微积分试题及答案大全(三)

微积分试题及答案

第一章 函数极限与连续

一、填空题

1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)

1()34(lim

22

x x x x 。 3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。

4、01sin lim 0=→x

x k

x 成立的k 为 。

5、=-∞

→x e x

x arctan lim 。

6、???≤+>+=0,0

,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→x

x x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→x

x a

x a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(3

12-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。 12、函数x

x

x f +=13arcsin )(的定义域是__________。 13

、lim ____________x →+∞

=。

14、设8)2(

lim =-+∞→x

x a

x a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞

→=____________。

二、选择题

1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。 （Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、x

x

x +-=

11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。 （Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。

3、函数?????=-≥≠-+-+=0)1(0,1

111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续，则=k 。

（Ａ）23； （Ｂ）3

2

； （C ）1； （D ）0。

4、数列极限=--∞

→]ln )1[ln(lim n n n n 。

（Ａ）1； （Ｂ）1-； （C ）∞； （D ）不存在但非∞。

5、???

?

???>=<+=0

1cos 00

0sin )(x x x x x x x x x f ，则0=x 是)(x f 的 。

（Ａ）连续点；（Ｂ）可去间断点；（C ）跳跃间断点；（D ）振荡间断点。

6、以下各项中)(x f 和)(x g 相同的是（ ）

（Ａ）2

lg )(x x f =，x x g lg 2)(=； （Ｂ）x x f =)(，2)(x x g =

；

（C ）334)(x x x f -=，31)(-=x x x g ；（D ）1)(=x f ，x x x g 2

2tan sec )(-=。

7、 |

|sin lim

0x x

x →= （ ）

（Ａ） 1； （Ｂ） -1； （C ） 0； （D ） 不存在。 8、 =-→x

x x 10

)1(lim （ ）

（Ａ） 1； （Ｂ） -1； （Ｃ） e ； （Ｄ） 1

-e 。 9、)(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是)(lim 0

x f x x →存在的（ ）

（Ａ）充分必要条件；（Ｂ） 充分条件；（C ）必要条件；（D ）既不充分也不必要条件. 10、 =-+∞

→)1(lim 2

x x x x （ ）

（Ａ） 1； （Ｂ） 2； （C ）

2

1

； （D ） 0。 11、设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且∞===∞

→∞

→∞

→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则必有（ ）

（A ）n n b a <对任意n 成立； （B ）n n c b <对任意n 成立； （C ）极限n n n c a ∞

→lim 不存在 ； （D ）极限n n n c b ∞

→lim 不存在。

12、当1→x 时，函数

1

1

21

1---x e x x 的极限（ ） （Ａ）等于２； （Ｂ）等于０； （Ｃ）为∞； （Ｄ）不存在但不为∞。

三、计算解答 1、计算下列极限 （1）1

2sin

2lim -∞

→n n

n x ； （2）x

x

x x cot csc lim

0-→ ；

（3）)1(lim 1-→∞x

x e x ； （4）x

x x x 31212lim ??

?

??-+∞→ ；

（5）1cos cos 21

cos 2cos 8lim 223

-+--→

x x x x x π； （6）x x x x x x tan cos sin 1lim 0-+→；

（7）???

?

??+++?+?∞→)1(1321211lim n n n ； （8）32324arctan )21ln(lim x x x --+→。 ３、试确定b a ,之值，使21

11lim 2=???

? ??--+++∞→b ax x x x 。 ４、利用极限存在准则求极限

(1)n

n n n 13121111

131211lim

++++++++++

∞

→ 。

（2）设01>>a x ，且),2,1(1 ==+n ax x n n ，证明n n x →∞

lim 存在，并求此极限值。

5、讨论函数x

x x

x n n n n n x f --∞→+-=lim )(的连续性，若有间断点，指出其类型。

6、设)(x f 在],[b a 上连续，且b x f a <<)(，证明在),(b a 内至少有一点ξ，使ξξ=)(f 。

第一单元 函数极限与连续习题解答

一、填空题

1、x 2

sin 2 。 2

sin 22)2sin

21(1)2(sin 22x x x f -=-+=， 222)(x x f -=∴ x x x f 22sin 2cos 22)(cos =-=∴。

2、0 。 016

249lim )1()34(lim

3222=+-++=-+∞→∞→x

x x x x x x x x 。 3、高阶 。 0)cos 1(lim )

