《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续
一、填空题
1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)
1()34(lim
22
x x x x 。 3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→x
x k
x 成立的k 为 。
5、=-∞
→x e x
x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0
,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→x
x x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→x
x a
x a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(3
12-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。 12、函数x
x
x f +=13arcsin )(的定义域是__________。 13
、lim ____________x →+∞
=。
14、设8)2(
lim =-+∞→x
x a
x a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞
→=____________。
二、选择题
1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。 （Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、x
x
x +-=
11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。 （Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
3、函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1
111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续，则=k 。
（Ａ）23； （Ｂ）3
2
； （C ）1； （D ）0。
4、数列极限=--∞
→]ln )1[ln(lim n n n n 。
（Ａ）1； （Ｂ）1-； （C ）∞； （D ）不存在但非∞。
5、⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧>=<+=0
1cos 00
0sin )(x x x x x x x x x f ，则0=x 是)(x f 的 。
（Ａ）连续点；（Ｂ）可去间断点；（C ）跳跃间断点；（D ）振荡间断点。 6、以下各项中)(x f 和)(x g 相同的是（ ）
（Ａ）2
lg )(x x f =，x x g lg 2)(=； （Ｂ）x x f =)(，2)(x x g =
；
（C ）334)(x x x f -=，31)(-=x x x g ；（D ）1)(=x f ，x x x g 2
2tan sec )(-=。
7、 |
|sin lim
0x x
x →= （ ）
（Ａ） 1； （Ｂ） -1； （C ） 0； （D ） 不存在。 8、 =-→x
x x 10
)1(lim （ ）
（Ａ） 1； （Ｂ） -1； （Ｃ） e ； （Ｄ） 1
-e 。 9、)(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是)(lim 0
x f x x →存在的（ ）
（Ａ）充分必要条件；（Ｂ） 充分条件；（C ）必要条件；（D ）既不充分也不必要条件. 10、 =-+∞
→)1(lim 2
x x x x （ ）
（Ａ） 1； （Ｂ） 2； （C ）
2
1
； （D ） 0。 11、设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且∞===∞
→∞
→∞
→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则必有（ ）
（A ）n n b a <对任意n 成立； （B ）n n c b <对任意n 成立； （C ）极限n n n c a ∞
→lim 不存在 ； （D ）极限n n n c b ∞
→lim 不存在。
12、当1→x 时，函数
1
1
21
1---x e x x 的极限（ ） （Ａ）等于２； （Ｂ）等于０； （Ｃ）为∞； （Ｄ）不存在但不为∞。
三、计算解答 1、计算下列极限 （1）1
2sin
2lim -∞
→n n
n x ； （2）x
x
x x cot csc lim
0-→ ；
（3）)1(lim 1-→∞x
x e x ； （4）x
x x x 31212lim ⎪⎭
⎫
⎝⎛-+∞→ ；
（5）1cos cos 21
cos 2cos 8lim 223
-+--→
x x x x x π； （6）x x x x x x tan cos sin 1lim 0-+→；
（7）⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n ； （8）32324arctan )21ln(lim x x x --+→。 ３、试确定b a ,之值，使21
11lim 2=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+++∞→b ax x x x 。 ４、利用极限存在准则求极限
(1)n
n n n 1
3121111
131211lim ++++++++++
∞→ 。 （2）设01>>a x ，且),2,1(1 ==+n ax x n n ，证明n n x →∞
lim 存在，并求此极限值。
5、讨论函数x
x x
x n n n n n x f --∞→+-=lim )(的连续性，若有间断点，指出其类型。
6、设)(x f 在],[b a 上连续，且b x f a <<)(，证明在),(b a 内至少有一点ξ，使ξξ=)(f 。
第一单元 函数极限与连续习题解答
一、填空题
1、x 2
sin 2 。 2
sin 22)2sin
21(1)2(sin 22x x x f -=-+=， 222)(x x f -=∴ x x x f 22sin 2cos 22)(cos =-=∴。
2、0 。 016
249lim )1()34(lim
3222=+-++=-+∞→∞→x
x x x x x x x x 。 3、高阶 。 0)cos 1(lim )
cos 1(tan lim sin tan lim 000=-=-=-→→→x x x x x x x x x x ，
x x sin tan -∴是x 的高阶无穷小。
4、0>k 。
x 1sin 为有界函数，所以要使01
sin lim 0=→x
x k x ，只要0lim 0=→k x x ，即0>k 。
5、 0 。 0arctan lim =-∞
→x e x x ))2,2(arctan ,0lim (π
π-
∈=-∞
→x e x
x 。
6、2=b 。 b b x x f x x =+=--→→)(lim )(lim 0
， 2)1(lim )(lim 0
=+=++→→x
x x e x f ，
,)0(b f = 2=∴b 。
7、 21
2
163lim 6)13ln(lim 00==+→→x x x x x x 。
8、 e x ≤≤1 根据题意 要求1ln 0≤≤x ，所以 e x ≤≤1。
9、21
-=-x e
y )2ln()1(),2ln(1+=-∴++=x y x y ，12-=+y e x ，
21-=∴-y e x ，)2ln(1++=∴x y 的反函数为21-=-x e y 。
10、a
e 2 原式=a a
a x x
a a
x x e a
x a 222)21(lim =-+
⋅-⋅-∞→。 11、23-=a 由231
231~1)1(ax ax -+（利用教材P58(1)1a
x ax +-）与221~1cos x x --，以
及1322
131lim 1cos 1)1(lim 2
203
1
20=-=-=--+→→a x ax x ax x x ， 可得 2
3
-=a 。
12、21
41≤≤-x 由反三角函数的定义域要求可得
⎪⎩⎪⎨⎧≠+≤+≤-0
11
131x x x 解不等式组可得 ⎪⎩⎪⎨⎧-≠≤≤-12
141x x ，⇒)(x f 的定义域为2141≤≤-x 。 13、0
lim
lim
x x =
22lim
0x ==。
14、2ln 23lim()lim(1)x x x x x a a x a x a →∞→∞+=+--,令t=3x a
a
-，所以x=3at a +
即：3211
lim(
)lim[(1)](1)x t a a x t x a x a t t
→∞→∞+=++-=38a e =
2ln 3
2ln 8ln 318ln 33
===⇒=a a 。
15、2 )
2(2
)1(lim )2)(1(lim n n n n n n n n n n ++⨯++=-++++∞→+∞→
212
1)
1
11(2lim =++++=+∞→n
n n 。
二、选择题
1、选（Ｄ） 令)()()()(x h x g x f x F =，由)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l - 上的奇函数，
)()()()()()()()(x F x h x g x f x h x g x f x F -=-=---=-∴。
2、选（Ｃ） ])1(11)[1(1lim )1)(1(1lim )()(lim 31311x x x
x x x x x x x x ---+-=-+-=→→→βα
2
3
)1(3
1
)1(1l i m 1=-⋅+-=→x x x x （利用教材P58(1)1a x ax +-）
3、选（A ） 233
1
21lim
1111lim )(lim 0300==-+-+=→→→x x
x x x f x x x （利用教材P58(1)1a x ax +-） 4、选（Ｂ） 1lim [ln(1)ln ]lim ln(1)1n
n n n n n n -→∞→∞--=--=-
5、选（Ｃ） 1)0(=-f ， 0)0(=+
f ， 0)0(=f
6、选（Ｃ） 在（A ）中2
ln )(x x f = 的定义域为0≠x ，而x x g ln 2)(=的定义域为0>x ，)
()(x g x f ≠∴故不正确
在（B ）x x f =)( 的值域为),(+∞-∞，2)(x x g =的值域为0>x ，故错
在（D ）中1)(=x f 的定义域为R ，x x x g tan sec )(2
-=的定义域为
}2
,{π
π+≠∈k x R x ，)()(x g x f ≠∴，故错
7、选（Ｄ） 1sin lim ||sin lim 00==++
→→x x x x x x ，1sin lim ||sin lim 00-=-=--→→x
x
x x x x |
|sin lim 0x x x →∴不存在 8、选（Ｄ） 1)1(1
010
)]
(1[lim )1(lim --⋅-→→=-+=-e x x x
x x
x ，
9、选（Ｃ） 由函数极限的局部有界性定理知，)(lim 0
x f x x →存在，则必有0x 的某一去心邻域使)(x f 有界，
而)(x f 在0x 的某一去心邻域有界不一定有)(lim 0
x f x x →存在，例如x x 1sin
lim 0
→，函数11
sin 1≤≤-x
有界，但在0=x 点极限不存在
10、选（Ｃ）
（
2
lim ()lim x x x x x x →∞
→∞
==
2
11111lim
2
=
++
=∞
→x x
11、选（D ） （A ）、（Ｂ）显然不对，因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当n 充分大时”的情
况，不可能得出“对任意n 成立”的性质。
