冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题：11基本不等式及其应用(含解析)

专题11 基本不等式及其应用

【自主热身，归纳总结】

1、已知a>0, b>0，且2a ＋3

b ＝ab ，则ab 的最小值是________．

【答案】：2 6

【解析】利用基本不等式，化和的形式为积的形式．因为ab ＝2a ＋3b

≥2

2a ·3b ，所以ab≥26，当且仅当2a ＝3

＝6时，取等号． 2、已知正数,x y 满足22x y +=，则8x y

xy +的最小值为．

【答案】9 【

解

析

】

：

=9．

3、已知正实数x ，y 满足，则x

y 的最小值为．

【答案】： 3-

4、已知a ，b 为正数，且直线 ax ＋by －6＝0与直线 2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为________．

【答案】25

【解析】：由于直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，所以a (b －3)＝2b ，即2a ＋3

＝1(a ，

b 均为正数)，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6⎝ ⎛⎭

⎪⎫b a ＋a b ≥13＋6×2

b a ×a b ＝25(当且仅当b a ＝a

即a ＝b ＝5时取等号)． 5、已知正实数,x y 满足，则x y +的最小值为．

【答案】8

【解析】：因为,0x y

>，所以10y +>．又因为

，所以

10x ->，所以

，当且仅当

，即5,3x y ==时等号成立．

易错警示在应用基本不等式时，要注意它使用的三个条件“一正二定三相等”．另外，在应用基本不等式时，要注意整体思想的应用．

6、设实数x ，y 满足x 2

＋2xy －1＝0，则x 2

＋y 2

的最小值是________．【答案】

5－1

思路分析1 注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．注意中消去y 较易，所以消去y . 解法1 由x 2

＋2xy －1＝0得y ＝1－x 2

2x ，从而x 2＋y 2＝x 2

＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2

2x 2＝5x 2

4＋14x 2－12

≥2516－12＝5－1

，当且仅当x ＝±41

时等号成立．

思路分析2 由所求的结论x 2

＋y 2

想到将条件应用基本不等式，构造出x 2

＋y 2

，然后将x 2

＋y 2

求解出来．解法2 由x 2

＋2xy －1＝0得1－x 2

＝2xy ≤mx 2

＋ny 2

，其中mn ＝1(m ，n >0)，所以(m ＋1)x 2

＋ny 2

≥1，令m ＋1＝n ，与mn ＝1联立解得m ＝

5－12，n ＝5＋12，从而x 2＋y 2

≥15＋1

＝5－12. 7、若正实数x y ，满足1x y +=，则4

y x y

+的最小值是 ▲ ．【答案】、8

【解析】：因为正实数x y ，满足1x y +=，所

以

，当且仅当

4y x x y

=，即2y x =，又1x y +=，即，

等号成立，即

y x y

+取得最小值8. 8、若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为________．【答案】： 8

解法1 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，

所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1

y －3＋6≥2

y －

1y －3＋6＝8，当且仅当y －3＝1

y －3

，即y ＝4时取等号，此时x ＝37，所以3x ＋1y －3

的最小值为8.

解法2 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，y －3＝3x －6＞0，

所以3x ＋1y －3＝3x ＋13x －6＝3x －6＋1

x －6

＋6≥2

⎝ ⎛⎭

⎪⎫3x －6·13

－6

＋6＝8，当且仅当3x －6＝13x

－6

，即x ＝37时取

等号，此时y ＝4，所以3x ＋1

y －3

的最小值为8.

解后反思从消元的角度看，可以利用等式xy ＋3x ＝3消“实数x ”或消“实数y ”，无论用哪种消元方式，消元后的式子结构特征明显，利用基本不等式的条件成熟． 9、已知正数a ，b 满足1a ＋9

＝ab －5，则ab 的最小值为________．

【答案】. 36

【解析】：因为正数a ，b 满足1a ＋9

b ＝ab －5，所以ab －5≥2

，当且仅当9a ＝b 时等号成立，即ab

－5ab －6≥0，解得ab ≥6或ab ≤－1(舍去)，因此ab ≥36，从而(ab )min ＝36. 10、已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β，则tan α的最大值是________．

【答案】

11、已知正数x ，y 满足1x ＋1y ＝1，则4x x －1＋9y

y －1的最小值为________．

【答案】25

【解析】：因为1y ＝1－1x ，所以4x x －1＋9y y －1＝4x x －1＋91－

＝4x x －1＋9x ＝4＋4x －1＋9(x －1)＋9＝13＋4

x －1

＋

9(x －1)＝13＋

4x －1＋9(x －1)．又因为1y ＝1－1x >0，所以x >1，同理y >1，所以13＋4x －1

＋9(x －1)≥13＋24×9＝25，当且仅当x ＝53时取等号，所以4x x －1＋9y

y －1的最小值为25.

