专题二 函数概念与基本初等函数 第五讲函数与方程
ln x，x>0，A．-
1
?
(?23,+∞)(?
334{3
A．(0，
2
4{3
专题二函数概念与基本初等函数Ⅰ
第五讲函数与方程
一、选择题
?e x，x≤0，
1．(2018全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=?g(x)=f(x)+x+a．若g(x)存在2个
?
零点，则a的取值范围是
A．[-1,0)B．[0,+∞)C．[-1,+∞)D．[1,+∞) 2．（2017新课标Ⅲ）已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点，则a=
11
B．C．D．1
232
3．（2017山东）已知当x∈[0,1]时，函数y=(mx-1)2的图象与y=
有一个交点，则正实数m的取值范围是
x+m的图象有且只A．
(0,1]?23,+∞)B．(0,1][3,+∞)
C．0,2??D．0,2??[3,+∞
)
?x2+(4a-3)x+3a,x<0,
4．(2016年天津)已知函数f(x)=?（a>0,且a≠1）在R上单
?log a(x+1)+1,x≥0
调递减，且关于x的方程|f(x)|=2-x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是
231212
]B．[，]C．[，]}D．[，）
33334} 5．（2015安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是
A．y=cos x B．y=sin x C．y=ln x D．y=x2+1 6．（2015福建）若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点，且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于
A．6B．7C．8D．9
7．（2015 天津）已知函数 f (x ) = ? 函数 g (x ) = b - f (2 - x ) ，其中
（0， ）
（ ，）
2 + ? 1 （
??2 - x , x ≤ 2 ??(x - 2)2 , x > 2
b ∈ R ，若函数 y = f (x )- g (x ) 恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是
7
7
7
7
A ． ( , +∞)
B ． (-∞, )
C ． (0, )
D ． ( , 2)
4
4 4 4
8．（2015 陕西）对二次函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c （ a 为非零整数），四位同学分别给出下列
结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是
A ．－1 是 f ( x ) 的零点
B ．1 是 f ( x ) 的极值点
C ．3 是 f ( x ) 的极值
D ．点 (2,8) 在曲线 y = f ( x ) 上
9．(2014 山东)已知函数 f (x )= x - 2 + 1 ， g (x )= kx ．若方程 f ( x ) = g ( x ) 有两个不相等
的实根，则实数 k 的取值范围是
11 2
2
A ．
B ． 1
C ．
（1，）
D ．（2， ∞）
10．（2014 北京）已知函数 f (x ) =
6
x
- log x ，在下列区间中，包含 f (x )零点的区间是
2
A ． (0,1)
B ． (1,2 )
C ． (2,4 )
D ． (4, +∞)
?
- 3, x ∈ (-1,0] 11．2014 重庆）已知函数 f ( x ) = ? x + 1 , 且 g ( x ) = f ( x ) - mx - m 在 (-1,1]
?? x , x ∈ (0,1]
内有且仅有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是
9 1
11 1
A ． (- ,-2] ? (0, ]
B ． (- ,-2] ? (0, ]
4 2 4 2 9 2
11 2
C ． (- ,-2] ? (0, ]
D ． (- ,-2] ? (0, ]
4 3
4 3
12．（2014 湖北）已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f ( x ) = x 2 - 3x ．则函数
g ( x ) = f ( x ) - x + 3 的零点的集合为
A ． {1, 3}
B ． { - 3, -1,1, 3}
C ． {2 - 7 ,1, 3}
D ． { - 2 - 7 , 1, 3}
13．（2013 安徽）已知函数 f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c 有两个极值点 x , x ，若
1
2
f ( x ) = x < x ，则关于 x 的方程 3( f ( x ))2 + 2af ( x ) + b = 0 的不同实根个数为
1 1
2
A．3B．4C．5D．6
1 （
20．(2011 天津)对实数 a 与 b ，定义新运算“ ? ”： a ? b = ??a , a - b ≤ 1, b , a
- b > 1. (-∞, -2] ? ? -1, 3 ?? (-∞, -2] ? ?
-1,- 3
??
C ． -∞, ? ? , +∞ ?
D ． -1,- ? ? ? , +∞ ?
