2019高考数学二轮复习 专题二 三角函数、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质教案 理
第一讲 三角函数的图象与性质
函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象与变换
授课提示：对应学生用书第19页
[悟通——方法结论] 函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象
(1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π
2，2π，求出x 的值与相应
的y 的值，描点、连线可得．
(2)图象变换：
y ＝sin x ――→向左(φ>0)或向右(φ<0)
平移|φ|个单位
y ＝sin (x ＋φ)
――→纵坐标变为原来的A (A>0)倍
横坐标不变
y ＝A sin (ωx ＋φ)． [全练——快速解答]
1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )
A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
π
6个单位长度，得到曲线C 2
B ．把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
π
12个单位长度，得到曲线C 2
C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6个
单位长度，得到曲线C 2
D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12个
单位长度，得到曲线C 2
解析：易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，故选D.
答案：D
2．(2018·南昌模拟)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的图象可以由函数y ＝cos x 2的图象( )
A ．向右平移π
3个单位长度得到
B ．向右平移2π
3个单位长度得到
C ．向左平移π
3个单位长度得到
D ．向左平移2π
3
个单位长度得到
解析：由y ＝cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π2，y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝
⎛⎭⎪⎫x －2π3＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6，知函数y ＝
sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 2＋π
6的图象可以由y ＝cos x 2的图象向右平移
2π
3
个单位长度得到． 答案：B
3．(2018·益阳、湘潭联考)若将函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象向右平移π4个单位长
度，再把所得图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)图象的一条对称轴的方程为( )
A ．x ＝π
12
B ．x ＝7π24
C ．x ＝7π12
D ．x ＝7π6
解析：将函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象向右平移π4个单位长度，得到f ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4＝
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π12的图象，再把所得图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍，
得到函数g(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π12的图象．令12x －π12＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝7π6＋2k π，k
∈Z .当k ＝0时，函数g (x )图象的一条对称轴的方程为x ＝7π
6
，故选D.
答案：D
4．(2018·唐山模拟)将函数y ＝3cos 2x －sin 2x 的图象向右平移π
3个单位长度，所
得图象对应的函数为g (x )，则g (x )＝( )
A ．2sin 2x
B ．－2sin 2x
C ．2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6 D ．2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6
解析：因为y ＝3cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，
将其图象向右平移π
3
个单位长度得到
g (x )＝2cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2⎝
⎛
⎭⎪⎫x －π3＋π6
＝2cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2x －π2＝2sin 2x 的图象．
答案：A
在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
由图象求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式
授课提示：对应学生用书第20页
[悟通——方法结论]
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)解析式的确定
利用函数图象的最高点和最低点确定A ，利用周期确定ω，利用图象的某一已知点确定φ.
[全练——快速解答]
1．(2018·郑州模拟)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g (x )的图象
如图所示，则函数f (x )的解析式是( )
A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6(x ∈R )
B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6(x ∈R )
C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3(x ∈R )
D ．f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R ) 解析：依题意，设g (x )＝sin(ωx ＋θ)，其中ω>0，|θ|<π2，则有T ＝2πω＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，ω＝2，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋θ＝1，则θ＝π6，因此g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，f (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故选A.
答案：A
2．(2018·贵阳模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，其导数
f ′(x )的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2
的值为( )
A ．2 2 B. 2 C ．－
22
D ．－
24
解析：依题意得f ′(x )＝A ωcos(ωx ＋φ)，结合函数y ＝f ′(x )的图象可知，T ＝2π
ω＝
4⎝
⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π，ω＝2.又A ω＝1，因此A ＝12.因为0<φ<π，3π4<3π4＋φ<7π4，且f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π8＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝π，φ＝π4，f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＝1
2
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－12×22＝－24，故选D.
答案：D
3．(2018·山西八校联考)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则φ＝________.
解析：由函数图象得A ＝2，所以y ＝2sin(ωx ＋φ)，因为图象过点(0，－1)，所以sin φ＝－12，因为x ＝0位于图象的单调递减区间，所以φ＝2k π－5π
6(k ∈Z )，又－π<φ<0，
所以φ＝－5π6
.