12、已知a ＋b ＝2，b ＞0，当12|a |＋|a |

b 取最小值时，实数a 的值是________．

【答案】：－2 解法 1

12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥－1

＋2b 4|a |·|a |b ＝34，当且仅当a ＜0，且b

4|a |

＝|a |

，即a ＝－2，b ＝4时取等号．

解法2 因为a ＋b ＝2，b ＞0，所以12|a |＋|a |b ＝12|a |＋|a |

2－a (a ＜2)．

设f (a )＝12|a |＋|a |

2－a

(a ＜2)，

则f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧

12a ＋a 2－a

，0≤a ＜2，

－12a －a

2－a ，a ＜0.

)

当a ＜0时，f (a )＝－12a －a 2－a ，从而f ′(a )＝1

2a 2－

a －

＝

－a －a ＋2a 2a －

2，故当a ＜－2时，

f ′(a )＜0；当－2＜a ＜0时，f ′(a )＞0，故f (a )在(－∞，－2)上是减函数，在(－2，0)上是增函数，故

当a ＝－2时，f (a )取得极小值34；同理，当0≤a ＜2时，函数f (a )在a ＝23处取得极小值5

4.综上，当a ＝－2

时，f (a )min ＝3

【问题探究，变式训练】

:例1、已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1

y ＋1的最小值为________．

【答案】： 9

解法1 令x ＋2＝a ，y ＋1＝b ，则a ＋b ＝4(a ＞2，b ＞1)，4a ＋1b ＝14(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4b a ＋a b ≥1

4(5＋4)＝

94，当且仅当a ＝83，b ＝43，即x ＝23，y ＝1

时取等号．解法2 (幂平均不等式)设a ＝x ＋2，b ＝y ＋1，则4x ＋2＋1y ＋1＝4a ＋1b ＝22

a ＋12

b ≥

＋2

a ＋b

＝94

. 解法3 (常数代换)设a ＝x ＋2，b ＝y ＋1，则4x ＋2＋1y ＋1＝4a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b 4b ＝54＋b a ＋a 4b ≥94

，当且仅当a ＝2b 时取等号．

【变式1】、已知实数x ，y 满足x >y >0，且x ＋y ≤2，则2x ＋3y ＋1

x －y

的最小值为________．

【答案】3＋224

设⎩⎪⎨

⎪

⎧

x ＋3y ＝m ，x －y ＝n .

解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝m ＋3n

4，y ＝m －n

所以x ＋y ＝

m ＋n

≤2，即m ＋n ≤4.设t ＝

2x ＋3y ＋1x －y ＝2m ＋1

，

所以4t ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n (m ＋n )＝3＋2n m ＋m n ≥3＋2 2.即t ≥3＋224，当且仅当2n m ＝m n ，即m ＝2n 时取等号．【变式2】、已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y

x ＋y 的最大值为．

.【答案】：

【解析

】：令

，从而得

，故

，当且仅当2a b

=，即2y x =时等

号成立。

解法2 设BD ＝CD ＝m ，AD ＝n ，则由已知得7(2m )2

＋2(m 2

＋n 2

)＝43，所以15m 2

＋n 2

＝23≥215mn ，所以

mn ≤

55，当且仅当15m 2＝n 2时取等号，此时m 2

＝315，所以面积的最大值为55

. 例3、若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2

＝1，则x －2y 5x 2－2xy ＋2y

2的最大值为________．

【答案】.

【解析】：在2x 2

＋xy －y 2

＝1中，独立变量有两个，因为用x 表示y 或用y 表示x 均不方便，可引入第三个变量来表示x ，y .

由2x 2＋xy －y 2

＝1，得(2x －y )(x ＋y )＝1，设2x －y ＝t ，x ＋y ＝1t ，其中t ≠0.则x ＝13t ＋13t ，y ＝23t －13t ，

从而x －2y ＝t －1t ，5x 2－2xy ＋2y 2＝t 2

＋1t 2，记u ＝t －1t

，则

x －2y 5x 2

－2xy ＋2y 2＝u u 2

＋2＝1

u ＋2

≤12u ·

＝

24，当且仅当u ＝2u ，即u ＝2时取等号，即最大值为24

. 【变式1】、已知正实数x ，y 满足5x 2

＋4xy －y 2

＝1，则12x 2

＋8xy －y 2

的最小值为________．【答案】： 73

解法1(双变量换元) 因为x>0，y>0，且满足5x 2

＋4xy －y 2

＝1，由此可得(5x

－y)(x

＋y)＝1，令u ＝5x －

y ，v ＝x ＋y ，则有u>0，v>0，uv ＝1，并且x ＝

u ＋v 6，y ＝5v －u 6，代入12x 2＋8xy －y 2

＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫u ＋v 62＋8·u ＋v 6·5v －u 6－⎝ ⎛⎭⎪⎫5v －u 62＝

