(精心整理)用几何方法证明坐标平面内互相垂直的两直线的斜率之积等于-1

用几何方法证明“坐标平面内，两直线互相垂直时，它们的

斜率的乘积等于-1”

证明：如图，直线y1=k1x和直线y2=k2x互相垂直，

过直线y1=k1x上任意一点A做AC⊥x轴于点C，

在直线y2=k2x上取一点B使OB=OA，过B点做BD⊥x轴于点D，

则∠ACO=∠BDO=90

又∵∠AOB=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90

∵∠ACO=90°，

∴∠AOC+∠OAC=90

∴∠OAC=∠BOD，

∴△AO C≌△BOD（

设OC=a，则BD=OC=a

∵点B在第二象限，

∴点B的坐标是（-k1a，a），

把点B坐标代入直线y2=k2x，

得：a=k

×（-k1a），

∴k1k2=-1.

应用举例：

如图，直线AB 交x 轴于点A （a ，0），交y 轴于点B （0，b ），且a 、b 满足

()()042

2=-++a b a .若点C 坐标为（-1,0），且AH ⊥BC 于点H ，AH 交PB 于点

P ，试求点P 坐标.

解：由()()042

=-++a b a 易得：a=4，b= -4，

∴点B 坐标为（0，-4）， ∵点C 坐标为（-1,0），

∴线段BC 的解析式为y=-4x-4， ∵AH ⊥BC ， ∴线段AH 的斜率为

，因为点A 坐标为（4，0），易得线段AH 的解析式为14

x y ，所以点P 的坐标为（0，-1）.

当然，该题利用全等三角形的知识解决起来会更简便一些。这留给同学们自己来解答.

平面解析几何-经典题(含答案)

平面解析几何一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角α的范围00 0180α≤< （2）经过两点的直线的斜率公式是（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有 1212//l l k k ?=。特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。（2）两条直线垂直如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则121 21l l k k ⊥?=- 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。二、直线的方程 1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性

点斜式为直线上一定点，k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线斜截式 k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式是直线上两定点不包括垂直于x 轴和y 轴的直线截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直线在y 轴上的非零截距不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线一般式 A ， B ， C 为系数无限制，可表示任何位置的直线三、直线的交点坐标与距离公式三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离（1）两点间的距离平面上的两点间的距离

平面解析几何经典题(含答案)

平面解析几何一、直线得倾斜角与斜率 1、直线得倾斜角与斜率（1）倾斜角得范围（2）经过两点得直线得斜率公式就是（3）每条直线都有倾斜角，但并不就是每条直线都有斜率 2、两条直线平行与垂直得判定（1)两条直线平行对于两条不重合得直线,其斜率分别为，则有。特别地，当直线得斜率都不存在时,得关系为平行。 (2)两条直线垂直如果两条直线斜率存在，设为,则注:两条直线垂直得充要条件就是斜率之积为—1,这句话不正确;由两直线得斜率之积为—1，可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为—1。如果中有一条直线得斜率不存在，另一条直线得斜率为０时，互相垂直。二、直线得方程 1、直线方程得几种形式三、直线得交点坐标与距离公式三、直线得交点坐标与距离公式１、两条直线得交点

设两条直线得方程就是，两条直线得交点坐标就就是方程组得解,若方程组有唯一解,则这两条直线相交,此解就就是交点得坐标；若方程组无解,则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之,亦成立。２、几种距离 (1)两点间得距离平面上得两点间得距离公式（2）点到直线得距离点到直线得距离； (３)两条平行线间得距离两条平行线间得距离注：(１)求点到直线得距离时,直线方程要化为一般式; （2）求两条平行线间得距离时，必须将两直线方程化为系数相同得一般形式后，才能套用公式计算（二)直线得斜率及应用利用斜率证明三点共线得方法：已知若，则有Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线。注:斜率变化分成两段，就是分界线，遇到斜率要谨记,存在与否需讨论。直线得参数方程〖例1〗已知直线得斜率k=-ｃｏｓ(∈R)、求直线得倾斜角得取值范围。思路解析：cos得范围斜率k得范围ｔａn得范围倾斜角得取值范围. 〖例2〗设就是互不相等得三个实数，如果在同一直线上，求证：思路解析:若三点共线，则由任两点所确定得直线斜率相等或都不存在。〖例3〗已知点M（2,2）,Ｎ（5,－2）,点P在x轴上，分别求满足下列条件得Ｐ点坐标。（１）∠MOＰ=∠ＯPN（O就是坐标原点); （2)∠MPＮ就是直角。思路解析：∠MOP=∠OＰＮＯM／/ＰN,∠MPＮ就是直角MPＮP,故而可利用两直线平行与垂直得条件求得。注：（1）充分掌握两直线平行得条件及垂直得条件就是解决本题得关键,对于斜率都存在且不重合得两条直线与，。若有一条直线得斜率不存在，那么另一条直线得斜率就是多少一定要特别注意〖例４〗求过点P(２,－1)，在x轴与y轴上得截距分别为a、ｂ，且满足a=3b得直线方程.