（Ｃ）也明显不对，因为“无穷小·无穷大”是未定型，极限可能存在也可能不存在。
12、选（D ） 002)1(lim 11lim 11
1
1
121=⋅=+=---→-→--
x x x x e x e x x ∞=+=---→-→++11
1
1121)1(lim 11lim x x x x e x e x x 当1→x 时函数没有极限，也不是∞。
三、计算解答
1、计算下列极限： （1）解：x x
x n n n n n
n 222lim 2
sin
2lim 1
1
=⋅
=-∞
→-∞
→。
（2）解：2
200001cos csc cot 1cos 1
sin sin 2lim lim lim lim sin 2
x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-
--====。
（3）解：11
lim )1(lim 1
=⋅=-∞→∞→x
x e x x x x 。
（4）解：3
21
2133])2
111[(lim )1221(lim )1212(
lim +-∞→∞→∞→-
+=-+=-+x x x x x x x x x x 。 11
3
332211[lim(1)][lim(1)]1122
x x x e x x -→∞→∞
=+⋅+=-- （5）解：)1)(cos 1cos 2()
1cos 4)(1cos 2(lim 1cos cos 21cos 2cos 8lim 3
223
+-+-=-+--→
→x x x x x x x x x x ππ
212
1
12141
cos 1
cos 4lim 3
=++⨯
=
++=→
x x x π
。
（6）解：)cos sin 1(tan cos sin 1lim
tan cos sin 1lim 00x x x x x x
x x x x x x x x x ++-+=-+→→ 2020202cos 1lim 2sin lim 2cos 1sin lim x x x x x x x x x x x x -+=-+=→→→434121=+=。
lim(12x →+=
（7）解：])
1(1
321211[
lim +++⨯+⨯∞→n n x
)]1
1
1()3121()211[(lim +-++-+-=∞→n n x 1)1
1
1(lim =+-=∞→n x 。 （8）解：3312323
2323241
)21(lim 42lim 4arctan )21ln(lim =
+=--=--+→→→x x
x x x x x x 。 ３、解：1
)(1lim )11(lim 222+-+--+=--+++∞→+∞→x b
x b a ax x b ax x x x x
211)1()()1(lim 2=+-++--=+∞→x b x b a x a x ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-∴21)(01b a a ⇒⎪⎩
⎪⎨⎧-==231b a
４、（1） 1111211111312111++<+++++++++<
n n
n n 而 1111lim =+++∞→n x 11
3121111131211lim =++++++
++++∴+∞→n
n n x 。 （2）先证有界（数学归纳法）
1=n 时，a a a ax x =⋅>=12
设k n =时，a x k >， 则 a a ax x k k =>=+21
数列}{n x 有下界， 再证}{n x 单调减，
11
<==+n
n
n n n x a
x ax x x
且 0>n x n n x x <∴+1即}{n x 单调减，n n x ∞
→∴lim 存在，设A x n n =∞
→lim ，
则有 aA A =
⇒0=A （舍）或a A =，a x n n =∴∞
→lim
５、解：先求极限 得 0
001
01
11lim )(22<=>⎪
⎩⎪
⎨⎧-=+-=∞→x x x n n x f x
x
n 而 1)(lim 0
=+→x f x 1)(lim 0
-=-→x f x 0)0(=f
)(x f ∴的连续区间为),0()0,(+∞-∞ 0=x 为跳跃间断点.。
６、解：令x x f x F -=)()(， 则 )(x F 在 ],[b a 上连续
而0)()(>-=a a f a F 0)()(<-=b b f b F
由零点定理，),(b a ∈∃ξ使0)(=ξF 即 0)(=-ξξf ，亦即 ξξ=)(f 。
第二章 导数与微分
一、填空题
1、已知2)3(='f ，则h
f h f h 2)
3()3(lim
0--→= 。
2、)0(f '存在，有0)0(=f ，则x
x f x )
(lim 0→= 。
3、π
ππ
1arctan ++=x y x ，则1='x y = 。
4、)(x f 二阶可导，)sin 1(x f y +=，则y '= ；y ''= 。
5、曲线x
e y =在点 处切线与连接曲线上两点),1(),1,0(e 的弦平行。 6、)]1ln[arctan(x y -=，则dy = 。
7、4
2
sin x y =，则
dx dy = ，2dx dy
= 。 8、若tx
x x t t f 2)11(lim )(+=∞→，则)(t f '= 。
9、曲线12
+=x y 于点_________处的切线斜率为2。
10、设x
xe y =，则_______)0(=''y 。
11、设函数)(x y y =由方程0)cos(=++xy e
y
x 确定，则
________=dx
dy
。 12、设⎩⎨⎧=+=t
y t x cos 12则________2
2=dx y
d 。 二、单项选择 1、设曲线x
y 1=
和2
x y =在它们交点处两切线的夹角为ϕ，则ϕtan =（ ）。 （Ａ）1-； （Ｂ）1； （C ）2-； （Ｄ）3。
3、函数x k
e x
f tan )(=，且e f =')4
(π
，则=k （ ）。
（Ａ） 1； （Ｂ） 1-； （C ）
2
1
； （Ｄ）2。 4、已知)(x f 为可导的偶函数，且22)
1()1(lim 0-=-+→x
f x f x ，则曲线)(x f y =在)2,1(- 处切线的方程
是 。
（Ａ）64+=x y ；（Ｂ）24--=x y ；（C ）3+=x y ；（Ｄ）1+-=x y 。
5、设)(x f 可导，则x
x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 220= 。
（Ａ） 0； （Ｂ） )(2x f ； （C ） )(2x f '； （Ｄ）)()(2x f x f '⋅。
6、函数)(x f 有任意阶导数，且2)]([)(x f x f ='，则)()
(x f n = 。
（Ａ）1
)]
([+n x f n ；（Ｂ）1
)]
([!+n x f n ；（C ）1
)]
()[1(++n x f n ；（Ｄ）2
)]([)!1(x f n +。
7、若2
)(x x f =，则x
x f x x f x ∆-∆+→∆)
()2(lim
000=（ ）
（Ａ）02x ； （Ｂ）0x ； （C ）04x ； （Ｄ）x 4。
8、设函数)(x f 在点0x 处存在)(0x f -'和)(0x f +'，则)()(00x f x f +-'='是导数)(0x f '存在的（ ）
（Ａ）必要非充分条件； （Ｂ）充分非必要条件；
（C ）充分必要条件； （Ｄ）既非充分又非必要条件。 9、设)99()2)(1()(---=x x x x x f 则=')0(f （ ）
（Ａ）99； （Ｂ）99- ； （C ）!99； （Ｄ）!99-。
10、若)(u f 可导，且)(2
x f y -=，则有=dy （ ）
（Ａ）dx x f x )(2
-'；（Ｂ）dx x f x )(22
-'-；（C ）dx x f )(22
-'；（Ｄ）dx x f x )(22
-'。
11、设函数)(x f 连续，且0)0('>f ，则存在0>δ，使得（ ） （A ）)(x f 在),0(δ内单调增加； （B ）)(x f 在)0,(δ-内单调减少； （C ）对任意的),0(δ∈x 有)0()(f x f >；（D ）对任意的)0,(δ-∈x 有)0()(f x f >。
12、设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=00
1sin )(2
x b
ax x x
x x f 在0=x 处可导，则（ ） （A ）0,1==b a ； （B ）b a ,0=为任意常数； （C ）0,0==b a ； （C ）b a ,1=为任意常数。
三、计算解答 1、计算下列各题
（1）x
e y 1
sin 2
=，求dy ； （2）⎩
⎨⎧==3
ln t y t x ，求122=t dx y
d ； （3）y y x =+arctan ，22dx
y d ； （4）x x y cos sin =，求)
50(y ；
（5）x
x
x y )1(+=，求y '；
（6）)2005()2)(1()(+++=x x x x x f ，求)0(f '；
（7）)()()(x a x x f ϕ-=，)(x ϕ在a x =处有连续的一阶导数，求)()(a f a f '''、；
（8）设)(x f 在1=x 处有连续的一阶导数，且2)1(='f ，求)1(cos lim 1-+→x f dx
d
x 。
2、试确定常数b a ,之值，使函数⎩
⎨⎧<-≥+++=010
2)sin 1()(x e x a x b x f ax
处处可导。 3、证明曲线a y x =-2
2与b xy =（b a ,为常数）在交点处切线相互垂直。 4、一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升，其速率为140米/分，当此气球上升到500米空中时，问观察员视角的倾角增加率为多少。
5、若函数)(x f 对任意实数21,x x 有)()()(2121x f x f x x f =+，且1)0(='f ，证明)()(x f x f ='。
6、求曲线532
3
-+=x x y 上过点)3,1(--处的切线方程和法线方程。
第二章 导数与微分习题解答
一、填空题
1、1- 1)3(2
1
)21()3()3(lim 2)3()3(lim
00-='-=-⋅---=--→→f h f h f h f h f h h
2、)0(f ' )0(0
)
0()(lim )(lim 00f x f x f x x f x x '=--=→→
3、ππ+x ln 1
ln -+='ππππx y x ππ+='∴=x y x ln |1
4、x x f cos )sin 1(⋅+' ，x x f x x f sin )sin 1(cos )sin 1(2
⋅+'-⋅+''
x x f y cos )sin 1(⋅+'='，x x f x x f y sin )sin 1(cos )sin 1(2⋅+'-⋅+''=''
5、)1),1(ln(--e e 弦的斜率10
11
-=--=e e k
1)(-==='∴e e e y x x ⇒)1ln(-=e x ，当)1ln(-=e x 时，1-=e y 。
6、])1(1[)1arctan(2
x x dx
-+⋅-- )1()1(11
)1arctan(1)]1[arctan()1arctan(12
x d x x x d x dy --+⋅-=--=
]
)1(1[)1arctan(2
x x dx
-+⋅--= 7、432sin 4x x ，4
22sin 2x x 433442sin 44cos sin 2x x x x x dx
dy =⋅⋅=
4
22
2sin 22x x xdx
dy dx dy == 8、t t te e 222+ t
tx x te x
t t f 22)11(lim )(=+=∞→ t t te e t f 222)(+='∴
9、)2,1( x y 2=' ，由220=x ⇒10=x ，2112
0=+=y
12+=∴x y 在点)2,1(处的切线斜率为2
10、 2 x x xe e y +=' ，x
x x xe e e y ++=''
2)0(00=+=''∴e e y
11、)
sin()sin(xy x e xy y e y x y x ---++ 方程两边对x 求导得 0)')(sin()'1(=+-++xy y xy y e y
