坐标平面上的直线知识点归纳

坐标平面上的直线知识点归纳

一、直线的倾斜角和斜率：

（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着

交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么

α就叫做直线的倾斜角。

注意：规定当直线和x 轴平行或重合时，其倾斜角为o

0，所以直线的倾斜角α的范

o

o

（2）直线的斜率：倾斜角不是o

90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，

①斜率是用来表示倾斜角不等于o

90的直线对于x 轴的倾斜程度的。

②每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。 ③斜率计算公式：

`

设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ，

则当21x x ≠时，2

121tan x x y y k --=

=α；当21x x =o

二、直线方程的几种形式：

（1）点斜式：过已知点),(00y x ，且斜率为k 的直线方程：)(00x x k y y -=-；

注意：①当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =；

②

k x x y y =--0

表示：)(00x x k y y -=-直线上除去),(00y x 的图形 。

（2）斜截式：若已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=； #

注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。

（3）两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121,y y x x ≠≠），则直线的

方程：

1

21

121x x x x y y y y --=--；

注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；

②当两点式方程写成如下形式0))(())((=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。

（4）截距式：若已知直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b （0,0≠≠b a ）则直线方程：

1=+b

y

a x ； 注意：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表

示过原点的直线，要谨慎使用。

（5）参数式：⎩

⎨

⎧+=+=bt y y at x x 00（t 为参数）其中方向向量为),(b a ，),(2222b a b

b a a ++； \

a

b

k =

；2

2

||||b

a t PP o +=；

点21,P P 对应的参数为21,t t ，则2

2

2121||||b

a t t P P +-=

；

⎩

⎨

⎧+=+=αα

sin cos 00t y y t x x （t 为参数）其中方向向量为)sin ,(cos αα， t 的几何意义为||o PP ；斜率为αtan ；倾斜角为)0(παα<≤。

（6）一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：0=++C By Ax ；（B A ,不同时为零）；

反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。

注意：①直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都

能化为特殊形式，这要看系数C B A ,,是否为0才能确定。

②指出此时直线的方向向量：),(A B -，),(A B -，),

(

2

2

2

2

B

A A B

A B +-+

（单位向量）

直线的法向量：),(B A ；（与直线垂直的向量）

%

三、两直线的位置关系：

设两直线的方程分别为：

222111:b x k y l +=或0

:22221111=++C y B x A l ；当21k k ≠或

1221B A B A ≠时它们相交，交点坐标为方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 或⎩⎨⎧=++=++00222

111C

y B x A C y B x A 解；

|

注意：①对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如：),(),(2211B A B A λ=

对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如0),(),(2211=⋅B A B A ②若两直线的斜率都不存在，则两直线 平行 ；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为 0 ，则两直线垂直。

③对于02121=+B B A A 来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用起来更方便．

④斜率相等时，两直线平行(重合)；但两直线平行(重合)时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。

四、两直线的交角

（1）1l 到2l 的角：把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转的角；它是有向角，其范

围是<≤0；

-

注意：①1l 到2l 的角与2l 到1l 的角是不一样的；②旋转的方向是逆时针方向；

③绕“定点”是指两直线的交点。

（2）直线1l 与2l 的夹角：是指由1l 与2l 相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，

它的取值范围是2

0π

θ<

≤；

（3）设两直线方程分别为：

222111::b x k y l b x k y l +=+=或0

:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ①若θ为1l 到2l 的角，12121tan k k k k +-=

θ或2

1211

221tan B B A A B A B A +-=θ；

②若θ为1l 和2l 的夹角，则12121tan k k k k +-=

θ或2

1211

221tan B B A A B A B A +-=θ；

③当0121=+k k 或02121=+B B A A o

)

注意：①上述与k 有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂

直；当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理。

②直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α：)2

(π

θθα≤

=或)2

(π

θθπα>

-=；

五、点到直线的距离公式：

设点),(00y x P 和直线0:=++C By Ax l ，点P 到l 的距离为：2

2

00|

|B

A C By Ax d +++=

；

两平行线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的距离为：；

六、直线系：

（1）设直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222

=++C y B x A l ，经过21,l l 的交点

的直线方程为0)(=+++++C y B x A C y B x A λ（除去2l ）；

2

2

21||B

A C C d +-=

如：①011=--⇒+=kx y kx y ，即也就是过01=-y 与0=x 的交点)1,0(除去

0=x 的直线方程。

"

注意：推广到过曲线0),(1=y x f 与0),(2=y x f 的交点的方程为：0)()(21=+x f x f λ；

（2）与0:=++C By Ax l 平行的直线为0'=++C By Ax ；

（3）与0:=++C By Ax l 垂直的直线为0'=+-C Ay Bx ； 七、对称问题： （1）中心对称：

①点关于点的对称：

该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点),(b a A 关于),(d c C 的对称点

)2,2(b d a c --

^

②直线关于点的对称：

Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再

由两点式求出直线方程；

Ⅱ、求出一个对称点，在利用21//l l 由点斜式得出直线方程； Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。

如：求与已知直线0632:1=-+y x l 关于点)1,1(-P 对称的直线2l 的方程。 （2）轴对称：

①点关于直线对称：

Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。 Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。

②直线关于直线对称：（设b a ,关于l 对称）

Ⅰ、若b a ,相交，则a 到l 的角等于b 到l 的角；若l a //，则l b //，且b a ,与l 的距

离相等。

Ⅱ、求出a 上两个点B A ,关于l 的对称点，在由两点式求出直线的方程。

Ⅲ、设),(y x P 为所求直线直线上的任意一点，则P 关于l 的对称点'P 的坐标适合a

的方程。