u 2

＋9v 2

＋22uv 12≥2u 2

·9v 2

＋22uv 12＝28uv 12＝28×112＝7

3，当且仅当u ＝3v ，uv ＝1，即u ＝3，v ＝

33，亦即x ＝239，y ＝39时，12x 2＋8xy －y 2

取得最小值73

. 解法2(常数1的代换) 因为x>0，y>0，且满足5x 2

＋4xy －y 2

＝1，由此可得(5x －y)(x ＋y)＝1，因为x>0，y>0，x ＋y>0，所以5x －y>0，即有0

＝12x 2

＋8xy －y 2

1＝

12x 2＋8xy －y 25x 2＋4xy －y 2＝1＋7x 2

＋4xy 5x 2＋4xy －y 2＝1＋

7＋4·y x 5＋4·y x －⎝ ⎛⎭⎪

⎫y x 2

＝1＋4t ＋7

－t 2＋4t ＋5. 再令f(t)＝1＋

4t ＋7

－t 2

＋4t ＋5

＋4t ＋5）－（4t ＋7）（－2t ＋4）（－t 2＋4t ＋5）2＝2（2t －1）（t ＋4）

（－t 2＋4t ＋5）2＝0，因为0

. 当t∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(t)<0，f(t)单调递减；当t∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，5时，f ′(t)>0，f(t)单调递增，所以当t ＝12时，f(t)取极小值，也是最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝7

此时x ＝2y ，结合5x 2＋4xy －y 2＝1，解得x ＝239，y ＝39，即当x ＝239，y ＝39时，12x 2＋8xy －y 2

取得最

小值7

解法3(基本不等式) 因为x>0，y>0，设u>0，v>0，则ux 2

＋vy 2

≥2uvxy.12x 2

＋8xy －y 2

≥12x 2

＋8xy －y 2

＋(2uvxy －ux 2

－vy 2

)，即12x 2

＋8xy －y 2

≥(12－u)x 2

＋(8＋2uv)xy －(v ＋1)y 2

.令(12－u)x 2

＋(8＋2uv)xy －(v ＋1)y 2＝t(5x 2＋4xy －y 2

)＝t ，则12－u ＝5t ，8＋2uv ＝4t ，v ＋1＝t ，解得t ＝73，u ＝13，v ＝43，

所以12x 2＋8xy －y 2

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫353

x 2＋8xy －73y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋43y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫353x 2＋8xy －73y 2＋2

13x 2·43y 2＝353x 2＋283xy －73

y 2

＝73(5x 2＋4xy －y 2)＝73，当且仅当x ＝2y ，结合5x 2＋4xy －y 2

＝1，解得x ＝239，y ＝39，即当x ＝239，y ＝39时，12x 2＋8xy －y 2

取得最小值73

. 【变式2】、若正实数x ，y 满足(2xy －1)2＝(5y ＋2)(y －2)，则x ＋12y 的最大值为________．

【答案】：. 32

－1

解法1 令x ＋12y ＝z ，则2xy ＝2yz －1，代入(2xy －1)2＝(5y ＋2)(y －2)整理得(4z 2－5)y 2

－8(z －1)y ＋8＝0

(*)，由题意得y －2≥0，该方程在[2，＋∞)应有解，故Δ≥0，即64(z －1)2

－32(4z 2

－5)≥0，化简得2z 2

＋4z －7≤0, 故0

. 检验：当z ＝322

－1时，方程(*)可化为(17 －122)y 2

－(122－16)y ＋8＝0，

此时y 1＋y 2＝122－1617－122>0，y 1·y 2＝817－122>4，故方程必有大于2的实根，所以x ＋12y 的最大值为32

2－

解法2 (2xy －1)2

＝(5y ＋2)(y －2)，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－2y ，则x ＝

⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－2y ＋1y 2

，所以

x ＋12y ＝1

⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－2y ＋1y ＝

－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋12＋94＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋1－1 ≤

2⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋12＋94＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋12－1 ＝322－1，

当且仅当

－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋12＋94＝1

y ＋1，即y ＝432－4

>2时等号成立，所以x ＋12y 的最大值为322－1.

解法3 由(2xy －1)2

＝(5y ＋2)(y －2)得⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－2y ，

即⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1y 2＝9－⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋22，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1y 2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫2y ＋22＝9，

所以9＝⎝

⎛⎭⎪⎫2x －1y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋22≥122x －1y ＋2y ＋22

，所以x ＋12y ≤322－1.

【变式3】、若实数x ，y 满足x 2－4xy ＋4y 2＋4x 2y 2

＝4，则当x ＋2y 取得最大值时，x

的值为________．【答案】：2

思路分析设x ＝a,2y ＝b ，则问题变简单了．设x ＝a,2y ＝b ，则实数a ，b 满足(a －b )2

＋(ab )2

＝4.

因为(a ＋b )2

＝(a －b )2

＋4ab ＝4－(ab )2

＋4ab ＝8－(ab －2)2

≤8，当且仅当a ＝b ＝2时，a ＋b 取最大值22，此时x ＝2y ，所以x y

＝2.