答案：－5π
6
用五点法求φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口．“第一点”(即图
象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π
2；
“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π
2
；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.
三角函数的性质
授课提示：对应学生用书第20页
[悟通——方法结论]
1．三角函数的单调区间
y ＝sin x 的单调递增区间是⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤2k π－π2
，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )；
y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋
π](k ∈Z )；
y ＝tan x 的单调递增区间是⎝
⎛⎭
⎪⎫k π－π2
，k π＋π2(k ∈Z )．
2．三角函数奇偶性判断
y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2
(k ∈Z )时为偶函数；
对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π
2
(k ∈Z )求得．
y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π
2
(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；
对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．
y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．
3．三角函数周期性的求法
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π
|ω|
.应特别注意y ＝
|A sin(ωx ＋φ)|的周期为T ＝π
|ω|
.
4．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)．
(2)形如y ＝a sin 2
x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．
[全练——快速解答]
1．(2018·高考全国卷Ⅱ)若ƒ(x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )
A.π
4 B.π2
C.3π4
D ．π
解析：ƒ(x )＝cos x －sin x ＝－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin x ·
22－cos x ·22＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π4，当x
∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，34π，即x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递增，y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单
调递减．
∵函数ƒ(x )在[－a ，a ]是减函数，
∴[－a ，a ]⊆⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，34π，
∴0＜a ≤π4，∴a 的最大值为π
4.
故选A. 答案：A
2．(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )
A.6
5 B ．1 C.35
D.15
解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，
于是f (x )的最大值为6
5
.
答案：A
3．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π
4
为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π18，
5π36上单调，则ω的最大值
为( )
A ．11
B ．9
C ．7
D ．5
解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
－π
4
ω＋φ＝k 1
π，k 1
∈Z ，π4ω＋φ＝k 2
π＋π
2
，k 2
∈Z ，
则ω＝2k ＋1，k ∈Z ，φ＝
π4或φ＝－π
4
. 又函数f (x )在(π8，5π36)上单调，所以π12≤12×2π
ω，即ω≤12.
若ω＝11，则φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫11x －π4，
f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪
⎫π18，3π44上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π44，5π36上单调递减，不满足f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫π18，5π36上单调；
若ω＝9，则φ＝π4，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋π4，满足f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调递
减，故选B.
答案：B
1．三角函数单调性的求法：
求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调性的一般思路是令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求解．
2．三角函数的最值问题注意判断类型，尤其是可化为A sin(ωx ＋φ)型的值求解时注意x 的范围对ωx ＋φ范围的影响．
[练通——即学即用]
1．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )
A ．f (x )的一个周期为－2π
B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π
3对称
C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π
6
D ．f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π单调递减 解析：根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；
当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－1，所以B 正确；
f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
x ＋π＋π3＝cos ⎝
⎛
⎭⎪⎫
x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π
2，所以f (x ＋π)
＝0，所以C 正确；
函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3上单调递减，在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫2π3，π上单调递增，故D 不正确． 答案：D
2．(2018·太原模拟)已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)在(0，π)上有且只有两个零点，则实数ω的取值范围为( )
