主题2参数方程第一讲曲线的参数方程精品
课标考纲解读
1、通过分析抛射体运动中时间与运动物体位置的关系，了解参数方
程，了解参数的意义。
2、能够进行参数方程与普通方程的互化。
考点知识清单
1、参数方程的概念
⑴在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数｛：兗）），并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么方程就叫这条曲线的_______ ，联系变数x,y的变数t叫做_______ ，简称 _____ 。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做 _____ 。
⑵_____ 联系变数x,y的桥梁，可以是一个有______ 义或______ 意义的变数，也可以是 ______ 的变数。
2、参数方程和普通方程的互化
⑴曲线的_____ 和 ____ 是曲线方程的不同形式。
⑵在参数方程与普通方程的互化中必须使 ______保持一致。
例题及母题迁移
［例1］设质点沿原点为圆心，半径为2的圆做匀角速度运动，角速度
为n rad/s试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。
60
［解析］显然点M的坐标x,y随着/ AOM的变化而变化，直接写出x 与y的关系式有困难，选一个新的变数0 = AOM，用B将坐标x,y 表示出来，再找0与t的关系。
［答案］解:如图2- 1-1所示，在运动开始时质点位于点A处，此时t=0.设动点M（x,y）对应时刻t,由图可知｛：舊鳥，又0青t （t以s为单
位），得参数方程｛心卞旨_0）
y Jsin —t
—60
［母题迁移］1、
当
方程是（）
0变化时，由点P（2cos 0 ,3sir所确定的曲线的参数
A{ x =2cos V
A{
y ：3sin 'i
x z3cos 71 C{
y =2sin 二
B{ x =3sin J
B{
y =2cos '1
x -」sin ■'
D{
y
=J2cos ■'
［例2］设飞机一匀速v=150m/s做水平飞行，若在飞行高度h=588m处投弹（设投弹的初速度等于飞机的速度）
⑴求炸弹离开飞机后的轨迹方程；
⑵飞机在离目标多远（水平距离）处投弹才能命中目标
［答案］解：⑴如图2- 1-2所示，A为投弹点，坐标为（0,588）, B 为目标，坐标为（x0, 0）.记炸弹飞行的时间为t,在A点t=0.设M（X,Y）为飞行曲线上任意一点，它对应时刻t.炸弹初速度V。=1500m/s,得
x z v
t
1 2 2 y =588 —gt2(g =9.8m/s2) x d50t
y
」.
⑵炸弹飞行到地面目标B处的时间t
满足方程y=0,即588-4.9鮎2=0,
解得t °=2j 30由此得X O =15O>2V 30=3OOJ 30〜163 （m ）即飞机在离目 标1643m （水平距离）处投弹才能击中目标
［母题迁移］2、设Q （x i ,y i ）是单位圆x 2+y 2
=1上一个动点，则动点 P （x/-y 12,冷出）的轨迹方程是（ ）
1 x 尹厂 D ｛ y =sin
2 d 1 x C0S2 二 D ｛ 2
y 宁如
［例3］将下列参数方程化为普通方程，并说明曲线类型
⑵｛x ：so s
；n 空匕2冗） ⑶｛空5爲0竺<2冗） 仏）｛ X 签0冒C 为参数） ［答案］解:⑴丁 0<9^二｛0翥
x 2 + y 2=9cos 2 0+ 9sin 2 0 =9 即 x 2 + y 2
=9（0 < x < 3, 0 W 即四分之一圆。 ⑵T n< t §2・n-2Wx<,2 -2 x 2+ y 2=4 （-2< x<,2 -2< y^Q 即下半圆。 ⑶T （ x-3）2+（ y-2 ） 2=152cos 2 0+ 152sin 20 =15 .（x-3）2+（ y-2） 2 =225,它是以（3,2）为圆心，以15为半径的圆 A j x zc os2 ■' y =§in2 ■' QC x £os2 d {y 4sin2 2 2 「才12它是中心在原点, 焦点在 x 轴上的椭 ［母题迁移］3、直线系xcosB +ysin 0 =2,圆的参数方程为 ｛：奮:沪为参数），则直线方程与圆的位置关系为（） A.相交不过圆心 B.相交且经过圆心 C.相切 D.相离 ［例4］已知圆的方程为X2+ y2=2x，写出它的参数方程 ［答案］解：x2+ y2=2x的标准方程为（x-1）2+ y2=1，设x-仁 cos 0 ,y=sin 0 则｛：：曙々0兰日丈2冗）,（日为参数）即为所求的参数方程 ［母题迁移］4、已知参数方程①｛卜号,“z］②｛：如0） _1 ③｛：E ④｛：：：/++；,「z） 其中是方程xy=1的参数方程的是 ______ （只填序号） ［例5］如图2-1-3,设矩形ABCD的顶点C坐标(4,4)，点A在圆x2 + y2=9 ( x> 0,y三上移动，且AB,AD两边分别平行于x轴、y轴。求矩形ABCD面积的最小值及对应点A的坐标。 ［答案］解:设 A ( 3 cos 0 ,3sin) ( 0 v 0v 90°)则| AB |=4-3 cos 0 , |AD|=4-3sin 0 •；• S=| AB | |AD|= ( 4-3 cos 0)( 4-3sin 0 =16-12 ( cos 0 + sin )+ 9 cos 0 sin 0 S=16-12 t + 9( t 2-1)=9t 2-12t + 23=9(t-4)2 + 7 2 2 2 2 3 2 ••• t=4时，矩形ABCD 的面积S 取得最小值7 3 2 对应点A 的坐标（2 +丄,2—丄）或（2—丄,2+丄） 2 2 2 2 ［母题迁移］5、已知u 二红叫则U 的最小值为 ___ 1 -COSB 学业水平测试 X-1 S \ 1、已知某条曲线的参数方程为｛^a ：（其中a 是参数），则该曲线 I &匕丿 是（ ） A.线段 B.圆 C.双曲线 D.圆的一部分 2、圆（x-1 ） 2 + y 2=4上的点可以表示为（ ） A.(-1+cos 0 ,sin 0 ) B.(1 +sin 0 , co> 0 C. (-1+2cos0 ,2sin 0 ) D. (1+2cos 0 ,2sin 0) 3、已知点P （x,y ）在曲线｛：益+T 日（0为参数）上，则y 的取值范围为 （ ） 此时｛ 4 cos ；+sin 丁石 cousin ^= — 解得｛ COS •■=— u 6 sin n 4 6 2 A. [0, -33 ] B.[-f, 0 ] 3 31 C.卜三，T]°，(冷鳥) 4、参数方程｛:翥謁(0<9n)化为普通方程是_________ 5、根据所给条件化方程y2=4x2-5x3,y=tx为参数方程，则参数方程为 6、如图2-1-4所示，0B是机器上的曲柄，长是r,绕点0转动， AB 是连杆，M 是AB 上一点，MA二a,MB二b(2r va+ b).