解析几何七种常规题型及方法

解析几何七种常规题型及方法

常规题型及解题的技巧方法 A:常规题型方面

一、一般弦长计算问题：

例1、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为22，且6

3

e =，

过椭圆C 的右焦点且斜率为3的直线2l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度.

思路分析：把直线2l 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解. 解析：⑴由1l 被椭圆C 截得的弦长为22，得228a b +=，………①

又6

3

e =，即2223c a =，所以223a b =………………………….②

联立①②得2

2

6,2a b ==，所以所求的椭圆的方程为22

162

x y +

=. ⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l 的方程为：()32y x =-， 代入椭圆C 的方程，化简得，251860x x -+= 由韦达定理知，1212186

,55

x x x x +== 从而()

2

12121226

45

x x x x x x -=

+-=

， 由弦长公式，得()

2

2

122646

11355

AB k x x =+-=+

?

=

， 即弦AB 的长度为

46

5

点评：本题抓住1l 的特点简便地得出方程①，再根据e 得方程②，从而求得待定系数22,a b ，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。

二、中点弦长问题：

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

典型例题 给定双曲线x y 2

2

2

1-=。

过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1

2

1221-=，x y 22

22

2

1-=。

两式相减得

()()()()x x x x y y y y 121212121

2

0+--+-=。

又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y

y y x x -

--=·。 又k y y x x y x =

--=

--12121

2

， 代入得24022x y x y --+=。

当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是24022x y x y --+=

说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。

例2、过点()4,1P 作抛物线28y x =的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 的所在直线方程及弦AB 的长度。 思路分析：因为所求弦通过定点P ，所以弦AB 所在直线方程关键是求出斜率k ，有P 是弦的中点，

所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长. 解法1：设以P 为中点的弦AB 端点坐标为()()1122,,,A x y B x y ，

则有22

11228,8y x y x ==，两式相减，得()()()1212128y y y y x x -+=-

又12128,2x x y y +=+= 则21

21

4y y k x x -=

=-，所以所求直线AB 的方程为()144y x -=-，即4150x y --=. 解法2：设AB 所在的直线方程为()41y k x =-+

由()241

8y k x y x

?=-+??=??，整理得283280ky y k --+=.

设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得128

y y k

+=

，

又∵P 是AB 的中点，∴

1212y y +=，∴8

24k k

=?= 所以所求直线AB 的方程为4150x y --=.

由24150

8x y y x --=??=? 整理得，22300y y --=，则12122,30y y y y +==- 有弦长公式得，()

222

11121212527

1142

k k AB y y y y y y =+-=+?

+-=

. 点评：解决弦的中点有两种常用方法，一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件；二是利用端点

在曲线上，坐标满足方程，作差构造中点坐标和斜率的关系求解，然后可套用弦长公式求解弦长. 三、焦点弦长问题： 例3、（同例1、⑵） 另解：⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l 的方程为： ()32y x =-，

代入椭圆C 的方程()

223216

2y x x y ?=-?

?+=??，化简得，251860x x -+=

由韦达定理知，1212186,55

x x x x +=

= 由2l 过右焦点，有焦半径公式的弦长为()1246

25

AB a e x x =-+=

. 即弦AB 的长度为

465

点评：在解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，通常应用韦达定理与弦长公式，若涉及到焦点弦长问题，

则可利用焦半径公式求解，可大大简化运算过程.

弦长问题在高考题及模拟题中经常出现，从理论上讲，利用弦长公式

a k x x k AB /1||1||2212?+=-+=就能解决问题。但实际中，除个别简单题（本文从略）外，直接利用弦长公式会使问题变得非常繁琐。本文试图对此进行系统的总结，给出不同类型题目的解决策略。

一、两线段相等

类型I 有相同端点的不共线线段 例1、（2204，北京西城区二模） 已知定点)4,2(--A ，过点A 做倾斜角为?45的直线L ，交抛物线)0(22>=p px y 于A 、B 两点，

且||||||AC BC AB 、、

成等比数列 （1）求抛物线方程；

（2）问（1）中抛物线上是否存在D ，使得||||DC DB =成立？若存在，求出D 的坐标。

策略分析：由于D 、B 、C 三点不共线，要使得||||DC DB =成立，只需取BC 中点P ，满足BC DP ⊥。 由于这种类型题目的常见性与基础性，我们再举一个例子作为练习： 例2、（2005，孝感二模）

已知)2()2(),,1(),0,(b a b a y b x a

-⊥+== （1）求点P(x,y)的轨迹方程C ；

（2）若直线L ：b kx y +=（0≠k ）与曲线C 交与AB 两点，D(0,－1)，且有||||BD AD =，试求b 的取值范围。

类型II 共线线段

例3、直线L 与x 轴不垂直，与抛物线22+=x y 交于AB 两点，与椭圆2222=+y x 交于CD 两点，与x 轴交于点M )0,(0x ，且||||BD AC =，求0x 的取值范围。