cos 1(tan lim sin tan lim 000=-=-=-→→→x x x x x x x x x x ，

x x sin tan -∴是x 的高阶无穷小。

4、0>k 。

x 1sin 为有界函数，所以要使01

sin lim 0=→x

x k x ，只要0lim 0=→k x x ，即0>k 。

5、 0 。 0arctan lim =-∞

→x e x x ))2,2(arctan ,0lim (π

π-

∈=-∞

→x e x

x 。

6、2=b 。 b b x x f x x =+=--→→)(lim )(lim 0

， 2)1(lim )(lim 0

=+=++→→x

x x e x f ，

,)0(b f = 2=∴b 。

7、 21

2

163lim 6)13ln(lim 00==+→→x x x x x x 。

8、 e x ≤≤1 根据题意 要求1ln 0≤≤x ，所以 e x ≤≤1。

9、21

-=-x e

y )2ln()1(),2ln(1+=-∴++=x y x y ，12-=+y e x ，

21-=∴-y e x ，)2ln(1++=∴x y 的反函数为21-=-x e y 。

10、a

e 2 原式=a a

a x x

a a

x x e a

x a 222)21(lim =-+

?-?-∞→。 11、23-=a 由231

231~1)1(ax ax -+（利用教材P58(1)1a

x ax +-）与221~1cos x x --，以

及1322

131lim 1cos 1)1(lim 2

203

1

20=-=-=--+→→a x ax x ax x x ， 可得 2

3

-=a 。

12、21

41≤≤-x 由反三角函数的定义域要求可得

?????≠+≤+≤-0

11

131x x x 解不等式组可得 ?????-≠≤≤-12

141x x ，?)(x f 的定义域为2141≤≤-x 。 13、0

lim

lim

x x -=

22lim

0x ==。

14、2ln 23lim()lim(1)x x x x x a a x a x a →∞→∞+=+--,令t=

3x a

a

-，所以x=3at a +

即：3211

lim(

)lim[(1)](1)x t a a x t x a x a t t

→∞→∞+=++-=38a e =

2ln 3

2ln 8ln 318ln 33

===?=a a 。

15、2 )

2(2

)1(lim )2)(1(lim n n n n n n n n n n ++?++=-++++∞→+∞→

212

1)

1

11(2lim =++++=+∞→n

n n 。

二、选择题

1、选（Ｄ） 令)()()()(x h x g x f x F =，由)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l - 上的奇函数，

)()()()()()()()(x F x h x g x f x h x g x f x F -=-=---=-∴。

2、选（Ｃ） ])1(11)[1(1lim )1)(1(1lim )()(lim 31311x x x

x x x x x x x x ---+-=-+-=→→→βα

2

3

)1(3

1

)1(1lim 1=-?+-=→x x x x （利用教材P58(1)1a x ax +-）

3、选（A ） 233

1

21lim

1111lim )(lim 0300==-+-+=→→→x x

x x x f x x x （利用教材P58(1)1a x ax +-） 4、选（Ｂ） 1lim [ln(1)ln ]lim ln(1)1n

n n n n n n -→∞→∞--=--=-

5、选（Ｃ） 1)0(=-f ， 0)0(=+

f ， 0)0(=f

6、选（Ｃ） 在（A ）中2

ln )(x x f = 的定义域为0≠x ，而x x g ln 2)(=的定义域为0>x ，)

()(x g x f ≠∴故不正确

在（B ）x x f =)( 的值域为),(+∞-∞，2)(x x g =的值域为0>x ，故错

在（D ）中1)(=x f 的定义域为R ，x x x g tan sec )(2

-=的定义域为

}2

,{π

π+≠∈k x R x ，)()(x g x f ≠∴，故错

7、选（Ｄ） 1sin lim ||sin lim 00==++

→→x x x x x x ，1sin lim ||sin lim 00-=-=--→→x

x

x x x x |

|sin lim 0x x x →∴不存在 8、选（Ｄ） 1)1(1

010

)]

(1[lim )1(lim --?-→→=-+=-e x x x

x x

x ，

9、选（Ｃ） 由函数极限的局部有界性定理知，)(lim 0

x f x x →存在，则必有0x 的某一去心邻域使)(x f 有界，

而)(x f 在0x 的某一去心邻域有界不一定有)(lim 0

x f x x →存在，例如x x 1sin

lim 0

→，函数11

sin 1≤≤-x

有界，但在0

=x 点极限不存在

10、选（Ｃ）

（

lim ()lim x x x x x x →∞

→∞

==

2

11111lim

2

=

++

=∞

→x x 11、选（D ） （A ）、（Ｂ）显然不对，因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当n 充分大时”的情

况，不可能得出“对任意n 成立”的性质。

（Ｃ）也明显不对，因为“无穷小·无穷大”是未定型，极限可能存在也可能不存在。

12、选（D ） 002)1(lim 11lim 11

1

1

121=?=+=---→-→--

x x x x e x e x x ∞=+=---→-→++1

1

1

1

121)1(lim 11lim x x x x e x e x x 当1→x 时函数没有极限，也不是∞。

三、计算解答

1、计算下列极限： （1）解：x x

x

n n n n n

n 222lim 2sin

2lim 11

=?

=-∞

→-∞

→。 （2）解：2

200001cos csc cot 1cos 1

sin sin 2lim lim lim lim sin 2

x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-

--====。

（3）解：11

lim )1(lim 1

=?=-∞→∞→x

x e x x x x 。

（4）解：3

21

2133])2

111[(lim )1221(lim )1212(

lim +-∞→∞→∞→-

+=-+=-+x x x x x x x x x x 。 11

3

332211[lim(1)][lim(1)]1122

x x x e x x -→∞→∞

=+?+=-- （5）解：)1)(cos 1cos 2()

1cos 4)(1cos 2(lim 1cos cos 21cos 2cos 8lim 3

22

3

+-+-=-+--→

→x x x x x x x x x x ππ

212

11

21

41cos 1cos 4lim 3

=++?=++=→

x x x π。 （6）解：)cos sin 1(tan cos sin 1lim

tan cos sin 1lim 00x x x x x x

x x x x x x x x x ++-+=-+→→ 20202

02cos 1lim 2sin lim cos 1sin lim x x x x x x x x x x x -+=-+=→→→434121=+=。 0

lim(12x →+=

（7）解：])

1(1321211[

lim +++?+?∞→n n x

)]1

1

1()3121()211[(lim +-++-+-=∞→n n x 1)1

1

1(lim =+-=∞→n x 。 （8）解：3312323

2323241

)21(lim 42lim 4arctan )21ln(lim =

+=--=--+→→→x x

x x x x x x 。

３、解：1)(1lim )11(lim 222+-+--+=--+++∞→+∞→x b

x b a ax x b ax x x x x

211)1()()1(lim 2=+-++--=+∞→x b x b a x a x ?????=+-=-∴21)(01b a a ???

