已知坐标平面内两点求它们连线的垂直平分线方程
已知坐标平面内两点求它们连线的垂直平分
线方程
在坐标平面内，两点之间连线的垂直平分线是一条很特殊的直线。它不仅将两点连接起来，而且还将连接它们的直线垂直平分成两半。
这条直线在很多数学问题中都会涉及到，因此了解如何求取这条直线
的方程非常重要。
假设我们有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)。那么，我们如何找到它
们之间的垂直平分线？
首先，我们需要找到这两个点之间连线的中点M，也就是它们的平均值坐标。如下公式所示：
M = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)
接着，我们需要找到连线AB的斜率，也就是两点之间的直线斜率。如下公式所示：
k = (y2-y1)/(x2-x1)
然后，我们需要找到连线AB的垂线斜率。垂线斜率是一个与原斜
率k垂直的斜率，其值为-k的倒数。如下公式所示：
k1 = -1/k
最后，我们可以使用点斜式来求解垂直平分线的方程。点斜式指的是通过一点和它的斜率确定直线的方法。这里的点是中点M，斜率是垂线斜率k1。因此，我们可以写出以下方程：
y - (y1+y2)/2 = k1(x - (x1+x2)/2)
将垂线斜率代入上式，我们得到垂直平分线的方程：
y - (y1+y2)/2 = (x - (x1+x2)/2)/k
或者
(y1-y2)(x-(x1+x2)/2) + (x2-x1)(y-(y1+y2)/2) = 0
这个方程的含义是，对于连接两点A和B的线段，垂直平分线将其分成两个相等的部分。这个方程可以用于解决许多问题，例如求垂直平分线上的点、两个点之间的最短距离等。
总之，了解两个点之间的垂直平分线方程是数学中的重要基础知识。在实际应用中，我们可以用它来解决许多实际问题，如绘图、测量等。所以，掌握这个方程是很有指导意义的。
已知坐标平面内两点求它们连线的垂直平分线方程
已知坐标平面内两点求它们连线的垂直平分 线方程 在坐标平面内，两点之间连线的垂直平分线是一条很特殊的直线。它不仅将两点连接起来，而且还将连接它们的直线垂直平分成两半。 这条直线在很多数学问题中都会涉及到，因此了解如何求取这条直线 的方程非常重要。 假设我们有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)。那么，我们如何找到它 们之间的垂直平分线？ 首先，我们需要找到这两个点之间连线的中点M，也就是它们的平均值坐标。如下公式所示： M = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2) 接着，我们需要找到连线AB的斜率，也就是两点之间的直线斜率。如下公式所示： k = (y2-y1)/(x2-x1) 然后，我们需要找到连线AB的垂线斜率。垂线斜率是一个与原斜 率k垂直的斜率，其值为-k的倒数。如下公式所示： k1 = -1/k
最后，我们可以使用点斜式来求解垂直平分线的方程。点斜式指的是通过一点和它的斜率确定直线的方法。这里的点是中点M，斜率是垂线斜率k1。因此，我们可以写出以下方程： y - (y1+y2)/2 = k1(x - (x1+x2)/2) 将垂线斜率代入上式，我们得到垂直平分线的方程： y - (y1+y2)/2 = (x - (x1+x2)/2)/k 或者 (y1-y2)(x-(x1+x2)/2) + (x2-x1)(y-(y1+y2)/2) = 0 这个方程的含义是，对于连接两点A和B的线段，垂直平分线将其分成两个相等的部分。这个方程可以用于解决许多问题，例如求垂直平分线上的点、两个点之间的最短距离等。 总之，了解两个点之间的垂直平分线方程是数学中的重要基础知识。在实际应用中，我们可以用它来解决许多实际问题，如绘图、测量等。所以，掌握这个方程是很有指导意义的。
高中数学点线对称问题
对称问题专题 【知识要点】 1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题. 设P （x 0，y 0），对称中心为A （a ，b ），则P 关于A 的对称点为P ′（2a －x 0，2b －y 0）. 2.点关于直线成轴对称问题 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下： 设点P （x 0，y 0）关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ′，y ′），则有 x x y y -'-'·k =－1， 2 y y +'=k ·20x x +'+b ， 特殊地，点P （x 0，y 0）关于直线x =a 的对称点为P ′（2a －x 0，y 0）；点P （x 0，y 0）关于直线y =b 的对称点为P ′（x 0，2b －y 0）. 3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下： （1）曲线f （x ，y ）=0关于已知点A （a ，b ）的对称曲线的方程是f （2a －x ，2b －y ）=0. （2）曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线的求法： 设曲线f （x ，y ）=0上任意一点为P （x 0，y 0），P 点关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ，y ），则由（2）知，P 与P ′的坐标满足 x x y y --·k =－1， 2 0y y +=k ·20x x ++b ， 代入已知曲线f （x ，y ）=0，应有f （x 0，y 0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线方程. 4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点（x ，y ）关于x 轴的对称点为（x ，－y ）； （2）点（x ，y ）关于y 轴的对称点为（－x ，y ）； （3）点（x ，y ）关于原点的对称点为（－x ，－y ）； （4）点（x ，y ）关于直线x －y =0的对称点为（y ，x ）； （5）点（x ，y ）关于直线x +y =0的对称点为（－y ，－x ）. 