【关联1】、已知对满足x ＋y ＋4＝2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2

＋2xy ＋y 2

－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围是________．【答案】： ⎝

⎛⎦⎥⎤－∞，174

【解析】：对于正实数x ，y ，由x ＋y ＋4＝2xy 得x ＋y ＋4＝2xy ≤

x ＋y

，解得x ＋y ≥4，

不等式x 2

＋2xy ＋y 2

－ax －ay ＋1≥0可化为(x ＋y )2

－a (x ＋y )＋1≥0，

令t ＝x ＋y (t ≥4)，则该不等式可化为t 2

－at ＋1≥0，即a ≤t ＋1t

对于任意的t ≥4恒成立，

令u (t )＝t ＋1t (t ≥4)，则u ′

(t )＝1－1t 2＝t 2

－1t 2>0对于任意的t ≥4恒成立，从而函数u (t )＝t ＋1t

(t ≥4)为

单调递增函数，所以u (t )min ＝u (4)＝4＋14＝174，于是a ≤17

【关联2】、设实数x ，y 满足x 2

4－y 2＝1，则3x 2

－2xy 的最小值是________．

【答案】. 6＋4 2

解法 1 因为x 2

4－y 2＝1，所以3x 2－2xy ＝3x 2

－2xy x 24－y 2

＝3－

x 14－⎝ ⎛⎭

⎪⎫y x 2，令k ＝y x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，则3x 2

－2xy ＝3－2k 14－k 2＝

－2k 1－4k 2

，再令t ＝3－2k ∈(2,4)，则k ＝3－t 2，故3x 2

－2xy ＝4t －t 2＋6t －8

＝4

－⎝ ⎛⎭

⎪⎫t ＋8t ＋6

≥4

6－28＝6

＋42，当且仅当t ＝22时等号成立．

解法2 令t ＝3x 2

－2xy ，则y ＝3x 2

－t 2x ，代入方程x 2

－y 2＝1并化简得8x 4＋(4－6t )x 2＋t 2＝0，令u ＝x 2

≥4，

则8u 2＋(4－6t )u ＋t 2

＝0在[4，＋∞)上有解，从而由⎩⎪⎨⎪⎧

Δ＝－6t 2

－32t 2

≥0，

6t －4

16>0，得t 2

－12t ＋

4≥0，解得t ≥6＋42，当取得最小值时，u ＝2＋3

2满足题意．

解法3 因为x 2

4－y 2

＝1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－y ，所以令x 2＋y ＝t ，则x 2－y ＝1t ，从而⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝t ＋1t ，y ＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫

t －1t ，则3x 2

－2xy

＝6＋2t 2＋4t

2≥6＋42，当且仅当t 2

＝2时等号成立．

高考数学复习专题基本不等式 (文精讲)

专题7.3 基本不等式【核心素养分析】 1.了解基本不等式的证明过程； 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一基本不等式ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)????a ＋b 22≤a 2 ＋b 2 2(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋ b 2 2 (a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大)．【特别提醒】 1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立. 2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】高频考点一利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．

江苏省高考数学考前压轴冲刺(新高考)-专题11 不等式之恒成立与有解问题(填空题)(原卷版)

专题11 不等式恒成立与有解问题考点预测江苏高考近几年不等式常以压轴题的题型出现，常见的考试题型有恒成立，有解问题，此类题型丰富多变，综合性强，有一定的难度，但只要我们理解问题的本质，就能解决这类问题，常用的知识点如下： 1.若)(x f 在区间D 上存在最小值，A x f >)(在区间D 上恒成立，则A x f >min )(. 2.若)(x f 在区间D 上存在最大值，B x f <)(在区间D 上恒成立，则B x f )(在区间D 上有解，则A x f >max )(. 4.若)(x f 在区间D 上存在最小值，B x f <)(在区间D 上有解，则B x f

冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题：11基本不等式及其应用(含解析)

专题11 基本不等式及其应用【自主热身，归纳总结】 1、已知a>0, b>0，且2a ＋3 b ＝ab ，则ab 的最小值是________．【答案】：2 6 【解析】利用基本不等式，化和的形式为积的形式．因为ab ＝2a ＋3b ≥2 2a ·3b ，所以ab≥26，当且仅当2a ＝3 b ＝6时，取等号． 2、已知正数,x y 满足22x y +=，则8x y xy +的最小值为．【答案】9 【解析】： =9． 3、已知正实数x ，y 满足，则x y 的最小值为．【答案】： 3- 4、已知a ，b 为正数，且直线 ax ＋by －6＝0与直线 2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为________．