3 ? ? 1
4 ? ? 4
14．（2013 重庆）若 a < b < c ，则函数 f (x ) = (x - a )(x - b )+ (x - b )(x - c )+ (x - c )(x - a )
的两个零点分别位于区间
A ． (a , b )和 (b , c )内
B ． (-∞, a ) 和 (a , b )内
C ． (b , c )和 (c , +∞) 内
D ． (-∞, a ) 和 (c , +∞) 内
15．(2013 湖南)函数 f (x ) = 2ln x 的图像与函数 g (x ) = x 2 - 4x + 5 的图象的交点个数为
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
16．（2013 天津）函数 f ( x ) = 2x | log
0.5
x | -1
的零点个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
1
17．（2012 北京）函数 f ( x ) = x 2 - ( ) x
的零点个数为
2
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
18．（2012 湖北）函数 f (x ) = x cos x 2 在区间 [0,4] 上的零点个数为
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
19． 2012 辽宁）设函数 f ( x ) (x ∈ R ) 满足 f (- x ) = f ( x ) ，f ( x ) = f (2 - x ) ，且当 x ∈[0,1]
时， f (x )=x 3．又函数 g (x )= x cos (π x ) ，则函数 h ( x ) = g ( x ) - f ( x ) 在 [-
的零点个数为
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
1 3
, ] 上 2 2
? 设函数
f ( x ) = (x 2 - 2 )? (x - x 2 ), x ∈ R . 若函数 y = f ( x ) - c 的图像与 x 轴恰有两个公共点，
则实数 c 的取值范围是
A ．
? 2 ?
B ．
? 4 ?
? 1 ? ? 1 ? ? ? ?
4 ? ? 4
?
?
?
21．（2011 福建）若关于 x 的方程 x 2 + mx + 1 = 0 有两个不相等的实数根，则实数m 的取值
范围是
27．2010浙江）设函数f(x)=4sin(2x+1)-x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的
6)在[0,π]的零点个数为________．
A．（-1,1）B．（-2,2）
C．（-∞，-2）∪（2，+∞）D．（-∞，-1）∪（1，+∞）
22．(2011全国新课标)函数y=
1
x-1的图像与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)的图像所有
交点的横坐标之和等于
A．2B．4C．6D．8
23．(2011山东)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)=x3-x，则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为A．6B．7C．8D．9
?x2+2x-3,x≤0
24．（2010年福建）函数f(x)=?，的零点个数为
?-2+ln x,x>0
A．0B．1C．2D．3
25．(2010天津)函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是
A．（-2，-1）B．（-1，0）C．（0，1）D．（1，2）
26．（2010广东）“m<1
4”是“一元二次方程
x2+x+m=0有实数解”的
A．充分非必要条件B．充分必要条件
C．必要非充分条件D．非充分非必要条件
．是
A．[-4,-2]B．[-2,0]C．[0,2]D．[2,4]
二、填空题
28．(2018全国卷Ⅲ)函数f(x)=cos(3x+
π
?x2+2ax+a,x≤0,
29．(2018天津)已知a>0，函数f(x)=?
?-x2+2ax-2a,x>0.
若关于x的方程f(x)=ax 恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是．
30．(2018江苏)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为．
? “
鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为 x ，y ，z ，则 ? ?? （ 35．（2015 湖北）函数 f ( x ) = 4cos 2
x
36．（2015 北京）设函数 f (x ) = ?
31．(2018 浙江)已知 λ ∈ R ，函数 f ( x ) = ? x - 4, x ≥ λ ? x 2 - 4 x + 3, x < λ
，当 λ = 2 时，不等式 f ( x ) < 0
的解集是_____．若函数 f ( x ) 恰有 2 个零点，则 λ 的取值范围是______．
32．(2018 浙江)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题： 今有鸡翁一，值钱五；
鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设
? x + y + z = 100
? 1
5x + 3 y + z = 100
3
，当 z = 81 时，x = ，
y = ．
? x 2 , x ∈ D 33．2017 江苏）设 f ( x ) 是定义在 R 且周期为 1 的函数，在区间[0,1) 上，f ( x ) = ?
? x , x ? D
其中集合 D = {x | x = n - 1
, n ∈ N *} ，则方程 f ( x ) - lg x = 0 的解的个数是
n
．
?| x |,
x ≤ m 34．(2016 年山东)已知函数 f ( x ) = ?
? x 2 - 2mx + 4m , x > m
其中 m > 0 ，若存在实数 b ，使
得关于 x 的方程 f ( x ) = b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_________.