【典型例题】 【例1】 求直线a ：2x +y －4=0关于直线l ：3x +4y －1=0对称的直线b 的方程. 剖析：由平面几何知识可知若直线a 、b 关于直线l 对称，它们具有下列几何性质：（1）若a 、b 相交，则l 是a 、b 交角的平分线；（2）若点A 在直线a 上，那么A 关于直线l 的对称点B 一定在直线b 上，这时AB ⊥l ，并且AB 的中点D 在l 上；（3）a 以l 为轴旋转180°，一定与b 重合.使用这些性质，可以找出直线b 的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程. 2x +y －4=0， 3x +4y －1=0， 可求出x ′、y ′. 从中解出x 0、y 0， 解：由 解得a 与l 的交点E （3，－2），E 点也在b 上
苏教版高中数学必修二知识讲解_《解析几何初步》全章复习与巩固 -提高
《平面解析几何初步》全章复习与巩固 ：： 【学习目标】 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直； 2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系； 3.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标； 4.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离； 5.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程； 6.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径； 7.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 【知识网络】
【要点梳理】 要点一：直线方程的几种形式 （1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性，需要根据条件灵活选用． （2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕． （3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法． 常用的直线方程有： ①点斜式：00()y y k x x -=-； ②斜截式：y kx b =+； ③一般式：2 2 0(0)Ax By C A B ++=+≠； ④直线系方程：111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(λ为参数)． 要点二：两条直线的位置关系 1．特殊情况下的两直线平行与垂直． (1)当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为0 90，互相平行； (2)当一条直线的斜率不存在（倾斜角为0 90），另一条直线的倾斜角为0 0时，两直线互相垂直。 2．斜率都存在时两直线的平行： （1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠ （2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A ，则 1l ∥2l ⇔ 2 1 2121C C B B A A ≠= 。 要点诠释：对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定。 3．斜率都存在时两直线的垂直： （1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则 12121⊥⇔=-l l k k ； （2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A ，则
第三章 3.2.2
3.2.2 直线的两点式方程 学习目标 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标 . 知识点一 直线方程的两点式 思考 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ 答案 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母.过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示. 梳理 知识点二 直线方程的截距式 思考 已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程. 答案 由直线方程的两点式，得y －0b － 0＝x －a 0－a ， 即x a ＋y b ＝1. 梳理 知识点三 线段的中点坐标公式 若点P 1 ，P 2 的坐标分别为(x 1 ，y 1 )，(x 2 ，y 2 )，设P (x ，y )是线段P 1P 2 的中点，则??? x ＝x 1 ＋x 2 2 ，y ＝y 1 ＋y 2 2.