平面解析几何题含答案

平面解析几何题含答案 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

平面解析几何一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角α的范围00 0180 α ≤< （2）经过两点的直线的斜率公式是（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线 12 ,l l，其斜率分别为 12 ,k k，则有 1212 // l l k k ?=。特别地，当直线 12 ,l l的斜率都不存在时， 12 l l 与的关系为平行。（2）两条直线垂直如果两条直线 12 ,l l斜率存在，设为 12 ,k k，则 1212 1 l l k k ⊥?=- 注：两条直线 12 ,l l垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果 12 ,l l中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时， 12 l l 与互相垂直。二、直线的方程 1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式为直线上一定点，k为斜率不包括垂直于x轴的直线

斜截式k为斜率，b是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线两点式是直线上两定点不包括垂直于x轴和y 轴的直线截距式a是直线在x轴上的非零截距，b 是直线在y轴上的非零截距不包括垂直于x轴和y 轴或过原点的直线一般式A，B，C为系数无限制，可表示任何位置的直线三、直线的交点坐标与距离公式三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离（1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式（2）点到直线的距离点到直线的距离；（3）两条平行线间的距离

常见证明垂直的方法总结

常见证明垂直的方法总结 Proving that two lines are perpendicular can be accomplished using various methods depending on the given information. One common method is to use the slopes of the lines. If the slopes of the two lines are negative reciprocals of each other, then the lines are perpendicular. This rule stems from the fact that the product of the slopes of two perpendicular lines is always -1. 证明两条线互相垂直的方法之一是利用这两条线的斜率。如果两条线的斜率是彼此的相反数倒数，那么这两条线就是垂直的。这个规律源自于垂直线的斜率之积总是等于-1。 Another way to prove that two lines are perpendicular is by examining the angles they form. If the angles formed by the two lines are congruent and add up to 90 degrees, then the lines are perpendicular. This approach is based on the geometric definition of perpendicular lines intersecting at right angles.

垂直的定理

垂直的定理垂直的定理是几何学中的一条重要定理，也是解决几何问题的基础。它是指在一个平面内，如果两条直线互相垂直，则它们的斜率之积等于-1。这个定理在解决垂直关系问题时非常有用，可以帮助我们判断两条直线是否垂直，或者通过已知条件求解未知量。我们来看一下垂直的定理的表达方式。假设有两条直线L1和L2，它们的斜率分别为k1和k2。如果L1和L2互相垂直，则有k1 * k2 = -1。这个等式说明了两条直线互相垂直的条件。根据垂直的定理，我们可以解决一些常见的几何问题。例如，已知一条直线L1上的两个点A和B，以及另一条直线L2上的一个点C，我们需要确定L2在哪个位置与L1垂直相交。首先，我们可以计算L1的斜率k1，然后根据垂直的定理，可以得到L2的斜率k2 = -1 / k1。接下来，我们可以利用已知点C和斜率k2，求解L2的方程。通过求解L1和L2的交点，我们可以确定L2与L1的垂直相交点。除了解决垂直关系问题外，垂直的定理还可以帮助我们证明一些几何定理。例如，我们可以利用垂直的定理证明两条平行线的斜率相等。假设有两条平行线L1和L2，它们的斜率分别为k1和k2。由于L1和L2平行，它们与一条垂直于它们的直线L3的斜率相等。根据垂直的定理，我们可以得到k1 * k3 = -1和k2 * k3 = -1。由于k3相等，我们可以得到k1 = k2，从而证明了两条平行线的斜率相等。