π
cos( - x ) - 2sin x - | ln( x + 1)| 的零点个数为
．
2 2
??2x - a ? x < 1 ? ??4 (x - a )(x - 2a )? x ≥1.
①若 a = 1 ，则 f (x ) 的最小值为
；
②若 f (x ) 恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是
．
? x 3 , x ≤ a
37．（2015 湖南）已知函数 f ( x ) = ?
? x 2 , x > a
，若存在实数 b ，使函数 g ( x ) = f ( x ) - b 有
两个零点，则 a 的取值范围是
．
38．（2014 江苏）已知 f ( x ) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x ∈[0,3) 时，
f ( x ) =| x 2 - 2x + 1
| ．若函数 y = f ( x ) - a 在区间 [-3,4] 上有 10 个零点(互不相同)，则
2
实数 a 的取值范围是 ．
(x )= ??x 2 - 2, ? ,
? 2
?
39．（2014 福建）函数 f x ≤ 0 ? 2x - 6 + ln x , x > 0
的零点个数是_________．
40．（2014 天津）已知函数 f ( x ) =| x 2 + 3x | ， x ∈ R .若方程 f ( x ) - a | x - 1| = 0 恰有 4 个
互异的实数根，则实数 a 的取值范围为__________.
?a 2 - ab , a b ,
41．（2012 福建）对于实数 a 和 b ，定义运算“*”： a * b = ?
? b 2 - ab , a > b ,
设
f ( x ) = (2 x - 1)* ( x - 1) ，且关于 x 的方程为 f ( x ) = m （ m ∈R ）恰有三个互不相等的
实数根 x , x , x ，则 x x x 的取值范围是____________．
1 2 3 1 2 3
x ≥ 2 42．(2011 北京)已知函数 f ( x ) = ? x ，若关于 x 的方程 f ( x ) = k 有两个不同的
?( x - 1)3, x < 2
实根，则数 k 的取值范围是_______．
43．(2011 辽宁)已知函数 f ( x ) = e x - 2x + a 有零点，则 a 的取值范围是_____．
数学高考复习基本初等函数专题强化练习(附答案)
数学2019届高考复习基本初等函数专题强化练 习（附答案） 初等函数包括代数函数和超越函数，以下是基本初等函数专题强化练习，希望对考生复习数学有帮助。 1.(文)(2019江西文，4)已知函数f(x)=(aR)，若f[f(-1)]=1，则a=() A. -1 B.-2 C.1 D.2 [答案] A [解析] f(-1)=2-(-1)=2， f(f(-1))=f(2)=4a=1，a=. (理)(2019新课标理，5)设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)=() A.3 B.6 C.9 D.12 [答案] C [解析] 考查分段函数. 由已知得f(-2)=1+log24=3，又log2121，所以 f(log212)=2log212-1=2log26=6，故f(-2)+f(log212)=9，故选C. 2.(2019哈三中二模)幂函数f(x)的图象经过点(-2，-)，则满足f(x)=27的x的值是() A. B.
C. D. [答案] B [解析] 设f(x)=x，则-=(-2)，=-3， f(x)=x-3，由f(x)=27得，x-3=27，x=. 3.(文)已知命题p1：函数y=2x-2-x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2-x在R上为减函数.则在命题q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(p1)p2和q4：p1(p2)中，真命题是() A.q1，q3 B.q2，q3 C.q1，q4 D.q2，q4 [答案] C [解析] y=2x在R上是增函数，y=2-x在R上是减函数， y=2x-2-x在R上是增函数，所以p1：函数y=2x-2-x在R上为增函数为真命题，p2：函数y=2x+2-x在R上为减函数为假命题，故q1：p1p2为真命题，q2：p1p2是假命题，q3：(p1)p2为假命题，q4：p1(p2)是真命题.故真命题是q1、q4，故选C. [点拨] 1.由指数函数的性质首先判断命题p1、p2的真假是解题关键，再由真值表可判定命题q1、q2、q3、q4的真假. 2.考查指、对函数的单调性是这一部分高考命题的主要考查方式之一.常常是判断单调性;已知单调性讨论参数值或取 值范围;依据单调性比较数的大小等. (理)已知实数a、b，则2a2b是log2alog2b的()
考研---基本初等函数知识汇总-必看
一、三角公式总表 ⒈L 弧长=αR=n πR 180 S 扇=21L R=21R 2 α=3602R n ?π ⒉正弦定理： A a sin =B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） ⒊余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= ⒋S ⊿=21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin = R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) ⒌同角关系： ⑴商的关系：①θtg =x y = θ θ cos sin =θθsec sin ? ②θθθθθcsc cos sin cos ?== =y x ctg ③θθθtg r y ?==cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ?== =tg x r ⑤θθθctg r x ?== sin cos ⑥θθθθsec sin 1csc ?== =ctg y r ⑵倒数关系：1sec cos csc sin =?=?=?θθθθθθctg tg ⑶平方关系：1csc sec cos sin 222222=-=-=+θθθθθθctg tg ⑷)sin(cos sin 22?θθθ++=+b a b a （其中辅助角?与点（a,b ）在同一象限，且 a b tg = ?） ⒍函数y=++?)sin(?ωx A k 的图象及性质：（0,0>>A ω） 振幅A ，周期T= ω π 2, 频率f=T 1, 相位?ω+?x ，初相? ⒎五点作图法：令?ω+x 依次为ππ ππ 2,2 3,,2 0 求出x 与y ， 依点()y x ,作图 ⒏诱导公试
2021-2022年高考二轮复习专题限时集训第2讲《函数、基本初等函数的图