【答案】25 【解析】：由于直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，所以a (b －3)＝2b ，即2a ＋3 b ＝1(a ， b 均为正数)，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6⎝ ⎛⎭ ⎪⎫b a ＋a b ≥13＋6×2 b a ×a b ＝25(当且仅当b a ＝a b 即a ＝b ＝5时取等号)． 5、已知正实数,x y 满足，则x y +的最小值为．【答案】8 【解析】：因为,0x y >，所以10y +>．又因为，所以 10x ->，所以，当且仅当，即5,3x y ==时等号成立．易错警示在应用基本不等式时，要注意它使用的三个条件“一正二定三相等”．另外，在应用基本不等式时，要注意整体思想的应用． 6、设实数x ，y 满足x 2 ＋2xy －1＝0，则x 2 ＋y 2 的最小值是________．【答案】 5－1 2 思路分析1 注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．注意中消去y 较易，所以消去y . 解法1 由x 2 ＋2xy －1＝0得y ＝1－x 2 2x ，从而x 2＋y 2＝x 2 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2 2x 2＝5x 2 4＋14x 2－12 ≥2516－12＝5－1 2 ，当且仅当x ＝±41 5 时等号成立．思路分析2 由所求的结论x 2 ＋y 2 想到将条件应用基本不等式，构造出x 2 ＋y 2 ，然后将x 2 ＋y 2 求解出来．解法2 由x 2 ＋2xy －1＝0得1－x 2 ＝2xy ≤mx 2 ＋ny 2 ，其中mn ＝1(m ，n >0)，所以(m ＋1)x 2 ＋ny 2 ≥1，令m ＋1＝n ，与mn ＝1联立解得m ＝ 5－12，n ＝5＋12，从而x 2＋y 2 ≥15＋1 2 ＝5－12. 7、若正实数x y ，满足1x y +=，则4 y x y +的最小值是 ▲ ．【答案】、8 【解析】：因为正实数x y ，满足1x y +=，所以

2020年新课标高考数学二轮热点专题提升-考点14 基本不等式及其应用(1)(含答案解析)

2020年新课标高考数学二轮热点专题提升-考点14 基本不等式及其应用（1）【自主热身，归纳总结】 1、（2019年苏州学情调研）若正实数x y ，满足1x y +=，则4y x y +的最小值是．【答案】、8 【解析】、因为正实数x y ，满足1x y +=，所以4()444y y x y y x x y x y x y ?++=+ =++424448y x x y ≥?+=+=，当且仅当4y x x y = ，即2y x =，又1x y +=，即12,33 x y = =，等号成立，即4y x y +取得最小值8. 2、(2018苏锡常镇调研（一））已知a>0, b>0，且2a ＋3 b ＝ab ，则ab 的最小值是________．【答案】 26 【解析】、思路分析利用基本不等式，化和的形式为积的形式．因为ab ＝2a ＋3 b ≥2 2a ·3b ，所以ab≥26，当且仅当2a ＝3 b ＝6时，取等号． 3、(2017苏北四市期末）. 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3? ????0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为________．【答案】. 8 【解析】、解法1 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3? ? ???0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1 y －3 ＋6≥2 y －3 ·1 y －3 ＋6＝8，当且仅当y －3＝1y －3，即y ＝4时取等号，此时x ＝37，所以3x ＋1 y －3的最小值为8. 解法2 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3? ? ???0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，y －3＝3x －6＞0，所以3x ＋1y －3 ＝3x ＋13x －6＝3x －6＋1 3x －6 ＋6≥2 ? ????3x －6·1 3 x －6＋6＝8，当且仅当3x －6＝13x －6 ，即x ＝37时取等号，此时y ＝4，所以3x ＋1 y －3 的最小值为8.

高考数学复习专题基本不等式

高考数学复习专题基本不等式全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解）高考数学复专题：基本不等式一、基本不等式 1.基本不等式：对于任意非负实数 $a$ 和 $b$，有 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。 2.算术平均数与几何平均数：设 $a>0$，$b>0$，则 $a$ 和 $b$ 的算术平均数不小于它们的几何平均数。 3.利用基本不等式求最值问题： 1）如果积 $xy$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。

2）如果和 $x+y$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值 $\frac{P}{4}$。 4.常用结论： 1）$a+b \geq 2ab$（$a$，$b$ 为任意实数）。 2）$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b} \geq 2(a+b)$（$a$， $b$ 为同号实数）。 3）$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \leq (\frac{a+b}{2})^2$（$a$，$b$ 为任意实数）。 4）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$ 为正实数）。 5）$2(a+b) \geq \sqrt{2}(a+b)$（$a$，$b$ 为任意实数）。 6）$\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$（$a$， $b$ 为任意实数）。

7）$a^2+b^2 \geq ab$（$a>0$，$b>0$）。二、基本不等式在实际中的应用 1.问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等。题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。 2.经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 $y=ax+b$（$a>0$，$b>0$）等。解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解。考点突破一：利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的常用技巧： 1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式。