垂直的定理还可以应用于三角形的垂心、高线和垂直平分线等相关问题。例如，已知一个三角形ABC，我们需要确定三条高线的交点H，可以利用垂直的定理来解决。首先，我们可以找到三条高线所在的直线L1、L2和L3，它们分别通过顶点A、B和C，并且与对边BC、AC和AB垂直相交。然后，根据垂直的定理，我们可以计算出L1、 L2和L3的斜率。通过求解这三条直线的交点，我们可以确定高线的交点H，即三角形的垂心。在实际应用中，垂直的定理也可以用于解决一些实际问题。例如，在建筑设计中，我们常常需要确定两面墙壁是否垂直。通过测量墙壁的斜率，我们可以利用垂直的定理来判断墙壁是否垂直。同样，在道路建设中，我们也可以利用垂直的定理来确定道路的坡度是否合适。垂直的定理是几何学中的重要定理，可以帮助我们解决垂直关系问题，证明几何定理，以及应用于实际问题中。通过理解和应用垂直的定理，我们可以提高解决几何问题的能力，进一步深入理解几何学的基本概念和原理。

几何形的平行和垂直的证明

几何形的平行和垂直的证明平行线是几何学中非常基础的概念，它在许多几何问题的证明中起到了重要作用。而垂直线，则是平行线的特殊情况。本文将从几何形的平行和垂直角度出发，探讨其证明方法。一、平行线的证明平行线的定义是：在同一个平面内，不相交且在同一方向延伸的两条直线被称为平行线。证明两条直线平行的方法主要有以下几种： 1. 同位角法同位角法是平行线判定中较为简单的方法之一。根据同位角的性质，如果两条直线的同位角相等，则这两条直线是平行的。因此，通过计算角度的大小可以进行平行线的证明。 2. 对称性法对称性法是利用平行线具有对称性的特点进行证明。当两条平行线被一条横截线所分割时，横截线上的对应角互为对应角，根据对应角相等的性质，可以证明两条直线平行。 3. 反证法反证法是通过假设两条直线不平行，然后推导出矛盾的结论，从而证明两条直线是平行的。这种方法常用于间接证明。二、垂直线的证明

垂直线是指两条直线相交于一点，并且相交时，相邻的四个角中有两个角是直角的线。证明两条直线垂直的方法包括： 1. 垂直定理垂直定理是判断两条直线是否垂直的简单方法之一，它的表述为：若两条直线分别与一条直线相交，并且所成的对应角互为补角，则这两条直线是垂直的。 2. 斜率法斜率法是判断两条直线是否垂直的一种常见方法。根据直线的斜率公式，如果两条直线的斜率乘积为-1，即斜率之积为-1，那么这两条直线是垂直的。 3. 垂直角法垂直角法是利用垂直线的特点进行证明。当两条直线相交于一点时，相交处的四个角互为垂直角，根据垂直角的性质，可以得出两条直线是垂直的结论。三、几何形的平行和垂直证明在实际问题中，不仅仅涉及到直线的平行和垂直的问题，还有许多几何形的平行和垂直的证明。下面以矩形和平行四边形为例，介绍如何证明几何形的平行和垂直关系。 1. 矩形的平行和垂直证明

平面解析几何

平面解析几何一、引言平面解析几何是解析几何的一个重要分支，研究平面上各种几何图形和关系的数学理论。它通过代数方法来研究平面几何问题，既可以从代数的角度分析几何图形的性质，也可以从几何的角度推导出代数方程式。平面解析几何的发展既受到古希腊几何学的影响，也得益于近代代数学的发展。本文将介绍平面解析几何的基本概念、方程与性质，并以一些例题加以说明。二、坐标系在平面解析几何中，我们引入了坐标系的概念。坐标系可以通过两个互相垂直的坐标轴来确定平面上的一个点的位置。我们将水平轴称为x轴，垂直轴称为y轴，它们的交点为原点O，以O为起点，沿着x 轴为正向，沿着y轴为负向。对于平面上的任意一点P(x, y)，x称为横坐标，y称为纵坐标。这样，平面上的每个点都可以通过一个有序数对(x, y)来表示。三、直线的方程在平面解析几何中，直线是最基本的几何图形之一。一条直线可以用方程来表示。如果直线与x轴的交点为A(a, 0)，与y轴的交点为B(0, b)。根据相似三角形的性质，我们可以得到直线的斜率k=b/a。斜率表示了直线上两个不同点之间的“斜率”，即两个点沿着横轴的变化与纵