x
解得 )
sin()
sin('xy x e xy y e y y x y x ---=++。
12、3
4cos sin t t
t t - 由参数式求导公式得t t x y dx dy t
t 2sin ''-==， 再对x 求导，由复合函数求导法得
3
2224cos sin 21sin cos 21'')'()'(t t
t t t t t t t x y y dx d dx y d t t x x
-=⋅--===。 二、选择题
1、 选（Ｄ） 由⎪⎩⎪⎨⎧
==2
1x
y x y ⇒交点为)1,1( ，1|)1(11-='==x x k ， 2|)(12
2='=x x k
3|1||)tan(|tan 2
11212=+-=-=∴k k k
k ϕϕϕ
3、 选（Ｃ） x x k e x f k x
k
21tan
sec tan )(⋅⋅='-
由e f =')4(π得 e k e =⋅⋅2⇒2
1=k
4、 选（A ） 由x f x f x f x f x x 2)
1()1(lim
2)1()1(lim 00----=-+→→ 2)21()1()21()1()1(lim 0-=-⋅-'=-⋅-----=→f x f x f x ⇒4)1(=-'f ∴切线方程为：)1(42+=-x y 即 64+=x y
5、 选（Ｄ） )()(2])([)
()(lim
2220x f x f x f x
x f x x f x '⋅='=∆-∆+→∆ 6、 选（Ｂ） )(2)()(2})]({[)(3
2x f x f x f x f x f ='⋅='=''
)(32)()(32])(2[)(423x f x f x f x f x f ⨯='⋅⨯='=''' 设)(!)(1)(x f n x f n n +=，则)()()!1()()
1(x f x f n x f
n n '⋅+=+)()!1(2x f n n ++= )(!)(1)(x f n x f n n +=∴
7、 选（Ｃ） )(22)
()2(2lim )()2(lim 0000000x f x x f x x f x x f x x f x x '=∆-∆+⋅=∆-∆+→∆→∆
又x x x f 2)()(2
='=' ，004)(2x x f ='∴
8、 选（Ｃ） )(x f 在0x 处可导的充分必要条件是)(x f 在0x 点的左导数)(0x f -'和右导数)(0x f +'都
存在且相等。 9、 选（Ｄ）
)99()3)(1()99()2()99()2)(1()(---+--+---='x x x x x x x x x x x f
)98()2)(1(---++x x x x
!99!99)1()990()20)(10()0(99-=⋅-=---='∴ f
另解：由定义，)99()2)(1(lim 0
)
0()(lim )0(00---=--='→→x x x x f x f f x x
!99!99)1(99-=⋅-=
10、 选（Ｂ） )(2)()(])([2
222x f x x f x f -'-='-⋅-'='-
dx x f x dy )(22-'-=∴
11、由导数定义知
0)
0()(lim
)0('0
>-=→x
f x f f x ，
再由极限的保号性知 ,0>∃δ当),(δδ-∈x 时0)
0()(>-x
f x f ，
从而 当)),0()(0,(δδ∈-∈x x 时，)0(0)0()(><-f x f ，因此C 成立，应选C 。 12、由函数)(x f 在0=x 处可导，知函数在0=x 处连续
b b ax x f x
x x f x x x x =+===--++→→→→)(lim )(lim ,01
sin lim )(lim 00200，所以0=b 。 又a x
ax x f x f f x x x x f x f f x x x ==--===--=-+
+→-
→→+0)0()(lim )0(,01sin
lim 0)0()(lim )0(0200， 所以0=a 。应选C 。
三、计算解答 1、计算下列各题 （1）dx x x x e x d e
dy x
x
)1(1cos 1sin 2)1(sin 21
sin 2
1sin 22
-⋅⋅==dx e x
x x
1
sin 222sin 1-=
（2） 32313t t
t dx
dy ==，3
222919t t t dx y d ==，9|122=∴=t dx y d
（3）两边对x 求导：y y y
'='⋅++2
11
1⇒12+='-y y )11
(2)1(2223233+-=+⋅-='⋅-=''---y
y y y y y y
（4）x x x y 2sin 2
1
cos sin ==
)2
2sin(2cos π
+
=='∴x x y )2
22sin(2)22cos(2π
π
⋅+=+
=''x x y 设)2
2sin(21)
(π
⋅+=-n x y n n
则)2
)1(2sin(2)22cos(2)
1(π
π++=⋅+=+n x n x y
n n n
x x y 2sin 2)2
502sin(24949)50(-=⋅+=∴π
（5）两边取对数：)]1ln([ln ln x x x y +-=
两边求导： x x
x x y y +-++-='⋅11)1ln(ln 1
]11)1ln([ln )1(x
x
x x x x y x +-++-+='∴
（6）利用定义：
!2005)2005()3)(2)(1(lim )
0()(lim
)0(00=++++=-='→→x x x x x
f x f f x x
（7）)()()()(x a x x x f ϕϕ'-+=' )()(a a f ϕ='∴
又a x a x a x x a x a f x f a f a x a x --'-+=-'-'=''→→)
()()()(lim
)()(lim )(ϕϕϕ )]()()([lim x a
x a x a x ϕϕϕ'+--=→)(2)()(a a a ϕϕϕ'='+'= [注：因)(x ϕ在a x =处是否二阶可导不知，故只能用定义求。]
（8）]1
21)1sin ()1(cos [lim )1(cos lim 11-⋅--⋅-'=-++
→→x x x f x f dx d x x 1
21
sin lim )1(cos lim 11---⋅-'=+
+→→x x x f x x 1)21()1(-=-⋅'=f
2、易知当0≠x 时，)(x f 均可导，要使)(x f 在0=x 处可导
则 )0()0(-+'='f f ， 且)(x f 在0=x 处连续。即)0()(lim )(lim 0
0f x f x f x x ==+-→→
而
020)(lim 2)(lim 00=++⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫=++=+-
→→b a x f a b x f x x 又 b x a b a x x f x f f x x =---+++=--='++
→→+2
2)sin 1(lim 0)0()(lim )0(00 a x ax
x e x a b e f x ax x ax x ==-=----='---→→→-000lim 1lim 21lim )0(
由⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=-=⇒=++=1
1
02b a b a b a
3、证明：设交点坐标为),(00y x ，则a y x =-2
020 b y x =00
对a y x =-22两边求导：y
x y y y x =
'⇒='⋅-022 ∴曲线a y x =-22在),(00y x 处切线斜率0
10|y x y k x x =
'== 又由2x
b y x b y b y x -='⇒=
⇒= ∴曲线b xy =在),(00y x 处切线斜率20
20|x b
y k x x -
='== 又 1)(0
0200021-=-=-⋅=
y x b x b y x k k ∴两切线相互垂直。
4、设t 分钟后气球上升了x 米，则 500
tan x
=
α 两边对t 求导：25
75001405001sec 2
=
=⋅=⋅dt dx dt d αα αα2cos 257⋅=∴dt d 当500=x m 时， 4
π
α=
∴当500=x m 时，
507
21257=
⋅=dt d α（弧度/分） 5、证明：h x f h f x f h x f h x f x f h h )
0()()(lim
)()(lim )(00+-⋅=-+='→→ h f h f x f h f x f h f x f h h )
0()()
(lim )0()()()(lim 00-=⋅-⋅=→→ )()0()(x f f x f ='⋅=
6、解：由于x x y 632
+='，于是所求切线斜率为
3|63121-=+=-=x x x k ，
从而所求切线方程为)1(33+-=+x y ， 即 063=++y x
又法线斜率为 3
1
112=-=k k
所以所求法线方程为)1(3
1
3+=+x y ，即 083=+-x y
第三章 中值定理与导数应用
一、填空题
1、=→x x x ln lim 0
__________。
2、函数()x x x f cos 2-=在区间______________单调增。
3、函数()4
3
384x x x f -+=的极大值是____________。
4、曲线x x x y 362
4+-=在区间__________是凸的。
5、函数()x x f cos =在0=x 处的12+m 阶泰勒多项式是_________。
6、曲线x
xe y 3-=的拐点坐标是_________。
7、若()x f 在含0x 的()b a ,（其中b a <）内恒有二阶负的导数，且_______,则()0x f 是()x f 在()b a ,上的
最大值。
8、123
++=x x y 在()+∞∞-,内有__________个零点。
9、________)1
sin 1(
cot lim 0=-→x
x x x 。
10、_________)tan 1
1(lim 20=-→x
x x x 。
11、曲线2
x e y -=的上凸区间是___________。 12、函数1--=x e y x
的单调增区间是___________。 二、单项选择
1、函数)(x f 有连续二阶导数且,2)0(,1)0(,0)0(-=''='=f f f 则=-→2
)(lim x
x
x f x （ ） （Ａ）不存在 ； （Ｂ）0 ； （Ｃ）-1 ； （Ｄ）-2。
2、设),,(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f 则在)1,2
1(内曲线)(x f （ ）
（Ａ）单调增凹的； （Ｂ）单调减凹的； （Ｃ）单调增凸的； （Ｄ）单调减凸的。
3、)(x f 在),(b a 内连续，0)()(),,(000=''='∈x f x f b a x ，则)(x f 在0x x = 处（ ） （Ａ）取得极大值； （Ｂ）取得极小值；
（Ｃ）一定有拐点))(,(00x f x ； （Ｄ）可能取得极值，也可能有拐点。
4、设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，则Ⅰ：在),(b a 内0)(≡'x f 与Ⅱ：在),(b a 上)()(a f x f ≡之间关系是（ ）
（Ａ）Ⅰ是Ⅱ的充分但非必要条件； （Ｂ）Ⅰ是Ⅱ的必要但非充分条件；
（Ｃ）Ⅰ是Ⅱ的充分必要条件； （Ｄ）Ⅰ不是Ⅱ的充分条件，也不是必要条件。
5、设)(x f 、)(x g 在[]b a ,连续可导，0)()(≠x g x f ，且)()()()(x g x f x g x f '<'，则当b x a <<时，则有（ ）
（Ａ）)()()()(a g a f x g x f <； （Ｂ）)()()()(b g b f x g x f <；
（Ｃ）
)()()()(a g a f x g x f <； （Ｄ）)()
()()(a f a g x f x g >。 6、方程0133
=+-x x 在区间),(+∞-∞内（ ）
（Ａ）无实根； （Ｂ）有唯一实根； （Ｃ）有两个实根； （Ｄ）有三个实根。 7、已知)(x f 在0=x 的某个邻域内连续，且0)0(=f ，2cos 1)
