2019年高考数学(文)一轮复习精品资料：专题32基本不等式(教学案)含解析
2019年高考数学（文）一轮复习精品资料
1.了解基本不等式的证明过程．
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
1.均值不等式：ab ≤
a ＋b
2
(1)均值不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. (3)其中
a ＋b
2
称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数.
2.几个重要的不等式
(1)a 2
＋b 2
≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.
(2)ab ≤⎝ ⎛⎭
⎪
⎫a ＋b 22
(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.
(3)
a 2＋
b 22
≥⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (4)b a ＋a b
≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用均值不等式求最值 已知x ＞0，y ＞0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 2
4
(简记：和定积最大).
高频考点一 配凑法求最值
【例1】 (1)已知x ＜54，求f (x )＝4x －2＋1
4x －5的最大值；
(2)求函数y ＝
x －1
x ＋3＋x －1
的最大值.
【方法规律】(1)应用均值不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用均值不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.
(2)在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用均值不等式.
【变式探究】 (1)若对∀x ≥1，不等式x ＋
1
x ＋1
－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________. (2)函数y ＝x 2＋2
x －1
(x >1)的最小值为________.
【答案】(1)⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，12 (2)23＋2 【解析】(1)因为函数f (x )＝x ＋1x －1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )＝x ＋1＋1
x ＋1－2在[0，＋∞)上
单调递增，所以函数g (x )在[1，＋∞)的最小值为g (1)＝12，因此对∀x ≥1不等式x ＋1
x ＋1
－1≥a 恒成立，所以a ≤g (x )
最小值
＝12，故实数a 的取值范围是⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，12
.
高频考点二 常数代换或消元法求最值
【例2】 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________. (2)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 【答案】(1)5 (2)6
【解析】(1)法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋3
5x ＝1，
∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝
⎛⎭
⎪⎫15y ＋35x
＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝1
2时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5. 法二 由x ＋3y ＝5xy ，得x ＝3y
5y －1
， ∵x >0， y >0，∴y >15
，
∴3x ＋4y ＝9y 5y －1＋4y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋95＋4
5－4y
5⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －15＋4y ＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15
≥
135＋236
25
＝5， 当且仅当y ＝1
2时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.
(2)由已知得x ＝9－3y
1＋y .
法一 (消元法)
因为x ＞0，y ＞0，所以0＜y ＜3，
【方法规律】条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用均值不等式求解最值；三是对条件使用均值不等式，建立所求目标函数的不等式求解.
【变式探究】 (1)已知x >0，y >0且x ＋y ＝1，则8x ＋2
y
的最小值为________.
(2)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A.8 B.4 C.2 D.0
【答案】(1)18 (2)A 【解析】(1)(常数代换法)
因为x >0，y >0，且x ＋y ＝1， 所以8x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
8x ＋2y (x ＋y )
＝10＋8y x
＋2x
y
≥10＋28y x ·2x
y
＝18，
当且仅当8y x ＝2x
y
，即x ＝2y 时等号成立，
所以当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2
y 有最小值18.
(2)由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1
y
＝1，且x >0，y >0.
∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋1y ＝4y x
＋x
y
＋4≥4＋4＝8.
高频考点三 利用基本不等式求最值
例3、2017·山东高考]若直线x a ＋y b
＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________． 【答案】8
【方法技巧】利用基本不等式求最值问题的解题策略
(1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不等式．
