专题二:函数与基本初等函数(知识点梳理)
二次函数知识点大全
二次函数知识点归纳及提高训练 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =)(0≠a 的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴.(2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点;②当0a 时,开口向上;当0a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧; ③0c ,与y 轴交于正半轴;③0 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N * . ◆ 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。 当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m , )1,,,0(1 1* >∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3) s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:(1)在[a ,b]上, )1a 0 a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [; (2)若0x ≠,则1)x (f ≠;)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈; (3)对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为.底.N 的对数,记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log —对数式) 说明:○1 注意底数的限制0>a ,且1≠a ; ○ 2 x N N a a x =?=log ; ○ 3 注意对数的书写格式. 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln . ◆ 指数式与对数式的互化 幂值 真数 = b 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: o o 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2y ax c =+的性质: 结论:上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. 总结: 3. ()2 y a x h =-的性质: 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 总结: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 二次函数知识点整理: 1.二次函数的图象特征与a ,b ,c 及判别式ac b 42-的符号之间的关系 (1)字母a 决定抛物线的形状. 即开口方向和开口大小;决定二次函数有最大值或最小值. a >0时开口向上,函数有最小值; a <0时开口向下,函数有最大值; a 相同,抛物线形状相同,可通过平移、对称相互得到; a 越大,开口越小. (2)字母b 、a 的符号一起决定抛物线对称轴的位置. ab=0 (a ≠0,b=0), 对称轴为y 轴; ab >0(a 与b 同号),对称轴在y 轴左侧; ab <0(a 与b 异号),对称轴在y 轴右侧. (3)字母c 决定抛物线与y 轴交点的位置. c=0, 抛物线经过原点; c >0,抛物线与y 轴正半轴相交; c <0,抛物线与y 轴负半轴相交. (4)ac b 42-决定抛物线与x 轴交点的个数. ac b 42-=0,抛物线与x 轴有唯一交点(顶点); ac b 42->0抛物线与x 轴有两个不同的交点; ac b 42-<0抛物线与x 轴无交点. 2.任意抛物线()k h x a y +-=2 都可以由抛物线2ax y =经过平移得到,具体平移方法如 下: 【注意】 二次函数图象间的平移,可看作是顶点间的平移,因此只要掌握了顶点是如何平移的,就掌握了二次函数间的平移. 二次函数图象间对称变换也是同样的道理. 3.用待定系数法求二次函数的解析式 确定二次函数的解析式一般需要三个独立条件,根据不同条件选不同的设法 (1)设一般式:c bx ax y ++=2 (a ,b ,c 为常数、a ≠0) 若已知条件是图象上的三点,将已知条件代入所设一般式,求出a,b,c 的值 (2)设顶点式:()k h x a y +-=2 (a,h,k 为常数,a ≠0) 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值),将已知条件代入所设顶点式,求出待定系数,最后将解析式化为一般形式. (3)设两点式:()()21x x x x a y --=(a ≠0,a 、1x 、2x 为常数) 若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为()()0,0,21x x ,将第三点(m,n ) 的坐标(其中m ,n 为已知数)或其他已知条件代入所设交点式,求出待定系数a ,最后将解析式化为一般形式. 4. 二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)与一元二次方程02=++c bx ax 的关系 (1)二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)中,当y=0时,就变成了一元二次方程02=++c bx ax (2)一元二次方程02=++c bx ax 的根就是二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交点的横坐标. (3)二次函数的图象与x 轴交点的个数与一元二次方程根的个数一致. (4)在它俩的关系中,判别式△=ac b 42-起着重要作用. 二次函数的图象与x 轴有两个交点?对应方程的△>0 二次函数的图象与x 轴有一个交点?对应方程的△=0 二次函数的图象与x 轴无交点 ?对应方程的△<0 5.二次函数应用 包括两方面 (1)用二次函数表示实际问题中变量之间的关系; (2)用二次函数解决最大化问题即最值问题. n a n a n ? (1)根式的概念 高一必修一函数知识点(12.1) 〖1.1〗指数函数 ① 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数. ②当 n 为奇数时, a 为任意实数;当 n 为偶数时, a ≥ 0 . ?a (a ≥ 0) ③根式的性质: ( n a )n = a ;当 n 为奇数时, = a ;当 n 为偶数时, =| a |= ?-a . (a < 0) (2) 分数指数幂的概念 m ①正数的正分数指数幂的意义是: a n = (a > 0, m , n ∈ N + , 且 n > 1) .0 的正分数指数幂等于 0. a - m = ( )1 m ( ) 1(a > 0, m , n ∈ N , n > 1) ②正数的负分数指数幂的意义是: n n = n m + 且 .0 的负分数指数幂没有意 a a 义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3) 分数指数幂的运算性质 ① a r ? a s = a r +s (a > 0, r , s ∈ R ) ② (a r )s = a rs (a > 0, r , s ∈ R ) ③ (ab )r = a r b r (a > 0, b > 0, r ∈ R ) (4) 指数函数 函数名称 指数函数 定义 函数 y = a (a > 0 且 a ≠ 1)叫做指数函数 a > 1 0 < a < 1 图象 y 1 y O y a x (0,1) x y a x y 1 O y (0,1) x 定义域 R 值域 (0,+∞) 过定点 图象过定点(0,1),即当 x=0 时,y=1. 奇偶性 非奇非偶 单调性 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 函数值的变化情况 y >1(x >0), y=1(x=0), 0<y <1(x <0) y >1(x <0), y=1(x=0), 0<y <1(x >0) a 变化对 图象的影响 在第一象限内, a 越大图象越高,越靠近 y 轴; 在第二象限内, a 越大图象越低,越靠近 x 轴. 在第一象限内, a 越小图象越高,越靠近 y 轴; 在第二象限内, a 越小图象越低,越靠近 x 轴. 例:比较 n a n n a m 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇 数时,a 的n n 是偶数时,正数a 的正的n 表示,负的n 次方根用符号0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根. n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥. ③根式的性质:n a =;当n 为奇数时, a =;当n 为偶数时, (0) || (0) a a a a a ≥?==? -. (2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分 数指数幂等于0. ②正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 【2.1.2】指数函数及其性质(4)指数函数 〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 (1)对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫 做底数,N 叫做真数. ②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>. (2)几个重要的对数恒等式:log 10a =,log 1a a =,log b a a b =. (3)常用对数与自然对数 常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…). (4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么 ①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a a M M N N -= ③数乘:log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 二次函数知识点总结及典型题目 一.定义: 一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线,所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ;抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界,一半图象上坡,另一半图象下坡;其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过(0,c )点. 二.二次函数2ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0基本初等函数I知识点总结
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