1.不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b ＝1表示.( × ) 2.经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示.( √ ) 3.能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.( √ ) 类型一 直线的两点式方程 例1 已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边的方程； (2)求BC 边上的中线所在直线的方程. 考点 直线的两点式方程 题点 利用两点式求直线方程 解 (1)BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)， 由两点式，得y －(－4)－2－(－4)＝x －5 0－5，即2x ＋5y ＋10＝0， 故BC 边的方程是2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5). (2)设BC 的中点为M (a ，b )， 则a ＝5＋02＝52，b ＝－4＋(－2)2＝－3，所以M ????52，－3， 又BC 边的中线过点A (－3,2)， 所以y －2 －3－2＝x －(－3)52 －(－3) ，即10x ＋11y ＋8＝0， 所以BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0. 引申探究 若本例条件不变，试求BC 边的垂直平分线所在的直线方程. 解 k BC ＝－4－(－2)5－0 ＝－2 5，
高中数学 第四章 圆与方程 4.2 4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用学
4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用 目标定位 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.3.理解坐标法解决几何问题的一般步骤. 自主预习 1.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系外离外切相交内切内含图示 d与r1、r2 的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2 |r1－r2|< d (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. ⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元 一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含 2.用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”： 即 时 自 测 1.判断题 (1)两圆无公共点，则两圆外离.( ×) (2)两圆有且只有一个公共点，则两圆内切和外切.(√) (3)设两圆的圆心距为l ，两圆半径长分别为r 1，r 2，则当|r 1－r 2|＜l ＜r 1＋r 2时，两圆相交.(√) (4)两圆外切时，有三条公切线：两条外公切线，一条内公切线.(√) 提示 (1)两圆无公共点，则两圆外离和内含. 2.圆O 1：x 2 ＋y 2 －2x ＝0和圆O 2：x 2 ＋y 2 －4y ＝0的位置关系为( ) A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 解析 圆O 1的圆心坐标为(1，0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0，2)，半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1<|O 1O 2|＝5 章末综合测评(二) 直线和圆的方程 (满分：150分 时间：120分钟) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若直线经过A (1,0)，B (4， 3)两点，则直线AB 的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° A [由A ， B 的坐标得k AB ＝3－04－1＝3 3，因此直线AB 的倾斜角为30°，故选A ．] 2．过点P (－1，3)且倾斜角为30°的直线方程为( ) A ．3x －3y ＋43＝0 B ．3x －y ＋23＝0 C ．3x －3y ＋23＝0 D ． 3x －y ＝0 A [由倾斜角为30°知，直线的斜率k ＝ 3 3 ， 因此，其直线方程为y －3＝ 3 3 (x ＋1)， 化简得， 3x －3y ＋4 3＝0，故选A ．] 3．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( ) A ．x ＋2y －5＝0B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0D ．x －2y ＋3＝0 A [结合图形可知，所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线，其斜率为－12，直线方程为y －2＝－1 2 (x －1)，即x ＋2y －5＝0.] 4．过点(2,0)且与直线2x －4y －1＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0B ．2x ＋y －4＝0 C ．x －2y －2＝0 D ．