???-==231b a

４、（1） 1111211111312111++<+++++++++<

n n

n n 而 1111lim =+++∞→n x 11

3121111131211lim =++++++

++++∴+∞→n

n n x 。 （2）先证有界（数学归纳法）

1=n 时，a a a ax x =?>=12

设k n =时，a x k >， 则 a a ax x k k =>=+21

数列}{n x 有下界， 再证}{n x 单调减，

11

<==+n

n

n n n x a

x ax x x

且 0>n x n n x x <∴+1即}{n x 单调减，n n x ∞

→∴lim 存在，设A x n n =∞

→lim ，

则有 aA A =

?0=A （舍）或a A =，a x n n =∴∞

→lim

５、解：先求极限 得 0

00101

11lim )(22<=>?

??

??-=+-=∞→x x x n n x f x

x

n 而 1)(lim 0

=+→x f x 1)(lim 0

-=-→x f x 0)0(=f

)(x f ∴的连续区间为),0()0,(+∞-∞ 0=x 为跳跃间断点.。

６、解：令x x f x F -=)()(， 则 )(x F 在 ],[b a 上连续

而0)()(>-=a a f a F 0)()(<-=b b f b F

由零点定理，),(b a ∈?ξ使0)(=ξF 即 0)(=-ξξf ，亦即 ξξ=)(f 。

第二章 导数与微分

一、填空题

1、已知2)3(='f ，则h

f h f h 2)

3()3(lim

0--→= 。

2、)0(f '存在，有0)0(=f ，则x

x f x )

(lim 0→= 。

3、π

ππ

1arctan ++=x y x ，则1='x y = 。

4、)(x f 二阶可导，)sin 1(x f y +=，则y '= ；y ''= 。

5、曲线x

e y =在点 处切线与连接曲线上两点),1(),1,0(e 的弦平行。 6、)]1ln[arctan(x y -=，则dy = 。

7、4

2

sin x y =，则

dx dy = ，2dx dy

= 。 8、若tx

x x t t f 2)11(lim )(+=∞→，则)(t f '= 。

9、曲线12

+=x y 于点_________处的切线斜率为2。

10、设x

xe y =，则_______)0(=''y 。

11、设函数)(x y y =由方程0)cos(=++xy e

y

x 确定，则

________=dx

dy

。 12、设???=+=t

y t x cos 12则________2

2=dx y

d 。 二、单项选择 1、设曲线x

y 1=

和2

x y =在它们交点处两切线的夹角为?，则?tan =（ ）。 （Ａ）1-； （Ｂ）1； （C ）2-； （Ｄ）3。

3、函数x k

e x

f tan )(=，且e f =')4

(π

，则=k （ ）。

（Ａ） 1； （Ｂ） 1-； （C ）

2

1

； （Ｄ）2。 4、已知)(x f 为可导的偶函数，且22)

1()1(lim 0-=-+→x

f x f x ，则曲线)(x f y =在)2,1(- 处切线的方程

是 。

（Ａ）64+=x y ；（Ｂ）24--=x y ；（C ）3+=x y ；（Ｄ）1+-=x y 。

5、设)(x f 可导，则x

x f x x f x ?-?+→?)()(lim 220= 。

（Ａ） 0； （Ｂ） )(2x f ； （C ） )(2x f '； （Ｄ）)()(2x f x f '?。

6、函数)(x f 有任意阶导数，且2)]([)(x f x f ='，则)()

(x f n = 。

（Ａ）1

)]

([+n x f n ；（Ｂ）1

)]

([!+n x f n ；（C ）1

)]

()[1(++n x f n ；（Ｄ）2

)]([)!1(x f n +。

7、若2

)(x x f =，则x

x f x x f x ?-?+→?)

()2(lim

000=（ ）

（Ａ）02x ； （Ｂ）0x ； （C ）04x ； （Ｄ）x 4。

8、设函数)(x f 在点0x 处存在)(0x f -'和)(0x f +'，则)()(00x f x f +-'='是导数)(0x f '存在的（ ）

（Ａ）必要非充分条件； （Ｂ）充分非必要条件；

（C ）充分必要条件； （Ｄ）既非充分又非必要条件。 9、设)99()2)(1()(---=x x x x x f 则=')0(f （ ）

（Ａ）99； （Ｂ）99- ； （C ）!99； （Ｄ）!99-。 10、若)(u f 可导，且)(2

x f y -=，则有=dy （ ）

（Ａ）dx x f x )(2-'；（Ｂ）dx x f x )(22

-'-；（C ）dx x f )(22

-'；（Ｄ）dx x f x )(22

-'。

11、设函数)(x f 连续，且0)0('>f ，则存在0>δ，使得（ ）

（A ）)(x f 在),0(δ内单调增加； （B ）)(x f 在)0,(δ-内单调减少； （C ）对任意的),0(δ∈x 有)0()(f x f >；（D ）对任意的)0,(δ-∈x 有)0()(f x f >。

12、设?????≤+>=00

1sin )(2

x b

ax x x

x x f 在0=x 处可导，则（ ） （A ）0,1==b a ； （B ）b a ,0=为任意常数；

（C ）0,0==b a ； （C ）b a ,1=为任意常数。 三、计算解答 1、计算下列各题

（1）x

e y 1

sin 2

=，求dy ； （2）???==3

ln t

y t x ，求122=t dx y

d ； （3）y y x =+arctan ，22dx

y d ； （4）x x y cos sin =，求)

50(y ；

（5）x

x

x y )1(+=，求y '；

（6）)2005()2)(1()(+++=x x x x x f ，求)0(f '；

（7）)()()(x a x x f ?-=，)(x ?在a x =处有连续的一阶导数，求)()(a f a f '''、；

（8）设)(x f 在1=x 处有连续的一阶导数，且2)1(='f ，求)1(cos lim 1-+→x f dx

d

x 。

2、试确定常数b a ,之值，使函数?