策略分析：不妨设A ),(11y x 在B ),(22y x 下方，C ),(33y x 在D ),(44y x 下方，由于ABCD 共线，要使

||||BD AC =,只需4213x x x x -=-，即4321x x x x ==+，结合韦达定理可得结果。

二、三线段相等 类型I 正三角形 例 4、（2003，北京春招）

已知动圆过定点P(1,0)且与定直线L ：x=－1相切，点C 在L 上 （1）求动圆圆心的轨迹M 的方程；

（2）设过点P 且斜率为3-的直线与曲线M 相交于AB 两点

①问三角形ABC 能否为正三角形？若能，求点C 坐标；若不能，说明理由；

②问三角形ABC 能否为钝角三角形？若能，求点C 纵坐标的取值范围；若不能，说明理由。

策略分析：对于本题涉及的正三角形问题，其突出特点是，落在直线上的两个顶点实际是已知的。所以，只需设C （－1，y ），根据||||AB BC =和||||AB AC =分别列方程求y 值，判断两个y 值是否相等。 例5、（2005，学海大联考六）

如图，在直角坐标系中，点A(-1,0)、B(1,0)、P(x,y))0(≠y ，设BP OP AP ,,，与x 轴正方向的夹角分别为αβγ，且πγβα=++ (1)求点P 的轨迹G 的方程；

(2)设过点C )1,0(-的直线L 与轨迹G 交于 不同的两点MN ，问在x 轴上是否存在一点 E )0,(0x 使MNE ?为正三角形？

策略分析：设直线L ：y=kx-1，由韦达定理求出MN 中点F 的坐标，再根据1-=?MN EF k k ，求出

)0,34(

2

k k E --；利用弦长公式求出｜MN ｜，再根据||||2

3

EF MN =解得3±=k 。注意代入?验证。 类型II 共线线段 例6、（2004，广东高考卷）

设直线λ与椭圆

116

252

2=+y x 相交于AB 两点，λ又与双曲线122=-y x 相交于CD 两点，CD 三等分线段AB ，求λ的方程。

策略分析：实质是||||||DB CD AC ==。当λ与x 轴垂直时，λ方程为241

25±

=x ；当λ与x 轴不垂直

时，先由||||DB AC =，利用例3的方法，求得0=k 或0=b ，然后分类讨论求出ABCD 的横坐标，利用CD AB 3=，得出1316±

=b 和25

16±=k 。 三、线段成比例

类型I 两个已知点一个未知点 例7、（2005，黄冈调研）

已知椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a b x a x ，双曲线122

22=-b

x a x 的两条渐近线为21,L L ，过椭圆的

右焦点F 做直线L ，使1L L ⊥，又L 与2L 交于点P 。设L 与椭圆的两个交点由上到下依次为AB ， （1）当21L L 与夹角为?60，双曲线的焦距为4时，求椭圆C 的方程； （2）当AP FA λ=时，求λ的最大值。

策略分析：F 点和P 点的坐标皆可求，根据定比分点公式，求出A 点坐标，代入椭圆方程即可。

类型II 一个已知点两个未知点 例8、(2004，全国卷)

设双曲线C ：1222

=-y a

x （a>0）与直线L ：1=+y x 相交于两个不同的点AB

（1）求双曲线的离心率e 的取值范围；

（2）设直线L 与y 轴的交点为P ，且PB PA 12

5

=，求a 值。 策略分析：设A ),(11y x 、B ),(22y x 、)1,0(P ，由PB PA 125

=

知2112

5x x =，于是，22

112

17

x x x =

+，2

22112

5x x x =

，前式平方除以后式消掉2x ，结合韦达定理即可求出a 。 注：更一般的，若某直线与圆锥曲线交点AB ，且

PB PA λ=，其中，),(00y x P ，则

)()(0201x x x x -=-λ，可以算出)()(0201x x x x -+-和))((0201x x x x --，利用例8思想求解；或者，

使用以下技巧2

210212

2102122101020201)()(22)(1

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-++--+=--+--=+λλ，结合韦达定理。

（2）焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b

222

21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，

∠=PF F 21β。

（1）求证离心率β

αβαsin sin )

sin(++=

e ；

（2）求|||PF PF 1323+的最值。

分析：（1）设||PF r 11=，|PF r 22=，由正弦定理得

r r c

122sin sin sin()

αβαβ==

+。 得

r r c

122++=

+sin sin sin()

αβαβ， β

αβαs i n s i n )s i n (++==

a c e （2）2233362)()(x ae a ex a ex a +=-++。 当0=x 时，最小值是23a ； 当a x ±=时，最大值是26323a e a +。

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法 【高考会这样考】

1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想．

2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用．

基础梳理

1．直线与圆锥曲线的位置关系

判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程． 即???

Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，

消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0?直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线C 相切；Δ＜0?直线与圆锥曲线C 无公共点．

(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行．

??

?

???

???????繁琐）利用两点间距离公式（易）利用一般弦长公式（容弦长问题直线与圆锥曲线相交的系）直线与圆锥曲线位置关代数角度（适用于所有位置关系主要适用于直线与圆的

几何角度关系直线与圆锥曲线的位置

直线与圆锥曲线)(.1 2.直线与圆锥曲线的位置关系：

⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。 ⑵.从代数角度看：设直线L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到02=++c bx ax 。 ①.若a =0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L 与双曲线的渐进线平行或重合；

当圆锥曲线是抛物线时，直线L 与抛物线的对称轴平行或重合。 ②.若0≠a ，设ac b 42-=?。a .0>?时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。

b.0=?时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。

c.0

双基自测

1．(人教A 版教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2

4＝1的位置关系为( )． A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定

解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，而点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交． 答案 A 2．(2012·泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析 与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点． 答案 A

3．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )．

A ．3 2

B ．2 6

C ．27

D ．4 2

解析 根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2

b 2＝1(b ＞0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4(b 2＋1)y 2

＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2

＋1)·(－b 4＋12b 2)＝0，即(b 2＋4)(b 2－3)＝0，∴b 2

＝3， 长轴长为2b 2＋4＝27. 答案 C

4．(2012·成都月考)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )． A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 2

4＝1

解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知

c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，

y 2)，则有：?????

x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22

b 2＝1，

两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0

－12－3＝

1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2

＝5，所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1. 答案 B 5．(2011·泉州模拟)y ＝kx ＋2与y 2＝8x 有且仅有一个公共点，则k 的取值为________．

解析 由???

y ＝kx ＋2，

y 2＝8x ，

得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2；若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解

得k ＝1.故k ＝0或k ＝1. 答案 0或1

考向一 直线与圆锥曲线的位置关系

【例1】?(2011·合肥模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )． A.??????－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]

[审题视点] 设直线l 的方程，将其与抛物线方程联立，利用Δ≥0解得．

解析 由题意得Q (－2,0)．设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0，∴当k ＝0时，直线l 与抛物线恒有一个交点；当k ≠0时，Δ＝16(k 2－2)2－16k 4≥0，即k 2≤1，∴－1≤k ≤1，且k ≠0，综上－1≤k ≤1. 答案 C

研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程

组解的个数，但对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．

【训练1】 若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2

＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )．

A ．至多为1

B ．2

C ．1

D ．0

解析 由题意知：4m 2＋n 2

＞2，即m 2＋n 2

＜2， ∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 2

4＝1的内部，故所求交点个数是2个． 答案 B

典型例题 抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。y p x p x y t x 210=+>+=()()

（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点

（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。 （1）证明：抛物线的准线为114

：x p =--

由直线x+y=t 与x 轴的交点（t ，0）在准线右边，得 t p t p >--++>14

440，而 由消去得x y t y p x y +==+??

?2

1()

x t p x t p 2220-++-=()()

?=+--()()2422t p t p =++>p t p ()440 故直线与抛物线总有两个交点。

（2）解：设点A(x 1，y 1)，点B(x 2，y 2) ∴+=+=-x x t p x x t p 121222， 1-=?∴⊥OB OA k k OB OA Q 则x x y y 12120+= 又y y t x t x 1212=--()() ∴+=-+=x x y y t t p 1212220()

∴==+p f t t t ()22

又，得函数的定义域是p t p f t >++>0440() ()()-?+∞200，，

（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题

圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。

<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。

解决最值的方法：一是代数法，建立目标函数，转化为函数的最值问题，注意到自变量的范围；二是几何法，考虑某些量的几何特征及意义，利用图形性质求解。

例3 求椭圆22

11612

x y +

=上的点P 到直线L ：x －2y －12=0的最大距离和最小距离。 方法1：（求切点）设与L 平行的直线与椭圆相切于点P(x 0，y 0)，由椭圆方程223448x y +=得此切线方程003448x x y y +=，∵12k =

，∴0031

42

x y -=，即00320x y +=（1），又22003448x y +=（2），解(1)(2)得切点的坐标为P 1（－2，3）P 2（2，－3）。设点P 到直线L 的距离为d ，由点到直线的距离公