【变式探究】 (1)已知0 【解析】∵0 ，当3x ＝3－3x ，即x ＝12时，x (3－3x ) 取得最大值3 4 .选C. (2)设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－3 2的最小值为________． 【答案】0 【解析】y ＝x ＋ 22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1 x ＋1 2 －2≥2⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x ＋12·1x ＋ 12 －2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋ 12 ，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0. 高频考点四 均值不等式在实际问题中的应用 【例4】 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假 设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭ ⎪⎫2＋ x 2 360升，司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式； (2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. ∈ [50，100]). (2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610， 当且仅当130×18x ＝2×130 360x ， 即x ＝1810时等号成立. 故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 【方法规律】(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用均值不等式求得函数的最值. (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解. 【变式探究】 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝ 76 000v v 2 ＋18v ＋20l . (1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时； (2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时. 【答案】(1)1 900 (2)100 【解析】(1)当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20×6.05 ， ∴F ＝ 76 000v v 2 ＋18v ＋121＝76 000 v ＋121 v ＋18≤ 76 000 2 v ·121v ＋18 ＝1 900， 当且仅当v ＝121 v ，即v ＝11时取“＝”. ∴最大车流量F 为1 900辆/时. (2)当l ＝5时，F ＝ 76 000v v 2 ＋18v ＋20×5＝76 000 v ＋100 v ＋18 ， ∴F ≤ 76 000 2 v ·100v ＋18 ＝2 000， 当且仅当v ＝100 v ，即v ＝10时取“＝”. ∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100辆/时. 高频考点五 利用基本不等式解决实际问题 例5、某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76000v v 2 ＋18v ＋20l . (1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为_______辆/小时； (2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时． 【答案】(1)1900 (2)100 【方法技巧】有关函数最值的实际问题的解题技巧 (1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围． (4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． 【变式探究】某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年 促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－k m＋1 (k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)． (1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 1.[2017·山东高考]若直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________． 【答案】8 【解析】∵直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)， ∴1a ＋2 b ＝1， ∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1a ＋2b ＝4＋4a b ＋b a ≥4＋2 4a b ·b a ＝8， 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝2，b ＝4时，等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8. 2.[2017·天津高考]若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1 ab 的最小值为________． 【答案】4 【解析】∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2(当且仅当a 2＝2b 2 时“＝”成立)， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ， 由于ab >0，∴4ab ＋1ab ≥2 4ab · 1 ab ＝4⎝ ⎛⎭ ⎪⎫当且仅当4ab ＝1ab 时“＝”成立， 故当且仅当⎩ ⎪⎨⎪ ⎧ a 2＝2 b 2 ，4ab ＝1 ab 时，a 4＋4b 4＋1 ab 的最小值为4. 3．[2017·江苏高考]某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是________． 【答案】30 1.【2016高考山东文数】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩ 则x 2+y 2 的最大值是（ ） （A ）4（B ）9（C ）10（D ）12 【答案】C 【解析】画出可行域如图所示，点A （3，-1）到原点距离最大，所以22 max ()10 x y +=，选C. 2.【2016高考浙江文数】若平面区域 30, 230, 230 x y x y x y +-≥ ⎧ ⎪ --≤ ⎨ ⎪-+≥ ⎩ 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间 的距离的最小值是（） 【答案】 B 3.