??<-≥+++=010

2)sin 1()(x e x a x b x f ax

处处可导。 3、证明曲线a y x =-2

2与b xy =（b a ,为常数）在交点处切线相互垂直。 4、一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升，其速率为140米/分，当此气球上升到500米空中时，问观察员视角的倾角增加率为多少。

5、若函数)(x f 对任意实数21,x x 有)()()(2121x f x f x x f =+，且1)0(='f ，证明)()(x f x f ='。

6、求曲线532

3

-+=x x y 上过点)3,1(--处的切线方程和法线方程。

第二章 导数与微分习题解答

一、填空题

1、1- 1)3(2

1

)21()3()3(lim 2)3()3(lim

00-='-=-?---=--→→f h f h f h f h f h h

2、)0(f ' )0(0

)

0()(lim )(lim 00f x f x f x x f x x '=--=→→

3、ππ+x ln 1

ln -+='ππππx y x ππ+='∴=x y x ln |1

4、x x f cos )sin 1(?+' ，x x f x x f sin )sin 1(cos )sin 1(2

?+'-?+''

x x f y cos )sin 1(?+'='，x x f x x f y sin )sin 1(cos )sin 1(2?+'-?+''=''

5、)1),1(ln(--e e 弦的斜率10

11

-=--=e e k

1)(-==='∴e e e y x x ?)1ln(-=e x ，当)1ln(-=e x 时，1-=e y 。

6、])1(1[)1arctan(2

x x dx

-+?-- )1()1(11

)1arctan(1)]1[arctan()1arctan(12

x d x x x d x dy --+?-=--=

]

)1(1[)1arctan(2

x x dx

-+?--= 7、432sin 4x x ，4

22sin 2x x 433442sin 44cos sin 2x x x x x dx

dy =??=

4

22

2sin 22x x xdx

dy dx dy == 8、t t te e 222+ t

tx x te x

t t f 22)11(lim )(=+=∞→ t t te e t f 222)(+='∴

9、)2,1( x y 2=' ，由220=x ?10=x ，2112

0=+=y

12+=∴x y 在点)2,1(处的切线斜率为2

10、 2 x x xe e y +=' ，x

x x xe e e y ++=''

2)0(00=+=''∴e e y

11、)

sin()sin(xy x e xy y e y x y x ---++ 方程两边对x 求导得 0)')(sin()'1(=+-++xy y xy y e y

x

解得 )

sin()

sin('xy x e xy y e y y x y x ---=++。

12、3

4cos sin t t

t t - 由参数式求导公式得t t x y dx dy t

t 2sin ''-==， 再对x 求导，由复合函数求导法得

3

2224cos sin 21sin cos 21'')'()'(t t

t t t t t t t x y y dx d dx y d t t x x

-=?--===。 二、选择题

1、 选（Ｄ） 由?????

==2

1x

y x y ?交点为)1,1( ，1|)1(11-='==x x k ， 2|)(12

2='=x x k

3|1||)tan(|tan 2

11212=+-=-=∴k k k

k ???

3、 选（Ｃ） x x k e x f k x

k

21tan

sec tan )(??='-

由e f =')4(π得 e k e =??2?2

1=k

4、 选（A ） 由x f x f x f x f x x 2)

1()1(lim

2)1()1(lim 00----=-+→→ 2)21()1()21()1()1(lim 0-=-?-'=-?-----=→f x f x f x ?4)1(=-'f ∴切线方程为：)1(42+=-x y 即 64+=x y

5、 选（Ｄ） )()(2])([)

()(lim

2220x f x f x f x

x f x x f x '?='=?-?+→? 6、 选（Ｂ） )(2)()(2})]({[)(3

2x f x f x f x f x f ='?='=''

)(32)()(32])(2[)(423x f x f x f x f x f ?='??='=''' 设)(!)(1)(x f n x f n n +=，则)()()!1()()

1(x f x f n x f

n n '?+=+)()!1(2x f n n ++= )(!)(1)(x f n x f n n +=∴

7、 选（Ｃ） )(22)

()2(2lim )()2(lim 0000000x f x x f x x f x x f x x f x x '=?-?+?=?-?+→?→?