当点 A 在Ox 上做往返运动，点B绕着点0做圆周运动时，求点M的轨迹方程。 高考能力测试 1、当参数B变化时，由点P(2cosB ,3sin )所确定的曲线过点( ) A.(2,3) B.(1,5) C. (0, |) D. (2,0) 2、已知某曲线的参数方程为｛爲2[2(0 A.线段 B.圆弧 C.双曲线的一支 D.射线 3、下列以t为参数方程所表示的曲线中，与方程xy=1所表示的曲线 完全致的是（) 1 A. ｛弋 y主乞B. ｛弋 i & x z cost y z sect D f x=tant D. ｛y zcott 4、（x,y）是曲线｛：：in戳（B为参数）上任意一点，则 +（y+4）2的最大值为（） A.36 B.6 C. 26 D.25 5、直线y=ax+b通过一、二、四象限，则圆｛：囂爲（B为参数）的圆心位于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6、方程｛B为参数）表示的曲线是（） A.余弦曲线 B.与x轴平行的线段 C.直线 D.与y轴平行的线段 7、x、y 满足（x-1）2+（y-1）2=4,则s=x+y 的最小值为（ 8直线y=2x+1的参数方程是（ ） x=?t 」 { y=4t 1 D J x 占in 日 y =2sin ： 1 10、点P （3, b ）在曲线｛：弍：上，则b= 11、动点（2-cos 0 , cos2曲轨迹的普通方程是 直线x+y+a=O 有公共点，那么实数a 的取值范围是 13、已知某条曲线C 的参数方程为｛；語（其中t 是参数，a € R ），点 M （ 5,4 ）在该曲线上 ⑴求常数a; ⑵求曲线C 的普通方程 14、在厶ABC 中，/ A 、/ B 、/ C 所对的边分别是 a 、b 、c ,且c=10, cosA:cosB 二b:a=4:3,P 为厶ABC 的内切圆上的动点，求点P 到顶点A 、 A. 2-2、2 C. -2-2、 B. -2+2 ,2 C. ｛：詁 9、将参数方程｛ x =4+2cos -i y z2sin ■ ：i （B 为参数）化为普通方程是 12、曲线C ｛：囂宀（0为参数）的普通方程是 ,如果曲线C 与 B、C 的距离的平方和的最大值与最小值。 15、如图2-1-5,过抛物线y2=2px(p>0)的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB ⑴设OA的斜率为k,试用k表示A、B的坐标； ⑵求弦AB 中点M 的轨迹方程 课标考纲解读 1、通过分析抛射体运动中时间与运动物体位置的关系，了解参数方 程，了解参数的意义。 2、能够进行参数方程与普通方程的互化。 考点知识清单 1、参数方程的概念 ⑴在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数｛：兗）），并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么方程就叫这条曲线的_______ ，联系变数x,y的变数t叫做_______ ，简称 _____ 。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做 _____ 。 ⑵_____ 联系变数x,y的桥梁，可以是一个有______ 义或______ 意义的变数，也可以是 ______ 的变数。 2、参数方程和普通方程的互化 ⑴曲线的_____ 和 ____ 是曲线方程的不同形式。 ⑵在参数方程与普通方程的互化中必须使 ______保持一致。 例题及母题迁移 ［例1］设质点沿原点为圆心，半径为2的圆做匀角速度运动，角速度 为n rad/s试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。 60 ［解析］显然点M的坐标x,y随着/ AOM的变化而变化，直接写出x 与y的关系式有困难，选一个新的变数0 = AOM，用B将坐标x,y 表示出来，再找0与t的关系。 ［答案］解:如图2- 1-1所示，在运动开始时质点位于点A处，此时t=0.设动点M（x,y）对应时刻t,由图可知｛：舊鳥，又0青t （t以s为单 位），得参数方程｛心卞旨_0） y Jsin —t —60 ［母题迁移］1、 当 方程是（） 0变化时，由点P（2cos 0 ,3sir所确定的曲线的参数 A{ x =2cos V A{ y ：3sin 'i x z3cos 71 C{ y =2sin 二 B{ x =3sin J B{ y =2cos '1 x -」sin ■' D{ y =J2cos ■' ［例2］设飞机一匀速v=150m/s做水平飞行，若在飞行高度h=588m处投弹（设投弹的初速度等于飞机的速度） ⑴求炸弹离开飞机后的轨迹方程； ⑵飞机在离目标多远（水平距离）处投弹才能命中目标 ［答案］解：⑴如图2- 1-2所示，A为投弹点，坐标为（0,588）, B 为目标，坐标为（x0, 0）.记炸弹飞行的时间为t,在A点t=0.设M（X,Y）为飞行曲线上任意一点，它对应时刻t.炸弹初速度V。=1500m/s,得 x z v t 1 2 2 y =588 —gt2(g =9.8m/s2) x d50t y 」. 学习目标：1.了解曲线参数方程的有关概念.2.能进行参数方程和普通方程的互化．(重点) 1．参数方程的概念 定义：设在平面上取定了一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t 的函数⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝f (t ) y ＝g (t )， a ≤t ≤ b .(*) 如果对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )，(*)式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过(*)式得到，则称(*)式为该曲线的参数方程，其中变量t 称为参数． 简单地说，若t 在a ≤t ≤b 内变动时，由(*)式确定的点M (x ，y )描出一条曲线，则称(*)式为该曲线的参数方程． 2．参数方程与普通方程互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )y ＝g (t ) 就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须 使x ，y 的取值范围保持一致． 思考1：曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？ [提示] 联系x 、y 的参数t (θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数．圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度． 思考2：普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？ [提示] 不一定惟一．普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同． 1．将参数方程⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋sin 2 θ y ＝sin 2 θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2 C ．y ＝x －2(2≤x ≤3) D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1) [解析] 消去sin 2 θ，得x ＝2＋y ， 又0≤sin 2 θ≤1，∴2≤x ≤3. 曲线的参数方程 【学习目标】 1. 了解参数方程，了解参数的意义。 2. 能利用参数法求简单曲线的参数方程。 3. 掌握参数方程与普通方程的互化。 4. 能选择适当的参数写出圆和圆锥曲线的参数方程 【要点梳理】 要点一、参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x,都是某个变数t的函数， 即 () ........... () x f t y g t = ? ? = ? ①， 并且对于t的每一个允许值，方程组①所确定的点(,) M x y都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系y x,间的关系的变数t叫做参变数（简称参数）. 相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标关系的方程(,)0 F x y=，叫做曲线的普通方程。 要点诠释： （1）参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． （2）一条曲线是用直角坐标方程还是用参数方程来表示，要根据具体情况确定． （3）曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的关系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系。 要点二、求曲线的参数方程 求曲线参数方程的主要步骤： 第一步，画出轨迹草图，设M（x，y）是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以便于发现变量之间的关系． 第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点： 一是曲线上每一点的坐标（x，y）都能由参数取某一值唯一地确定出来； 例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的有向距离、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数． 有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程，但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数个数一般应尽量少．二是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程； 第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略． 要点诠释： 普通方程化为参数方程时，（1）选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与 3．参数方程和普通方程的互化 参数方程和普通方程的互化 (1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型，曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程． (2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． [例1] (1)(x －1)2 3＋(y －2)2 5＝1，x ＝3cos θ＋1，(θ为参数)； (2)x 2 －y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1，(t 为参数)． [解] (1)将x ＝3cos θ＋1代入(x －1)2 3＋(y －2)2 5 ＝1，得y ＝2＋5sin θ. ∴⎩⎨ ⎧ x ＝3cos θ＋1， y ＝5sin θ＋2 (θ为参数)． 这就是所求的参数方程． (2)将x ＝t ＋1代入x 2 －y ＋x －1＝0， 得y ＝x 2 ＋x －1＝(t ＋1)2 ＋t ＋1－1＝t 2 ＋3t ＋1， ∴⎩⎪⎨ ⎪ ⎧ x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1 (t 为参数)． 这就是所求的参数方程． 普通方程化为参数方程时的注意点 (1)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价． (2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．如本例(2)，若令x ＝tan θ(θ为参数)，则参数方程为⎩⎪⎨ ⎪ ⎧ x ＝tan θ，y ＝tan 2 θ＋tan θ－1 (θ为参数)． 1.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2 －x ＝0的参数方程为______________． 解析：由题意得圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，圆心⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12，0在x 轴上， 半径为1 2 ， 则该圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12＋1 2 cos α，y ＝1 2sin α (α为参数)，注意α为圆心角，θ为 圆弧所对的圆周角，则有α＝2θ，故⎩⎪⎨⎪ ⎧ x ＝12＋1 2 cos 2θ， y ＝1 2sin 2θ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos 2 θ，y ＝sin θcos θ (θ 为参数)． 