【2016高考新课标2文数】若x，y满足约束条件 10 30 30 x y x y x -+≥ ⎧ ⎪ +-≥ ⎨ ⎪-≤ ⎩ ，则2 z x y =-的最小值为__________ 【答案】5 - 【解析】由 10 30 x y x y -+= ⎧ ⎨ +-= ⎩ 得 1 2 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ ，点() 1,2 A，由 10 30 x y x -+= ⎧ ⎨ -= ⎩ 得 3 4 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ ，点() 3,4 B，由 30 30 x x y -= ⎧ ⎨ +-= ⎩ 得 3 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ ，点() C3,0，分别将A，B，C代入2 z x y =-得：1223 z A =-⨯=-，3245 z B =-⨯=-， C 3203 z=-⨯=，所以2 z x y =-的最小值为5-． 4.[2016高考新课标Ⅲ文数]若,x y满足约束条件 210, 210, 1, x y x y x -+≥ ⎧ ⎪ --≤ ⎨ ⎪≤ ⎩ 则235 z x y =+-的最小值为 _____________. 【答案】－10 【解析】作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知当目标函数235 z x y =+-经过点(1,1) A--时取得 最小值，即min 2(1)3(1)510z =⨯-+⨯--=-． 5.【2016高考新课标1文数】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元. 【答案】216000 【解析】设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件，利润之和为z 元，那么由题意得约束条件 1.50.5150,0.390,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪ +⎨⎪⎪ ⎪⎩…………… 目 标函数2100900z x y =+. 约束条件等价于3300, 103900,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪ +⎨⎪⎪ ⎪⎩?………… ① 作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示 . 6.【2016高考上海文科】若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥⎧⎪ ≥⎨⎪≥+⎩ 则2x y -的最大值为_______. 【答案】－2 【解析】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，令y x z 2-=，当直线z x y 2 1 21-=经过点)1,0(P 时，z 取得最大值2- . 1.【2015高考湖南，文7】若实数,a b 满足 12 ab a b +=，则ab 的最小值为( ) A B 、2 C 、2 D 、4 【答案】C 【解析】 12 121002ab a b ab ab a b a b a +=∴= +≥⨯=≥，＞，＞，（当且仅当2 b a =时取等号） ，所以ab 的最小值为，故选C. 2.【2015高考重庆，文14】设,0,5a b a b >+=,________. 【答案】23 3.【2015高考福建，文5】若直线1(0,0)x y a b a b +=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】C 【解析】由已知得 111a b +=， 则11=()()a b a b a b +++2+b a a b =+，因为0,0a b >>，所以+b a a b ≥，故4a b +≥，当 =b a a b ，即2a b ==时取等号． 专题7.3 基本不等式 【核心素养分析】 1.了解基本不等式的证明过程； 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】 知识点一 基本不等式ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)????a ＋b 22≤a 2 ＋b 2 2(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋ b 2 2 (a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的 算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大)． 【特别提醒】 1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立. 2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】 高频 考点一 利用基本不等式求最值 【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ． 1.了解基本不等式的证明过程． 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 1．基本不等式ab≤ a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件： a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2) b a ＋ a b ≥2(a，b同号)． (3)ab≤? ? ?? ? a＋b 2 2 (a，b∈R)． (4) a2＋b2 2 ≥ ? ? ?? ? a＋b 2 2 (a，b∈R)． 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为 a＋b 2 ，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是 p2 4 .(简记：和定积最大) 高频考点一利用基本不等式求最值 例1、(1)已知x< 5 4 ，则f(x)＝4x－2＋ 1 4x－5 的最大值为________． (2)函数y＝ x2＋2 x－1 (x>1)的最小值为________． (3)函数y＝ x－1 x＋3＋x－1 的最大值为________． 【答案】(1)1(2)23＋2(3) 1 5 【感悟提升】(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件． 2019年高考数学试题分项版——不等式（解析版） 一、选择题 1．(2019·全国Ⅲ文，11)记不等式组 ＋ ， － 表示的平面区域为D .命题p ：?(x ，y )∈D,2x ＋y ≥9；命题q ：?(x ，y )∈D,2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题： ①p ∨q ；②(p ? )∨q ；③p ∧(q ? )；④(p ? )∧(q ? )． 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．③④ 答案 A 解析 方法一 画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示． 目标函数z ＝2x ＋y 是一条平行移动的直线，且z 的几何意义是直线z ＝2x ＋y 在y 轴上的截距． 显然，当直线过点A (2,4)时，z min ＝2×2＋4＝8， 即z ＝2x ＋y ≥8. ∴2x ＋y ∈[8，＋∞)． 由此得命题p ：?(x ，y )∈D,2x ＋y ≥9正确； 命题q ：?(x ，y )∈D,2x ＋y ≤12不正确． ∴①③真，②④假． 