又x x x f 2)()(2

='=' ，004)(2x x f ='∴

8、 选（Ｃ） )(x f 在0x 处可导的充分必要条件是)(x f 在0x 点的左导数)(0x f -'和右导数)(0x f +'都

存在且相等。 9、 选（Ｄ）

)99()3)(1()99()2()99()2)(1()(---+--+---='x x x x x x x x x x x f

)98()2)(1(---++x x x x

!99!99)1()990()20)(10()0(99-=?-=---='∴ f

另解：由定义，)99()2)(1(lim 0

)

0()(lim )0(00---=--='→→x x x x f x f f x x

!99!99)1(99-=?-=

10、 选（Ｂ） )(2)()(])([2

222x f x x f x f -'-='-?-'='-

dx x f x dy )(22-'-=∴

11、由导数定义知

0)

0()(lim

)0('0

>-=→x

f x f f x ，

再由极限的保号性知 ,0>?δ当),(δδ-∈x 时0)

0()(>-x

f x f ，

从而 当)),0()(0,(δδ∈-∈x x 时，)0(0)0()(><-f x f ，因此C 成立，应选C 。 12、由函数)(x f 在0=x 处可导，知函数在0=x 处连续

b b ax x f x

x x f x x x x =+===--++→→→→)(lim )(lim ,01

sin lim )(lim 00200，所以0=b 。 又a x

ax x f x f f x x x x f x f f x x x ==--===--=-+

+→-

→→+0)0()(lim )0(,01sin

lim 0)0()(lim )0(0200， 所以0=a 。应选C 。

三、计算解答 1、计算下列各题 （1）dx x x x e x d e

dy x

x

)1(1cos 1sin 2)1(sin 21

sin 2

1sin 22

-??==dx e x

x x

1

sin 222sin 1-=

（2） 32313t t

t dx

dy ==，3

222919t t t dx y d ==，9|122=∴=t dx y d

（3）两边对x 求导：y y y

'='?++2

11

1?12+='-y y )11

(2)1(2223233+-=+?-='?-=''---y

y y y y y y

（4）x x x y 2sin 2

1

cos sin ==

)2

2sin(2cos π

+

=='∴x x y )2

22sin(2)22cos(2π

π

?+=+

=''x x y 设)2

2sin(21)

(π

?+=-n x y n n

则)2

)1(2sin(2)22cos(2)

1(π

π++=?+=+n x n x y

n n n

x x y 2sin 2)2

502sin(24949)50(-=?+=∴π

（5）两边取对数：)]1ln([ln ln x x x y +-=

两边求导： x x

x x y y +-++-='?11)1ln(ln 1

]11)1ln([ln )1(x

x

x x x x y x +-++-+='∴

（6）利用定义：

!2005)2005()3)(2)(1(lim )

0()(lim

)0(00=++++=-='→→x x x x x

f x f f x x

（7）)()()()(x a x x x f ??'-+=' )()(a a f ?='∴

又a x a x a x x a x a f x f a f a x a x --'-+=-'-'=''→→)

()()()(lim

)()(lim )(??? )]()()([lim x a

x a x a x ???'+--=→)(2)()(a a a ???'='+'= [注：因)(x ?在a x =处是否二阶可导不知，故只能用定义求。]

（8）]1

21)1sin ()1(cos [lim )1(cos lim 11-?--?-'=-++

→→x x x f x f dx d x x 1

21

sin lim )1(cos lim 11---?-'=+

+→→x x x f x x 1)21()1(-=-?'=f

2、易知当0≠x 时，)(x f 均可导，要使)(x f 在0=x 处可导

则 )0()0(-+'='f f ， 且)(x f 在0=x 处连续。即)0()(lim )(lim 0

0f x f x f x x ==+-→→

而

020)(lim 2)(lim 00=++???

?

??=++=+-

→→b a x f a b x f x x 又 b x a b a x x f x f f x x =---+++=--='++

→→+2

2)sin 1(lim 0)0()(lim )0(00 a x ax

x e x a b e f x ax x ax x ==-=----='---→→→-000lim 1lim 21lim )0(

由??????-=-=?=++=1

1

02b a b a b a

3、证明：设交点坐标为),(00y x ，则a y x =-2

020 b y x =00

对a y x =-22两边求导：y

x y y y x =

'?='?-022 ∴曲线a y x =-22在),(00y x 处切线斜率0

10|y x y k x x =

'== 又由2x

b y x b y b y x -='?=

?= ∴曲线b xy =在),(00y x 处切线斜率20

20|x b

y k x x -

='== 又 1)(0

0200021-=-=-?=

y x b x b y x k k ∴两切线相互垂直。

4、设t 分钟后气球上升了x 米，则 500

tan x

=

α 两边对t 求导：25

75001405001sec 2

=

=?=?dt dx dt d αα αα2cos 257?=∴dt d 当500=x m 时， 4

π

α=

∴当500=x m 时，

507

21257=

?=dt d α（弧度/分） 5、证明：h x f h f x f h x f h x f x f h h )

0()()(lim

)()(lim )(00+-?=-+='→→ h f h f x f h f x f h f x f h h )

0()()