2021-2022年高考二轮复习专题限时集训第2讲《函数、基本初等函数的 图 (时间：10分钟＋25分钟) 1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－ |x | 2．若f (x )＝1 log 1 2 (2x ＋1)，则f (x )的定义域为( ) A.????－12，0 B.????－1 2，0 C.??? ?－1 2，＋∞ D ．(0，＋∞) 3．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图象可能是( ) 图2－1 4．函数f (x )＝? ???? －x ＋3a (x <0)， a x (x ≥0)(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B.???? 13，1 C.????0，13 D.??? ?0，23 1．已知函数f (x )＝????? e x (x <0)，ln x (x >0)， 则f ????f ????1e ＝( ) A.1e B ．e C ．－1 e D ．－e 2．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝2x －x ，则有( ) A ．f ????13 第二章：基本初等函数 第I 卷（选择题) 一、选择题５分一个 1.已知ｆ（ｘ）=a ｘ５ +bx 3+ｃx ＋１（a≠０),若f=ｍ，则f(﹣2０14）=( ) A ．﹣m ? B ．m ? Ｃ．０ D ．2﹣m 2.已知函数f （x ）＝lo ｇａ(6﹣ａx)在[0,2］上为减函数,则a 的取值范围是( ） A ．（０，１) B ．（1,3）?C ．（１,3]?D.［3，+∞） 3．已知有三个数ａ=( ）﹣ 2，b ＝4 ０．3 ,c ＝80.２ 5,则它们之间的大小关系是( ) A ．a 基本初等函数及图形 (1) 常值函数（也称常数函数） y =c （其中c 为常数） (2) 幂函数 μ x y =，μ是常数； (3) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ； (4) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞； 1. 当u 为正整数时，函数的定义域为区间) ,(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当 u>1时在原点处与X 轴相切。且u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于Y 轴对称； 2. 当u 为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。 3. 当u 为正有理数m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。函数的图形均经过原点和（1 ,1）. 如果m>n 图形于x 轴相切,如果m 正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 正切函数 x y tan =， 2π π+ ≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ， 余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ； 二次函数综合题训练题型集合 1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y+ =与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上. （1）求m的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说 明理由. 2、如图2，已知二次函数24 y ax x c =-+的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离 E B A C P 图1 O x y D x y O 3 －9 －1 －1 A B 图2 P B A C O x y Q 图3 3、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C. （1） 求这条抛物线的函数关系式. （2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S. ① 求S 与t 的函数关系式； ② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状； ③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由. 7、（07海南中考）如图7，直线43 4 +- =x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B . （1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒 2 3 个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C → A 的路线运动， 当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ?的面积为S . ①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； ②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = . C A M y B O x C A M y B O x C A M y B O x 一、简答题 1、设． （1）判断函数的奇偶性； （2）求函数的定义域和值域． 2、设函数 （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）求在区间的最大值和最小值． 3、已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数． (1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范围； (2)解关于x的方程f(x)＝|f′(x)|； (3)设函数g(x)＝，求g(x)在x∈[2,4]时的最小值． 4、经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝4＋，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝115－|t－15|. (1)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值(万元)． 5、某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是： P(x)＝x(x＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N*) (1)写出第x月的需求量f(x)的表达式； (2)若第x月的销售量g(x)＝ (单位：件)，每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)＝，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e6≈403) 6、已知函数f(x)＝x2－(1＋2a)x＋a ln x(a为常数)． (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程； (2)当a＞0时，讨论函数y＝f(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间． 