方法二 取x ＝4，y ＝5，满足不等式组 ＋ ， － ，且满足2x ＋y ≥9，不满足2x ＋y ≤12，故 p 真，q 假． ∴①③真，②④假． 2．(2019·天津文，2)设变量x ，y 满足约束条件 ＋ － ， － ＋ ， － ， － ，则目标函数z ＝－4x ＋y 的 最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．6 答案 C 解析 画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示， 作出直线－4x＋y＝0，并平移，可知当直线过点A时，z取得最大值．由 ＝－，－＋＝， 可得＝－， ＝， 所以点A的坐标为(－1,1)， 故z max＝－4×(－1)＋1＝5. 3．(2019·天津文，3)设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x－1|＜1”的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 B 解析由|x－1|＜1可得0＜x＜2，所以“|x－1|＜1的解集”是“0＜x＜5的解集”的真子集．故“0＜x＜5”是“|x－1|＜1”的必要不充分条件． 4．(2019·浙江，3)若实数x，y满足约束条件－＋， －－， ＋， 则z＝3x＋2y的最大值是() A．－1 B．1 C．10 D．12 答案 C 解析作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，数形结合可知，当直线z＝3x＋2y过点A(2,2)时，z取得最大值，z max＝6＋4＝10. 5．(2019·浙江，5)设a＞0，b＞0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥2，由a＋b≤4可得2≤4，解得ab≤4，所以充分 基本不等式与不等式的综合应用 专题检测 1.(2020山东师大附中第一次月考,12)下列不等式一定成立的是( ) A.lg (x 2+14)>lg x (x >0) B.sin x +1 sin x ≥2(x ≠k π,k ∈Z) C.x 2 +1≥2|x |(x ∈R) D.1 x 2+1>1(x ∈R) 答案 C 本题主要考查应用基本不等式求最值,考查的核心素养是逻辑推理.对于A,由于 x 2+14≥2√x 2·14=x ,当且仅当x =1 2时,取“=”,故A 不正确; 对于B,当x ∈(π,2π)时,sin x <0,sin x +1 sin x ≤-2,故B 不正确;对于C,x 2 +1-2|x |=(|x |-1)2 ≥0恒成立,故C 正确; 对于D,当x =0时, 1 x 2+1 =1,故D 不正确. 2.(2020西南四省八校9月联考,12)若x >0,y >0,x +2y =1,则xx 2x +x 的最大值为 ( ) A.1 4 B.1 5 C.1 9 D.1 12 答案 C xx 2x +x =12x +1x ,∵x >0,y >0,x +2y =1,∴1x +2x =(1x +2x )·1=(1x +2x )(x +2y )=5+2x x +2x x ≥5+2√2x x ·2x x =5+4=9,当且仅当{2x x =2x x , x +2x =1,即x =y =13时,取“=”, ∴12 x +1x ≤1 9,故xx 2x +x 的最大值为1 9,选C . 3.(2020山东青岛期初调研,8)函数f (x )=x 2 +x +2x +4 x 2 (x >0)的最小值为 ( ) A.4+2√2 B.4√2 C.8 D.√2+2 答案 A ∵x >0,∴f (x )=x 2 +x + 2x +4 x 2 =x 2 +4x 2+x +2x ≥2√x 2·4x 2+2√x ·2 x =4+2√2,当且仅当 { x 2=4 x 2,x =2 x , 即x =√2时取“=”,∴f (x )min =4+2√2,故选A . 4.(2018福建厦门外国语中学模拟,10)已知实数a >0,b >0,1 x +1+1 x +1=1,则a +2b 的最小值是 ( ) A.3√2 B.2√2 C.3 D.2 第10课 基本不等式 12 a b a b +≤ ?+≥ ①基本不等式成立的条件：,a b R + ∈ ．②等号成立的条件：当且仅当a b =时取等号． 2．常用的不等式 ①22 2a b ab +≥(,)a b R ∈．②,)a b a b R ++≥∈．③2 ( )(,)2 a b ab a b R +≤∈． 3．最值定理:若,0x y >，则由x y +≥可得如下结论： ①若积xy P =（定值），则和x y +②若和x y S +=（定值），则积xy 有最大值2 ()2 S ． 应用例析 1．直接用公式求最值 例1. （1）(2014烟台质检)若0x >，则4 + x x 的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．．4 【答案】D 【解析】∵0x >，∴4+4x x ≥=，当且仅当4 =x x ，即=2x 时，取等号． 变式：若0x >，则8 2+ x x 的最小值为 【答案】8 【解析】∵0x >，∴82+8x x ≥=，当且仅当82=x x ，即=2x 时，取等号．8 2+x x ∴的最小值为8 （2）已知0x >，求 2 21 x x +的最大值 【解析】2 2212,011 x x x x x +≥>∴ ≤+Q ，当且仅当1x =时取得等号 所以 221 x x +的最大值为1 （3）若0x <，求4 + x x 的最大值 0x 专题：基本不等式的应用 （ab ≤ a ＋ b 2） 1.设x 、y 均为正实数，且2＋x ＋2＋y ＝1，则xy 的最小值为 ( ) 2．(2009·天津高考) 设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为 ( ) 3．已知不等式(x ＋y )(1x ＋a y )≥9 对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 ( ) 4．(2010·太原模拟)若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过 同一个定点，则当1a ＋1b 取最小值时，函数f (x )的解析式是________． 5．设a 、b ①ab >2ab a ＋b ；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab >2恒成立的 序号为 ( ) A ．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 6．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8. 7. 某商场中秋前30f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商 场前t 天平均售出的月饼最少为 ( ) 8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处． 9．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计。 (1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价； (2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价。 