(lim )0()()()(lim 00-=?-?=→→ )()0()(x f f x f ='?=

6、解：由于x x y 632

+='，于是所求切线斜率为

3|63121-=+=-=x x x k ，

从而所求切线方程为)1(33+-=+x y ， 即 063=++y x

又法线斜率为 3

1

112=-=k k

所以所求法线方程为)1(3

1

3+=+x y ，即 083=+-x y

第三章 中值定理与导数应用

一、填空题

1、=→x x x ln lim 0

__________。

2、函数()x x x f cos 2-=在区间______________单调增。

3、函数()4

3

384x x x f -+=的极大值是____________。

4、曲线x x x y 362

4+-=在区间__________是凸的。

5、函数()x x f cos =在0=x 处的12+m 阶泰勒多项式是_________。

6、曲线x

xe y 3-=的拐点坐标是_________。

7、若()x f 在含0x 的()b a ,（其中b a <）内恒有二阶负的导数，且_______,则()0x f 是()x f 在()b a ,上的

最大值。

8、123

++=x x y 在()+∞∞-,内有__________个零点。

9、________)1

sin 1(

cot lim 0=-→x

x x x 。

10、_________)tan 1

1(lim 20=-→x

x x x 。

11、曲线2

x e y -=的上凸区间是___________。 12、函数1--=x e y x

的单调增区间是___________。 二、单项选择

1、函数)(x f 有连续二阶导数且,2)0(,1)0(,0)0(-=''='=f f f 则=-→2

)(lim x

x

x f x （ ） （Ａ）不存在 ； （Ｂ）0 ； （Ｃ）-1 ； （Ｄ）-2。

2、设),,(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f 则在)1,2

1(内曲线)(x f （ ）

（Ａ）单调增凹的； （Ｂ）单调减凹的； （Ｃ）单调增凸的； （Ｄ）单调减凸的。

3、)(x f 在),(b a 内连续，0)()(),,(000=''='∈x f x f b a x ，则)(x f 在0x x = 处（ ） （Ａ）取得极大值； （Ｂ）取得极小值；

（Ｃ）一定有拐点))(,(00x f x ； （Ｄ）可能取得极值，也可能有拐点。

4、设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，则Ⅰ：在),(b a 内0)(≡'x f 与Ⅱ：在),(b a 上)()(a f x f ≡之间关系是（ ）

（Ａ）Ⅰ是Ⅱ的充分但非必要条件； （Ｂ）Ⅰ是Ⅱ的必要但非充分条件；

（Ｃ）Ⅰ是Ⅱ的充分必要条件； （Ｄ）Ⅰ不是Ⅱ的充分条件，也不是必要条件。

5、设)(x f 、)(x g 在[]b a ,连续可导，0)()(≠x g x f ，且)()()()(x g x f x g x f '<'，则当b x a <<时，则有（ ）

（Ａ）)()()()(a g a f x g x f <； （Ｂ）)()()()(b g b f x g x f <；

（Ｃ）

)()()()(a g a f x g x f <； （Ｄ）)()

()()(a f a g x f x g >。 6、方程0133

=+-x x 在区间),(+∞-∞内（ ）

（Ａ）无实根； （Ｂ）有唯一实根； （Ｃ）有两个实根； （Ｄ）有三个实根。 7、已知)(x f 在0=x 的某个邻域内连续，且0)0(=f ，2cos 1)

(lim 0=-→x

x f x ，则在点0=x 处)(x f （ ）

（Ａ）不可导； （Ｂ）可导，且0)0('≠f ； （C ）取得极大值； （Ｄ）取得极小值。 ８、设)(x f 有二阶连续导数，且0)0('=f ，1|

|)

("lim

=→x x f x ，则（ ）

（Ａ）)0(f 是)(x f 的极大值； （Ｂ）)0(f 是)(x f 的极小值； （Ｃ）))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点； （Ｄ）)0(f 不是)(x f 的极值点。

9、设b a ,为方程0)(=x f 的二根，)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则)('x f 在),(b a 内（ ） （A ）只有一实根； （B ）至少有一实根； （C ）没有实根； （D ）至少有2个实根。 10、在区间]1,1[-上满足罗尔定理条件的函数是（ ）

（A ）2

1

)(x x f =

； （B ）||)(x x f =； （C ）21)(x x f -=； （D ）12)(2

--=x x x f 。

11、函数)(x f 在区间),(b a 内可导，则在),(b a 内0)('>x f 是函数)(x f 在),(b a 内单调增加的（ ）

（A ）必要但非充分条件； （B ）充分但非必要条件； （C ）充分必要条件； （C ）无关条件。 12、设)(x f y =是满足微分方程0'"sin =-+x

e

y y 的解，且0)('0=x f ，则)(x f 在（ ）

（A ）0x 的某个邻域单调增加； （B ）0x 的某个邻域单调减少； （Ｃ）0x 处取得极小值； （Ｄ）0x 处取得极大值。 三、计算解答 1、计算下列极限 (1)1

arccos lim 1

+-+

-→x x

x π ； (2)x

x

x ln cot ln lim 0

+

→； (3) )1ln(lim 2sin 0x x e e x x x +-→； (4) ??

?

???-+→)1ln(11lim 20x x x x ；

(5)30arctan lim x

x

x x -→ ； (6))tan(ln )tan(ln lim 0bx ax x +

→。 2、证明以下不等式

(1)、设e a b >>，证明a

b

b a >。 (2)、当2

0π

<

+。

3、已知x x y sin 3

=，利用泰勒公式求)0()6(y 。

4、试确定常数a 与n 的一组数，使得当0→x 时，n

ax 与33)1ln(x x +-为等价无穷小。 5、设)(x f 在[]b a ,上可导，试证存在)(b a <<ξξ，使

[])()(3)

()(1233

ξξξξf f b f a f a b a b '+=-。

6、作半径为r 的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时，其体积V 最小，并求出该体积最小值。

7、若)(x f 在]1,0[上有三阶导数，且0)1()0(==f f ，设)()(3

x f x x F =，试证：在)1,0( 内至少存在一个ξ，使0)('"=ξF 。

第三章 中值定理与导数应用习题解答

一、填空题

1、0 0)(lim 1

1

lim 1ln lim ln lim 02

000=-=-==→→→→x x

x x x

x x x x x x

2、),(+∞-∞ 0sin 2)(>+='x x f )(x f ∴在),(+∞-∞上单调增

3、20 )2(121224)(2

3

2

--=-='x x x x x f

令2,00)(21==?='x x x f

当2'x f ；当2>x 时，0)(<'x f

∴极大值为 20)2(=f

4、)1,1(- 31243+-='x x y ，)1)(1(1212122

-+=-=''x x x y

当1-''y .当)1,1(-∈x 时，0<''y ；当),1(+∞∈x 时，0>''y

∴曲线在)1,1(-上是凸的 5、m m

x m x x 242)!