2020年高考数学复习题：基本不等式及其应用

2020年高考数学复习题：基本不等式及其应用 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

基本不等式及其应用 [基础训练] 1．下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0，则a 2 ＋1 a 的最小值是2a ； ②函数f (x )＝sin 2x 3＋cos 2x 的最大值是2； ③函数f (x )＝x ＋1 x 的值域是[2，＋∞)； ④对任意的实数a ，b 均有a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＝－b . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：B 解析：①错误：设f (a )＝a 2 ＋1 a ，其中a 是自变量， 2a 也是变化的，不能说2a 是f (a )的最小值； ②错误：f (x )＝sin 2x 3＋cos 2 x ≤sin 2x ＋3＋cos 2x 2 ＝2，当且仅当sin 2x ＝3＋cos 2x 时等号成立，此方程无解， ∴等号取不到，2不是f (x )的最大值； ③错误：当x >0时，x ＋1 x ≥2 x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时等号成立；当x <0时，－x >0，x ＋1 x ＝－? ?? ??－x ＋1－x ≤－2 (－x )·1 －x ＝－2，当且仅当－x ＝－1 x ，即x ＝－1时等号成立． ∴f (x )＝x ＋1 x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)； ④正确：利用作差法进行判断． ∵a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ，

其中等号成立的条件是a ＋b ＝0，即a ＝－b . 2．[2019河北张家口模拟]已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则 2 a －1＋1 b 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 答案：D 解析：因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2，所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1，所以2a －1＋1b ＝? ????2a －1＋1b ·[(a －1)＋2b ] ＝4＋4b a －1 ＋a －1b ≥4＋2 4b a －1·a －1b ＝8，当且仅当4b a －1＝a －1 b 时等号成立，所以2a －1＋1b 的最小值是8，故选D. 3．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] 答案：D 解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)， ∴2 x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14，得x ＋y ≤－2.故选D. 4．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) A.2 2 B ．2 2 C. 2 D ．2 答案：D 解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ，即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0，

2022年高考数学基本不等式及其应用知识点专项练习含答案

专题26 基本不等式及其应用一、单选题（本大题共12小题，共60分） 1. 建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为( ) A. 1680元 B. 1760元 C. 1800元 D. 1820元 2. 为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A 1B 1C 1D 1，该项目由长方形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD 的面积为1000m 2，绿化带的宽分别为2 m 和5m(如图所示).当整个项目占地A 1B 1C 1D 1面积最小时，则核心喷泉区BC 的边长为( ) A. 20 m B. 50 m C. 10√10m D. 100 m 3. 设a >0，b >0，a +b =1，则下列说法错误的是( ) A. ab 的最大值为1 4 B. a 2+b 2的最小值为1 2 C. 4 a +1 b 的最小值为9 D. √a +√b 的最小值为√2 4. 已知m >0，xy >0，当x +y =2时，不等式2 x + m y ≥4恒成立，则m 的取值范围是 ( ) A. [√2,+∞) B. [2,+∞) C. (0,√2] D. (0,2] 5. 在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即d =m k ，其中d 是距离( 单位，m 是质量(单位，k 是弹簧系数(单位弹簧系数分别为k 1，k 2的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k 满足1 k =1 k 1 +1 k 2 ，并联时得到的弹簧系数k 满足k =

高考数学专题《基本不等式及其应用》习题含答案解析

专题2.2 基本不等式及其应用 1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知(),,0,a b c ∈+∞，320a b c -+=的（） A B C D ．最小值是 3 【答案】B 【解析】由题意得32 a c b +=，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案；【详解】因为320a b c -+=，所以32 a c b += ， =≤3a c =. 故选：B. 2．（2021·山东高三其他模拟）已知a b ，均为正实数，则“2ab a b ≤+”是“16ab ≤”的（） A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】取100,2a b ==可得由2ab a b ≤+推不出16ab ≤，反过来，由基本不等式可得由16ab ≤能推出2ab a b ≤+，然后可选出答案. 【详解】取100,2a b ==，则 2002102ab a b =<+，但20016ab =>，所以由2ab a b ≤+推不出16ab ≤，练基础

反过来，若16ab ≤，则 2 ab a b ≤=≤+，当且仅当4a b ==时取等号，所以由16ab ≤能推出2ab a b ≤+，所以“2ab a b ≤+”是“16ab ≤”的必要不充分条件，故选：C 3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积是()22 14 S b c = + ，则ABC 的三个内角大小为（） A ．60A B C === B ．90,45A B C === C ．120,30A B C === D ．90,30,60A B C === 【答案】B 【解析】由ABC 的面积是()22 14 S b c =+，利用面积公式及基本不等式判断出90A =︒，由b=c 得45B C ==. 【详解】因为222b c bc +≥，所以()2211 42 S b c bc =+≥（当且仅当b=c 时取等号）. 而ABC 的面积是1 sin 2 S bc A =, 所以11 sin 22 S bc A bc = ≥，即sin 1A ≥，所以sin =1A ，因为A 为三角形内角，所以90A =︒. 又因为b=c ，所以90,45A B C ===. 故选：B 4．（2021·浙江高三月考）已知实数x ，y 满足22 44x y +=，则xy 的最小值是（） A ．2- B ． C ． D ．1- 【答案】D 【解析】运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】