答案：⎩⎪⎨ ⎪⎧ x ＝cos 2 θ， y ＝sin θcos θ (θ为参数) [例2] (1)⎩⎨ ⎧ x ＝1－t ， y ＝1＋2t (t 为参数)； (2)⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝5cos θy ＝4sin θ－1(θ为参数)． [思路点拨] (1)可采用代入法，由x ＝1－t 解出t ，代入y 的表达式； (2)采用三角恒等变换求解． [解] (1)由x ＝1－t 得 t ＝1－x ，将其代入y ＝1＋2t 得y ＝3－2x .因为t ≥0，所以x ＝1－t ≤1， 所以参数方程化为普通方程为y ＝3－2x (x ≤1)． 方程表示的是以(1,1)为端点的一条射线(包括端点)． (2)由⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝5cos θy ＝4sin θ－1得⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝x 5 ①sin θ＝y ＋1 4 ②， ①2 ＋②2 得x 2 25＋(y ＋1) 2 16 ＝1(－5≤x ≤5，－5≤y ≤3)． 参数方程教案 参数方程教案 一、引言 参数方程是数学中的一个重要概念，它在几何、物理、工程等领域中有广泛应用。本教案旨在介绍参数方程的基本概念、性质和应用，并通过具体例子进行讲解，帮助学生深入理解和掌握参数方程的相关知识。 二、参数方程的基本概念 1. 参数方程的定义：参数方程是一种用参数表示自变量和因变量之间关系的方程。一般形式为：x = f(t)，y = g(t)，其中t为参数。 2. 参数方程与直角坐标系的关系：参数方程可以将曲线上的点的坐标表示为参数的函数，从而将曲线转化为参数的函数图像。 三、参数方程的性质 1. 参数方程的可微性：如果x = f(t)，y = g(t)在某一区间内具有一阶连续导数，则曲线在该区间内可微分。 2. 参数方程的对称性：参数方程可以描述曲线的对称性，如关于x轴、y轴或原点的对称性。 3. 参数方程的长度：利用参数方程，可以求解曲线的弧长，从而计算曲线的长度。 四、参数方程的应用 1. 曲线的绘制：通过选取合适的参数范围和步长，可以利用参数方程绘制各种曲线，如直线、抛物线、椭圆等。 2. 曲线的运动：参数方程可以描述曲线上点的运动规律，如描述物体的轨迹、 机械臂的运动等。 3. 曲线的求交点：利用参数方程，可以求解曲线的交点，从而解决几何问题， 如求解两条曲线的交点、求解曲线与直线的交点等。 五、参数方程的具体例子 1. 直线的参数方程：以直线上一点为起点，确定方向向量，然后通过参数方程 表示直线上的点。 2. 抛物线的参数方程：以焦点和准线上一点为起点，确定参数方程，通过改变 参数的值，可以绘制不同形状的抛物线。 3. 椭圆的参数方程：以椭圆的中心为原点，确定长半轴和短半轴，然后通过参 数方程表示椭圆上的点。 六、总结 参数方程是一种重要的数学工具，它在几何、物理、工程等领域中有广泛应用。本教案通过介绍参数方程的基本概念、性质和应用，并通过具体例子进行讲解，帮助学生深入理解和掌握参数方程的相关知识。通过学习参数方程，学生可以 更好地理解和应用数学知识，提高解决实际问题的能力。希望本教案对学生的 学习有所帮助。 第二章参数方程 在平面上建立直角坐标系后，就可以用一个有序数对(x，y)来表示平面上的一个点。当平面上的点按一定规则运动时就形成一条平面曲线。描述点的运动规则就是曲线上点M的两个坐标x和y之间的一个制约关系，它可以表示为变量x，y的一个二元方程F(x，y)=0，称此二元方程为曲线的方程，它是直角坐标方程。借助于曲线的方程可以用代数方法分析曲线的某些重要性质，讨论曲线的各种应用。 常见的许多曲线往往是物体在实际运动中的轨迹。这时运动的规律经常不是直接反映为物体位置的坐标x和y之间的相互关系，而表现为物体的位置随时间改变的规律，也就是位置的坐标x和y对时间t的依赖关系。例如，一抛射体在重力作用下的运动轨道是抛物线，为了研究抛射体的运动，先要建立它的轨道曲线。要想建立它的直角坐标方程，就要找到运动中物体所在位置的坐标x和y的直接关系。由于抛射体运动在这方面的特征不很明显，因此直接建立轨道曲线的直角坐标方程不方便。但是物体的运动直接和时间相关联，以时间t为中介，运用物理学知识分别建立直角坐标x，y与t的关系式，就唯一确定了物体的运动轨迹，也就间接建立了x和y的关系。这就是本章要介绍的曲线的参数方程。 顺便指出，参数方程也是函数的重要表达形式，在高等数学深入研究函数的过程中，参数方程是常用的函数形式。在本章的学习中，要了解常见曲线的参数方程与相应的图形，逐步掌握用向量知识推导某些轨迹曲线的参数方程的基本方法。 2.1曲线的参数方程 2.1.1 抛射体的运动 先看一个实例。 火炮发射炮弹后，炮弹在空中形成一条轨道曲线．为了简单起见，给出下面的假设条件： （1）炮弹在空中的一个铅直平面上运动，即轨道曲线为一平面曲线； （2）炮弹在运动中仅受重力作用，不计空气阻力，也不受其他环境的影响； （3）炮弹的初速度为0 v ，发射角(仰角)为α。 为了描述这一运动，就要建立轨道曲线的方程。为此先在轨道曲线所在的平面上建立直角坐标系。以火炮所在位置（炮口）为原点，地平线（水平方向）为x 轴，y 轴竖直向上，如图2-l 所示。把时间记为t ，开始发射时，记t =0。 设时刻t 时炮弹所在位置为点M (x ，y )，它是轨道曲线上的动点。下面分别讨论坐标x ，y 与时间t 之间的关系。 用向量知识，在x 轴、y 轴方向上分解炮 弹的速度向量0 v ，可得 0x y v v v =+ 其中x v ，y v 分别表示速度向量0v 在x 轴、y 轴上的分向量。记v 0、v x 、v y 分别为向量0 v ，x v ，y v 的大小，则 0cos x v v α=，0sin y v v α= 由物理学知识可知，炮弹在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向作竖 y v x 图2-1 参数方程教案 第一节 曲线的参数方程 【教学目标】 1．通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路． 2．通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际问题的能力． 3．从弹道曲线的方程的建立，对学生进行数学的返璞归真教育，使学生体会数学来源于实践的真谛，帮助学生树立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点． 【教学重点与难点】 重点：曲线参数方程的探求及其有关概念； 难点：是弹道曲线参数方程的建立． 【教学过程】 一． 复习： 1．满足什么条件时，一个方程才能称作曲线的方程，而这条曲线才能够称作方程的曲线？ 曲线方程的概念：(1)曲线C 上任一点的坐标（x,y ）都是方程f(x,y)=0的解；(2)同时以这个方程F(x,y)=0的每一组解(x,y)作为坐标的点都在曲线C 上．