2(1)

1(!41!211-+++- （见教材P13页，泰勒公式） 6、)3

2,32(2-e )31(3333x e xe e

y x x x

-=-='--- ，

)3

2

(9)69(3)31(33333-=-=---=''----x e x e e x e y x x x x

令320=?=''x y ，当32

>x 时0>''y

而当3

2=x 时，232-=e y ∴拐点为)32,32(2

-e

7、0)(0='x f , 0)(lim )()(lim

)("0

00000<-'=-'-'=→→x x x f x x x f x f x f x x x x 0)

(0<-'?x x x f 当0x x <时，)(,0)(0x f x f >'单调增加；当0x x >时，)(,0)(x f x f <'单调减少

8、1 0232

>+='x y ，y ∴在),(+∞-∞上单调增加

又-∞=-∞

→y x lim +∞=+∞→y x lim .∴在),(+∞-∞内有1个零点。

9、

6

1 原式613cos 1lim sin lim cos lim sin )sin (cos lim 2030020=-=-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x x x x 。 10、3

1

原式=31tan lim 3131sec lim tan lim tan tan lim 220220302

0==-=-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x x x x 。 11、)22,22(-

22])2(2[",2'2x x e x y xe y -----=-=令2

20"±=?=x y ，当)22

,22(-∈x 时，0"y ，上凹，故应填入)2

2

,22(-

。 12、),0(+∞ 函数1--=x e y x

的定义区间为),(+∞-∞，在定义区间内连续、可导，且1'-=x

e y ，因

为在),0(+∞内0'>y ，所以函数1--=x e y x

在),0(+∞上单调增加。 二、选择题 1、选（Ｃ） 12

)

(lim 21)(lim )(lim

0020

-=''=-'=-→→→x f x x f x x x f x x x

2、选（Ｂ） 当)1,21(∈x 时，0)(<'x f ，又0)41(414)(>-=-=''x x x f )1,2

1(∈x

)(x f ∴在)1,2

1

(上单调减且为凹的。

3、选（Ｄ） 3)(x x f =，则0)0(")0('==f f ，0=x 是3)(x x f =的拐点；设4

)(x x f =，则0)0(")0('==f f ，而0=x 是4)(x x f =的极值点。 4、选（Ｃ）由)(x f 在),(b a 内0)(≡'x f 的充分必要条件是在),(b a 内C x f ≡')(（C 为常数），又因为)(x f 在],[b a 内连续，所以)(a f C =，即在),(b a 上)()(a f x f ≡。 5、选（Ｃ）由0)()()()()()()()(<'-'?'<'x g x f x g x f x g x f x g x f

)()(0])()([x g x f x g x f ?<'?单调减少，),(b a x ∈

)

()()()(b f a f x g x f <∴. 6、选（Ｄ） 令13)(3+-=x x x f ，则)1)(1(333)(2

+-=-='x x x x f ；

当1-'x f ，)(x f 单调增加， 当)1,1(-∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 单调减少 当),1(+∞∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调增加. 而3)1(=-f ，1)1(-=f

-∞=-∞

→)(lim x f x ，+∞=+∞

→)(lim x f x

)(x f ∴在)1,(--∞上有一实根，在]1,1[-上有一实根，在),1(+∞上有一实根。 ７、选（Ｄ） 利用极限的保号性可以判定)(x f 的正负号：

0cos 1)

(02cos 1)(lim 0>-?>=-→x

x f x x f x （在0=x 的某空心邻域）

； 由0cos 1>-x ，有)0(0)(f x f =>，即)(x f 在0=x 取极小值。

8、选（Ｂ） 由极限的保号性：

0|

|)

("01||)("lim

0>?>=→x x f x x f x （在0=x 的某空心邻域）；由此0)(">x f （在0=x 的某空心邻域），

)('x f 单调增，又由0)0('=f ，)('x f 在0=x 由负变正，由极值第一充分条件，0=x 是)(x f 的极

小点 。

9、选（B ）由罗尔定理保证至少存在一点),(b a ∈ξ使0)('=ξf 。

10、选（C ），A 选项)(x f 在0=x 不连续，B 选项)(x f 在0=x 处不可导，D 选项)1()1(-≠f f 。 11、选（B ），如3

x y =在),(+∞-∞单增，但0)0('=f ，故非必要条件。 12、选（Ｃ），由0)('0=x f 有0)(')("00

sin 0sin 0>=-=x x e x y e x y ，所以)(x f 在0x 处取得极小值。

三、计算解答 1、计算极限 （1）解： 1

arccos lim 1

+-+

-→x x

x π

1

2111

arccos 21lim 2

1+-?

