微积分总复习题与答案
第五章 一元函数积分学
例1:求不定积分sin3xdx ?
解:被积函数sin3x 是一个复合函数,它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成,因此,为了利用第一换元积分公式,我们将sin3x 变形为'1sin 3sin 3(3)3x x x =
,故有
例2:求不定积分(0)a >
解:为了消去根式,利用三解恒等式22sin cos 1t t +=,可令sin ()22x a t t π
π
=-<<,则
cos a t ==,cos dx a dt =,因此,由第二换元积分法,所以积分化为 由于sin ()22x a t t π
π
=-<<,所以sin x t a
=,arcsin(/)t x a =,利用直角三角形直接写
出cos t ==邻边斜边,于是21arcsin(/)22a x a C =+ 例3:求不定积分sin x xdx ?
分析:如果被积函数()sin f x x x =中没有x 或sinx ,那么这个积分很容易计算出来,所以可以考虑用分部积分求此不定积分,如果令u=x ,那么利用分部积分公式就可以消去x (因为'1u =)
解令,sin u x dv xdx ==,则du dx =,cos v x =-.
于是sin (cos )(cos )cos sin x xdx udv uv vdu x x x dx x x x C ==-=---=-++????。熟悉分部积分公式以后,没有必要明确的引入符号,u v ,而可以像下面那样先凑微分,然后直接用分部积分公式计算:
例4:求微分方程21dy y dx
-=的通解。 解:原方程为可分离变量的方程,移项分离变量得
12dy dx y =+,两端积分得:12dy dx y =+??,得11ln 212
y x C +=+ 从而 122111ln 21222
C x e y x C y e +=+=±-。 因为122C e ±仍然是常数,把它记做C ,故原方程的通解为212
x y Ce =-其中C 为任意常数
例5:求微分方程22dy y x dx x
+=的通解 解:这是一个一阶线性非齐次方程,通解公式为()()(())p x dx p x dx y e Q x e dx C -??=+?
在本题中22(),()P x Q x x x =
=,由通解公式知 = 5
2ln 22ln 42211()()()5x x
x e x e dx C x dx C C x x -+=+=+?? 即原方程的通解为:2
25
C x y x =+ 例6:求定积分1
20x dx ?
分析:设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,()F x 是在[,]a b 上的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f b
a -=?,这就是牛顿-莱布尼茨公式。
解:根据牛顿-莱布尼茨公式,因为3
3
x 是2x 的一个原函数,所以原式有 例7:求定积分8
0? 分析:在应用定积分换元时应注意两点:
(1) 换元必换限,上限对上限,下限对下限,即如果用()x t ?=把原来的变量换成了新
变量t ,积分限也必须也必须换成新变量t 的积分限,并且原来下限对应的参数做下限,上限对应的参数做上限。
(2) 求出换元后的原函数()t φ后,不必像计算不定积分那样将它还原成x 的函数,只需
将新变量的上、下限带入相减即可。
解 t =,即3x t =,于是23dx t dt =,并且当x=0时,
t=0;当x=8时,t=2,因此由换元公式有 =2
22000113(1)3[(1)(1)]11
t dt t dt d t t t -+=-++++??? =2
223[()ln(1)]3ln 3002
t t t -++= 例8:计算定积分1
0x xe dx -?
分析:定积分的分部积分其本质上与先用不定积分的分部积分法求原函数,再用牛顿-莱布尼茨计算定积分是一样的.因此,定积分的分部积分法的技巧和适应的函数类型与不定积分
微积分试题及答案(5)
微积分试题及答案 一、填空题(每小题2分,共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续,则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=,则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =,则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ,则方程0)(='x f 有 个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是 。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(,则=)(x f 。 二、单项选择(每小题2分,共10分) 1. 设x x f ln )(=,2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是( ) (A )()+∞-,2 (B )[)+∞-,2 (C )()2,-∞- (D )(]2,-∞- 2. 当0→x 时,下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是( ) (A )x sin (B )2 x x + (C )3x (D )x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的( ) (A )必要条件 (B )充分条件 (C )充分必要条件 (D )无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a , 上二次可微,且0)()(>'-''x f x f x ,则x x f ) ('在区间)0(a ,内是( ) (A )不增的 (B )不减的 (C )单调增加的 (D )单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(,则=-?x x xf d )1(2 。 (A )C x +-2 2)1(2 (B )C x +--2 2)1(2
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3分)定积分22 π π-?的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. (3分) 20 1 lim sin x x x →= . 4. (3分) 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. (6分)设2 ,1 y x =+求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. (6分)求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. (6分)设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分
微积分期末测试题及复习资料
一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.