7、某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%. (1)若建立函数y＝f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求，并分析函数y＝＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因； (2)若该公司采用模型函数y＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值． 8、已知函数图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若方程在内有两个不等实根,求的取值范围(其中为自然对数的底,); (Ⅲ)令,如果图象与轴交于,AB中点为,求 证:. 9、已知命题p：函数y＝log a(1－2x)在定义域上单调递增；命题q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x 恒成立．若p∨q是真命题，求实数a的取值范围． 五、基本初等函数及其性质和图形 1.幂函数 函数称为幂函数。如，， ，都是幂函数。没有统一的定义域，定义域由值确定。如 ,。但在内 总是有定义的，且都经过（1,1）点。当 时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。下面给出几个常用的幂函数： 的图形，如图1-1-2、图1-1-3。 图1-1-2 图1-1-3 2.指数函数 函数称为指数函数，定义域 ，值域；当时函数为单调增加 的；当时为单调减少的，曲线过点。高等 数学中常用的指数函数是时，即。以与 为例绘出图形，如图1-1-4。 图1-1-4 3.对数函数 函数称为对数函数，其定义域 ，值域。当时单调增加，当 时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面 内。与互为反函数。当时的对数 函数称为自然对数，当时，称为常用对数。以为例绘出图形，如图1-1-5。 图1-1-5 4.三角函数有 ，它们都是周期函 数。对三角函数作简要的叙述： （１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。图形为图1-1-6、图1-1-7。 图1-1-6正弦函数图形 图1-1-7余弦函数图形 （２）正切函数，定义域，值 域为。周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8 图1-1-8 （３）余切函数，定义域，值域为 ，周期。在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。 图1-1-9 （４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。 图1-1-10 （５）余割函数，定义域，值域为 ，为无界函数，周期在定义域为奇函 数，图形如图1-1-11。 专题三 基本初等函数 考点07：指数与指数函数（1—3题，8—10题，13,14题，17-19题） 考点08：对数与对数函数（4—7题，8—10题，15题，17题，20-22题） 考点09：二次函数与幂函数（11,12题，16题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1． 考点07 易 下列各式中成立的一项是( ) A. 7 1 77n n m m ??= ??? B. = ()34 x y =+ =2. 考点07 中难 函数1 1x y a -=+，（0a >且1a ≠）的图像必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ） A. ()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,4 3． 考点07 难 函数2 212x x y -??= ??? 的值域为( ) A. 1,2 ??+∞???? B. 1,2 ??-∞ ?? ? C. 10,2 ?? ?? ? D. [)0,2 4． 考点08 易 已知函数|lg |,010,()16,10.2 x x f x x x <≤?? =?-+>??若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的 取值范围是( ) A. (1,10) B. (5,6) C. (10,12) D. (20,24) 5．考点08 易 已知2log 0.3a =,0.12b =, 1.30.2c =,则,,a b c 的大小关系是( ) A. a b c << B.c a b << C. a c b << D. b c a << 6． 考点08中难 函数y = ） A ．(0,8] B ．(2,8]- C ．(2,8] D ．[8,)+∞ 7． 考点08中难 函数212 log (617)y x x =-+的值域是( ) A. R B. [8,)+∞ C. (,3)-∞- D. [)3,+∞ 8．考点07，考点08 易 函数()log (1)x a f x a x =++ (0a >且1a ≠)在[]0,1上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值为( ) A. 12 B. 14 一、一次函数与二次函数 （一）一次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质 ①.二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2x a =- 顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递 增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a =- 时，2max 4()4ac b f x a -=． 二、幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y x α =叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象 过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． 三、指数函数 （1）根式的概念：如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数 指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质 二次函数概念 学习要求 1．熟练掌握二次函数的有关概念． 2．熟练掌握二次函数y ＝ax 2的性质和图象． 综合、运用、诊断 一、填空题 1．