18年江苏理科数学试卷

18年江苏理科数学试卷

以下是18年江苏理科数学试卷的内容，共分三个部分。

第一部分：选择题（每小题4分，共20分）

1.已知函数$f(x)=\sqrt{a-\dfrac{1}{x}}$，其中$a>0$，则

$f(x)f\left(\dfrac{1}{x}\right)$的定义域是（）

A. $(0,+\infty)$

B. $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$

C. $(0,a]$

D. $(a,+\infty)$

2.若设$a,b$均为正整数，则$\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{a}=1$的充要条件是$a+b$（）

A. 为奇数

B. 为偶数且不是4的倍数

C. 为4的倍数

D. 为偶数且不是8的倍数

3.已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=2^n-2$，则$a_{11}$的值为（）

A. $1022$

B. $1024$

C. $1025$

D. $2046$

4.在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$\angle BAC=80^\circ$，点$D$在

边$BC$上，且$\angle BAC=\angle ACD$，则$\angle BCD=$（）

A. $60^\circ$

B. $70^\circ$

C. $80^\circ$

D. $90^\circ$

5.若$ax^2+2bx+c=0$的两个根都是正数，则（）

A. $a,b,c$都是正数

B. $a,c$都是正数，$b$可以为负数

C. $a,b$都是正数，$c$可以为负数

D. $a$可以为负数，$b,c$必须为正

数

第二部分：填空题（每小题4分，共20分）

6.已知函数$f(x)=\log_2(x+1)-\log_2(x-1)$，则$f(x)$的值域为$(-\infty,

\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ })$。

7.设$ABC$是正三角形，$D$是边$BC$上一点，使得$BD=2CD$，则$AD$的长为$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。

8.已知函数$f(x)=\sin x+\cos x$，则方程$f(x)=\sqrt{2}$在区间

$(0,2\pi)$内的解的个数为$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。

9.已知动点$P$在$\odot O$的外部运动，过点$P$作圆$\odot O$的切线$PA,PB$，分别交圆$\odot O$于点$C,D$，则$\dfrac{AD}{BD}$是定值，它的值为$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ }$。

10.在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$\angle BAC=40^\circ$，点$D$在

边$BC$上，且$\angle BAC=\angle ACD$，则$\angle BCD$的度数表示

为$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。

第三部分：解答题（共60分）

11.（10分）已知一个正方形面积为$40$，一条边上分别有$8$个黑点和$7$个白点，若在其中随机选择一个点，则选取黑点和白点的概率分别是多少？

12.（10分）$\triangle ABC$中，$\angle BAC=90^\circ$，$AD$是

$\triangle ABC$的边$BC$上的高，求证：

$\dfrac{5}{AD}=\dfrac{1}{BD}+\dfrac{1}{CD}$。

13.（10分）当$a>0$时，证明：对于任意实数$x$，满足$ax^2\leq

x+a$的$x$的取值范围是$[-\sqrt{a+1},\sqrt{a+1}]$。

14.（15分）已知正整数$a,b$，让我们考虑方程$x^2-ax+b=0$的两个实根。如果这两个实根之和恰好为$1$，证明$a=\dfrac{5}{4}$。

15.（15分）在平面直角坐标系$xoy$中，点$B(a,0)$在圆

$x^2+y^2=6(x+y)$上，点$A(b,0)(b>a)$在线段$OB$上，其中点$O$为坐标原点。设$l$是直线$x=b$上的一条线段，将$l$绕点$O$逆时针旋转$90^\circ$得到线段$l^\prime$，则圆$l^\prime$与$x$轴交于点$M$。求$\angle AOM$的度数。