(lim 0=-→x
x f x ，则在点0=x 处)(x f （ ）
（Ａ）不可导； （Ｂ）可导，且0)0('≠f ； （C ）取得极大值； （Ｄ）取得极小值。 ８、设)(x f 有二阶连续导数，且0)0('=f ，1|
|)
("lim
=→x x f x ，则（ ）
（Ａ）)0(f 是)(x f 的极大值； （Ｂ）)0(f 是)(x f 的极小值； （Ｃ）))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点； （Ｄ）)0(f 不是)(x f 的极值点。
9、设b a ,为方程0)(=x f 的二根，)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则)('x f 在),(b a 内（ ） （A ）只有一实根； （B ）至少有一实根； （C ）没有实根； （D ）至少有2个实根。 10、在区间]1,1[-上满足罗尔定理条件的函数是（ ）
（A ）2
1
)(x x f =
； （B ）||)(x x f =； （C ）21)(x x f -=； （D ）12)(2
--=x x x f 。
11、函数)(x f 在区间),(b a 内可导，则在),(b a 内0)('>x f 是函数)(x f 在),(b a 内单调增加的（ ）
（A ）必要但非充分条件； （B ）充分但非必要条件； （C ）充分必要条件； （C ）无关条件。 12、设)(x f y =是满足微分方程0'"sin =-+x
e
y y 的解，且0)('0=x f ，则)(x f 在（ ）
（A ）0x 的某个邻域单调增加； （B ）0x 的某个邻域单调减少； （Ｃ）0x 处取得极小值； （Ｄ）0x 处取得极大值。 三、计算解答 1、计算下列极限 (1)1
arccos lim 1
+-+
-→x x
x π ； (2)x
x
x ln cot ln lim 0
+
→； (3) )1ln(lim 2sin 0x x e e x x x +-→； (4) ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+→)1ln(11lim 20x x x x ；
(5)30arctan lim x
x
x x -→ ； (6))tan(ln )tan(ln lim 0bx ax x +
→。 2、证明以下不等式
(1)、设e a b >>，证明a
b
b a >。 (2)、当2
0π
<
3、已知x x y sin 3
=，利用泰勒公式求)0()6(y 。
4、试确定常数a 与n 的一组数，使得当0→x 时，n
ax 与33)1ln(x x +-为等价无穷小。 5、设)(x f 在[]b a ,上可导，试证存在)(b a <<ξξ，使
[])()(3)
()(1233
ξξξξf f b f a f a b a b '+=-。
6、作半径为r 的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时，其体积V 最小，并求出该体积最小值。
7、若)(x f 在]1,0[上有三阶导数，且0)1()0(==f f ，设)()(3
x f x x F =，试证：在)1,0( 内至少存在一个ξ，使0)('"=ξF 。
第三章 中值定理与导数应用习题解答
一、填空题
1、0 0)(lim 1
1
lim 1ln lim ln lim 02
000=-=-==→→→→x x
x x x
x x x x x x
2、),(+∞-∞ 0sin 2)(>+='x x f )(x f ∴在),(+∞-∞上单调增
3、20 )2(121224)(2
3
2
--=-='x x x x x f
令2,00)(21==⇒='x x x f
当2
∴极大值为 20)2(=f
4、)1,1(- 31243+-='x x y ，)1)(1(1212122
-+=-=''x x x y
当1-
∴曲线在)1,1(-上是凸的 5、m m
x m x x 242)!
2(1)
1(!41!211-+++- （见教材P13页，泰勒公式） 6、)3
2,32(2-e )31(3333x e xe e
y x x x
-=-='--- ，
)3
2
(9)69(3)31(33333-=-=---=''----x e x e e x e y x x x x
令320=⇒=''x y ，当32 >x 时0>''y 而当3 2=x 时，232-=e y ∴拐点为)32,32(2 -e 7、0)(0='x f , 0)(lim )()(lim )("0 00000<-'=-'-'=→→x x x f x x x f x f x f x x x x 0) (0<-'⇒x x x f 当0x x <时，)(,0)(0x f x f >'单调增加；当0x x >时，)(,0)(x f x f <'单调减少 8、1 0232 >+='x y ，y ∴在),(+∞-∞上单调增加 又-∞=-∞ →y x lim +∞=+∞→y x lim .∴在),(+∞-∞内有1个零点。 9、 6 1 原式613cos 1lim sin lim cos lim sin )sin (cos lim 2030020=-=-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x x x x 。 10、3 1 原式=31tan lim 3131sec lim tan lim tan tan lim 220220302 0==-=-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x x x x 。 11、)22,22(- 22])2(2[",2'2x x e x y xe y -----=-=令2 20"±=⇒=x y ，当)22 ,22(-∈x 时，0" 2 ,22(- 。 12、),0(+∞ 函数1--=x e y x 的定义区间为),(+∞-∞，在定义区间内连续、可导，且1'-=x e y ，因 为在),0(+∞内0'>y ，所以函数1--=x e y x 在),0(+∞上单调增加。 二、选择题 1、选（Ｃ） 12 ) (lim 21)(lim )(lim 0020 -=''=-'=-→→→x f x x f x x x f x x x 2、选（Ｂ） 当)1,21(∈x 时，0)(<'x f ，又0)41(414)(>-=-=''x x x f )1,2 1(∈x )(x f ∴在)1,2 1 (上单调减且为凹的。 3、选（Ｄ） 3)(x x f =，则0)0(")0('==f f ，0=x 是3)(x x f =的拐点；设4 )(x x f =，则0)0(")0('==f f ，而0=x 是4)(x x f =的极值点。 4、选（Ｃ）由)(x f 在),(b a 内0)(≡'x f 的充分必要条件是在),(b a 内C x f ≡')(（C 为常数），又因为)(x f 在],[b a 内连续，所以)(a f C =，即在),(b a 上)()(a f x f ≡。 5、选（Ｃ）由0)()()()()()()()(<'-'⇒'<'x g x f x g x f x g x f x g x f )()(0])()([x g x f x g x f ⇒<'⇒单调减少，),(b a x ∈ ) ()()()(b f a f x g x f <∴. 6、选（Ｄ） 令13)(3+-=x x x f ，则)1)(1(333)(2 +-=-='x x x x f ； 当1- -∞=-∞ →)(lim x f x ，+∞=+∞ →)(lim x f x )(x f ∴在)1,(--∞上有一实根，在]1,1[-上有一实根，在),1(+∞上有一实根。 ７、选（Ｄ） 利用极限的保号性可以判定)(x f 的正负号： 0cos 1) (02cos 1)(lim 0>-⇒>=-→x x f x x f x （在0=x 的某空心邻域） ； 由0cos 1>-x ，有)0(0)(f x f =>，即)(x f 在0=x 取极小值。 8、选（Ｂ） 由极限的保号性： 0| |) ("01||)("lim 0>⇒>=→x x f x x f x （在0=x 的某空心邻域）；由此0)(">x f （在0=x 的某空心邻域）， )('x f 单调增，又由0)0('=f ，)('x f 在0=x 由负变正，由极值第一充分条件，0=x 是)(x f 的极 小点 。 9、选（B ）由罗尔定理保证至少存在一点),(b a ∈ξ使0)('=ξf 。 10、选（C ），A 选项)(x f 在0=x 不连续，B 选项)(x f 在0=x 处不可导，D 选项)1()1(-≠f f 。 11、选（B ），如3 x y =在),(+∞-∞单增，但0)0('=f ，故非必要条件。 12、选（Ｃ），由0)('0=x f 有0)(')("00 sin 0sin 0>=-=x x e x y e x y ，所以)(x f 在0x 处取得极小值。 三、计算解答 1、计算极限 （1）解： 1 arccos lim 1 +-+ -→x x x π 1 2111 arccos 21lim 2 1+-⋅ =+-→x x x x π 2111arccos 1lim 1=-⋅=+-→x x x (2)解： 1sin cos sin lim 1) csc (cot 1 lim ln cot ln lim 2 0200-=⋅⋅-=-⋅=+++→→→x x x x x x x x x x x x 。 (3)解： 6 1 3cos 1lim sin lim )1(lim )1ln(lim 20303sin sin 02 sin 0=-=-=-=+-→→-→→x x x x x x e e x x e e x x x x x x x x x (4)解：2 1])1(21[lim 2111lim )1ln(lim )]1ln(11[lim 002020-=--=-- =-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x (5)解： 3 1)1(3lim 3111lim arctan lim 222022030= +=+-=-→→→x x x x x x x x x x x 。 (6)解： b bx ax a ax bx b bx bx a ax ax bx ax x x x ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=+++→→→)(sec )tan()(sec )tan(lim )(sec ) tan(1)(sec ) tan(1 lim )tan(ln )tan(ln lim 2 202 200 22 0cos ()lim 1cos ()x bx bx a ax ax b +→⋅⋅==⋅⋅ 2、(1)证明：b a a b b a a b ln ln >⇔> 令 x a a x x f ln ln )(-=，则)(x f 在],[b a 上连续 0ln )(>- ='x a a x f ],[ b a x ∈ )(x f ∴在],[b a 上单调增加，)()(a f b f >∴ 得 0ln ln ln ln =->-a a a a b a a b ， 即a b b a > (2)令x x x x f 3sin 2tan )(-+=在)2 , 0(π ∈x 时 03cos cos cos 133cos cos cos 13cos 2sec )(3222=-⋅⋅≥-++= -+='x x x x x x x x x f 0)(>'∴x f ，)(x f ∴在(0,)2 π 上单调增，又00 lim ()lim(tan 2sin 3)0x x f x x x x + + →→=+-= 0(0,),()lim ()02 x x f x f x π + →∴∀∈>=， 即x x x 3sin 2tan >+ 3、解： 麦克劳林公式)(! )0(!2)0()0()0()()(2n n n x o x n f x f x f f x f +++''+'+= 而)()!12()1(!5!3sin 2121 53m m m x o m x x x x x +--+-+- =-- ++-==∴!5!3sin 8 64 3 x x x x x y 对比 6 x 的系数有： 120! 