2018年江苏省高考数学试卷 (含答案)

2018年江苏省高考数学试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1．（5分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B=．2．（5分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．3．（5分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．

4．（5分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为．

5．（5分）函数f（x）=的定义域为．

6．（5分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．

7．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值是．

8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是．9．（5分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f

（x）=，则f（f（15））的值为．

10．（5分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．

11．（5分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．

12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为．

13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．

14．（5分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，则使得S n＞12a n+1成立的n的最小值为．

二、题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（14分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．

求证：（1）AB∥平面A1B1C；

（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．

16．（14分）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．

（1）求cos2α的值；

（2）求tan（α﹣β）的值．

17．（14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P 为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．

（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．

（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．

19．（16分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．

（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；

（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；

（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．20．（16分）设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．

（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；

（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．

数学Ⅱ（附加题）选做题本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2，求BC的长．

B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

22．（10分）已知矩阵A=．

（1）求A的逆矩阵A﹣1；

（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．

C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）

23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．

D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）

24．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．

必做题第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．

（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；

（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．

26．设n∈N*，对1，2，……，n的一个排列i1i2……i n，如果当s＜t时，有i s＞i t，则称（i s，i t）是排列i1i2……i n的一个逆序，排列i1i2……i n的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记f n（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．

（1）求f3（2），f4（2）的值；

（2）求f n（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．

2018年江苏省高考数学试卷

参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1．（5分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B=．解：∵A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，

∴A∩B={0，1，2，8}∩{﹣1，1，6，8}={1，8}，

所以填：{1，8}．

2．（5分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．

解：由i•z=1+2i，

得z=，

所以填2．

3．（5分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．

：根据茎叶图中的数据知，

这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91，

它们的平均数为×（89+89+90+91+91）=90．

所以填90

4．（5分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为．

解：模拟程序的运行过程如下；

I=1，S=1，

I=3，S=2，

I=5，S=4，

I=7，S=8，

此时不满足循环条件，则输出S=8．

所以填8

5．（5分）函数f（x）=的定义域为．

解：由题意得：≥1，

解得：x≥2，

∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．

所以填[2，+∞）．

6．（5分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．

解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，

共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，

故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，

（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，

则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，

其中全是女生为AB，AC，BC共3种，

故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，

7．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值是．

解：∵y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，

∴2×+φ=kπ+，k∈Z，

即φ=kπ﹣，

∵﹣φ＜，

∴当k=0时，φ=﹣，

8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是2．

解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x的距离为c，

可得：=b=，

可得，即c=2a，

所以双曲线的离心率为：e=．

9．（5分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f （x）=，则f（f（15））的值为．

解：由f（x+4）=f（x）得函数是周期为4的周期函数，

则f（15）=f（16﹣1）=f（﹣1）=|﹣1+|=，

f（）=cos（）=cos=，

即f（f（15））=，

所以填为：

10．（5分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．

解：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：，

八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，

多面体的中心为顶点的多面体的体积为：2×=．

所以填：．

11．（5分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为﹣3．

解：∵函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，

∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），

①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，

函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零

点，舍去；

②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，

∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，

又f（x）只有一个零点，

∴f（）=﹣+1=0，解得a=3，

f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，

f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），

f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，

f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，

∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1，

∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：

f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3．

所以填-3

12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为3．

解：设A（a，2a），a＞0，

∵B（5，0），∴C（，a），

则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）=0．

联立，解得D（1，2）．

∴=．

解得：a=3或a=﹣1．

又a＞0，∴a=3．

即A的横坐标为3．

所以填：3．

13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠

ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．

解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，

即ac=a+c，

得+=1，

得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，

当且仅当=，即c=2a时，取等号，

所以填：9．

14．（5分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，则使得S n＞12a n+1成立的n的最小值为27．

解：利用列举法可得：

S26=，a27=43，⇒12a27=516，不符合题意．

S27==546，28=45⇒1228=540，符合题意，

所以填：27．

二、题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（14分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．

求证：（1）AB∥平面A1B1C；

（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．

证明：（1）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥A1B1，

⇒AB∥平面A1B1C；

（2）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，⇒四边形ABB1A1是菱形，⊥AB1⊥A1B．

在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC．

∴

⇒AB1⊥面A1BC，且AB1⊂平面ABB1A1⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC．

16．（14分）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．

（1）求cos2α的值；

（2）求tan（α﹣β）的值．

解：（1）由，解得，

∴cos2α=；

（2）由（1）得，sin2，则tan2α=．

∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，α），

∴sin（α+β）==．

则tan（α+β）=．

∴tan（α﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]==．

17．（14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P 为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形

ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．

（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

解：（1）S

=（40sinθ+10）•80cosθ

矩形ABCD

=800（4sinθcosθ+cosθ），

S△CDP=•80cosθ（40﹣40sinθ）

=1600（cosθ﹣cosθsinθ），

当B、N重合时，θ最小，此时sinθ=；

当C、P重合时，θ最大，此时sinθ=1，

∴sinθ的取值范围是[，1）；

（2）设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜单位面积年产值为3t，

则y=3200t（4sinθcosθ+cosθ）+4800t（cosθ﹣cosθsinθ）

=8000t（sinθcosθ+cosθ），其中sinθ∈[，1）；

设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，

则f′（θ）=cos2θ﹣sin2θ﹣sinθ

=﹣2sin2θ﹣sinθ+1；

令f′（θ）=0，解得sinθ=，此时θ=，cosθ=；

当sinθ∈[，）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增；

当sinθ∈[，1）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减；

∴θ=时，f（θ）取得最大值，即总产值y最大．

=800（4sinθcosθ+cosθ），

答：（1）S

矩形ABCD

S△CDP=1600（cosθ﹣cosθsinθ），

sinθ∈[，1）；

（2）θ=时总产值y最大．

18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．

（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．

解：（1）由题意可设椭圆方程为，

∵焦点F1（﹣，0），F2（，0），∴．

∵∴，又a2+b2=c2=3，

解得a=2，b=1．

∴椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x2+y2=3．

（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，

∴可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．

由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径，可得．由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，

可得m2=4k2+1，∴3k2+3=4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k=﹣，m=3．

将k=﹣，m=3代入可得，

解得x=，y=1，故点P的坐标为（．

②设A（x1，y1），B（x2，y2），

由⇒k＜﹣．

联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

|x2﹣x1|==，

O到直线l的距离d=，

|AB|=|x2﹣x1|=，

△OAB的面积为S===，

解得k=﹣，（正值舍去），m=3．

∴y=﹣为所求．

19．（16分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．

（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；

（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；

（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．

解：（1）证明：f′（x）=1，g′（x）=2x+2，

则由定义得，得方程无解，则f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S 点”；

（2）f′（x）=2ax，g′（x）=，x＞0，

由f′（x）=g′（x）得=2ax，得x=，

f（）=﹣=g（）=﹣lna2，得a=；

（3）f′（x）=﹣2x，g′（x）=，（x≠0），

由f′（x0）=g′（x0），得b=﹣＞0，得0＜x0＜1，

由f（x0）=g（x0），得﹣x02+a==﹣，得a=x02﹣，

令h（x）=x2﹣﹣a=，（a＞0，0＜x＜1），

设m（x）=﹣x3+3x2+ax﹣a，（a＞0，0＜x＜1），

则m（0）=﹣a＜0，m（1）=2＞0，得m（0）m（1）＜0，

又m（x）的图象在（0，1）上连续不断，

则m（x）在（0，1）上有零点，

则h（x）在（0，1）上有零点，

则f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S”点．

20．（16分）设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．

（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取

值范围；

（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．

解：（1）由题意可知|a n﹣b n|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，

∵a1=0，q=2，

∴，解得．即≤d≤．

（2）∵a1=b1＞0且|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，

∴|b1+（n﹣1）d﹣b1•q n﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），

即﹣2b1≤d≤，（n=2，3，…，m+1），

∵q∈（1，]，∴2≤2，2﹣2n≤﹣2，（n=2，3，…，m+1），

∴﹣2b1=（q n﹣1﹣2n+2）=（q n﹣1﹣2n+2）

=（2﹣2n+2）≤0，（n=2，3，…，m+1），

又∵＞0，（n=2，3，…，m+1），

∴存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立

当m=1时，（）b1≤d≤b1，

设c n=，则c n+1﹣c n=﹣=b1•q n﹣1•，（n=2，3，…，m），设f（n）=（q﹣1）n﹣q，

∵q﹣1＞0，

∴f（n）单调递增，

∵q∈（1，]，

∴f（m）=（q﹣1）m﹣q≤（m﹣1）（﹣）=（m﹣1）（2﹣），

设=x，（x∈（0，]），

且设g（x）=2x+，则g′（x）=2x ln2﹣，

∵2x ln2，≥4，

∴g′（x）=2x ln2﹣＜0，在x∈（0，]上恒成立，即g（x）单调递增，∴g（x）的最大值为g（）=＜0，∴f（m）＜0

∴f（n）＜0对（n=2，3，…，m）均成立，

∴数列{c n}，（n=2，3，…，m+1）单调递减，

∴c n的最大值为c2=b1q，c n的最小值为c m+1=，

∴d的取值范围是d∈[b1q﹣2b1，]．

数学Ⅱ（附加题）选做题本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2，求BC的长．

B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

22．（10分）已知矩阵A=．

（1）求A的逆矩阵A﹣1；

（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．

C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）

23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．