A.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，43
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤43，73
C.⎝ ⎛⎦⎥⎤73，103
D.⎝
⎛⎦
⎥
⎤103，133
解析：易得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3，设t ＝ωx －π3，因为0 3，故选B. 答案：B 3．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数ƒ(x )＝2sin x ＋sin 2x ，则ƒ(x )的最小值是________． 解析：ƒ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2 x －1) ＝2(2cos 2 x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0， ∴当cos x ＜1 2时，ƒ′(x )＜0，ƒ(x )单调递减； 当cos x ＞1 2时，ƒ′(x )＞0，ƒ(x )单调递增． ∴当cos x ＝1 2 ，ƒ(x )有最小值． 又ƒ(x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－ 3 2 时，ƒ(x )有最小值， 即ƒ(x )min ＝2×⎝ ⎛ ⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝－332. 答案：－33 2 授课提示：对应学生用书第122页 一、选择题 1．(2018·湖北七校联考)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π 6个单位长度 B ．向右平移π 3个单位长度 C ．向左平移π 3个单位长度 D ．向右平移π 6 个单位长度 解析：∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴只需将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度即可得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． 答案：A 2．(2018·宝鸡模拟)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －4π3的图象( ) A ．向左平移π 4个单位长度 B ．向右平移π 4个单位长度 C ．向左平移π 2个单位长度 D ．向右平移π 2 个单位长度 解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －4π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －4π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π12，故要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需要平移⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π12＝π 4个单位长度，又π4>0，所以应向左 平移，故选A. 答案：A 3．函数f (x )＝sin 2 x ＋3sin x cos x 在⎣⎢⎡⎦ ⎥ ⎤π4，π2上的最小值是( ) A ．1 B.1＋3 2 C ．1＋ 3 D.32 解析：f (x )＝sin 2 x ＋3sin x cos x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，因为 π4≤x ≤π2，所以π3≤2x －π6≤5π6，所以当2x －π6＝5π6，即x ＝π2时，函数f (x )＝sin 2 x ＋3sin x cos x 取得最小值，且最小值为12＋1 2 ＝1. 答案：A 4．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x )＝tan x 1＋tan 2x 的最小正周期为( ) A.π4 B.π2 C ．π D ．2π 解析：由已知得ƒ(x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋(sin x cos x )2＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2x cos 2 x ＝sin x ·cos x ＝1 2 sin 2x ，所以ƒ(x )的最小正周期为T ＝2π 2 ＝π. 故选C. 答案：C 5．(2018·贵阳模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，－ π 2<φ<π 2 )的部分图象如图所示，则φ的值为( ) A ．－π3 B.π3 C ．－π6 D.π6 解析：由题意，得T 2＝π3＋π6＝π2，所以T ＝π，由T ＝2π ω ，得ω＝2，由图可知A ＝1， 所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，－π2<φ<π2，所以φ＝π3，故选 B. 答案：B 6．(2018·湘中名校高三联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋12，ω>0，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π 4 ，则函数f (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π＋2k π，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋2k π，5π2＋2k π，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤π＋3k π，5π2＋3k π，k ∈Z 解析：由f (α)＝－12，f (β)＝12，|α－β|的最小值为3π4，知T 4＝3π4，即T ＝3π＝2π ω， 所以ω＝2 3 ， 所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23 x －π6＋1 2， 由－π2＋2k π≤23x －π6≤π 2＋2k π(k ∈Z )， 得－π 2＋3k π≤x ≤π＋3k π(k ∈Z )，故选B. 答案：B 7．(2018·郑州质检)已知函数f (x )＝A sin(πx ＋φ)的部分图象如图所示，点B ，C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于D ，E 两点，则(BD →＋BE →)·(BE →－CE → )的值为( ) A ．－1 B ．－12 C ．12 D ．2 解析：(BD →＋BE →)·(BE →－CE →)＝(BD →＋BE →)·BC →＝2BC →·BC →＝2|BC →|2，显然|BC → |的长度为半个周期，周期T ＝2ππ ＝2，∴|BC → |＝1，所求值为2. 答案：D 8．(2018·成都模拟)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，若x 1x 2<0，且f (x 1)＋f (x 2)＝0，则|x 2－x 1|的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪ ⎫π6，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪ ⎫π3，＋∞ C.⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫2π3，＋∞ D.⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫4π3，＋∞ 解析：f (x 1)＋f (x 2)＝0⇔f (x 1)＝－f (x 2)，|x 2－x 1|可视为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )、函数y ＝－f (x )的图象的交点的横坐标的距离，作出函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象如图所示，设A ，B 分别为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )、函数y ＝－f (x )的图象的两个相邻交点， 因为x 1x 2<0，且当直线y ＝m 过y ＝f (x )的图象与y 轴的交点⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫ 0， 32时， 直线为y ＝32，|AB |＝π 3，所以当直线y ＝m 向上移动时，线段AB 的长度会增加，当直线y ＝m 向下移动时， 线段AB 的长度也会增加，所以|x 2－x 1|>π 3 . 答案：B 9．已知函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2cos(x ＋φ)(0<φ<π)的图象关于直线x ＝π对称，则cos 2φ＝( ) A.35 B ．－35 C.45 D ．－45 解析：由题意可得f (x )＝5sin(x ＋φ－γ)，其中sin γ＝255，cos γ＝5 5.当x ＝π时，由π＋φ－γ＝k π＋π 2，得2φ＝2k π－π＋2γ，则cos 2φ＝cos(2k π－π＋ 2γ)＝－cos 2γ＝sin 2γ－cos 2 γ＝35 .故选A. 答案：A 10．(2018·广西三市联考)已知x ＝ π 12 是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移 3π 4 个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣ ⎢⎡⎦ ⎥⎤－π4 ，π6上的最小值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．－ 2 D ．－ 3 解析：∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴， ∴π3＋φ＝k π＋π 2 (k ∈Z )， 即φ＝π 6 ＋k π(k ∈Z )． ∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6. 又∵－π4≤x ≤π6，∴π3≤2x ＋5π6≤7π 6， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6≤2. ∴g (x )在⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤－π4，π6上的最小值为－1. 答案：B 11．已知函数f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，其中φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则下列关 于函数g (x )＝cos(2x －φ)的正确描述是( ) A ．g (x )在区间⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤－π12，π3上的最小值为－1 B ．g (x )的图象可由函数f (x )的图象向上平移2个单位长度，向右平移π 3个单位长度得 到 C ．g (x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0 D ．g (x )的一个单调递减区间是⎣ ⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 解析：∵函数f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，y ＝1，y ＝2cos x 都是偶函数，∴y ＝cos(x ＋3φ)是偶函数，∴3φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝ k π 3，k ∈Z ，又0<φ<π2，∴φ＝π 3 ，∴g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当－π12≤x ≤π3时，－π2≤2x －π3≤π3，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈[0,1]，故A 错误；f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋π)＝1－2cos 2 x ＝－cos 2x ，显然B 错误；当x ＝－π12 时， g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－π2 ＝0，故C 正确；当0≤x ≤π 2时，－π3≤2x －π3 ≤ 2π3，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3有增有减，故D 错误．故选C. 答案：C 12．(2018·肇庆一模)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1， a 2)⊗( b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12，4，n ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π 6 ，0，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊗OP → ＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎣⎢ ⎡⎦ ⎥⎤π6，π3上的最大值是( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．2 D ．4 解析：由题意，设点P 的坐标为(x 0，cos x 0)，点Q 的坐标为(x ，y )， 则OQ →＝m ⊗OP → ＋n ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4⊗(x 0，cos x 0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0⇒(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＋π6，4cos x 0⇒⎩⎪ ⎨⎪⎧ x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，y ＝4cos x 0⇒y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 当x ∈⎣⎢ ⎡⎦⎥⎤π6，π3时，0≤2x －π3≤π3⇒12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1⇒2≤4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤4，所以 函数y ＝f (x )在区间⎣⎢ ⎡⎦ ⎥ ⎤π6，π3上的最大值是4. 答案：D 二、填空题 13.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2的图象如图所示，已知图象经过点A (0,1)，B ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π 3 ，－1，则f (x )＝________. 解析：由已知得T 2＝π3，∴T ＝2π3，又T ＝2π ω ，∴ω＝3. ∵sin φ＝12，0<φ<π2，∴φ＝π 6. ∴函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6. 答案：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6 14．