轴的变化之间的比值。直线的方程可以表示为y=kx+b，其中b是直线与y轴的交点。四、直线的性质直线的性质在平面解析几何中是非常重要的。首先，两条垂直的直线的斜率之积等于-1。这是因为斜率是两个坐标变量之间的比值，对于两条垂直的直线来说，斜率之积为-1。其次，两条平行直线的斜率相等。这是因为两条平行直线的斜率都是沿着横轴的变化与纵轴的变化之间的比值，所以它们相等。最后，两条直线相交于一点的充分必要条件是它们的方程组有唯一解。这是因为两条直线相交于一点，意味着它们有且只有一个公共点。五、圆的方程圆是另一个重要的几何图形，在平面解析几何中也有其特殊的方程。一个圆可以用(x-a)²+(y-b)²=r²表示，其中(a, b)是圆心的坐标，r是半径的长度。圆心的坐标可以通过圆上的两个点的坐标求得。圆的方程可以用来计算圆上的点的坐标，也可以通过已知圆上的点来推导圆的方程。六、圆的性质圆的性质也是平面解析几何中需要了解的内容。首先，两个圆的交点个数可以是0个、一个或两个。如果两个圆没有交点，那么它们是相离的；如果两个圆有一个交点，那么它们是相切的；如果两个圆有两个交点，那么它们是相交的。其次，两个相交圆的交点的连线通过

互相垂直的两条直线的k值关系证明

互相垂直的两条直线的k值关系证明在几何学中，直线是一种没有曲度的线段，由无数个点组成。直线的特点是无限延伸，没有起点和终点。而两条直线之间的关系可以通过斜率（k值）来描述。斜率（k值）是直线上两个不同点之间的纵坐标差与横坐标差的比值。它表示了直线的倾斜程度。对于互相垂直的两条直线，它们的斜率之间存在一定的关系。设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，若L1与L2互相垂直，则k1与k2之间的关系满足以下特点： 1. 斜率之积为-1 对于互相垂直的两条直线，它们的斜率之积等于-1。即k1 * k2 = -1。这是因为两条垂直直线的斜率乘积恒为-1，可以从几何上得到证明。 2. 一个斜率为0，另一个斜率不存在对于互相垂直的两条直线，其中一条直线的斜率为0，代表这条直线是与x轴平行的水平线。而另一条直线的斜率不存在，代表这条直线是与y轴平行的竖直线。互相垂直的两条直线的k值关系可以通过斜率之积为-1来描述。这个关系在解决几何问题中非常有用。例如，在求解直角三角形的问

题中，我们可以利用两条垂直直线的斜率关系来求解未知量。举个例子来说明这个关系。假设有两条直线L1和L2，它们的斜率分别为k1和k2。如果我们已知k1=2，那么根据斜率之积为-1的关系，我们可以求得k2=-1/2。这样，我们就得到了两条垂直直线的斜率关系。除了斜率之积为-1的关系，垂直直线还有其他特点。例如，两条直线的交点一定是直角，即两条直线在交点处相互垂直。这也是直角三角形的定义。因此，通过斜率关系，我们可以判断两条直线是否垂直。总结一下，互相垂直的两条直线的k值关系可以通过斜率之积为-1来描述。这个关系在几何学中有重要的应用，可以帮助我们解决各种与垂直直线相关的问题。通过掌握这个关系，我们可以更好地理解和运用直线的性质，为几何问题的解决提供更多的思路和方法。

直线与平面垂直判定定理证明

直线与平面垂直判定定理证明直线与平面垂直判定定理是几何学中的一个重要定理，用来判断一条直线是否与一个平面垂直。在几何学中，垂直是指两个物体或图形之间的角度为90度。直线与平面垂直判定定理可以帮助我们解决很多与垂直有关的问题，如求解两个平面的交线、判断两个平面是否平行等。我们来了解一下直线与平面的基本概念。直线是由无数个点组成的，它在空间中没有宽度和厚度，可以看作是无限延伸的。平面是由无数个点组成的，它在空间中有长度和宽度，但没有厚度，可以看作是无限大的。直线与平面垂直判定定理的表述如下：如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则该直线与该平面垂直。为了证明这个定理，我们需要从几何学的基本定理出发，逐步推导出直线与平面垂直的条件。我们先假设一条直线L与一个平面P相交于点A。我们再在平面P 上任取两条不相交的直线BC和DE，并分别过点A作BC和DE的垂线，分别交于点F和G。根据几何学的基本定理，如果两条直线互相垂直，则它们的斜率之积为-1。我们可以计算直线L与直线BC和DE的斜率，分别为k1和