2019年高考数学（文）一轮复习精品资料 1.了解基本不等式的证明过程． 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 1.均值不等式：ab ≤ a ＋b 2 (1)均值不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. (3)其中 a ＋b 2 称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数. 2.几个重要的不等式 (1)a 2 ＋b 2 ≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (3) a 2＋ b 22 ≥⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用均值不等式求最值 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 2 4 (简记：和定积最大). 高频考点一 配凑法求最值 【例1】 (1)已知x ＜54，求f (x )＝4x －2＋1 4x －5的最大值； (2)求函数y ＝ x －1 x ＋3＋x －1 的最大值. 【方法规律】(1)应用均值不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用均值不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件. (2)在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用均值不等式. 高考数学《基本不等(Deng)式》专题复习 教学案 a ＋ b 2 ≤ab 本不等式(Ji)一、基【知(Zhi)识梳理】 . >0b >0，a 1．基本不等式成立(Li)的条件： 时取等号．b ＝a 2．等号(Hao)成立的条件：当且仅当 二、几个重要的不等式 )． R ∈b ，a (a2＋b22≤2⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a ＋b 2)；R ∈b ，a (2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤ab 同号)．b ，a (2≥a b ＋b a )；R ∈b ，a (ab 2≥2b ＋2a 三、算术平均数与几何平均数 两个正数的算 ，基本不等式可叙述为：ab ，几何平均数为a ＋b 2 的算术平均数为b ，a >0，则b >0，a 设术平均数不小于它们的几何平均数． 四、利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则： .(简记：积定和最小)p 有最小值是2y ＋x 时，y ＝x ，那么当且仅当p 是定值xy (1)如果积 .(简记：和定积最大)p2 4 有最大值是 xy 时，y ＝x ，那么当且仅当p 是定值y ＋x (2)如果和 【基础自测】1．函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为________ 解析： ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1 x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号．答案：[2，＋∞) 2．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为_______ 解析： ∵m >0，n >0，∴m ＋n ≥2mn ＝18.当且仅当m ＝n ＝9时，等号成立． 3．已知0 第七章 不等式、推理与证明 学案33 不等式的概念与性质 导学目标： 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.理解不等式的性质，会应用不等式的性质解决与范围有关的问题． 自主梳理 1．不等关系 不等关系与等量关系一样，也是自然界中存在的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在．不等关系可分为常量与________间的不等关系(如3>0)，变量与________间的不等关系(如x>5)，函数与________之间的不等关系(如x 2＋1≥2x)等． 2．不等式 用________(如“<”“>”“≤”“≥”等)连接两个代数式而成的式子叫做不等式，其中用“<”或“>”连接的不等式叫做严格不等式；用“≤”“≥”连接的不等式叫做非严格不等式．不等式可分为绝对不等式(不论用什么实数代替不等式中的字母，不等式都能成立)、条件不等式(只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母，不等式才能够成立)、矛盾不等式(不论用什么样的实数代替不等式中的字母，不等式都不能成立)． 3．两个实数大小的比较 (1)作差法：设a ，b ∈R ，则a >b ⇔a －b >0，a 0，b >0，则a >b ⇔__________， a < b ⇔a b <1. 4．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔________； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒________； (3)加法性质：a >b ⇔________； 推论：a >b ，c >d ⇒________； (4)乘法性质：a >b ，c >0⇒________； 推论：a >b >0，c >d >0⇒________； (5)乘方性质：a >b >0⇒________________________； (6)开方性质：a >b >0⇒________________________； (7)倒数性质：a >b ，ab >0⇒________________. 自我检测 1．(2011·大纲全国)下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 3 2．若a ，b 是任意实数，且a >b ，则( ) A ．a 2>b 2 B.b a <1 C ．lg(a －b )>0 D.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b 3．(2011·青岛模拟)设a >0，b >0，则以下不等式中不一定成立的是( ) A ．a b ＋b a ≥2 B ．ln(ab ＋1)>0 C ．a 2＋b 2＋2≥2a ＋2b D ．a 3＋b 3≥2ab 2 4．(2011·上海)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) 2023高考数学复习专项训练《基本不等式》 一、单选题（本大题共12小题，共60分） 1.（5分）已知正实数x,y满足x+2y=6，则√x(y+1)的最大值为() A. 2√2 B. 2√3 C. 3 D. 2.（5分）已知a、b是不相等的正数，x=√a+√b √2 ，y=√a+b，则x、y的关系是() A. x>y B. y>x C. x>√2y D. 不能确定 3.（5分）已知实数x，y满足约束条件3x−y⩽ln(x+2y−3)+ln(2x−3y+5)，则x+y=() A. 12 5B. 14 5 C. 16 7 D. 18 7 4.