a?ax?x2)总有意义，q:函数f(x)=1 3 x3?ax2+4x+3在[1,+∞)上是增函数；若命题“p∨q”为真，求a的取值范围． 9.已知p：?x∈R，不等式x2?mx+3 2>0恒成立，q：椭圆x2 m?1 +y2 3?m =1的焦点在x轴上，若“p 或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围． 10.命题p：?x∈R，ax2+ax?1>0，命题q：3 a?1 +1<0． 第五节合情推理与演绎推理 2019考纲考题考情 1．合情推理 (1)归纳推理 ①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。 ②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理。 (2)类比推理 ①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。 ②特点：是由特殊到特殊的推理。 2．演绎推理 (1)演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。 (2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ①大前提——已知的一般原理。 ②小前提——所研究的特殊情况。 ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。 1．合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确 性，则需要证明。 2．在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误。 3．应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的。若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的。 一、走进教材 1．(选修2－2P84A组T3改编)对于任意正整数n,2n与n2的大小关系为( ) A．当n≥2时，2n≥n2B．当n≥3时，2n≥n2 C．当n≥4时，2n>n2D．当n≥5时，2n>n2 解析当n＝2时，2n＝n2；当n＝3时，2n 第2讲复数 选题明细表 巩固提高A 一、选择题 1.设复数z满足i(z+1)=-3+2i(i是虚数单位),则|z|等于( C ) (A)2 (B)3 (C) (D)4 解析:因为i(z+1)=-3+2i, 所以z+1==3i+2, 所以z=1+3i,|z|==.故选C. 2.(2016·北京卷)复数等于( A ) (A)i (B)1+i (C)-i (D)1-i 解析:===i.故选A. 3.已知复数z=2-i,则z·的值为( A ) (A)5 (B) (C)3 (D) 解析:因为z=2-i,所以=2+i, 所以z·=(2-i)(2+i)=4-i2=5. 4.若复数的实部与虚部相等,则实数b等于( A ) (A)3 (B)1 (C)(D)- 解析:依题意得==, 所以=,解得b=3. 5.设i是虚数单位,若z=cos θ+isin θ,且其对应的点位于复平面内的第二象限,则θ的终边位于( B ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 解析:因为z=cos θ+isin θ对应的点的坐标为(cos θ,sin θ),且点(cos θ,sin θ)位于第二象限, 所以 所以θ为第二象限角,故选B. 6.已知a∈R,复数z1=2+ai,z2=1-2i,若为纯虚数,则复数的虚部为( A ) (A)1 (B)i (C)(D)0 解析:由===+i是纯虚数,得a=1,此时=i,其虚部 为1. 7.复数z=(i为虚数单位),则|z|等于( C ) (A)25 (B) (C)5 (D) 解析:z==-4-3i,所以|z|==5. 8.若z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i(m∈R),z2=3-2i,则“m=1”是“z1=z2”的( A ) 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.） 1．【浙江省高三第一次五校联考】在等差数列{}n a 中，53a =，62a =-，则348a a a ++等 于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C. 【解析】 试题分析：∵等差数列{}n a ，∴3847561a a a a a a +=+=+=，∴3483a a a ++ =. 2．【辽宁省沈阳市东北育才学校高三八模】等差数列{}n a 中，564a a +=，则 1012 2log (222)a a a ⋅= （ ） A.10 B.20 C.40 D.22log 5+ 【答案】B 【解析】 试 题 分 析 ： 因 为 101210 56125()54 222222a a a a a a a a ++ ++⨯⋅⋅⋅===，所以 10125422log (222)log 220.a a a ⨯⋅⋅⋅==选B. 3． 数列{}n a 为等差数列，满足242010a a a +++=，则数列{}n a 前21项的和等于（ ） A ． 21 2 B ．21 C ．42 D ．84 【答案】B 【解析】 4．各项均为正数的等差数列}{n a 中，4936a a =，则前12项和12S 的最小值为（ ） （A ）78 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D 【解析】 试题分析：因为112124912() 6()722 a a S a a += =+≥=，当且仅当496a a ==时取 等号，所以12S 的最小值为72，选D. 5．【改编题】已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则 =-n n n S S S 32（ ） A. 30 B. 3 C. 300 D. 3 1 【答案】D 【解析】因为)(2)(231212n n n n n a a n a a n S S +=+= -+，)(23313n n a a n S +=，所以3 132=-n n n S S S . 6．【改编题】已知n S 是公差d 不为零的等差数列}{n a 的前n 项和，且83S S =，k S S =7（7≠k ），则k 的值为（ ） A. 3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】依题意，83S S =可知d a d a 2883311+=+，即d a 51-=，由k S S =7得 d k k ka d a 2 ) 1(2)17(7711-+=-⨯+ ，将d a 51-=代入化简得028112=+-k k ， 解得4=k 或7-=k （舍去），选B. 7．【2019新课标I 学易大联考二】已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足 21(1)22n n nS n S n n +-+=+*()n N ∈，13a =，则数列{}n a 的通项n a =（ ） A ．41n - B ．21n + C ．3n D ．2n + 【命题意图】本题考查数列前n 项和n S 与通项n a 间的关系、等差数列通项公式等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，以及转化思想的应用． 【答案】A 第十三章推理与证明、新定义 1.【2019高考新课标Ⅰ，文4】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之 比是51 2 - （ 51 2 - ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头 顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51 2 - ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是 A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190cm 【答案】B 【解析】 【分析】 理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解． 