那么，这个方程f(x,y)=0就称作曲线C 的方程，而这条曲线C 就称作这个方程f(x,y)=0的曲线． 2．写出圆心在原点，半径为r 的圆O 的方程，并说明求解方法． ⊙O 的普通方程是：x 2 +y 2 =r 2 ； ⊙O 的参数方程是： ⎩⎨ ⎧==θ θ sin cos r y r x （θ为参数） 这里，我们从另一个角度重新审视了圆，通过第三个变量θ把圆上任意一点的横、纵坐标x 、y 联系了起来，获得了圆的方程的另一种形式． 二．新课： 1．参数方程的定义：一般地，在直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x,y ，都是某个变数t 的函数 ⎩⎨ ⎧==) () (t g y t f x )(*，并且对于t 的每个允许值，由方程组)(*所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组)(*就叫做这条曲线的参数方程，联系x,y 之间关系的变量t 叫做参变数，简称参数。 2．例：炮兵在射击目标时，需要考虑炮弹的飞行轨迹、射程等等．现在，我们假设一个炮兵射击目标，炮弹的发射角为α，发射的初速度为v 0，求出弹道曲线的方程．(不计空气阻力)。 我们知道弹道曲线是抛物线的一段．现在的问题就是怎样求弹道曲线的方程(即点的轨迹方程)，那么，怎样来求点的轨迹方程？ （1）建系：建立适当的直角坐标系； 以炮口为原点，水平方向为x 轴，建立直角坐标系。 （2）设标，设炮弹发射后t 秒时的位置为M(x ，y)． (3)列式：即找出x 与y 之间的关系。 怎样把x 、y 之间的关系联系起来呢。 这里，炮弹的运动实际上是物理学中的斜抛运动．炮弹在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向上作竖直上抛运动．显然在x 、y 分别是炮弹飞行过程中的水平位移和竖直位移(竖直高度)。x 、y 都与时间t 有关． 在水平方向的初速度是v 0cos α，在竖直方向的初速度是v 0sin α. 水平方向的位移，因为水平方向是作匀速直线运动，所以x=v 0cos α; 在竖直方向上，炮弹作竖直上抛运动，即炮弹受重力的作用作初速度不为零的匀减速直线运动．所以y=v 0sin α·t-2 1gt 2 这里我们把水平位移和竖直位移都用时间t 表示出来了，即把x 、y 都表示成了t 的函数，t 应该有一个确定的范围？ 令y=0，得t=0或t = g v α sin 20， ∴0≤t ≤ g v αsin 20。 教学过程 一、复习预习 （1）回顾上节课极坐标以及参数的概念，让学生回答上节课所讲相关知识点，考查学生对上次课的掌握程度，找出遗漏部分并做相应的总结； （2）借助上节课和本节课联系，举实例情景引入新课程 二、知识讲解 1、曲线的参数方程的定义： 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x 、都是某个变数t 的函数，即 ?? ?==)() (t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点()y x M ,都在这条曲线上，那 么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系y x 、之间关系的变数叫做参变数，简称参数。 2、常见曲线的参数方程如下： （1）过定点()00,y x ，倾角为α 的直线：?? ?+=+=α α sin cos 00t y y t x x （t 为参数） 其中参数t 是以定点 ()00,y x P 为起点，对应于t 点()y x M ,为终点的有向线段PM 的数量， 又称为点P 与点M 间的有向距离。 根据t 的几何意义，有以下结论： ①设B A ,是直线上任意两点，它们对应的参数分别为B A t t ,，则 AB ＝ A B t t -＝ B A A B t t t t ?--4)(2。 ②线段AB 的中点所对应的参数值等于2B A t t +。 （2）中心在()00,y x ，半径等于r 的圆：)(sin cos 0 0为参数θθθ ?? ?+=+=r y y r x x 。 （3）中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆： )(s i n c o s 为参数θθθ ?? ?==b y a x （或 ???==θθsin cos a y b x ）。 中心在点 ),(00y x 焦点在平行于 x 轴的直线上的椭圆的参数方程 为参数）ααα(.sin , cos 00?? ?+=+=b y y a x x 。 （4）中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线： )(tan sec 为参数θθθ ?? ?==b y a x （或 ???==θθec a y b x s tan ）。 （5）顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线： )0(222 >? ? ?==p t pt y pt x 为参数， 。 考点/易错点1 参数方程与普通方程的互相转化； 考点/易错点2 参数方程与直角坐标的相互转化； 曲线的参数方程 曲线是数学中的一种图形，通常可以由一个或多个方程表示。在某些情况下，使用参数方程可以更加方便地描述曲线的特征和性质。参数方程通过引入一个或多个参数，将曲线上的点表示为参数的函数。本文将介绍曲线的参数方程的概念、应用和一些常见的参数方程示例。 参数方程的概念 参数方程通常表示为以下形式： x = f(t) y = g(t) 其中，x和y是曲线上的点的坐标，t是参数。通过给定不同的t值，可以得到曲线上不同的点。参数方程提供了一种曲线上每个点的坐标的参数化表示方法。 与直角坐标系方程不同，参数方程可以描述一些非常复杂的曲线，如椭圆、双曲线、螺线等。通过选择合适的参数函数和参数范围，可以细致地刻画曲线的形状和特性。 参数方程的应用 参数方程在许多领域具有广泛的应用，尤其是在计算机图形学、物理学和工程学中。以下是几个参数方程的应用示例： 1. 计算机图形学 在计算机图形学中，参数方程常用于描述二维和三维图形的轨迹。例如，在绘制动画和游戏中，可以使用参数方程来表示粒子、动画角色的路径等。参数方程提供了一种简洁的方式来生成复杂的图形效果。 2. 物理学 在物理学中，参数方程用于描述质点在空间中运动的路径。例如，当质点沿着曲线运动时，可以使用参数方程来确定质点在每个时刻的位置。参数方程还可以应用于描述粒子在电磁场中的运动、弹道轨迹等。 3. 工程学 在工程学中，参数方程常用于描述各种曲线和曲面。例如，工程师可以使用参数方程来描述曲线的轮廓、曲线的弯曲性质以及曲线上不同点的坐标。参数方程还可以用于描述曲线的焦点、渐近线等重要属性。 