（5分）已知x+2y=1，则2x+4y的最小值为() A. 8 B. 6 C. 2√2 D. 3√2 5.（5分）已知x>0，y>0，x+3y=1，则1 x +1 3y 的最小值是() A. 2√2 B. 2 C. 4 D. 2√3 6.（5分）若直线mx+ny+2=0(m>0,n>0)截得圆(x+3)2+(y+1)2=1的弦长 为2，则1 m +3 n 的最小值为() A. 4 B. 12 C. 16 D. 6 7.（5分）ΔABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别是a，b，c，若a=1，2b−c=2cos C，则ΔABC周长的取值范围是() A. [1,3] B. (2,3] C. (2,5] D. [3,4) 8.（5分）若圆始终平分圆的周长，则的最大值为() A. B. C. D. 9.（5分）设a>0，b>0，直线ax+by−1=0经过圆C:x2+y2−2x−2y=0的圆 心，则1 a +1 b 的最小值为() A. 1 B. 4 C. 2 D. 1 4 10.（5分）已知a，b为正数，且1 a +2 b =4，则a+2b的最小值是() A. 2 B. 9 4C. 5 2 D. 3 11.（5分）设m>1，n>1，若mn=e4，则t=n ln m的最大值为() 课时规范练33 基本不等式及其应用 一、基础巩固组 1.设0 第3讲 基本不等式 , ) 1．基本不等式ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算 术平均数不小于它们的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则 (1)假如积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小) (2)假如和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2 4 ．(简记：和定积最大) 1．辨明两个易误点 (1)使用基本不等式求最值，“一正，二定，三相等”三个条件缺一不行； (2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件全都． 2．活用几个重要的不等式 a 2＋ b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且都不为0)； ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a ＋b 22 ≤a 2＋b 2 2(a ，b ∈R )． 3．巧用“拆”“拼”“凑” 在运用基本不等式时，要特殊留意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 1.教材习题改编 将正数m 分成两个正数a 与b 之和，则ab 的范围为( ) A ．(0，m 2 2] B ．(0，m 2 4] C ．[m 22，＋∞) D ．[m 2 4 ，＋∞) B a ＋b ＝m ≥2ab ， 所以ab ≤m 2 4 ，故选B. 2.教材习题改编 函数f (x )＝x ＋1 x 的值域为( ) A ． B ．∪ 当x >0时，x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2. 当x <0时，－x >0. －x ＋1－x ≥2 （－x ）·1 （－x ） ＝2. 所以x ＋1 x ≤－2. 所以f (x )＝x ＋1 x 的值域为(－∞，－2]∪ 设折成的矩形的两边分别为x ，y (x >0，y >0)． 则x ＋y ＝a 2. 由于x ＋y ≥2xy ， 所以xy ≤14(x ＋y )2 ＝a 2 16， 即S 矩形≤a 2 16 . 当且仅当x ＝y ＝a 4时，(S 矩形)max ＝a 2 16.故选D. 4．若x >1，则x ＋4 x －1 的最小值为________． x ＋ 4x －1＝x －1＋4 x －1 ＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝ 4 x －1 ， 即x ＝3时等号成立． 5 5．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2 ＋2y 2 的最小值为______． 第2讲基本不等式 组基础关 1．设非零实数a，b,则“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2”成立的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 答案B 解析因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab,而错误!＋错误!≥2成立的条件是ab＞0,所以“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2"成立的必要不充分条件． 2．已知a>0，b〉0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋错误!，n＝a＋错误!，则m＋n的最小值是（) A．3 B．4 C．5 D．6 答案B 解析由题意知ab＝1，∴m＝b＋1 a＝2b,n＝a＋错误!＝2a，∴ m＋n＝2（a＋b)≥4错误!＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故m ＋n的最小值为4. 3．已知p＝a＋错误!,q＝错误!x2－2,其中a＞2，x∈R，则p，q 的大小关系是(） A．p≥q B．p＞q C．p＜q D．p≤q 答案A 解析由a＞2，故p＝a＋错误!＝（a－2)＋错误!＋2≥ 2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．因为x2－2≥－2,所以q ＝错误!x2－2≤错误!－2＝4，当且仅当x＝0时取等号，所以p≥q.故选A。 4．(2019·郑州外国语学校月考）若a＞b＞1,P＝错误!,Q＝错误!（lg a＋lg b),R＝lg 错误!，则() A．R＜P＜Q B．Q＜P＜R C．P＜Q＜R D．P＜R＜Q 答案C 解析因为a＞b＞1，所以lg a＞0，lg b＞0,且lg a≠lg b，所以错误!＜错误!（lg a＋lg b)，由错误!＜错误!，得lg错误!＜lg 错误!.所以错误!（lg a＋lg b)＜lg 错误!，综上知P＜Q＜R. 5．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30,则xy的最大值是（） A.错误!B．错误! C．2 D．错误! 个性化教学辅导教案 1、已知x ，y ∈R ＋ ，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________． 2、下列各式中，最小值等于2的是（ ） A ． x y y x + B ．4 1422+++x x C ．θ θtan 1 tan + D ．x x -+22 3、已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值是 ． 4．若a>0，b>0，且ln(a＋b)＝0，则1 a＋ 1 b的最小值是() A.1 4B．1 C．4 D．8 5、设x>-1，求函数 1)2 )( 5 ( ++ + = x x x y的最值。 学科分析： 基本不等式是必修5第三章内容，是高中不等式中很重要的知识考点。