【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则262651 1052 x x y +- == + ，得 42.07, 5.15 x cm y cm ≈≈．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B． 【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题． 2.【2019高考新课标Ⅱ，文5】在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A. 甲、乙、丙 B. 乙、甲、丙 C. 丙、乙、甲 D. 甲、丙、乙 【答案】A 【解析】 【分析】 利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A． 【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查． 专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件（教学案）-2019年高考数学（文）一轮复习精品资料 1.充分理解逻辑联结词的含义，注意和日常用语的区别； 2.对量词的练习要在“含一个量词”框架内进行，不要随意加深； 3.注意逻辑与其他知识的交汇． 1．充分条件、必要条件与充要条件 (1)“若p，则q”形式的命题为真时，记作p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的充要条件． (2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件． p是q的充要条件又常说成q当且仅当p，或p与q等价． 2．命题的四种形式及真假关系 互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价． 【特别提醒】等价命题和等价转化 (1)逆命题与否命题互为逆否命题； (2)互为逆否命题的两个命题同真假； (3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假． 高频考点一含有逻辑联结词的命题的真假判断 例1、(1)已知命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n⊂α，则m∥α，命题q：若a>b，则ac>bc，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∨q B ．綈p ∨q C ．綈p ∧q D ．p ∧q (2)已知命题p ：若x>y ，则－x<－y ；命题q ：若x>y ，则x2>y2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q)；④(綈p)∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 【感悟提升】 “p ∨q”“ p ∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤： (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假； (3)确定“p ∧q”“p ∨q”“綈p”等形式命题的真假． 【变式探究】(1)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x>0；q ：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p)∧(綈q) C ．(綈p)∧q D ．p ∧(綈q) (2)若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b>0的解集是{x|x>－b a }，命题q ：关于x 的不等式(x －a)(x －b)<0的解集是{x|a 1.2常用逻辑用语 命题角度1命题及其关系、充分条件与必要条件 高考真题体验·对方向 1.(2017北京·6)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 ,n为非零向量,若存在λ<0,使m=λn,即两向量反向,夹角是π,则m·n=|m||n|cos π=-|m||n|<0.反过来,若m·n<0,则两向量的夹角为,π,并不一定反向,即不一定存在负数λ,使得m=λn,所以是充分而不必要条件.故选A. 2.(2017天津·4)设θ∈R,则“”是“sin θ<”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 ,0<θ<, ∴0 2019-2020年高考数学总复习专题1.2常用逻辑用语试题含解析 【三年高考】 1. 【xx天津，理4】设，则“”是“”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】 【解析】 πππ ||0 12126 θθ -<⇔<<，但，不满足，所以是充分不必要条件，选A. 【考点】充要条件 【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件；从集合的角度看，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件，若是的真子集，则是的充分不必要条件，若是的真子集，则是的必要不充分条件. 2. 【xx山东，理3】已知命题p:；命题q：若a＞b，则，下列命题为真命题的是 （A）（B）（C）（D） 【答案】B 【考点】1.简易逻辑联结词.2.全称命题. 【名师点睛】解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断. 3.【xx高考浙江理改编】命题“，使得”的否定形式是． 【答案】，使得 【解析】 试题解析：的否定是，的否定是，的否定是．故命题“，使得”的否定形式是“，使得”． 考点：全称命题与特称命题的否定． 【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定． 4.【xx高考山东理数改编】已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直 线b 相交”是“平面α和平面β相交”的 .(在“充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”中选填) 【答案】充分不必要条件 考点：1.充要条件；2.直线与平面的位置关系. 【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及直线与平面的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等. 5.【xx 高考天津理数改编】设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的 ．(在“充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件”中选填) 【答案】必要不充分条件 【解析】 试题分析：由题意得， 22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件． 考点：充要关系 【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件． 2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 6．【xx 高考上海理数改编】设，则“”是“”的 ．(在“充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”中选填) 【答案】充分非必要条件 【解析】2019高考数学复习专题：逻辑与命题(含解析)
【拔高题】高考数学《常用逻辑用语》解答题专题训练 (40)(含答案解析)
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