k2。由于直线L与平面P相交，所以直线L与平面P上的所有直线都垂直。因此，直线L与直线BC和DE垂直，根据斜率之积为-1的条件，我们可以得出以下结论： k1 * k2 = -1 接下来，我们需要证明直线L与平面P上的所有直线都垂直。我们可以通过反证法来证明。假设存在一条直线LM在平面P上，与直线BC不垂直。根据几何学的基本定理，如果两条直线不垂直，则它们的斜率之积不为-1。假设直线LM的斜率为k3，则有： k1 * k3 ≠ -1 由于直线L与平面P上的所有直线都垂直，所以直线L与直线LM也应该垂直。这与我们的假设相矛盾，因此假设不成立，即直线L与平面P上的所有直线都垂直。我们可以得出直线与平面垂直判定定理：如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则该直线与该平面垂直。通过直线与平面垂直判定定理，我们可以解决很多与垂直有关的问题。例如，我们可以通过该定理来判断两个平面是否垂直。如果两个平面上的两条相交直线垂直，则这两个平面垂直。此外，我们还可以利用该定理求解两个平面的交线。通过找到两个平面上的垂直

2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第2讲两直线的位置关系学案(含解析)北师大版

第2讲两直线的位置关系基础知识整合 1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行（ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2,若其斜率分别为k1,k2，则有l1∥l2⇔错误!k1＝k2. （ⅱ)当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2。 ②两条直线垂直 (ⅰ）如果两条直线l1,l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔错误!k1k2＝－1。 (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0时，l1⊥l2。（2）两条直线的交点直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2:A2x＋B2y＋C2＝0,则l1与l2的交点坐标就是方程组错误!错误!的解． 2．几种距离 (1)两点P1（x1，y1)，P2(x2，y2）之间的距离｜P1P2|＝错误!错误!. (2)点P0（x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝05错误!。（3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0（其中C1≠C2)间的距离d＝错误!错误!。 1．三种常见的直线系方程 (1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋C0＝0(C≠C0）; （2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋C0＝0； (3）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2:A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R,这个直线系不包括直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，解题时,注意检验l2是否满足题意，以防漏解)．

2．四种常见的对称 (1)点（x，y)关于直线y＝x的对称点为（y，x），关于直线y＝－x的对称点为(－y,－x)．（2)点（x，y）关于直线x＝a的对称点为（2a－x,y）,关于直线y＝b的对称点为（x，2b－y）． (3）点（x，y）关于点（a，b)的对称点为（2a－x，2b－y)．（4）点(x，y）关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y,k－x）,关于直线x－y＝k的对称点为（k＋y，x－k)． 3．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． (2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 1．(2019·广东惠阳模拟）点A（2，5)到直线l:x－2y＋3＝0的距离为（) A．2错误!B．错误! C．错误!D．错误! 答案C 解析点A(2,5）到直线l：x－2y＋3＝0的距离为d＝错误!＝错误!。故选C． 2．过点(1，0）且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( ) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 答案A 解析因为所求直线与直线x－2y－2＝0平行,所以设直线方程为x－2y＋c＝0，又直线经过点（1,0)，得出c＝－1，故所求直线方程为x－2y－1＝0。 3．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1:ax＋2y－1＝0与直线l2:x＋(a＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

高考数学一轮复习第八章平面解析几何第二节两条直线的位置关系教案(含解析)-高三全册数学教案

第二节两条直线的位置关系 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行： ①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直： ①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．三种距离公式 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点之间的距离 |P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12 点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2 平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间距离 d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2 1．(2018·金华四校联考)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx

＋3y －2＝0平行，则m ＝( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3 D ．－2或－3 解析：选C ∵直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0 平行，∴2m ＝m ＋13≠4－2 ，解得m ＝2或－3. 2．“a ＝14 ”是“直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直，得(a ＋1)(a －1)＋3a (a ＋1)＝0，即4a 2 ＋ 3a －1＝0，解得a ＝14或－1，∴“a ＝14 ”是“直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直”的充分不必要条件，故选A. 3．(2018·浙江五校联考)已知动点P 的坐标为(x,1－x )，x ∈R ，则动点P 的轨迹方程为________，它到原点距离的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则y ＝1－x ，即动点P 的轨迹方程为x ＋y －1＝0.原点到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝|0＋0－1|1＋1＝22，即为所求原点到动点P 的轨迹的最小值．