(2018·沈阳质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如 图所示，则f ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π4的值为________． 解析：由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π 4，∴T ＝π， ∴ω＝2，∵当x ＝π 6时，函数f (x )取得最大值， ∴2×π6＋φ＝π 2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π 6 ＋2k π(k ∈Z )， ∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3. 答案： 3 15．若存在实数φ，使得圆面x 2 ＋y 2 ≤4恰好覆盖函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫πk x ＋φ图象的最高或 最低点共三个，则正数k 的取值范围是________． 解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫πk x ＋φ的图象的最高点或最低点一定在直线y ＝±1上，由 ⎩ ⎪⎨⎪⎧ y ＝±1， x 2 ＋y 2 ≤4，解得－3≤x ≤3， 由题意可得：T ＝2ππk ＝2k ，T≤23＜2T ，解得正数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦ ⎥⎤ 32，3. 答案：⎝ ⎛⎦ ⎥⎤32，3 16．(2018·武汉调研)若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g (x ) ＝cos(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，则φ＝________. 解析：因为函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g (x )＝cos(2x ＋ φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，故它们的最小正周期相同，即2πω＝2π2，所以ω ＝2，故函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 令2x ＋π4＝k π＋π 2，k ∈Z ， 则x ＝ k π 2＋π 8 ，k ∈Z ， 故函数f (x )的图象的对称轴为x ＝k π 2 ＋ π 8 ，k ∈Z . 令2x ＋φ＝m π，m ∈Z ， 则x ＝ m π 2－φ 2 ，m ∈Z ， 故函数g (x )的图象的对称轴为x ＝m π 2 － φ 2 ，m ∈Z ， 故 k π 2＋π8－m π2＋φ2＝n π 2 ，n ∈Z ， 即φ＝(m ＋n －k )π－π4， 又|φ|<π2，所以φ＝－π 4. 答案：－π 4 三、解答题 17．(2018·合肥模拟)已知函数f (x )＝4sin 3 x cos x －2sin x cos x －12cos 4x . (1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间； (2)求f (x )在区间⎣ ⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值． 解析：f (x )＝2sin x cos x (2sin 2 x －1)－12cos 4x ＝－sin 2x cos 2x －1 2cos 4x ＝－12sin 4x －1 2cos 4x ＝－ 22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4. (1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π4＝π 2 . 令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π 16，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢ ⎡⎦ ⎥⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z . (2)因为0≤x ≤π4，所以π4≤4x ＋π4≤5π 4. 此时－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1，所以－22≤－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤12， 即－ 22≤f (x )≤1 2 . 所以f (x )在区间⎣ ⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值分别为12，－22. 18．(2018·汕头模拟)已知函数f (x )＝cos 2 ωx cos φ＋sin ωx cos ωx sin φ－ 1 2 sin ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π2＋φ(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且x ＝π6是函数f (x )的图象的一条对称轴． (1)求ω，φ的值； (2)将函数y ＝f (x )图象上的各点向左平移π 12 个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求 函数g (x )在⎣ ⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12上的最值及取最值时对应的x 的值． 解析：(1)由题意得，f (x )＝ 1＋cos 2ωx 2cos φ＋12sin 2ωx sin φ－12cos φ＝1 2 cos 2ωx cos φ＋12sin 2ωx sin φ＝12()cos 2ωx cos φ＋sin 2ωx sin φ＝1 2 cos(2ωx －φ)． 又函数f (x )的最小正周期为π，所以2π 2ω ＝π ，所以ω＝1， 故f (x )＝12cos(2x －φ)，又x ＝π6是函数f (x )的图象的一条对称轴，故2×π 6 －φ＝ k π(k ∈Z )， 因为0<φ<π，所以φ＝π 3 . (2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，将函数y ＝f (x )图象上的各点向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象， 故g (x )＝12cos ⎝ ⎛ ⎭⎪⎫2x －π6. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3， 因此当2x －π6＝0，即x ＝π12时，g (x )max ＝12；当2x －π6＝2π3，即x ＝5π12时，g (x )min ＝－14 . 19．(2018·胶州模拟)已知函数f (x )＝cos(2π－x ) ·sin ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π6－x . (1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (C )＝－1 4，c ＝3，求 △ABC 的周长的取值范围． 解析：f (x )＝cos(2π－x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 2cos x －32sin x ＝12 cos 2 x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 4－34sin 2x ＝12cos ⎝ ⎛ ⎭⎪⎫2x ＋π3＋14. (1)f (x )的最小正周期T ＝2π 2 ＝π. 由2k π－π≤2x ＋π3≤2k π，k ∈Z ，得k π－2π3≤x ≤k π－π 6，k ∈Z ， 所以f (x )的单调递增区间是⎣ ⎢⎡⎦⎥⎤k π－2π3，k π－π6，k ∈Z .