3!6)0(!31!6)0()6()6(-=-=⇒-=f f 4、解： 1)]1(3[lim 313lim )1ln(lim 36 02 3 210330=--=+--=+--→-→→x x an x x x anx x x ax n x n x n x 6=∴n ，2 113-=⇒=-a an 5、即证： 332()() [3()()]b f b a f a f f b a ξξξξ-'=+- 令)()(3 x f x x F =，则)(x F 在],[b a 上满足拉格朗日定理的条件 ),(b a ∈∃∴ξ，使 )() ()(ξF a b a F b F '=-- 即 3323()() 3()()b f b a f a f f b a ξξξξ-'=+- 即 )]()(3[) ()(1 233ξξξξf f b f a f a b a b '+=- 6、解： 设圆锥的高为h ，底面圆半径为R ，则有比例关系 22 2r hr R R h r =⇒= - r h r h h R V 23131222-⋅==∴ππ )2(r h > 2222 22)2()42(31)2()2(231r h h r h hr r h r h r h hr dh dV ---=---=ππ 令⇒=0dh dV 唯一驻点r h 4= 所以，当r h 4=时，体积最小，此时3 223 8241631r r r r r V ππ=-⋅⋅ = 7、解： 由题设可知)('"),("),('),(x F x F x F x F 在]1,0[上存在，又)1()0(F F =，由罗尔定理， )1,0(1∈∃ξ使0)('1=ξF ，又0|)](')(3[)0('03 2=+==x x f x x f x F ，可知)('x F 在],0[1ξ上满足罗尔定理，于是 ),0(12ξξ∈∃，使0)("2=ξF ，又0|)](")('6)(6[)0("032=++==x x f x x f x x xf F ，对)(''x F 在] ,0[2ξ上再次利用罗尔定理，故有)1,0(),0(),0(12⊂⊂∈ξξξ，使得0)('"=ξF 。 第四章 不定积分 一、填空题 1、⎰dx x x =___________。 2、⎰x x dx 2 =_____________。 3、⎰ +-dx x x )23(2=_____________。 4、⎰-dx x x x sin cos 2cos =___________。 5、 ⎰+x dx 2cos 1=____________。 6、dt t t ⎰sin =___________。 7、⎰xdx x sin =___________。 8、⎰ xdx arctan =__________。 9、=+⎰dx x x 2 sin 12sin ____________。 10、⎰=''dx x f x )(____________。 11、⎰ =++dx x x 1 )3(1 ________________。 12、 ⎰=++__________522x x dx 。 二、单项选择 1、对于不定积分 ()dx x f ⎰，下列等式中（ ）是正确的. （A ）()()x f dx x f d =⎰； （B ） ()()x f dx x f ='⎰； （C ） ()()x f x df =⎰； （D ） ()()x f dx x f dx d =⎰ 。 2、函数()x f 在()+∞∞-,上连续，则()[]dx x f d ⎰等于（ ） （A ）()x f ； （B ）()dx x f ； （C ）()C x f + ； （D ）()dx x f '。 3、若()x F 和()x G 都是()x f 的原函数，则（ ） （A ）()()0=-x G x F ； （B ）()()0=+x G x F ； （C ）()()C x G x F =-(常数)； （D ）()()C x G x F =＋(常数)。 4、若 ⎰+='c x dx x f 3 3)(，则=)(x f （ ） （A ）c x +35 56；（B ）c x +35 5 9；（C ）c x +3 ；（D ）c x +。 5、设)(x f 的一个原函数为x x ln ，则=⎰dx x xf )(（ ） （A ）c x x ++ )ln 4121(2 ；（B ）c x x ++)ln 2 141(2； （C ）c x x +-)ln 2141(2；（D ）c x x +-)ln 4 121(2。 6、设c x dx x f +=⎰2 )(，则=-⎰dx x xf )1(2（ ） （A ）c x +--22)1(2；（B ）c x +-2 2)1(2； （C ）c x +-- 22)1(21； （D ）c x +-22)1(21 。 ７、=+-⎰dx e e x x 1 1 （ ） （A ）c e x ++|1|ln ； （B ）c e x +-|1|ln ； （C ）c e x x ++-|1|ln 2； （D ）c x e x +--|1|ln 2。 ８、若)(x f 的导函数为x sin ，则)(x f 的一个原函数是（ ） （A ）x sin 1+； （B ）x sin 1-； （C ）x cos 1+； （D ）x cos 1-。 ９、)(),()('x f x f x F =为可导函数，且1)0(=f ，又2 )()(x x xf x F +=，则)(x f =（ ） （A ）12--x ； （B ）12 +-x ； （C ）12+-x ； （D ）12 --x 。 10、=⋅-⋅⎰dx x x x 2 3223（ ） （A ）C x x +⋅-)23(23ln 23； （B ）C x x x +⋅--1 )23(23； （C ）C x +⋅--)23(2ln 3ln 23； （D ）C x x +⋅--)2 3 (2ln 3ln 23。 11、dx e x x ⎰3=（ ） （A ） C e x x +33ln 1；（B ）C e x x ++33ln 11；（Ｃ）x x e 33ln 1 ； （ D ）x x e 33ln 11 +。 12、⎰dx x x 1sec 122=（ ） （Ａ）C x +1tan ； （Ｂ）C x +-1tan ； （Ｃ）C x +1cot ； （Ｄ）C x +-1 cot 。 三、计算解答 1、计算下列各题 (1) dx x a x ⎰-22； (2) dx x x x ⎰+++13 41 2 ； (3) dx x x x ⎰ -2 1arccos ； (4) dx e xe x x ⎰ -1； (5) ⎰xdx x 2 sin ； (6) ()dx e e x x ⎰+1ln 。 2、设()x x x f 2 2tan 2cos sin +='，当10< 3、 设()x F 为()x f 的原函数，当0≥x 时有()()x x F x f 2sin 2 =，且()()0,10≥=x F F ，求()x f 。 4、 确定A 、B 使下式成立 ()⎰⎰+++=+x dx B x x A x dx cos 21cos 21sin cos 212 5、设()x f 的导数()x f '的图像为过原点和点()0,2的抛物线，开口向下，且()x f 的极小值为2，极大值为 6，求()x f 。 练习题 第六章 定积分 1． 1 1()(2)(0)x F x dt x t = - >? 的单调增加区间为_____. 1 (,)4+∞ 2． 函数0 ()x t F x te dt -=? 在点x =____处有极值. 0 3．设sin 2 01()sin ,()sin 2 x f x t dt g x x x = =-?，则当0x →时有( A ). (A) ()~()f x g x (B) ()f x 与()g x 同阶，但()f x 不等价于()g x (C) ()(())f x o g x = (D) ()(())g x o f x = 4．计算35 2322 0sin sin 2sin cos . []3515x x x xdx π π?-=? 5．计算 2 1 1ln e dx x x +? . 2(31)- 6.求函数dt t t x x I )ln 1(1 )(-= ? 在],1[e 上的最大值与最小值. 最大值() 341 2-e ，最小值0 7.设函数??? ??≥=<<-+01 2cos 110 )(2x x x xe x f x ，计算 ? -4 1 )2(dx x f . () 11tan 2 1 4-+e 8. 2 sin ( )x t dt t π'=?( C ) (其中2x π >). (A) sin x x (B) sin x C x + (C) sin 2x x π- (D) sin 2x C x π -+ 9. 设()f x 是连续函数,且 3 ()x f t dt x =? ,则(8)f =_____. 1 12 10. x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim -+?→=___1__ ； ) 1ln(cos lim 20 2x tdt x x +?→=__1__ . 微积分练习题带答案 微积分是数学的分支之一，它研究的是函数的变化规律。在微积分中，经常会出现各种各样的练习题，这些练习题有助于我们加深对微积分概念和原理的理解。在这篇文章中，我们将分享一些微积分练习题，并附带答案，希望对你的学习有所帮助。 1. 求函数f(x) = 2x^3 - x^2 + 3x - 5的导数。 答案：f'(x) = 6x^2 - 2x + 3 2. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。 答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x) 3. 求函数h(x) = ln(x^2)的导数。 答案：h'(x) = 2/x 4. 求函数i(x) = ∫(0到x) t^2 dt的导数。 答案：i'(x) = x^2 5. 求函数j(x) = ∫(x到1) t^2 dt的导数。 答案：j'(x) = -x^2 6. 求函数k(x) = ∫(0到x) e^t * sin(t) dt的导数。 答案：k'(x) = e^x * sin(x) 7. 求函数l(x) = e^(-x)的不定积分。 答案：∫ e^(-x) dx = -e^(-x) + C (C为常数) 8. 求函数m(x) = 1/(x^2+1)的不定积分。 答案：∫ 1/(x^2+1) dx = arctan(x) + C (C为常数) 9. 求函数n(x) = 2x * cos(x^2)的不定积分。 答案：∫ 2x * cos(x^2) dx = sin(x^2) + C (C为常数) 10. 求函数o(x) = ∫(1到x) e^(t^2) dt的原函数。 答案：o(x) = ∫(1到x) e^(t^2) dt + C (C为常数) 以上是一些微积分练习题及其答案。通过解答这些题目，我们可以巩固对微积分概念和原理的理解，并提升解题能力。微积分是应用广泛的数学工具，在物理、工程、经济等领域都有重要的应用，掌握微积分对于进一步深入学习这些领域十分必要。因此，通过大量练习和理解微积分的概念和原理，可以帮助我们在实际问题中应用微积分知识，提高解决问题的能力。 希望以上练习题及其答案对你的微积分学习有所帮助。在学习微积分的过程中，多做练习题、思考问题、探索规律，加深对微积分的理解，相信你会取得不错的成绩。 第一章 函数极限与连续 一、填空题 1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。 2、=-+→∞) 1()34(lim 22 x x x x 。 3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。 4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。 5、=-∞ →x e x x arctan lim 。 6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0 ,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。 7、=+→x x x 6)13ln(lim 0 。 8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。 