新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解5---基本不等式及其应用(解析版)

新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解专题2.2 基本不等式及其应用【考纲解读与核心素养】 1. 掌握基本不等式ab b a ≥+2 (a ，b ＞0)及其应用. 2．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养. 【知识清单】 1．重要不等式当a 、b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a=b 时，等号成立． 2．基本不等式当a >0，b >0时有ab b a ≥+2 ，当且仅当a=b 时，等号成立． 3．基本不等式与最值已知x 、y 都是正数． (1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值． (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值． 4.常用推论（1）22 ab 2 a b +≤（,R a b ∈）

（2）2ab ()2 a b +≤（0a >，0b >）；222()22a b a b ++≥ （3 ）2 0,0)112a b a b a b +≤≤>>+ 【典例剖析】高频考点一：利用基本不等式证明不等式例1. 已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥ 【答案】见解析【解析】∵a 、b 、c 都是正数 ∴0a b +≥> （当且仅当a b =时，取等号） 0b c +≥> （当且仅当b c =时，取等号） 0c a +≥> （当且仅当c a =时，取等号） ∴()()()8a b b c c a abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号）即()()()8a b b c c a abc +++≥. 【方法技巧】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．【变式探究】

高中数学高考复习专题强化11 基本不等式及其应用

专题强化11 基本不等式及其应用（C 级）一、填空题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，将答案填在答题卡上。 1．“0a b >>”是“22 2 a b ab +<”的______________条件（填“充分必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）。 2．函数()4230y x x x =-->的最大值是______________。 3．已知点A （a ，b ）在直线210x y +-=上，24a b +的最小值为______________。 4．若正实数a ，b 满足a +b =1，则下列说法中正确的序号是______________。（1）11a b +的最大值4；（2）ab 有最小值 14；（3 （4）22a b +。 5．若0,0a b >>，且函数()32422f x x ax bx =--+在x =1处有极值，则ab 的最大值为___________。 6．已知常数0a >，函数()()11 a f x x x x =+>-的最小值为3，则a 的值为______________。 7．若实数x ，y 满足221x y xy ++=，则x +y 的最大值为______________。 8．若实数x ，y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22 x y x y +-的最小值为______________。 9．已知a ，b 为正数，且直线60ax by +-=与直线()2350x b y +-+=互相平行，则23a b +的最小值为______________。 10．已知1a b >>且2log 3log 7a b b a +=，则211 a b +-的最小值为______________。二、解答题：本大题共2小题，每题14分，共28分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 11．已知,αβ为锐角，且2tan ,tan 15 t t αβ==，当10tan 3tan αβ+取得最小值时，求αβ+的值。

2023年新高考数学大一轮复习专题04 基本不等式及其应用 (解析版)

专题04基本不等式及其应用【考点预测】 1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2 b a +叫作 b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号；基本不等式2：若a b ∈，+R ，则 ab b a ≥+2 （或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 【方法技巧与总结】 1.几个重要的不等式（1）()()()2 0,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈ （2）基本不等式：如果,a b R + ∈，则2 a b ab +≥(当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2a b a a a b a >+ ≥+≥（,a b 同号）. （3）其他变形： ①()2 222 a b a b ++≥ (沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式) ②22 2 a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式) ③2 2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式) ④重要不等式串： ) 22 2 ,1122a b a b ab a b R a b +++≤≤≤∈+即调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理已知,x y R + ∈. （1）如果x y S +=(定值)，则2 2 24x y S xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ (当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.

新高考数学复习考点知识提升专题训练12---基本不等式的应用

新高考数学复习考点知识提升专题训练（十二）基本不等式的应用 (一)基础落实 1．下列等式中最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4 x B ．y ＝2t ＋1 t C ．y ＝4t ＋1 t (t >0) D ．y ＝t ＋1 t 解析：选C A 中x ＝－1时，y ＝－5<4；B 中t ＝－1时，y ＝－3<4；C 中y ＝4t ＋1 t ≥2 4t ·1t ＝4，当且仅当t ＝1 2 时，等号成立；D 中t ＝－1时，y ＝－2<4. 2．已知00时，y 有最小值0 B ．当x >0时，y 有最大值0 C ．当x <0时，y 有最大值－4 D ．当x <0时，y 有最小值－4

解析：选AC 当x >0时，y ＝x ＋1 x －2≥2 x ·1x －2＝2－2＝0，当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时，等号成立，故A 正确，B 错误；当x <0时，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1－x －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1 －x ，即x ＝－1时，等号成立，故C 正确，D 错误．故选A 、C. 5．已知x >0，y >0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9 D ．36 解析：选B (1＋x )(1＋y )≤⎣⎢ ⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋(1＋y )22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(x ＋y )22＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫2＋822 ＝25，当且仅当1＋x ＝1＋y ，即x ＝y ＝4时，等号成立． 6．如果a >0，那么a ＋1 a ＋2的最小值是________．解析：因为a >0，所以a ＋1 a ＋2≥2 a ·1 a ＋2＝2＋2＝4，当且仅当a ＝1时等号成立．答案：4 7．若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1 n 的最小值为________．解析：∵2m ＋n ＝1，∴1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (2m ＋n )＝3＋2m n ＋n m ≥3＋22，当且仅当n ＝2m ，即m ＝1－ 2 2 ，n ＝2－1时，等号成立，即最小值为3＋2 2. 答案：3＋2 2 8．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，且x >0，故y x ≤18－225＝8，