x ＋2y －2＝0 C [直线2x －4y －1＝0的斜率为k ＝12，故过点(2,0)的直线方程为y －0＝1 2(x －2)，化简 得x －2y －2＝0.] 5．经过点(1,0)且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 B [由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1， y ＝1， 即所求圆的圆心坐标为(1,1)．由该圆过点(1,0)，得其半 径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.] 6．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则a ＝( ) A ．2或－1B ．－1 C ．2D ．23 B [依题意得，⎩ ⎪⎨⎪⎧ a a －1－2×1＝0，① 2a 2 －1－6a －1≠0，② 解①得，a ＝－1或a ＝2， 因为a ＝－1适合不等式②，a ＝2不适合②， 所以a ＝－1，故选B ．] 7．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0与圆C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋a ＝0，若圆C 1与圆C 2有且仅有一个公共点，则实数a ＝( ) A ．14 B ．34 C ．14或45 D ．34或14 一、选择题 1．已知直线3y mx m =+和曲线24y x =-有两个不同的交点，则实数ｍ的取值范围是 （ ） A ．2 [0, 5)5 B ．2 [5,0]5 - C ．22(5,5)55 - D ．14[0, )7 2．已知点(3,2)P ，点M 是圆2 2 1:(1)1C x y -+=上的动点，点N 是 222:(2)1C x y +-=上的动点，则||||PN PM -的最大值是（ ） A ．522- B ．522+ C ．222- D ．322- 3．如图，棱长为4的正四面体ABCD ，M ，N 分别是AB ，CD 上的动点，且 3MN =，则MN 中点的轨迹长度为（ ） A ． 23 π B ．2π C ． 2 π D ．π 4．已知()1,0A -，()1,0B ，圆C ：()2 224x y R +-=（0R >），若圆C 上存在点 M ，使90AMB ∠=︒，则圆C 的半径R 的范围是（ ） A ．35R ≤≤ B ．34R ≤≤ C ．45R ≤≤ D ．242R ≤≤5．已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中作ABC ，在ABC 中， 4AB AC ==，点(1,3)B -，点(4,2)C -，且其“欧拉线”与圆222(3)x y r -+=相切，则 该圆的半径r 为（ ） A ．1 B 2 C ．2 D ．227．已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，则 两点垂直平分线方程 引言 在平面几何中，我们经常需要求解两点之间的垂直平分线方程。垂直平分线是指将两点之间的线段垂直地平分为两段相等的线段的直线。本文将详细讨论如何求解两点垂直平分线方程，并给出具体的步骤和示例。 什么是垂直平分线 垂直平分线是指将两点之间的线段垂直地平分为两段相等的线段的直线。在二维平面上，垂直平分线是一条通过两点中点并与连接两点的线段垂直的直线。具体而言，垂直平分线满足以下两个条件： - 通过两点的中点； - 垂直于连接两点的线段。 求解垂直平分线方程的步骤 要求解两点之间的垂直平分线方程，我们可以按照以下步骤进行： 步骤1：确定两点的坐标 首先，我们需要确定两点的坐标。假设两点分别为P(x1, y1)和Q(x2, y2)。 步骤2：求解两点的中点坐标 通过计算两点的坐标平均值，我们可以得到两点的中点坐标。中点的横坐标为(x1 + x2) / 2，纵坐标为(y1 + y2) / 2。 步骤3：计算连接两点的线段的斜率 利用两点的坐标，我们可以计算连接两点的线段的斜率。斜率的计算公式为： 斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1) 步骤4：计算垂直平分线的斜率 由于垂直平分线与连接两点的线段垂直，所以垂直平分线的斜率是连接两点的线段斜率的相反数的倒数。计算垂直平分线的斜率公式为： 垂直平分线的斜率 = -1 / 斜率 步骤5：求解垂直平分线的方程 已知垂直平分线过两点的中点，且垂直平分线的斜率已知，我们可以使用点斜式方程求解垂直平分线的方程。点斜式方程的一般形式为： y - y1 = m(x - x1) 其中，m为垂直平分线的斜率，(x1, y1)为垂直平分线过的点。 示例 假设我们需要求解连接点P(2, 4)和点Q(6, 8)的垂直平分线方程。 步骤1：确定两点的坐标 点P的坐标为(2, 4)，点Q的坐标为(6, 8)。 步骤2：求解两点的中点坐标 两点的中点坐标为((2 + 6) / 2, (4 + 8) / 2) = (4, 6)。 步骤3：计算连接两点的线段的斜率 连接两点的线段的斜率为(8 - 4) / (6 - 2) = 1。 步骤4：计算垂直平分线的斜率 垂直平分线的斜率为-1 / 1 = -1。 步骤5：求解垂直平分线的方程 已知垂直平分线过点(4, 6)，斜率为-1，可以得到垂直平分线的方程为： y - 6 = -1(x - 4) 化简得： y = -x + 10 因此，连接点P(2, 4)和点Q(6, 8)的垂直平分线方程为y = -x + 10。 总结 本文详细讨论了如何求解两点垂直平分线方程。通过确定两点的坐标，求解两点的中点坐标，计算连接两点线段的斜率，计算垂直平分线的斜率，以及求解垂直平分线的方程，我们可以得到连接两点的垂直平分线的方程。