常见的参数方程示例 以下是几个常见的参数方程示例： 1. 二维直线方程 对于二维直线，可以使用如下的参数方程： x = at + b y = ct + d 其中a、b、c和d为常数，代表直线的斜率和截距。 2. 圆的参数方程 对于圆，可以使用如下的参数方程： x = r * cos(t) y = r * sin(t) 其中r为半径，t为参数，可以取0到2π之间的值。 3. 椭圆的参数方程 对于椭圆，可以使用如下的参数方程： x = a * cos(t) y = b * sin(t) 其中a和b分别代表x轴和y轴的半径。 4. 螺线的参数方程 对于螺线，可以使用如下的参数方程： x = a * cos(t) y = a * sin(t) z = b * t 其中a和b为常数，控制螺线的形状。 上述示例只是参数方程的一小部分应用，实际上参数方程还可以适用于更多的曲线类型和几何形状。通过选择不同的参数函数和参数范围，可以创造出无限多种形状和轨迹。 曲线的参数方程及其与高数的关系 曲线的参数方程是一种描述曲线的数学表示方法，通过参数方程，我们可以对 曲线上的每一个点进行准确的描述和计算。在高等数学中，参数方程是一个重要的概念，与曲线的性质、曲线的切线以及曲线的长度等方面都有紧密的关系。 首先，我们来了解什么是曲线的参数方程。曲线的参数方程由参数t与x、y等函数关系组成，使用参数t的取值范围可以确定曲线上的每一个点的坐标。一般情 况下，曲线的参数方程可以写成以下形式： x = f(t) y = g(t) 其中，f(t)和g(t)是关于参数t的函数。通过改变参数t的值，我们可以得到曲 线上的不同点。 曲线的参数方程与高数有着密切的联系。一方面，在高等数学中，我们通常研 究的曲线都是由参数方程给出的。例如，著名的平面曲线如圆、椭圆、抛物线、双曲线等都可以用参数方程表示。通过对参数方程的求导、积分等运算，可以推导出曲线的切线方程、曲率、弧长等性质。 另一方面，参数方程也可以用来解决高数中的问题。例如，在空间解析几何中，经常需要求解两曲线的交点、曲线的切线方程等问题。利用参数方程，我们可以通过方程求解的方法得到解析结果，并利用高数的知识进行进一步的分析和应用。 参数方程的使用使得曲线的研究更加灵活与便利。相比于直角坐标系下的方程，参数方程能够对曲线上的每一个点进行准确的描述。而且，参数方程可以表达出具有特殊性质的曲线，如极坐标方程、渐近线等。 在高数中，曲线的参数方程还与微积分密切相关。通过对参数方程进行求导与 积分操作，我们可以得到曲线上点的切线斜率、曲率、弧长等重要性质。在微分学 和积分学的知识指导下，我们可以更深入地研究曲线性质，并解决一些复杂的几何问题。 除此之外，参数方程也被广泛应用于物理学、工程学等领域。例如，在物理学中，参数方程可以描述物体的运动轨迹，通过对参数t的变化，可以得到物体在不同时刻的位置坐标。在工程学中，参数方程可以应用于数学建模和计算机辅助设计等领域。 总之，曲线的参数方程是高数中一个重要的概念，它与曲线的性质、切线、弧长等密切相关。参数方程的使用使得曲线的研究更加灵活和准确，有助于我们更好地理解和解决各种数学问题。在实际应用中，参数方程也被广泛运用于物理学、工程学等领域。因此，对曲线的参数方程的深入理解与掌握对于学习高数以及在实际问题中的应用都具有重要意义。 高二选修4-4参数方程（1）班级：____姓名：_____ 1.会选择适当的参数写出曲线的参数方程 2.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法 3.利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题 一.参数方程的定义 1.一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量 t 的函数：()()x f t y g t =⎧⎨=⎩；反过来，对于t 的每个允许值，由函数式() ()x f t y g t =⎧⎨=⎩所确定的点P (x ，y )都在 曲线C 上，那么方程() ()x f t y g t =⎧⎨=⎩ 叫作曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数．相对于参数方 程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程． 2．关于参数的说明． 参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义． 3．曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x 、y 中的一个与参数t 的关 系，可把它代入普通方程，求另一变数与参数t 的关系，则所得的() ()x f t y g t =⎧⎨=⎩ ，就是参数方程． 二.圆的参数方程 以圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程:cos sin x r t y r t =⎧⎨=⎩ (t 为参数)． 圆的圆心为O 1(a ，b)，半径为r 的圆的参数方程为：cos sin x a r t y b r t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）. 三．椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为cos sin x a y b θθ =⎧⎨=⎩(θ为参数)．规定θ的范围为θ∈[0， 2π)．这是中心在原点O 、焦点在x 轴上的椭圆参数方程． 四．双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的参数方程为tan x ase c y b ϕϕ=⎧⎨=⎩ (φ为参数)．规定φ的范围为φ∈[0，2π)， 且φ≠π2，φ≠3π 2 .这是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线参数方程． 第1课时 参数方程的概念 [核心必知] 1．参数方程 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数 ⎩ ⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程． 联系变量x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 2．普通方程 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． [问题思考] 1．参数方程中的参数t 是否一定有实际意义？ 提示：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． 2．曲线的参数方程一定是唯一的吗？ 