抛物线y ＝ax 2的顶点是______，对称轴是______．当a ＞0时，抛物线的开口向______；当a ＜0时，抛物线的开口向______． 2．抛物线y ＝ax 2，｜a ｜越大则抛物线的开口就______，｜a ｜越小则抛物线的开口就______． 3．二次函数y ＝ax 2的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内． (1)y ＝2x 2如图( )；(2)22 1x y = 如图( )；(3)y ＝－x 2 如图( )； (4)231x y -=如图( )；(5)29 1 x y =如图( )；(6)291x y -=如图( )． 4．已知函数,2 3 2x y -=不画图象，回答下列各题． (1)开口方向______；(2)对称轴______；(3)顶点坐标______；(4)当x ≥0时，y 随x 的增大而______； (5)当x ______时，y ＝0；(6)当x ______时，函数y 的最______值是______． 5．在下列函数中①y ＝－2x 2；②y ＝－2x ＋1；③y ＝x ；④y ＝x 2，回答： (1)______的图象是直线，______的图象是抛物线． (2)函数______y 随着x 的增大而增大．函数______y 随着x 的增大而减小． (3)函数______的图象关于y 轴对称．函数______的图象关于原点对称． (4)函数______有最大值为______．函数______有最小值为______． 6．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数)．(1)若它是二次函数，则系数应满足条件______． (2)若它是一次函数，则系数应满足条件______．(3)若它是正比例函数，则系数应满足条件______． 7．已知函数y ＝(m 2－3m )1 22--m m x 的图象是抛物线，则函数的解析式为______，抛物线的顶点坐标为______， 对称轴方程为______，开口______． 9．已知函数y ＝m 2 22+-m m x ＋(m －2)x ． (1)若它是二次函数，则m ＝______，函数的解析式是______，其图象是一条______，位于第______象限． (2)若它是一次函数，则m ＝______，函数的解析式是______，其图象是一条______，位于第______象限． 9．已知函数y ＝m m m x +2，则当m ＝______时它的图象是抛物线；当m ＝______时，抛物线的开口向上；当m ＝______时抛物线的开口向下． 二、选择题 110．下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的是( ) A ．y ＝x (x ＋1) B ．xy ＝1 C ．y ＝2x 2－2(x ＋1)2 D ．132+=x y 11．在二次函数①y ＝3x 2；②223 4 ;32x y x y == ③中，图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表示应该为 A ．①＞②＞③ B ．①＞③＞② C ．②＞③＞① D ．②＞①＞③ 12．对于抛物线y ＝ax 2，下列说法中正确的是( ) A ．a 越大，抛物线开口越大 B ．a 越小，抛物线开口越大 C ．｜a ｜越大，抛物线开口越大 D ．｜a ｜越小，抛物线开口越大 13．下列说法中错误的是( ) A ．在函数y ＝－x 2中，当x ＝0时y 有最大值0 第1讲函数、基本初等函数的图象与性质 考情解读(1)高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．(2)函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一识图，二用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大． 1．函数的三要素 定义域、值域及对应关系 两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数． 2．函数的性质 (1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． (2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性． (3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|. 3．函数的图象 对于函数的图象要会作图、识图、用图． 作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质 (1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． (2)幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况. 热点一 函数的性质及应用 例1 (1)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________． (2)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈????0，1 2时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ??? ?－3 2＝________. 思维启迪 (1)利用数形结合，通过函数的性质解不等式；(2)利用f (x )的性质和x ∈[0，1 2]时的 解析式探求f (3)和f (－3 2)的值． 答案 (1)(－1,3) (2)－1 4 解析 (1)∵f (x )是偶函数， ∴图象关于y 轴对称． 又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减， 则f (x )的大致图象如图所示， 由f (x －1)>0，得－2 专题5 基本初等函数与函数应用 编写：邵永芝 一、知识梳理 1、如果一个实数x 满足 ，那么称x 为a 的n 次实数方根。 2、（1）n N +∈ 时，n = ，（2）n = ；当n 为正偶 = 。 3、分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：m n a = （0,1a m n N n +>∈>、，且）；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：m n a -= （0,1a m n N n +>∈>、，且） 4、有理数指数幂的运算性质：（1）r s a a = （2）()r s a = （3）()r ab = 5、指数函数的概念：一般地， 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为 ，值域为 。 6、对数的概念：如果a (0,1)a a >≠的b 次幂等于N ，即 ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做 ，N 叫做 。 7、对数与指数的关系：若0,1a a >≠，则x a =N ?log a N = 。 