高三数学二轮复习高频考点专题：不等式(含答案)

高三第二轮复习之不等式前篇寄语：不等式在往届的高考的高考中是比较难的题，也是尖子生拉开分差的题目，特别是早年高考大题不等式的证明，更是让很多莘莘学子望而却步，但随着近年来教育的不断改革，很多知识点或者某些思维的要求逐渐淡化，那么不等式的得分不再是以前那么遥不可及，更趋向于是解其他模块题目的一种基础辅助方法，特别是在函数和数列里，当然前面的小题出现的概率依然很高，不过难度都较以往降低很多，接下里笔者将分析高考不等式一些考试常见考点。一、几个基本不等式（重点） 1.a 2+b 2≥2ab （a ，b ∈R ）， 2.当a ，b ≥0时，a+b ≥ab 2 3.当a ，b ≥0时，ab ≤2 2b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+. 例题1.已知则且,2,0,0=+≥≥b a b a （） (A)21≤ab (B) 2 1≥ab (C)222≥+b a (D) 322≤+b a 解：由0,0a b ≥≥,且2a b +=， ∴222224()22()a b a b ab a b =+=++≤+， ∴ 222a b +≥。例题2.已知x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y •的最大值是．解： 211414()44216 x y xy x y += ⋅≤=，当且仅当x=4y=12时取等号. 例题3.已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2 y xz 的最小值．解：由230x y z -+=得32 x z y +=，代入2y xz 得229666344x z xz xz xz xz xz +++≥=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．二、通过一些数学技巧转化到这三个基本不等式 1. “1”的应用例题4.已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a

2.2 基本不等式及其应用导学案-高考数学复习(新教材新高考)

2.2 基本不等式及其应用课标要求 1.探索并了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．知识回顾 1．基本不等式：ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件： . (2)等号成立的条件：当且仅当时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥ (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b ≥ (a ，b 同号)． (3)ab ⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2 ＋b 2 2 ⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为 . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当时，x ＋y 有最值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当时，xy 有最值p 2 4.(简记：和定积最大) 常用结论 1．利用基本不等式求最值时必须满足“正、定、等”，三个字缺一不可 2．函数y ＝x ＋a x 的定义域是{x|x ≠0} a >0时，函数y ＝x ＋a x 的值域为(−∞，−2√a]⋃[2√a ，+∞)；只有在x >0 且a >0时，最小值才是2√a 当且仅当x =√a 时取等号. 基础摸底 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )＝cos x ＋ 4 cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4.( ) (2)“x >0且y >0”是“x y ＋y x ≥2”的充要条件．( ) (3)(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )．( ) (4)若a >0，则a 3＋1 a 2的最小值为2a .( )

高考数学二轮复习专项分层特训微专题1基本不等式中“1”的妙用含答案

三微专题提升练微专题1 基本不等式中“1”的妙用一、单项选择题 1．[2022·湖北武汉模拟]已知正实数x ，y ，则“x ＋y ＝1”是“1x ＋1 y ≥4”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．[2022·辽宁鞍山二模]已知正实数a 、b 满足a ＋b ＝2，则4b ＋1 a 的最小值是( ) A ．72 B ．92 C ．5 D ．9 3．已知x >0，y >0.且2x ＋1 y ＝1，若2x ＋y >m 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(－∞，7) C ．(－∞，9] D ．(－∞，9) 4．[2022·河北保定高三期中]若圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝5上存在两点关于直线2ax －by ＋3 ＝0(a >0，b >2)对称，则12a ＋1 b －2 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．8 5．[2022·江苏高邮模拟]函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋1 n 的最小值为( ) A ．3－22 B ．1＋2 C ．3＋22 D ．2＋22 6．[2022·山东济南历城二中模拟]已知a >0、b >0，直线l 1：x ＋(a －4)y ＋1＝0，l 2：2bx ＋y －2＝0，且l 1⊥l 2，则1a ＋1 ＋1 2b 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．25 D ．45 7．[2022·湖南邵阳二中模拟]已知正项等比数列{}a n 满足a 3＝a 2＋2a 1，若存在a m 、a n ，使得a m ·a n ＝16a 21 ，则1m ＋4 n 的最小值为( ) A ．8 3 B ．16 C ．114 D ．32 8．[2022·江苏泰州模拟]若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则函数f (x )＝abx 2＋(3b ＋1)x －36ab 的零点的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．2 D ．3