这些步骤可以帮助我们解决与两点垂直平分线相关的几何问题。 已知a(7,-4)、b(-5,6)两点;求线段ab的垂直平分线的点法 式方程 1. 引言 1.1 概述 本文旨在研究已知线段AB的两个端点坐标，求解线段AB的垂直平分线的点法式方程。通过计算线段中点和斜率，我们能够确定垂直平分线的方程，并进一步求出该线上的任意一点N的坐标。这个问题涉及到几何学中重要的概念和性质，通过研究垂直平分线的求解方法，可以更好地理解几何学中线段和点与线之间的关系。 1.2 文章结构 本文主要由以下几个部分组成：引言、线段AB的垂直平分线及其性质、求取垂直平分线上的任意一点N、示例计算与图示说明、结论与总结。首先，在引言部分，我们将简要介绍本文所涉及到问题并说明文章结构。然后，在接下来的章节中，将逐步详细阐述如何求解给定两点之间垂直平分线的方法和步骤，并通过具体计算示例进行说明。最后，在结论与总结部分，对整篇文章进行总结，并提出可能进行进一步研究的方向。 1.3 目的 本文旨在探讨已知两个点A和B的情况下，如何确定线段AB的垂直平分线及其上的任意一点N。通过研究垂直平分线的性质和求解方法，我们可以加深对几何学中线段和点与线之间关系的理解，并为相关问题提供解决思路和方法。同时，希望通过具体计算示例和图示说明，使读者更清晰地了解求解过程，并且能够应用所学知识进行类似问题的求解。 2. 线段AB的垂直平分线及其性质： 2.1 计算线段AB的中点M： 线段AB的中点M可以通过以下公式得到：M = ( (x1 + x2) / 2 , (y1 + y2) / 2 )，其中(x1, y1)为点A的坐标，(x2, y2)为点B的坐标。 2.2 求取线段AB的斜率k： 要求取线段AB的斜率k，可以使用以下公式：k = (y2-y1)/(x2-x1)，其中(x1, y1)为点A的坐标，(x2, y2)为点B的坐标。 2.3 垂直平分线的性质及定义： 垂直平分线是指与给定线段等长且垂直相交于其中点上的线。对于任意一条线杆或者水平线，它们和垂直平分线之间形成一个直角。因此，在求取垂直平分线时需要计算斜率以及利用斜率得出向量方程。 如果给定两个不同坐标点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则垂直平分线将经过这两 已知两点坐标求直线方程 给定平面上的两个点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，我们需要求解通过这两个点的直线的方程。 设直线的方程为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。 首先，我们可以通过两点的坐标求解直线的斜率k。斜率的计算公式为： k = (y2 - y1) / (x2 - x1) 然后，我们需要求解直线的截距b。截距的计算公式为： b = y - kx (其中x和y为直线上的任意一点的坐标) 取点P1(x1, y1)，将其代入截距的计算公式中，即可求解截距b： b = y1 - k * x1 综上所述，通过已知两点的坐标，我们可以求解直线的方程y = kx + b，其中k 为斜率，b为截距。 下面我们用具体的实例来演示这个过程。 假设P1(3, 5)和P2(7, 2)是两个已知的点。我们来求解通过这两个点的直线方程。 首先，根据斜率公式计算斜率k： k = (2 - 5) / (7 - 3) = -3/4 接下来，利用截距公式计算截距b。取点P1(3, 5)： b = 5 - (-3/4) * 3 = 5 + 9/4 = 29/4 = 7.25 因此，通过点P1(3, 5)和P2(7, 2)的直线方程为y = -3/4x + 7.25。 这就是通过已知两点坐标求解直线方程的方法。 总结一下，已知两点的坐标，求解直线方程的步骤如下： 1.根据斜率公式计算斜率k，公式为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1) 2.选择其中一个已知点，代入截距公式求解截距b，公式为：b = y - kx 3.得到方程y = kx + b，即为通过已知两点的直线方程。 以上就是通过已知两点坐标求解直线方程的方法和步骤。 希望对您有所帮助！ 空间坐标系已知两点坐标求直线方程 在二维平面中，我们可以用直线方程来表示一条直线。直线方程可以 用一般式、斜截式、点斜式等形式来表示。在三维空间中，我们可以使用 一般式来表示一条直线。一般式的方程形式为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C和D是实数，并且至少有一个不为零。 已知两点的坐标，我们可以利用这些坐标来求解直线的方程。假设我 们已知两点P(x1,y1,z1)和Q(x2,y2,z2)，我们要求解的直线方程为 Ax+By+Cz+D=0。 我们首先需要确定直线的方向向量。直线的方向向量可以由两点的坐 标差计算得到。令向量PQ=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)，则PQ就是直线的方向 向量。 下一步是利用直线的方向向量来确定直线的法向量。一个平面的法向 量垂直于平面的方向向量。我们可以选择直线的方向向量的一个线性组合 作为直线的法向量。任意一个线性组合都是垂直于直线的方向向量。 例如，令法向量N=(B,-A,0)，即将直线的方向向量的前两个分量对调，并将第三个分量置为零。我们可以看到，当直线方程的x和y分量系 数乘以B和-A时，我们得到的是零。因此，直线的法向量N垂直于直线 本身。 现在，我们已经找到了直线的方向向量和法向量。我们可以利用直线 上的一个点（任选一个已知点或直线的对称点）和直线的法向量来确定直 线方程。 假设我们选择已知点P（x1,y1,z1），根据点法式方程可写出：N·(P-P0)=0，其中·表示点乘运算，P0表示直线上的一个点。