基本不等式在不等式最后一小节，考查的知识灵活性较强，题型分类较多，综合性很强，较多最值问题的联系上都会有所涉及。通过本次课的学习能够拓展学生知识面，让学生在做题中手法上更加灵活多样。 学生分析： 1、学习风格（动觉型、视觉型、听觉型） 2、知识点分析： （1）掌握基本不等式形式及法则； （2）学会基本不等式的常见题型及对应方法； （3）学会求解基本不等式在其他知识的综合。 【精准突破一】 学习目标：掌握基本不等式形式和法则 目标分解： （1）熟悉基本不等式的形式； （2）掌握基本不等式的法则； （3）掌握基本不等式的最值定理。 【目标1：基本不等式的形式】 1、基本不等式：若0a >，0b >，则2 a b ab +≤ （当且仅当a=b 时取“=”号）。 2、常用的重要不等式：① （当且仅当a=b 时取“=”号）。 3、基本不等式的两种变形形式： （1）若0a >，则1 2a a + ≥ (当且仅当1a =时取“=”）; ()22 2,a b ab a b R +≥∈ 第3讲 基本不等式 一、知识梳理 1．基本不等式:ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件:a ≥0,b ≥0. (2)等号成立的条件:当且仅当a ＝b 时取等号． (3)其中a ＋b 2 称为正数a ,b ,ab a ,b 的几何平均数． [点拨] 应用基本不等式求最值要注意:“一正、二定、三相等”．忽略某个条件,就会出错． 2．利用基本不等式求最值 已知x ≥0,y ≥0,则 (1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时,x ＋y 有最小值是2p ．(简记:积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值s ,那么当且仅当x ＝y 时,xy 有最大值是s 2 4．(简记:和定积最大) [点拨] 在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致． 常用结论 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫ a ＋ b 22 (a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥ ⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ),当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋a b ≥2(a ,b 同号),当且仅当a ＝b 时取等号． 二、教材衍化 1．设x ＞0,y ＞0,且x ＋y ＝18,则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 解析:选C ．xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22 ＝⎝⎛⎭⎫ 1822 ＝81,当且仅当x ＝y ＝9时等号成立,故选C ． 2．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________． 专题2.3 基本不等式-重难点题型精讲 1. 两个不等式 a ＋b 2 叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a ＝b 时，等号成立”是指若a ≠b ，则a 2＋b 2≠2ab ，ab ≠a ＋b 2，即只能有a 2 ＋b 2>2ab ，ab 0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 【题型1 对基本不等式的理解】 【例1】（2020秋•东城区校级月考）下列说法中错误的是（）A．不等式a+b≥2√ab恒成立 B．若a，b∈R+，则b a + a b ≥2 C．若a，b∈R+，满足a+2b＝1，则2 a + 1 b ≥8 D．存在a∈R，使得a+1 a ≤2成立 【解题思路】利用特殊值判断选项A，D，利用基本不等式求解最值判断选项B，C． 【解答过程】解：对于A，当a＜0，b＜0时，不等式a+b≥2√ab不成立，故选项A错误； 对于B，因为a，b∈R+，则b a + a b ≥2√b a⋅a b=2，当且仅当a＝b时取等号，故选项B正确； 对于C，因为a＞0，b＞0且a+2b＝1，所以2 a + 1 b =( 2 a + 1 b )(a+2b)= 4b a + a b +4≥2√4b a⋅a b+4=8， 当且仅当a＝2b时取等号，故选项C正确； 对于D，当a＝1时，a+1 a ≤2成立，故选项D正确． 故选：A． 【变式1-1】如果正数a，b，c，d满足a+b＝cd＝4，那么（） A．ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一 B．ab≥c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一 C．ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一 D．ab≥c+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一 【解题思路】根据均值不等式分别有：a+b≥2√ab；c+d≥2√cd；则a，b，c，d满足a+b＝cd＝4， 进而可得2√ab≤a+b=cd≤(c+d)2 4 化简即得．当且仅当a＝b＝c＝d＝2时取等号． 考向04 基本不等式及应用 【2021·全国·高考真题】已知1F ，2F 是椭圆C ：22 194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最 大值为（ ） A ．13 B ．12 C ．9 D ．6 【答案】C 【解析】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==， 所以2 121292MF MF MF MF ⎛+⎫ ⋅≤= ⎪⎝⎭ （当且仅当123MF MF ==时，等号成立） ． 故选：C ． 【2022年新高考全国II 卷】（多选题）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（ ） A ．1x y +≤ B ．2x y +≥- C ．222x y +≤ D ．221x y +≥ 【答案】BC 【解析】因为2 22 22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪ ⎝⎭ （,a b R ），由22 1+-=x y xy 可变形为，()2 21332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确； 由2 2 1+-=x y xy 可变形为()22 22 12 x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以 C 正确； 因为2 2 1+-=x y xy 变形可得2 23124y x y ⎛ ⎫-+= ⎪⎝⎭ ，设3cos sin 2y x y θθ-==，所以 cos ,33x y θθθ==，因此2222511 cos sin cos 12cos 233333 x y θθθθ=θ-θ+=++ 42π2sin 2,23363θ⎛ ⎫⎡⎤= +-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当33x y ==时满足等式，但是221x y +≥不成立，所以D 错误． 