10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→x x a x a x 。 11、已知当0→x 时，1)1(3 12-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。 12、函数x x x f +=13arcsin )(的定义域是__________。 13 、lim ____________x →+∞ =。 14、设8)2( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ________。 15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞ →=____________。 二、选择题 1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。 （Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。 2、x x x +-= 11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。 （Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。 3、函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1 111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续，则=k 。 （Ａ）23； （Ｂ）3 2 ； （C ）1； （D ）0。 4、数列极限=--∞ →]ln )1[ln(lim n n n n 。 （Ａ）1； （Ｂ）1-； （C ）∞； （D ）不存在但非∞。 5、⎪⎪⎩ ⎪ ⎪⎨⎧>=<+=0 1cos 00 0sin )(x x x x x x x x x f ，则0=x 是)(x f 的 。 第一单元 函数与极限 一、填空题 1、已知x x f cos 1)2 (sin +=，则=)(cos x f 。 2、=-+→∞) 1()34(lim 22 x x x x 。 3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。 4、01 sin lim 0 =→x x k x 成立的k 为 。 5、=-∞ →x e x x arctan lim 。 6、???≤+>+=0 ,0 ,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。 7、=+→x x x 6) 13ln(lim 0 。 8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。 10、设a 是非零常数，则________)( lim =-+∞ →x x a x a x 。 11、已知当0→x 时，1)1(3 12-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。 12、函数x x x f +=13arcsin )(的定义域是__________。 13、____________22lim 22=--++∞ →x x n 。 14、设8)2( lim =-+∞ →x x a x a x ，则=a ________。 15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞ →=____________。 二、选择题 1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。 （Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。 第一章作业解答 A1.（1）相同。 两个函数的定义域相同，对应法则相同。 （2）不同。 第一个函数是.x y =第二个函数是x x y == 2 。 ∴二者的对应法则不同。∴两个函数不相同。 （3）不同。 第一个函数是), 0(,2 ≠= = x x x x x y 第二个函数是1=y ， 定义域为R.定义域不同，对应法则不同。 2．（1）?? ? ?? ≤->=1 ,211,1arcsin x x x x y 解：定义域为),(),1(]1,(+∞-∞=+∞?-∞。 （2）x y tan lg = 解：0tan >x 。由图像得定义域为??? ? ? +2,πππk k ，z k ∈。 （3）1 22 --= x x x y 解：????? ≠--≥--0 1201 222 x x x x x ，则()[]( )[] ? ? ?±≠≥- -+-210 2121x x x x 。 则? ? ?± ≠+≥≤≤- 2 12 1,021x x x 。 则定义域为(]()+∞ + ?- ,210,21。 8. 解：成本函数为()C x bx = 设商品的需求函数为q c bp =+，则有 100013000.9c ad c ad =+?? =+?解得30004000,c d a = =- 所以需求函数为：30004000q p a =- 解得()40003000 q a p -= 收益函数为(4000)()3000 x a R x px x -== ? 利润函数为()4000()()()3000a x L x R x C x x b -?? = -=-???? 9设该电器的线性需求函数为q a bp =+. 1000120015001000a b a b =+?? =+?可得4000,4000 2.52.5 a q p b =?=-? =-? 收益函数为2 4000()0.4100002.5 x R x px x x x -= = ?=-+ 13.(1).同阶无穷小量。0121lim 2lim 3 4 ≠=+=+→→x x x x x x ∴的同阶无穷小量。是x x x 42+ （2）高阶无穷小量。0)1(lim lim =-=-?→→x x x x e x x x e 的高阶无穷小量。是x x x e x -?∴ （3）高阶无穷小量。x x x x x x x 1sin lim 1sin lim 2 0→→= =0。（无穷小量乘以有界 量为无穷小量）。的高阶无穷小量。 是x x x 1sin 2 ∴ 17．正确。() .81) 12(1lim )1(lim 2 2 2 2 2 2 =+=+=++- →→x x x x x x 连续。∴ 18．第一个等号。 19．（1）n n n n +∞ →2 2lim 解：原式=2112 lim =+ ∞ →n n 。 微积分习题及答案 微积分习题及答案 微积分作为数学的重要分支，是研究变化和积分的学科。它是现代科学和工程 领域中不可或缺的工具。在学习微积分的过程中，习题是非常重要的一部分， 通过解答习题可以加深对概念和原理的理解，并提升解决实际问题的能力。下 面将介绍几个常见的微积分习题及其答案。 一、极限习题 1. 求极限：lim(x→0) (sinx/x) 解答：当x趋近于0时，sinx/x的值趋近于1。这是因为sinx/x的极限定义为1，所以该极限的值为1。 2. 求极限：lim(x→∞) (1+1/x)^x 解答：当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的值趋近于e，其中e是自然对数的底数。这是因为(1+1/x)^x的极限定义为e，所以该极限的值为e。 二、导数习题 1. 求函数f(x) = x^2的导数。 解答：根据导数的定义，f'(x) = 2x。所以函数f(x) = x^2的导数为2x。 2. 求函数f(x) = e^x的导数。 解答：根据导数的定义，f'(x) = e^x。所以函数f(x) = e^x的导数为e^x。 三、积分习题 1. 求∫(x^2 + 2x + 1)dx。 解答：根据积分的定义，∫(x^2 + 2x + 1)dx = (1/3)x^3 + x^2 + x + C，其中C 为常数。 2. 求∫(sinx + cosx)dx。 解答：根据积分的定义，∫(sinx + cosx)dx = -cosx + sinx + C，其中C为常数。 四、微分方程习题 1. 求解微分方程dy/dx = 2x。 解答：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。 2. 求解微分方程dy/dx = 3x^2。 解答：对方程两边同时积分，得到y = x^3 + C，其中C为常数。 通过解答以上习题，可以加深对微积分概念和原理的理解。同时，通过解决实 际问题的能力的提升，可以将微积分应用于科学和工程领域中的实际问题。微 积分的习题和答案是学习过程中的重要参考资料，希望以上内容对大家有所帮助。 1 微积分答案 第一章 函数 一、1.Ｂ； 2.Ｄ； 3.Ａ； 4.Ｃ； 5.Ｄ 二、１.1cos -x 或2 2sin 2 x ； ２.100 010-<⎧⎪ =⎨⎪>⎩ x x x 或()f x ； ３.４，-1；４ . y =[0,1]；５. 1 (1)2 y x = -. 三、１. (1)[1,2)(2,4)D =⋃； (2)[3,2][3,4]D =--⋃. ２．(1) 102,1y u u x ==+ ；(2)1,sin ,u y e u v v x ===； (3) 2 arctan ,ln ,1y u u v v x ===+. 3. 211 ,12,()12400,44a b C C x x x ====++ ()1400124 c x C x x x ==++. 4. （１）90 010090(100)0.01 1001600751600 x P x x x <≤⎧⎪ =--⋅<<⎨⎪≥⎩ ； （３）Ｌ＝21000（元）. (2)2 300100(60)310.011001600151600 x x L P x x x x x x ≤≤⎧⎪=-=-<<⎨⎪≥⎩ ； 四、略. 第二章 极限与连续(一) 一、1.C ； 2. D ； 3.C ； 4.B ； 5.C 二、1. -2； 2. 不存在； 3. 1 4 ； 4. 1； 5. ab e . 三、 1、（1）4； （2） 25 ； （3）1； （4）5； （5）2. 2、（1）3； （2）0； （3）2； （4）5 e -； （5）2 e -. 3、1 1,2 =-=- α β 4、利用夹逼定理： 11← < < → 四、略。 第二章 极限与连续（二） 一、1. D ； 2. C ； 3. B ； 4. C ； 5. B 二、１、0； 2、-2； 3、0； 4、2； 5、0,1x x ==-． 微积分第四版习题答案 微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化和极限。对于学习微积分的学生来说，习题是巩固知识和提高能力的重要途径。然而，对于微积分第四版习题的答案，很多学生可能会感到困惑。在本文中，我将为大家提供微积分第四版习题的答案，希望能够帮助到大家。 第一章：函数与极限 1.1 函数的概念与性质 1.1.1 习题答案 1. a) 函数的定义域是实数集，值域是实数集。 b) 函数的奇偶性与定义域无关，只与函数的表达式有关。 c) 函数的周期性与定义域无关，只与函数的表达式有关。 1.1.2 习题答案 1. a) 函数的图像是一条抛物线，开口向上。 b) 函数的图像关于x轴对称，是一个偶函数。 c) 函数的图像关于y轴对称，是一个奇函数。 1.2 一元函数的极限 1.2.1 习题答案 1. a) 当x趋于无穷大时，函数的极限为无穷大。 b) 当x趋于无穷小时，函数的极限为0。 c) 当x趋于无穷小时，函数的极限不存在。 1.2.2 习题答案 1. a) 函数的极限存在，且等于2。 b) 函数的极限不存在。 c) 函数的极限存在，且等于0。 第二章：导数与微分 2.1 导数的概念与性质 2.1.1 习题答案 1. a) 函数在x=1处的导数为2。 b) 函数在x=0处的导数不存在。 c) 函数在x=2处的导数为1。 2.1.2 习题答案 1. a) 函数在x=1处的导数为-1。 b) 函数在x=0处的导数不存在。 c) 函数在x=2处的导数为2。 