根据之前 的定义，我们可以设置P0=P，然后将点P的坐标代入点法式方程，最终 的方程为： B(x1-x2)-A(y1-y2)=0 我们可以将A和B的值代入方程中，得到最终的直线方程。 上述的步骤适用于二维与三维空间，在更高维度的空间中，我们可以 类似的通过已知的点坐标来求解直线方程。只需要按照点法式方程的定义，确定方向向量、法向量和一个已知点，然后代入坐标得到直线方程。 通过已知两点的坐标求解直线方程的方法在实际应用中非常常见。例如，在计算机图形学中，我们常常需要计算三维空间中两个点之间的直线。这时，我们可以根据两个点的坐标，利用上述的方法求解直线方程，从而 实现绘制线段或线框模型的功能。 总之，已知两点的坐标可以利用这些坐标来求解直线的方程。通过确 定直线的方向向量和法向量，并代入已知点的坐标，我们可以得到直线的 方程。这种方法在二维和三维空间中都适用，并且可以推广到更高维的空间。 第2课时 画对称轴 会画轴对称图形的对称轴． 重点 轴对称图形的对称轴的画法． 难点 轴对称图形的对称轴的画法． 一、提出问题 如果两个平面图形成轴对称，你能用什么办法验证？不经过折叠，你能用什么方法画出它的对称轴？ 二、探究新知 我们已经学过，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，所以我们只要找到两个图形的一对对应点，然后画出以对应点为端点的线段的垂直平分线即可，如何作线段的垂直平分线呢？ 例1 如图(1)，已知点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ 分析：我们只要连接点A 和点B ，作出线段AB 的垂直平分线，就可以得到点A 和点B 的对称轴，为此作出到点A ，B 距离相等的两点，即线段AB 的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB 的垂直平分线． 教师具体分析画法、写出画法，根据画法作出图形． 学生模仿教师的画法，边写画法，边画图． 作法：如图(2)． (1)分别以点A ，B 为圆心，以大于12 AB 的长为半径作弧(想一想，为什么)，两弧相交于C ，D 两点； (2)作直线CD. CD 就是所求作的直线． 这个作法实际上就是线段的垂直平分线的尺规作图． 教师引导学生思考： (1)在作法中为什么有CA ＝CB ，DA ＝DB? (2)可以用这种方法找线段的中点吗？四等分点呢？ 三、举例分析 例2 如图(1)，△ABC 和△A′B′C′是两个成轴对称的图形，请画出它的对称轴． 教学方法：启发学生把问题转化为已解决问题，只要画出点A、点A′连线的垂直平分线即可，如图(2)． 例3 图(1)是一个五角星，请画出它的对称轴． 教学方法：引导学生思考五角星有几条对称轴，点A可以和哪些点成对应点？最后化归到例2，由学生自己完成． 四、巩固练习 教材第64页练习第1，2，3题． 五、课堂小结 本节课你有什么收获？还有哪些不懂的地方吗？ 六、布置作业 教材习题13.1第7，8题． 通过前两节的学习，这节画对称轴的习题课就可以全部交由学生自己完成．画轴对称图形的对称轴就是利用两个对称点找到对称轴，即画出这对对应点连线的垂直平分线，让学生用尺规作图，独立完成． 第二节 两条直线的位置关系 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行： ①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. 两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况. (2)两条直线垂直： ①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况. 2．两条直线的交点的求法 直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组 ⎩ ⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋ B 1y ＋ C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．三种距离公式 (1)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点之间的距离：|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离：d ＝ |Ax 0＋By 0＋C | A 2＋ B 2 . 应用点到直线的距离公式时，直线方程必须是一般式 (3)平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间距离：d ＝ |C 1－C 2|A 2＋B 2 . 两平行线的距离公式中，两直线方程的一般式中x ，y 的系数要对应相等 [熟记常用结论] 1．过定点P (x 0，y 0)的直线系方程：A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0(A 2＋B 2≠0)，还可以表示为y －y 0＝k (x －x 0)和x ＝x 0. 2．平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )． 3．垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Bx －Ay ＋λ＝0. 4．过两条已知直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y 平面解析几何 基本要求①•掌握两条直线平行、垂直的条件，能根据直线方程判断两条直线的位置关系； ②•掌握两条直线的夹角公式、到角公式和点到直线的距离公式。 ③.掌握圆的标准方程和一般方程• ④.掌握圆的方程的两种形式，并能合理合理运用； ⑤•灵活运用圆的几何性质解决问题• 1直线方程的五种形式 点斜式：y - y°二k(x - X。)，(斜率存在) 斜截式：y = kx • b(斜率存在) 两点式：—一二—―X^，(不垂直坐标轴) 目2 —屮X2~Xi x y 截距式： 1 (不垂直坐标轴，不过原点) a b 一般式：Ax By C = 0 2. 直线与直线的位置关系： (1)有斜率的两直线11: y=k i x+b i; I2：y=k2X+b2；有：①11// 丨2：= k i=k2 且b i 丰 b2；②l i 丄 |2：= k i k2=-1 ； ③l i与丨2相交k i M k2 ④l i与丨2重合k i=k2且b i=b2。 (2)一般式的直线l i：Ax+B i y+C i=0, 12： Ax+B2y+C2=0 有：①l i // I2二A i B2-A2B i=0；且BC2-B2C 工0 ②l i 丄12= AA+BB2=0 ③ l i 与12 相交二A1B2-A2B M 0 ④ l i 与12 重合二AiB-A2B i=0 且 BQ-B2C=0 0 3•点与直线的位置关系： 点P (X0, y0)到直线Ax+By+C=0的距离：« _佥0；甲0。 J A2 +B2 平行直线Ax+By+C 1=0与Ax+By+C 2=0之间的距离为d = " °2" lA2 +B2 两点间距离公式：| RP21 = (x1 - x2)2(y2)2 .4直线系方程 ①过直线l i：A i x+B i y+C i=0, l 2：A2X+B2y+C2=0 交点的直线系方程为：A i x+By+C i+ 入(Ax+B2y+C2) =0 (入€ R)(除I 2外)° ②过定点M (x°, y°)的直线系方程为y - y°二k(x - x°)(其中不包括直线x = X0) 人教版八年级上学期数学第十三章轴对称 课时1线段的垂直平分线的性质练习题 学校:___________姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（） A．4B．5C．6D．7 2．如图，DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，连接DA，DC，则（） A．△A＝△C B．△B＝△ADC C．DA＝DC D．DE＝DF 3．在国家精准扶贫政策的指导下，在镇党委的大力扶持下，有两个村庄P、Q都开发了绳网项目，生产体育绳网、安全绳网等．为了让绳网通过互联网迅速销往各地，当地政府准备在两个村庄的公路m旁建立公用5G移动通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，那么基站应该建立在（） A．A处B．B处C．C处D．D处 4．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分△ACB 5．如图，在ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=3，ABC 的周长为21，则ABD的周长为（） A．14B．15C．16D．17 6．等腰三角形的一个外角等于130°，则它的顶角为（） A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°7．如图，△AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是OB、OA上的动点，记△MPQ＝α，△PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（） A．10°B．20°C．40°D．50° 二、填空题 8．若三角形满足一个角α是另一个角β的3倍，则称这个三角形为“智慧三角形”，其中α称为“智慧角”．在有一个角为60°的“智慧三角形”中，“智慧角”是______度．9．如图，AB＝AC，△A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．则△DBC的大小为______． 2020年高三理科数学一轮讲义案第九章 9.2《两直线的位置关系》 最新考纲 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直； 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标； 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 知 识 梳 理 1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行. (2)两条直线垂直 如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.两直线相交 直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， A 2x ＋ B 2y ＋ C 2＝0 的解一 一对应. 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解. 3.距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2| 特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |(2)点到直线的距离公式 平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d (3)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d [微点提醒] 2022-2023学年江苏省苏州中学高二上学期12月阶段质量评估数学试题 一、单选题 1．