1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理。 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题。 热点题型一证明直线与平面垂直 例1、（2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2． （Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1； （Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ） 【解析】 方法一： （Ⅰ）由得， 所以. 故. 由，得， 由得， 由，得，所以，故. 因此平面. 【变式探究】【2017课标3，文19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD． （1）证明：AC⊥BD； （2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比． 【答案】（1）详见解析；（2）1 【解析】 （1）取AC的中点O，连结DO，BO. 因为AD=CD，所以A C⊥DO. 又由于△ACD是正三角形，所以AC⊥BO. 从而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD. 【变式探究】已知直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC中点。 (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证： BD⊥平面SAC。 证明：(1)如图，取AB中点E，连接SE、DE， (2)方法一，若AB＝BC，则BD⊥AC， 由(1)可知，SD⊥平面ABC，而BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD， ∵SD⊥BD、BD⊥AC，SD∩AC＝D， ∴BD⊥平面SAC。 第03讲基本不等式 (精讲+精练） 目录 第一部分：思维导图（总览全局） 第二部分：知识点精准记忆 第三部分：课前自我评估测试 第四部分：典型例题剖析 高频考点一：利用基本不等式求最值 ①凑配法 ②“1”的代入法 ③二次与二次（一次）商式（换元法） ④条件等式求最值 高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围高频考点三：利用基本不等式解决实际问题高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数 第五部分：高考真题感悟 第六部分：第03讲基本不等式（精练） 1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） ①如果0a >，0b >2 a b +≤ ，当且仅当a b =时，等号成立． ②a ，b 的几何平均数； 2 a b +叫做正数a ，b 的算数平均数． 2、两个重要的不等式 ①222a b ab +≥（,a b R ∈）当且仅当a b =时，等号成立． ②2 ( )2 a b ab +≤（,a b R ∈）当且仅当a b =时，等号成立． 3、利用基本不等式求最值 ①已知x ，y 是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当且仅当x y =时，和x y +有最小值； ②已知x ，y 是正数，如果和x y +等于定值S ，那么当且仅当x y =时，积xy 有最大值24 S ； 4、常用技巧 利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）. ①凑：凑项，例：()11 23x x a a a x a x a x a + =-++≥+=>--； 凑系数，例：()()2 112121112212022282x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫ -=⋅-≤⋅=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ⎭； ②拆：例：()224444 2244822223 x x x x x x x x x -+==++=-++≥=>----； ③除：例：()222 1011x x x x x =≤>++ ； ④1的代入：例：已知0,0,1a b a b >>+=，求11 a b +的最小值. 解析： 1111()()24b a a b a b a b a b +=++=++≥. ⑤整体解：例：已知a ,b 是正数，且3ab a b =++，求a b +的最小值.高考数学复习专题 基本不等式 (文 精讲)
专题34 基本不等式(教学案)-2017年高考数学(理)一轮复习精品资料(解析版)
2019年高考数学试题分项版—不等式(解析版)
高考数学一轮复习专题二不等式3基本不等式与不等式的综合应用专题检测含解析新人教A版
高考数学一轮复习第二章不等式第10课基本不等式文(含解析)
>-，4()4x x ∴-+≥=-，所以4+4x x ≤- 当且仅当4x x -= -即2x =- 时取得等号，所以4 +x x 的最大值为4- 2.凑出积为常数 例2. 已知2x >，求1 21 x x + -的最小值 【解析】∵ 1x >，∴10x ->，∴11 1111 x x x x + =-++--13≥+=， 当且仅当111x x -= -，即2x =时，1 1 x x +-取得最小值3． 变式：1.已知3x >-，则8 3 x x ++的最小值为 【解析】∵ 3x >-，∴30x +>， ∴88 (3)333 x x x x + =++-++33≥=， 当且仅当833x x += +，即3x =时，8 3 x x ++取得最小值3-． 2.已知3x <-，则8 3 x x + +的最 值为 【解析】∵ 3x <-，∴30x -->，∴8 (3)3 x x --+--≥= 当且仅当8 33 x x += +，即3x =时，取等号 所以8(3)3x x --+ ≥--8 33 x x +≤-+
高考数学一轮专题复习——基本不等式(学生版)
2019年高考数学(文)一轮复习精品资料：专题32基本不等式(教学案)含解析
高考数学《基本不等式》专题复习教学案
高考数学第一轮复习精讲(课前准备+课堂活动小结+课后练习)不等式的概念与性质导学案 文 新人教A版(1)
2023高考数学复习专项训练《基本不等式》(含解析)
【配套K12】[学习](福建专用)2019高考数学一轮复习 课时规范练33 基本不等式及其应用 理
2022年高考数学(文)一轮复习文档：第六章 不等式 第3讲基本不等式 Word版含答案
数学一轮复习第六章第2讲基本不等式课时作业含解析
2020年高三一轮复习数学教案第25讲《基本不等式》(教师版)
高考数学一轮复习讲义(新高考版) 第2章 第3讲 基本不等式
专题2-3 基本不等式-重难点题型精讲(举一反三)(人教A版2019必修第一册)(解析版)
基本不等式及应用(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(解析版)
2019年高考数学(文)热点题型和提分秘籍专题32直线、平面垂直的判定与性质(教学案)含解析
第03讲 基本不等式(解析版)备战2023年高考数学一轮复习精讲精练