2.2 函数的求导法则 2.2.1 习题答案 1. a) 函数的导数为f'(x) = 3x^2 - 2x + 1。 b) 函数的导数为f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x。 c) 函数的导数为f'(x) = 2x^2 + 4x - 2。 2.2.2 习题答案 1. a) 函数的导数为f'(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1。 b) 函数的导数为f'(x) = 3x^2 + 4x - 1。 c) 函数的导数为f'(x) = 4x^3 - 2x^2 + 3x。 第三章：微分中值定理与导数应用 微积分试题及答案 第三章 中值定理与导数应用 一、填空题 1、=→x x x ln lim 0 __________。 2、函数()x x x f cos 2-=在区间______________单调增。 3、函数()4 3 384x x x f -+=的极大值是____________。 4、曲线x x x y 362 4+-=在区间__________是凸的。 5、函数()x x f cos =在0=x 处的12+m 阶泰勒多项式是_________。 6、曲线x xe y 3-=的拐点坐标是_________。 7、若()x f 在含0x 的()b a ,（其中b a <）内恒有二阶负的导数，且_______,则()0x f 是()x f 在()b a ,上的 最大值。 8、123 ++=x x y 在()+∞∞-,内有__________个零点。 9、________)1 sin 1( cot lim 0=-→x x x x 。 10、_________)tan 1 1(lim 20=-→x x x x 。 11、曲线2 x e y -=的上凸区间是___________。 12、函数1--=x e y x 的单调增区间是___________。 二、单项选择 1、函数)(x f 有连续二阶导数且,2)0(,1)0(,0)0(-=''='=f f f 则=-→2 )(lim x x x f x （ ） （Ａ）不存在 ； （Ｂ）0 ； （Ｃ）-1 ； （Ｄ）-2。 2、设),,(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f 则在)1,2 1(内曲线)(x f （ ） （Ａ）单调增凹的； （Ｂ）单调减凹的； （Ｃ）单调增凸的； （Ｄ）单调减凸的。 3、)(x f 在),(b a 内连续，0)()(),,(000=''='∈x f x f b a x ，则)(x f 在0x x = 处（ ） （Ａ）取得极大值； （Ｂ）取得极小值； （Ｃ）一定有拐点))(,(00x f x ； （Ｄ）可能取得极值，也可能有拐点。 4、设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，则Ⅰ：在),(b a 内0)(≡'x f 与Ⅱ：在),(b a 上)()(a f x f ≡之间关系是（ ） （Ａ）Ⅰ是Ⅱ的充分但非必要条件； （Ｂ）Ⅰ是Ⅱ的必要但非充分条件； （Ｃ）Ⅰ是Ⅱ的充分必要条件； （Ｄ）Ⅰ不是Ⅱ的充分条件，也不是必要条件。 5、设)(x f 、)(x g 在[]b a ,连续可导，0)()(≠x g x f ，且)()()()(x g x f x g x f '<'，则当b x a <<时，则有（ ） （Ａ）)()()()(a g a f x g x f <； （Ｂ）)()()()(b g b f x g x f <； （Ｃ） )()()()(a g a f x g x f <； （Ｄ）)() ()()(a f a g x f x g >。 6、方程0133 =+-x x 在区间),(+∞-∞内（ ） （Ａ）无实根； （Ｂ）有唯一实根； （Ｃ）有两个实根； （Ｄ）有三个实根。 7、已知)(x f 在0=x 的某个邻域内连续，且0)0(=f ，2cos 1) (lim 0=-→x x f x ，则在点0=x 处)(x f （ ） （Ａ）不可导； （Ｂ）可导，且0)0('≠f ； （C ）取得极大值； （Ｄ）取得极小值。 微积分第五版影印版课后练习题含答案 本文提供微积分第五版影印版课后练习题及其答案，方便读者进行练习和自我检验。 前言 微积分是高等数学中最基础也是最重要的一门学科，在各个领域中都有广泛的应用。本文提供微积分第五版影印版的课后练习题及其答案，希望读者通过练习，加深对微积分的理解，提高自己的能力。 课后习题 第一章函数与极限 1.1 函数的概念与性质 1.已知函数f(x)=2x+1，求f(3)。 答案：$f(3)=2 \\times 3 +1=7$。 2.已知函数y=x2+1，求y(2)。 答案：y(2)=22+1=5。 3.已知函数f(x)=x3+3x，求f(−2)。 答案：$f(-2)=(-2)^3+3 \\times (-2)=-8-6=-14$。 … 注：为了节约篇幅，本文仅列举几道习题及其答案。 第二章导数与微分 2.1 导数的概念 1.求函数y=x2在x=1的导数。 答案：y′=2x|x=1=2。 … 第三章微分中值定理与导数的应用 3.1 中值定理及其应用 1.证明函数y=x2在区间[0,1]上满足罗尔定理的条件。 答案：由罗尔定理可得，若f(a)=f(b)，且f(x)在[a,b]上连续，f(x)在(a,b)内可导，那么必存在一点 $c\\in(a,b)$，使f′(c)=0。 在本题中，f(0)=0，f(1)=1，f(x)=x2在[0,1]上连续，f(x)在(0,1)内可导，于是满足罗尔定理的条件。 … 第四章曲线的性质与应用 4.1 曲率 1.求函数y=x3在点(1,1)处的曲率半径。 答案：函数y=x3的导函数为y′=3x2，曲率公式为$R=\\frac{[1+(y')^2]^{3/2}}{|y''|}$。 在点(1,1)处，$y'=3\\times1^2=3$，y″=6x|x=1=6。 代入公式得 $R=\\frac{[1+3^2]^{3/2}}{|6|}=\\frac{10\\sqrt{10}}{9}$。 … 微积分第八章课后习题答案 习题8-1 1.1一阶；2二阶；3一阶；4三阶；5三阶；6一阶；7二阶；8一阶; 2.1、2、3、4、5都是微分方程的通解; 3.1 22 y x =+.4.将所给函数及所给函数的导数代人原方程解得： 21 ()(1)2 u x x dx x x C =+=++⎰. 习题8-2 1.1原式化为：ln dy x y y dx = 分离变量得： 11 ln dy dx y y x = 两边积分得：11 ln dy dx y y x =⎰⎰ 计算得：()11ln ln d y dx y x =⎰ ⎰ 即：()1ln ln ln y x C =+ 整理：1ln y C x = 所以：原微分方程的通解为：Cx y e =； 2原式化为：()()2211y x dy x y dx -=-- 分离变量得： ()()22 11y x dy dx y x -=-- 两边积分得：()() 22 11y x dy dx y x -=--⎰⎰ 计算得： ()()() ()2 222 1111112211d y d x y x -=----⎰⎰ 即：()()221ln 1ln 1y x C -=--+ 整理：22(1)(1)y x C --= 所以：原微分方程的通解为：22(1)(1)y x C --=； 3xydx =- 分离变量得： 1dy y = 两边积分得： 1dy y =⎰ 计算得：()2 1ln 12y x = - 即：1ln y C = 整理：y = 所以：原微分方程的通解为：y = 4 1y e Cx -=-； 5sin 1y C x =-； 61010x y C -+=； 722ln 22arctan y y x x C -=-+； 8当sin 02y ≠时,通解为ln |tan |2sin 42y y C =-；当sin 02 y =时,特解为2(0,1,2,)y k k π==±±； 9222ln x y x C +-=； 1022ln ln x y C +=; 2.1tan 2 x y e =；2(1)sec x e y +=；32(1)22y x e y +-=；4 1 ln |1|1a x a y =--+；524x y =； 6323223235y y x x +--=；7sin y x =；8cos 0x y -=; 3.12y Cx =；21Cx y xe +=；3sin ln ||y x C x =+；4ln |ln |y x C x =--；5arctan y x xy Ce -=；6ln 1y Cx x =+；722(2ln ||)y x x C =+；8332x y Cx -=; 微积分第三版上册课后练习题含答案 微积分是数学的一个分支，它主要研究函数、极限、连续、导数、积分等概念和它们之间的关系。微积分是自然科学、工程技术和经济管理等领域中不可或缺的数学工具。本文将介绍微积分第三版上册的课后练习题，以及它们的答案和解析。 章节列表 微积分第三版上册共分为12章，分别是： 1.函数与极限 2.导数及其应用 3.曲线图形的相关概念 4.定积分 5.定积分应用 6.不定积分 7.不定积分的应用 8.微分方程初步 9.空间解析几何 10.空间直线与平面 11.空间曲面 12.重积分 每一章都包含了大量的练习题，这些题目是对每个章节中理论知识点的考察和巩固，同时也能够帮助读者构建更深入的理解。 练习题样例 下面是微积分第三版上册第一章的一组练习题样例： 1.1节练习 1.求函数$f(x)=\\frac{x-1}{x+1}$在点x0=2处的导数。 2.求极限$\\displaystyle\\lim_{x \\to +\\infty}(\\sqrt{x^2+3x}- \\sqrt{x^2-5})$。 3.求函数$f(x)=\\sqrt{1+x}-1$的二阶导数。 1.2节练习 1.求$f(x)=\\frac{1}{x}$的导函数和导数。 2.已知函数f(x)=x3+3x2+1，求它的单调区间和极值点。 3.求函数f(x)=x4−8x2的导函数和导数。 课后练习题答案 微积分第三版上册的课后练习题答案可以在教材的补充练习答案中找到，答案 涵盖了书中各章节的所有练习题。下面是上述练习题的答案和解析。 1.1节练习答案 1.$f'(2)=\\frac{2}{9}$ 2.$\\displaystyle\\lim_{x \\to +\\infty}(\\sqrt{x^2+3x}- \\sqrt{x^2-5})=+\\infty$ 3.$f''(x)=\\frac{1}{4(x+1)^{\\frac{3}{2}}}$ 1.2节练习答案 1.$f'(x)=-\\frac{1}{x^2}$，$f''(x)=\\frac{2}{x^3}$ 2.f(x)在$(-\\infty,-1)$上单调递减，在$(-1,+\\infty)$上单调递增。 极值点为$x=\\pm\\sqrt{2}$，最小值为−8，无最大值。 3.f′(x)=4x3−16x，f″(x)=12x2−16。 悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号H,v,而可以像下面那样先凑微分，然后直 接用分部积分公式计算： 第五章一元函数积分学 例1：求不定积分J sin 3xdjc 解：被积幣数sin3%是一个复合函数，它是由/(w) = sin u 和u = 0(x) = 3x 复合而成，因 1 . 此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为sin3x = -sin3x(3%),故有 3 3x = u g(-cosu) + C j sin 3xdx = j —sin 3x(3x)dx = — j sin 3AZ /(3X ) 3 3 u = 3x --cos3x + C 3 例2：求不定积分j yja 2 -x 2 dx(a > 0) jr jr 解：为了消去根式’利用三解恒等式曲+站“可令—汕(巧<,<’则 ^a 1 -x 2 = \la 2 -a 2 sin 21 =acost, dx = acosdt ,因此，rtl 第二换元积分法，所以积分 化为 ^yja 2 -x 2 dx = ^ a cos t x a cos tdt = cr a a cosrd/ = CT a 2 ~2 2 2 2 2 dt^ — [ cos ltd (2r) =—r +—sin 2r + C =—(r + sin r cos r) + C 4J 2 4 2 jr jr x 由于x = asin/(——< Z < —),所以sinr = —, t = arcsin(x/a),利用直角三角形直接写 2 2 a 出 cos t = =————，于是 J Ja? 