提示：同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样．如⎩⎪⎨ ⎪ ⎧x ＝4t ＋1，y ＝2t （t ∈R ） 和 ⎩ ⎪⎨⎪⎧x ＝2m ＋1，y ＝m (m ∈R ) 都表示直线x ＝2y ＋1. 已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨ ⎪ ⎧x ＝2t ，y ＝3t 2 －1 (t 为参数)． (1)判断点M 1(0，－1)和M 2(4，10)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M (2，a )在曲线C 上，求a 的值． [精讲详析] 本题考查曲线的参数方程及点与曲线的位置关系．解答此题需要将已知点代入参数方程，判断参数是否存在． (1)把点M 1的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ， y ＝3t 2 －1， 得⎩ ⎪⎨⎪⎧0＝2t ， －1＝3t 2 －1， ∴t ＝0.即点M 1在曲线C 上． 把点M 2的坐标代入参数方程⎩ ⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2 －1， 得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2t ， 10＝3t 2 －1，方程组无解．即点M 2不在曲线C 上． (2)∵点M (2，a )在曲线C 上，∴⎩ ⎪⎨⎪⎧2＝2t ，a ＝3t 2 －1. ∴t ＝1，a ＝3×12 －1＝2.即a 的值为2. ————— ————————————— 已知曲线的参数方程，判断某点是否在曲线上，就是将点的坐标代入曲线的参数方程，然后建立关于参数的方程组，如果方程组有解，则点在曲线上；否则，点不在曲线上． 1．已知曲线⎩⎪⎨ ⎪ ⎧x ＝2sin θ＋1，y ＝sin θ＋3 (θ为参数，0≤θ<π)，则下列各点A (1，3)，B (2，2)， C (－3，5)在曲线上的点是________． 解析：将A (1，3)点代入方程得θ＝0；将B 、C 点坐标代入方程，方程无解，故B 、C 参数方程 一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个参数 t 的函数，即 ⎩⎨ ⎧==)()(t f y t f x ，其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数． 注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现 1 y x Eg1（1 Eg2（12中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆： θ θ sin cos b y a x == （θ为参数，θ的几何意义是离心角，如图角AON 是离心角） 注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M 点的轨迹是椭圆，中心在（x 0，y 0）椭圆的参数方程： θ θsin cos 00b y y a x x +=+= Eg ：求椭圆20 362 2y x +=1上的点到M （2,0）的最小值。 3、双曲线的参数方程： 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线： θ θ tan sec b y a x == （θ为参数，代表离心角）， 中心在（x 0，y 0），焦点在x 轴上的双曲线： θ θtan sec 00b y y a x x +=+= 4、抛物线的参数方程： 顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线： pt y pt x 222 == （t 为参数，p ＞0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数） 直线方程与抛物线方程联立即可得到。 三、一次曲线（直线）的参数方程 过定点P 0（x 0，y 0），倾角为α的直线， P 是直线上任意一点，设P 0P=t ，P 0P 叫点P 到定点P 0的有向距离，在P 0两侧t 的符号相反，直线的参数方程 αα sin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数，t 的几何意义为有向距离） 说明：①t 的符号相对于点P 0，正负在P 0点两侧 ②｜P 0P ｜=｜t ｜ 直线参数方程的变式： bt y y at x x +=+=00，但此时t 的几何意义不是有向距离，只有 曲线的参数方程 教材 上海教育出版社高中二年级（理科）第十七章第一节 教学目标 1、理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程； 2、通过对圆和直线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义； 3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中， 形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。 教学重点 曲线参数方程的概念。 教学难点 曲线参数方程的探求。 教学过程 （一）曲线的参数方程概念的引入 引例： 2002年5月1日，中国第一座身高108米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，居亚洲第一。 已知该摩天轮半径为，逆时针匀速旋转一周需时20分钟。如图所示，某游客现在0P 点（其中0P 点和转轴O 的连线与水平面平行）。问：经过t 秒，该游客的位置在何处? 引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决 （1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。） （二）曲线的参数方程 1、圆的参数方程的推导 （1）一般的，设⊙O 的圆心为原点，半径为r ，0OP 所在 直线为x 轴，如图，以0OP 为始边绕着点O 按逆时针方向绕原 点以匀角速度ω作圆周运动，则质点P 的坐标与时刻t 的关系 该如何建立呢？