高中数学必修二：两条直线的位置关系

高中数学必修二第二节:两条直线的位置关系 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行： ①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2?k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直： ①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2?k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组 ⎩ ⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋ B 1y ＋ C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．三种距离公式 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点之间的距离 |P 1P 2|＝ ?x 2－x 1?2＋?y 2－y 1?2 点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C | A 2＋ B 2 平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间距离 d ＝ |C 1－C 2| A 2＋ B 2

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2?l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( ) (4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为 |kx 0＋b | 1＋k 2 .( ) (5)两平行直线2x －y ＋1＝0,4x －2y ＋1＝0间的距离是0.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2．若直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－4 3 C ．2 D ．3 解析：选D 直线ax ＋2y －1＝0的斜率k 1＝－a 2，直线2x －3y －1＝0的斜率k 2＝2 3，因为两直线垂直，所以－a 2×2 3 ＝－1，即a ＝3. 3．(教材习题改编)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 的值为( ) B ．2－ 2 －1 ＋1 解析：选C 由题意知|a －2＋3|2＝1，∴|a ＋1|＝2，又a >0，∴a ＝2－1. 4．若直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝－10，y ＝x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－9，y ＝－8. 即直线2x －y ＝－10与y ＝x ＋1相交于点(－9，－8)．又因为直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，

两直线垂直斜率关系证明

两直线垂直斜率关系证明两直线垂直，指的是这两条直线的斜率之积为 -1。这个结论是在初中数学中学习线性方程时就被引入的，而在高中数学中，则有了更加严谨的证明方法。假设有两条直线分别为 L1 和 L2，它们的斜率分别为 k1 和 k2。为了证明 L1 和 L2 垂直，需要证明它们满足以下条件： 1. k1 和 k2 之积等于 -1，即 k1 * k2 = -1； 2. L1 和 L2 不重合。证明方法如下：假设有一点 A(x0, y0) 在 L1 上，斜率为 k1。那么，L1 的方程可以表示为： y - y0 = k1(x - x0) 类似地，设一点 B(x1, y1) 在 L2 上，斜率为 k2。那么，L2 的方程可以表示为： y - y1 = k2(x - x1) 为了证明 L1 和 L2 垂直，需要证明 k1 * k2 = -1。将上面两个方程整理，得到： y = k1x - k1x0 + y0 (1)

y = k2x - k2x1 + y1 (2) 将 (1) 和 (2) 相减得到： k1x - k1x0 + y0 - k2x + k2x1 - y1 = 0 整理后可得： (k1 - k2)x = y1 - y0 + k1x0 - k2x1 x, y1, y0, x0, x1 之间均为已知量，而 k1 和 k2 为未知量。考虑分别解出 k1 和 k2，它们的乘积即为 k1 * k2。由于 L1 和 L2 不重合，因此 (k1 - k2) 不为 0。将上式两边同除以 (k1 - k2)，得到： x = (y1 - y0 + k1x0 - k2x1)/(k1 - k2) 将上式代入 (1) 和 (2) 中的一个，得到： y0 = k1[(y1 - y0 + k1x0 - k2x1)/(k1 - k2)] - k1x0 + y0 将其化简可得： k1^2 + 1 = k1k2 同样地，将上式代入 (2) 中也可以得到： k1k2 = -1 因此，证明了 L1 和 L2 的斜率之积等于 -1，即 L1 和 L2 垂直。

江苏省淮安市重点中学2023年数学高二第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将他们随机编号为1,2,...,800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18，抽到的40人中，编号落在区间[] 1,200的人做试卷A，编号落在[] 201,560的人做试卷B，其余的人做试卷C，则做试卷C的人数为( ) A．10B．12C．18D．28 2．某机构需掌握55岁人群的睡眠情况，通过随机抽查110名性别不同的55岁的人的睡眠质量情况，得到如下列联表由 () ()()()() 2 2 n ad bc K a b c d a c b d - = ++++ 得，27.8 K≈. 根据2 K表得到下列结论，正确的是（） A．有99%以下的把握认为“睡眠质量与性别有关” B．有99%以上的把握认为“睡眠质量与性别无关” C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别无关”