一兀2心= _^_arcsin(x/ a)a 1 -x 2 + C 斜边 例3：求不定积分J xsinxtZx 分析：如果被积函数/(x) = xsinx>|«没有x 或sinx,那么这个积分很容易计算出来，所以 可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x,那么利用分部积分公式就可以消去x (因 ^4* u - x. dv - sin xdx ,贝ij du -dx , v = -cosx. 于是 | xsin xdx = j udv - -xcosx + sinx+C o 熟 xdcosx=-(xcosx cos xdx) =-xcosx + sinx + C xs\nxdx = - 综合练习题1（函数、极限与连续部分） 1．填空题 （1）函数) 2ln(1 )(-= x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x . （2）函数24) 2ln(1 )(x x x f -++= 的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃-- （3）函数74)2(2 ++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2 +=x x f （4）若函数⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≥<+=0,0 ,13sin )(x k x x x x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2 -=-，则=)(x f ．答案：1)(2 -=x x f （6）函数1 3 22+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x （7）=∞→x x x 1 sin lim ．答案：1 （8）若2sin 4sin lim 0=→kx x x ，则=k ．答案：2=k 2．单项选择题 （1）设函数2 e e x x y +=-，则该函数是（ ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 答案：B （2）下列函数中为奇函数是（ ）． A ．x x sin B ．2 e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2 x x + 答案：C （3）函数)5ln(4 +++=x x x y 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x 答案：D （4）设1)1(2 -=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2 x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C （5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0, ,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：D （6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0, ,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．1- 答案：B （7）函数2 33 )(2 +--= x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x x B ．3=x C ．3,2,1===x x x D ．无间断点 答案：A 3．计算题 （1）4 2 3lim 222-+-→x x x x ． 解：41 21lim )2)(2()1)(2(lim 4 23lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）3 29 lim 223---→x x x x 解：2 3 4613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 332 23==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4 58 6lim 224+-+-→x x x x x 解：3 2 12lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 442 24=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x 综合练习题2（导数与微分部分） 微积分试题及答案 第二章导数与微分 一、填空题 已知f (3) 1、 f(3 h) f(3) 2,则 lim h 0 2、 f (0)存在 有 f(0) 0 2h f(x) 则顷-^- 3 、 ，1 arctan , 4、 5、 6、 7、 8、 9、 f(x)二阶可导，y f 1 曲线y e x 在点 y ln[arctah(x)]，贝 i 、| dy = y sin x 4，则牛=,二 dxdx 2 limt1 i)2tx ，则 f (t)= x x 2 则y| = lx 1 sinx),则 y =； y =。 .处切线与连接曲线上两点(0,1),1,e)的弦平行。 10、 11、 12、 若 f (t) 曲线y 设y xe x 2tx , x 1 于点 则 y (0) 处的切线斜率为2。 设函数y y(x)由方程e x y cos xy) 0确定，则华 dx t 2d 2 y 则了1 dx 2 x 1 设" y cost 、单项选择 1 , —和y x (A) 1・ ； (B)1；(C)2 ； (D) 3 。 3、函数 f(x) e taM ，且 f (4) e ，则 k ( )。 (A) 1・ ； 1 (B)1；(C)寻；( D)2。 4、已知 f 1 x) f (x)为可导的偶函数，且lim 2，则曲线y f (x)在( x 02x 是— O (A) y 4x 6； (B) y 4x 2； (C ) y x 3； 1 (D) y x 1。 X 2在它们交点处两切线的夹角为 1、设曲线y )。 1,2) ，则 tan =( 一° 处切线的方程 f 2 (x 5、设f(x)可导，则lim x 0 x) f 2 (x) x (A)0 ；(B)2 f(x)；(C)2 f (x)；(D) 2f (x) f (x) 。 6、函数f (x)有任意阶导数，且f (x)[f(x)]2，则f (n)(x)=。 (A) n[f(x)]n 1 ； (B) n![f(x)]n1； (C) (n 1)[f(x)k 1； (D) (n f (x 2 x) 则lim —— x 0 (B) x ； 0 1) ![f(x)]2。 7、 若 f (x) x 2 f (x) 0- 8、 x (C) 4x ； 0 (x ), 0 9、 (A) 2x ； 设函数f (x)在点x 处存在f (x )和f (A)必要非充分条件；(B) (C)充分必要条件；(D) (D) 4x 。 f (x ) f (x )是导数f (x )存在的 0 设 f (x) x (x 1) x 2)(x 99)则 f (0)( 充分非必要条件； 既非充分又非必要条件。 ) 微积分第一章---函数--习题及答案 第一章函数 一、 填空 1、设()()x t t f ψ=，则()()=-01f f 。 2、设 ()111>≤⎩⎨⎧=x x x x f ，则()()x e f x f +•1sin = 。 3、71 2arcsin 42-+-=x x y 的定义域为 。 4、()x x f x f 212=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛- ，则()x f = 。 5、()001<≥⎪⎩⎪⎨⎧=x x x x x f ，则()[]=x f f 。 6、已知()()[]21,sin x x f x x f -==ϕ，则()x ϕ= 。 7、设函数()x f 满足关系式：()()x e x f x f 3121=--+，则函 数()x f = 。 8、已知()[]()2sin ,cos 1x x x x f =+=ϕϕ，则()x f = 。 9、已知()⎪⎩ ⎪⎨⎧≤≤+<≤<≤-+=31210303132x x x x x x f x ，则其反函数()x f 1-= 。 10、函数3arcsin cos lg x y =由复合而成。 二、选择 1、函数()x x f 3=，则()y x f +=（ ） A 、()()y f x f B 、()x f 2 C 、()x f D 、()y f 2、若()x f 是（-∞，+∞）上有定义的函数，则下列（ ）奇函数。 A 、()3x f B 、()[]3x f C 、()()x f x f -- D ()()x f x f -+ 3、设函数()x f 定义在（0，+∞）内，b a ,为任意正数，若函数()x x f 单调减少，则有（ ） A 、()()()b f a f b a f +<+ B 、()()()b a b f a f b a f ++<+ C 、()()()b f a f b a f +>+ D 、()()()b a b f a f b a f ++>+ 4、设函数()u f 的定义域为10< 微积分各章习题及详细答案 1/43 第一章 函数极限与连续 一、填空题 1、已知f(sin x )1 cosx ，则f(cosx) 。 2 (4 3x) 2 2、lim 2 ) 。 x x(1x 3、x 0 时，tanx sinx 是x 的 阶无量小。 4、limx k sin 1 0成立的k 为 。 x x 5、lime x arctanx x 6、f(x) e x 1, x b, 7、lim ln(3x 1) x0 6x 。 x 0 在x 0处连续，则b 。 x 0 。 8、设f(x)的定义域是[0,1]，则f(lnx)的定义域是__________。 9、函数y1ln(x 2)的反函数为_________。 10、设a 是非零常数，则lim( x a )x ________。 x xa 1 11、已知当x 0时，(1 ax 2)31与cosx1是等价无量小，则常数a________。 12、函数f(x) arcsin 3x 的定义域是__________。 1 x 13、lim(x 2 2 x 2 2) ____________。 x 14、设lim( x 2a )x 8，则a ________。 x xa 15、lim(n n 1)( n 2 n)=____________。 n 二、选择题 1、设f(x),g(x)是[ l,l]上的偶函数，h(x)是[ l,l]上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。 （Ａ）f(x) g(x)；（Ｂ）f(x)h(x)；（C ）f(x)[g(x)h(x)]；（D ）f(x)g(x)h(x)。 2、 1 x 3 x (x) ， (x) 1 x ，则当 时有 。 1 x 1 （Ａ） 是比高阶的无量小； （Ｂ） 是比 低阶的无量小； （C ） 与 是同阶无量小； （D ） ~ 。 3、函数f(x) 1 x 1 , x 0(x 1)在x 0处连续，则k 31 x 1 。 k x0 （Ａ） 3； （Ｂ） 2； （C ）1； （D ）0。 2 3 4、数列极限limn[ln(n1) lnn] 。 n （Ａ）1； （Ｂ） 1； （C ） ； （D ）不存在但非 。 x sinx x x 5、f(x) x 0 ，则x 0是f(x)的 。 xcos 1 x 0 x微积分练习题(含答案)
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