（其中r 与ω为常数，t 为变数） 结合图形，由任意角三角函数的定义可知： ),0[sin cos +∞∈⎩⎨⎧==t t r y t r x ωω t 为参数 ① 高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ⎩ ⎨ ⎧+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ⎩⎨ ⎧+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2 +b 2 =1,②即为标准式，此 时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2 ≠1，则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +｜t ｜. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ⎩ ⎨⎧+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数） 若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2 2 1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0. 《参数方程》专题 2019年（ ）月（ ）日 班级 姓名 1．曲线的参数方程 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数 ⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫做普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化 (1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数． (2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数 的关系y ＝g (t )，则得曲线的参数方程⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t ). 3．直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． 直线参数方程的标准形式的应用 过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪ ⎧ x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0 ＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则 ①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|. ②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 2 2，中点M 到定点M 0的距离 |MM 0|＝|t |＝⎪⎪ ⎪⎪t 1＋t 22. ③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|. 在参数方程与普通方程的互 化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性. 一 曲线的参数方程 互动课堂 重难突破 本课的重点是曲线的参数方程的概念、圆的参数方程、参数方程与普通方程的互化;难点是对参数方程的理解以及参数方程与普通方程互化的等价性 一、参数方程的概念 1.曲线的参数方程的实际意义及其必要性. 在日常生活和工农业生产中，很多时候都会涉及到曲线的参数方程，比如物理学中的水平抛出的物体的运动规律，要知道所抛出的物体在下落的过程中各时刻所处的位置，显然与抛出的时间有着密切的关系；再比如发射出去的炮弹，我们常常想知道所发出去的炮弹所在的位置，同样与发射出去的时间有着紧密的联系，显然像以上两种情形自然会去考虑以时间作为参数建立相应的方程，以便准确地把握所想掌握的信息.此时用参数方程来描述运动规律，常常比用普通方程更为直接简便.有些重要但较复杂的曲线，建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解.由此可见，曲线的参数方程是从实际生活中抽象出来的，并非人们的想当然，是现实生活的某个方面的反映，但又不是简单的生活再现，人们通过对曲线参数方程的研究，从而更好地利用它来为人类造福，指导工农业生产. 2.一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标(x ,y)都是某个变数t 的函数⎩ ⎨⎧==)(),(t g y t f x (※),并且对于t 的每一个允许值,由方程组(※)所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上,那么方程(※)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数,简称参数. 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 参数是联系变数x 、y 的桥梁,可以是一个有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显意义的变数. 3.曲线的参数方程的特点 曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x 、y 间的间接联系.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许的取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一个点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值.在具体问题中，如果要求相应曲线的参数方程，首先就要注意参数的选取.一般来说，选择参数时应注意考虑以下两点:一是曲线上每一点的坐标(x ,y )都能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x 、y 的相互关系比较明显，容易列出方程.参数的选取应根据具体条件来考虑.例如可以是时间，也可以是线段的长度、方位角、旋转角、动直线的斜率、倾斜角、截距等.有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程 二、圆的参数方程 1.⎩ ⎨⎧==θθsin ,cos r y r x (θ为参数),这是圆心在原点O ,半径为r 的圆的参数方程.其中参数θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时,OM 0转过的角度,如图.主题2参数方程第一讲曲线的参数方程精品
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