对数恒等式：log a N a = ；log N a a = 。 (0,1)a a >≠ 8、对数的运算性质：如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么； （1）log a (M ·N )＝ （2）log a M N ＝ （3）log a M n ＝ 9、换底公式：log a N ＝log log b b N a (a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0)． 10、．对数函数的定义：一般地，我们把 叫做对数函数，自变量是x ；函数的定义域是(0，＋∞)．值域：R ． 11、幂函数的定义：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中底数x 是变量，指数α是常数． 12、幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)： （1）定点：α＞0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点；α≤0时，图象过只过定点(1，1)． （2）单调性：α＞0时，在区间[0，＋∞)上是单调递增；α＜0时，在区间(0，＋∞)上是单调递减． 1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数 1函数（μ是常数）叫做幂函数。 2幂函数的定义域，要看μ是什么数而定。 但不论μ取什么值，幂函数在(0,+ ∞ )内总有定义。 3最常见的幂函数图象如下图所示：[如图] 4 2 -551015 -2 -4 -6 4①α＞0时，图像都过（0,0）、（1,1 注意α＞1与0<α＜1的图像与性质的区别. ②α＜0时，图像都过（1,1）点，在区间（0 上无限接近y轴，向右无限接近x轴. ③当x>1时，指数大的图像在上方. 1.1.2 指数函数与对数函数 1．指数函数 1函数 （a 是常数且a>0,a ≠ 1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞ )。 2因为对于任何实数值x ，总有，又，所以指数函数的图形，总在x 轴的上方， 且通过点(0,1)。 若a>1，指数函数是单调增加的。若0 2．对数函数 由此可知，今后常用关系式，如： 指数函数的反函数，记作（a是常数且a>0，≠ a1），叫做对数函数。它的定义域是区间(0,+∞ )。 对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1-22）。 的图形总在y轴上方，且通过点(1,0)。 若a>1，对数函数是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负，而在区间(1,+∞ )内函数值为正。 若0 专题二 基本初等函数、导数及其应用 1.(2012·高考北京卷) 某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 2.(2012·高考天津卷)已知a ＝21.2 ，b ＝? ?? ??12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c 六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）； α 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)( 一、一次函数 二、二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质 图像 定义域() , -∞+∞ 对称轴 2 b x a =- 顶点坐标 2 4 , 24 b a c b a a ?? - - ? ?? 值域 2 4 , 4 ac b a ?? - +∞ ? ?? 2 4 , 4 ac b a ?? - -∞ ? ??单调区间 , 2 b a ?? -∞- ? ?? 递减 , 2 b a ?? -+∞ ? ?? 递增 , 2 b a ?? -∞- ? ?? 递增 , 2 b a ?? -+∞ ? ?? 递减 ①.二次函数2 ()(0) f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为 , 2 b x a =-顶点坐标是 2 4 (,) 24 b a c b a a - - ②当0 a>时，抛物线开口向上，函数在(,] 2 b a -∞-上递减，在[,) 2 b a -+∞上递增， 当 2 b x a =-时， 2 min 4 () 4 ac b f x a - =；当0 a<时，抛物线开口向下，函数在(,] 2 b a -∞- 上递增，在[,) 2 b a -+∞上递减，当 2 b x a =-时， 2 max 4 () 4 ac b f x a - =． 三、幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y xα =叫做幂函数，其中x为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象 讲义三 基本初等函数 知识点1、指数函数及其性质 1．指数函数的概念 函数□09y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数． 说明：形如y ＝kax ，y ＝ax ＋k(k ∈R 且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数． 2．指数函数的图象和性质 1．(n a )n ＝a (n ∈N *且n >1)． 2.n a n ＝????? a ，n 为奇数且n >1，|a |＝??? a ，a ≥0，－a ，a ＜0， n 为偶数且n >1. 3．底数对函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的函数值的影响如图(a 1>a 2>a 3>a 4)，不论是a >1，还是00，且a ≠1时，函数y ＝a x 与函数y ＝? ???? 1a x 的图象关于y 轴对称． 考点一 指数函数的图象及应用 例1 (1)(2019·山西模拟)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．00 D ．00且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________． 变式训练1.函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( ) 5．若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 考点二 指数函数的性质及其应用 角度1 比较指数幂的大小 例2 (1)(2019·南昌模拟)下列不等关系正确的是( ) A ．3 －2 3 <3－4<32 B ．32y >1，则下列各式中正确的是( ) A ．x a 高一基本初等函数测试题
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