若方程2220x y y m +--=表示圆，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞ B ．()1,+∞ C ．(),1-∞- D ．()1,-+∞ 【答案】D 【分析】将方程化为标准式即可计算求解. 【详解】解：方程2220x y y m +--=可变形为()2 211x y m +-=+， 因为方程表示圆，则10m +>，所以1m >-. 故选：D. 2．若直线4mx ny 与圆2 2 4x y +=没有交点，则过点(),P m n 的直线与椭圆22194 x y +=的交点的个 数为（ ） A ．0或1 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】B 【分析】由直线与圆相离得到P 点位置后判断 2 2 2m n >+，得224m n +<，故点(),P m n 在以原点为圆心，2为半径的圆内，即 在椭圆内部，过P 点的直线与该椭圆必有2个交点． 故选：B 3．过点(3,1)A 的圆C 与直线0x y -=相切于点(1,1)B ，则圆C 的方程为（ ） A ．22(2)2x y -+= B ．22(2)(1)1x y -+-= C ．22(3)(4)9x y -+-= D ．22()(31)8x y -++= 【答案】A 【分析】求得圆心和半径，由此求得圆的方程. 【详解】设圆心为(),a b ，半径为r ， 则()()()()2222 3111111 a b a b b a ⎧-+-=-+-⎪⎨-=-⎪-⎩， 解得2,0a b ==，所以圆心为()2,0， 半径 r = =所以圆C 的方程为22(2)2x y -+=. 故选：A 4．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．()1,2 C ．1(2 ，1) D ．()0,1 【答案】D 【分析】化曲线方程为椭圆的标准方程，由题意可得2 2k >，求解此不等式可得k 的取值范围. 【详解】由方程222x ky +=，可得22 1 2 2x y k +=， 因为方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2 2k >，解得01k <<. 所以实数k 的取值范围是0,1. 故选：D. 5．已知等比数列{}n a 满足12a =，2 3564a a a ⋅=，则3a 的值为（ ） A ．14 B ．12 C ．1 D ．2 【答案】C 【解析】根据2 3564a a a ⋅=，利用等比数列的性质求得2q ，再利用通项公式求解. 【详解】在等比数列{}n a 中，12a =，2 3564a a a ⋅=， 所以4622 4a a =， 所以4 211,42 q q ==， 所以2 311a a q ==， 故选：C 6．已知数列{}n a 的前n 项和1 22n n S +=-，若() *5,p q p q +=∈N ，则p q a a =（ ） A ．8 B ．16 C ．32 D ．64 【答案】C 专题9.2 直线与圆的位置关系（真题测试） 一、单选题 1．（2022·北京·高考真题）若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （ ） A ．1 2 B ．1 2 - C ．1 D ．1- 2．（2021·北京·高考真题）已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m = A ．±1 B ． C ． D ．2± 3．（2020·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．（2020·全国·高考真题（文））已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．（2023·全国·高三专题练习）过点（7，-2）且与直线2360x y -+=相切的半径最小的圆方程是（ ） A ．()()2 2 515x y -++= B ．()()22 5113x y -+-= C ．()()2 2 4413x y -++= D ．()()2 2 1652x y -++= 6．（2018·全国·高考真题（理））直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2 222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是( ) A ．[]26， B ．[]48， C ． D ．⎡⎣ 7．（2020·全国·高考真题（理））若直线l 与曲线y x 2+y 2=15 都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1 B ．y =2x +1 2 C ．y =1 2x +1 D ．y =12x +1 2 8．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C ：224210x y x y +--+=，点P 是直线4y =上的动点，过P 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 的最小值为（ ） A B C D 二、多选题9．（2022·山东青岛·二模）已知22:60C x y x +-=，则下述正确的是（ ）2021_2022学年新教材高中数学2直线和圆的方程章末综合测评含解析新人教A版选择性必修第一册20
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