=+-→x x x x π

2111arccos 1lim 1=-?=+-→x x x (2)解： 1sin cos sin lim 1)

csc (cot 1

lim ln cot ln lim 2

0200-=??-=-?=+++→→→x

x x

x x

x x x x x x x 。

(3)解： 6

1

3cos 1lim sin lim )1(lim )1ln(lim 20303sin sin 02

sin 0=-=-=-=+-→→-→→x x x x x x e e x x e e x x x x x x x x x (4)解：2

1])1(21[lim 2111lim )1ln(lim )]1ln(11[lim 002020-=--=--

=-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x (5)解： 3

1)1(3lim 3111lim arctan lim 222022030=

+=+-=-→→→x x x x x x x x x x x 。 (6)解： b bx ax a ax bx b

bx bx a

ax ax bx ax x x x ????=????=+++→→→)(sec )tan()(sec )tan(lim )(sec )

tan(1)(sec )

tan(1

lim )tan(ln )tan(ln lim 2

202

200 22

0cos ()lim 1cos ()x bx bx a ax ax b

+→??==?? 2、(1)证明：b a a b b a a

b

ln ln >?>

令 x a a x x f ln ln )(-=，则)(x f 在],[b a 上连续

0ln )(>-

='x

a

a x f ],[

b a x ∈ )(x f ∴在],[b a 上单调增加，)()(a f b f >∴

得 0ln ln ln ln =->-a a a a b a a b ， 即a

b

b a >

(2)令x x x x f 3sin 2tan )(-+=在)2

,

0(π

∈x 时

03cos cos cos 133cos cos cos 13cos 2sec )(3222=-??≥-++=

-+='x x x

x x x x x x f

0)(>'∴x f ，)(x f ∴在(0,)2

π

上单调增，又00

lim ()lim(tan 2sin 3)0x x f x x x x +

+

→→=+-= 0(0,),()lim ()02

x x f x f x π

+

→∴?∈>=， 即x x x 3sin 2tan >+ 3、解： 麦克劳林公式)(!

)0(!2)0()0()0()()(2n n

n x o x n f x f x f f x f +++''+'+= 而)()!12()1(!5!3sin 2121

53m m m x o m x x x x x +--+-+-

=-- ++-==∴!5!3sin 8

64

3

x x x x x y

对比 6

x 的系数有：

120!

3!6)0(!31!6)0()6()6(-=-=?-=f f 4、解： 1)]1(3[lim 313lim )1ln(lim 36

02

3

210330=--=+--=+--→-→→x x an x x x anx x x ax n x n x n x 6=∴n ，2

113-=?=-a an 5、即证：

332()()

[3()()]b f b a f a f f b a ξξξξ-'=+- 令)()(3

x f x x F =，则)(x F 在],[b a 上满足拉格朗日定理的条件

),(b a ∈?∴ξ，使

)()

()(ξF a

b a F b F '=--

即

3323()()

3()()b f b a f a f f b a ξξξξ-'=+- 即 )]()(3[)

()(1

233ξξξξf f b f a f a b a b '+=-

6、解： 设圆锥的高为h ，底面圆半径为R ，则有比例关系

22

2r hr R R h r =?=

- r

h r h h R V 23131222-?==∴ππ )2(r h >

2222

22)2()42(31)2()2(231r h h r h hr r h r

h r h hr dh dV ---=---=ππ 令?=0dh

dV 唯一驻点r h 4= 所以，当r h 4=时，体积最小，此时3

223

8241631r r r r r V ππ=-??

= 7、解： 由题设可知)('"),("),('),(x F x F x F x F 在]1,0[上存在，又)1()0(F F =，由罗尔定理，

)1,0(1∈?ξ使0)('1=ξF ，又0|)](')(3[)0('03

2=+==x x f x x f x F ，可知)('x F 在],0[1ξ上满足罗尔定理，于是

),0(12ξξ∈?，使0)("2=ξF ，又0|)](")('6)(6[)0("032=++==x x f x x f x x xf F ，对)(''x F 在]

,0[2ξ上再次利用罗尔定理，故有)1,0(),0(),0(12??∈ξξξ，使得0)('"=ξF 。

第四章 不定积分

一、填空题

1、?dx x x =___________。

2、?x

x dx 2

=_____________。

3、?

+-dx x x )23(2=_____________。

4、?-dx x

x x

sin cos 2cos =___________。

5、

?+x dx

2cos 1=____________。 6、dt t

t ?sin =___________。

7、?xdx x sin =___________。

8、?

xdx arctan =__________。

9、=+?dx x

x 2

sin 12sin ____________。

10、?=''dx x f x )(____________。

11、?

=++dx x x 1

)3(1

________________。 12、

?=++__________522x x dx

。

二、单项选择

1、对于不定积分

()dx x f ?，下列等式中（ ）是正确的.

（A ）()()x f dx x f d =?； （B ） ()()x f dx x f ='?；

（C ） ()()x f x df =?； （D ） ()()x f dx x f dx d

=?

。

2、函数()x f 在()+∞∞-,上连续，则()[]dx x f d

?等于（ ）

（A ）()x f ； （B ）()dx x f ； （C ）()C x f + ； （D ）()dx x f '。 3、若()x F 和()x G 都是()x f 的原函数，则（ ） （A ）()()0=-x G x F ； （B ）()()0=+x G x F ； （C ）()()C x G x F =-(常数)； （D ）()()C x G x F =＋(常数)。 4、若

?

+='c x dx x f 33)(，则=)(x f （ ）

（A ）c x +35

56；（B ）c x +35

5

9；（C ）c x +3

；（D ）c x +。

5、设)(x f 的一个原函数为x x ln ，则=?dx x xf )(（ ）

（A ）c x x ++

)ln 4121(2

；（B ）c x x ++)ln 2

141(2； （C ）c x x +-)ln 2141(2；（D ）c x x +-)ln 4

121(2。 6、设c x dx x f +=?2

)(，则=-?dx x xf )1(2（ ）

（A ）c x +--2

2)1(2；（B ）c x +-2

2)1(2；