式，得max 45d =，min 4

55

d =

。 方法2：（判别式法）设与L 平行的椭圆的切线方程为x －2y+m=0，代入椭圆方程，消去x 得

2216123480y my m -+-=，由△=22(12)416(348)0m m --??-= 得264m =，8m =±。

当m=8时，切线方程x －2y+8=0，此时123216

m

y =

=?，切点为P 1（－2，3）； 当m=－8时，切线方程x －2y －8=0，此时123216

m

y =

=-?，切点为P 2（2，－3）设点P 到直线L 的距离为d ，由点到直线的距离公式，得max 45d =，min 4

55

d =。 方法3：（参数法）设椭圆上任意一点P(4cos θ，23sin θ)，它到直线L 的距离为

|4cos 43sin 12|853

|sin()|5625

d θθπθ--=

=--，∴当sin()16πθ-=-时，max 45d =；

当s i n ()16

π

θ-=

时，min 4

55

d =

。 点评：方法1、方法2可以求出椭圆上的最远点和最近点的坐标，方法3利用椭圆的参数方程，建立目标函数，简洁明了，但求切点的坐标较复杂。

例4 已知定点A(0，3)点B 、C 分别在椭圆2216413x y +=的准线上运动，当∠BAC=90°时，求△ABC 面积的最大值。

解：椭圆2216

413

x y +=的两条准线方程分别为：y=1或y=－1。

点B 在直线y=1上且设B （a ，1），点C 在直线y=－1上且设

C （b ，－1），由于∠BAC=90°，A(0，3)，所以2AB k a -=，4

AC k b

-= AB k 〃AC k =81ab

=-，ab=－8。1||||2ABC S AB AC =? =222222114161646422a b a b a b ++=+++=2211612816()82a a

++≥，当且仅当2216

a a =

，即2a =±，4b = 时△ABC 面积的值最大为8。

【例3】?(2011·湘潭模拟)已知椭圆x 22＋y 2

＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点． (1)求过点O 、F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆的方程；

(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．

[审题视点] (1)求出圆心和半径，得出圆的标准方程；

(2)设直线AB 的点斜式方程，由已知得出线段AB 的垂直平分线方程，利用求值域的方法求解．

B x y

A C

O 图1 ·

解 (1)∵a 2＝2，b 2

＝1，∴c ＝1，F (－1,0)，

∵圆过点O ，F ，∴圆心M 在直线x ＝－1

2上．

设M ? ????－12，t ，则圆半径r ＝????

??? ????－12－(－2)＝32，

由|OM |＝r ，得

? ??

??－122＋t 2＝3

2，解得t ＝±2，

∴所求圆的方程为? ??

??x ＋122

＋(y ±2)2＝94.

(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2

＝1， 整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.

∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， ∴方程有两个不等实根．

如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，

则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 2

2k 2＋1

，

y 0＝k (x 0＋1)＝k

2k 2＋1

，

∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1

k

(x －x 0)．

令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k

22k 2＋1

＝－k 22k 2＋1＝－12＋1

4k 2＋2

，

∵k ≠0，∴－1

2＜x G ＜0，

∴点G 横坐标的取值范围为? ??

??

－12，0.

直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想

和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型． 【训练3】 (2012·金华模拟)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B 、C 两

点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.

(1)求抛物线G 的方程；

(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．

解 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝1

2

(x ＋4)，即x ＝2y －4.

由???

x 2

＝2py ，x ＝2y －4

得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，

∴?????

y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2

＝8＋p

2， ②

又∵AC

→＝4AB →，∴y 2

＝4y 1

，③ 由①②③及p ＞0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， 得抛物线G 的方程为x 2＝4y .

(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，

由???

x 2

＝4y ，y ＝k (x ＋4)

得x 2－4kx －16k ＝0，④ ∴x 0＝x C ＋x B

2

＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .

∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1

k (x －2k )， ∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为： b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，

对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4. ∴b ∈(2，＋∞)．

二、定值问题

解决定值问题的方法：将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关。

例1 A 、B 是抛物线22y px =（p ＞0）上的两点，且OA ⊥OB ，求证： （1）A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值； （2）直线AB 经过一个定点。

证明：（1）设A （11,x y ）、B （22,x y ），则2112y px =，2222y px =。

∵22121222y y px px ?=?=22121244p x x p y y =-，∴2124y y p =-为定值，212124x x y y p =-=也为定值。 （2）∵2221212112()()2()y y y y y y p x x -=+-=-，∵12x x ≠，∴

212112

2y y p

x x y y -=

-+ ∴直线AB 的方程为：21111212

2y p y y x y y y y y -=-+++2

121224p p x y y y y =-

++ 12

2(2)p

x p y y =

-+，∴直线AB 过定点（2p ，0）。

例2 已知抛物线方程为21

2

y x h =-+，点A 、B 及点P(2，4)都在抛物线上，直线PA 与PB 的倾

斜角互补。

（1）试证明直线AB 的斜率为定值；

（2）当直线AB 的纵截距为m （m ＞0）时，求△PAB 的面积的最大值。 分析：这类问题一般运算量大，要注意函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活运用。

解析：（1）证明：把P(2，4)代入21

2

y x h =-+，得h=6。所以抛物线方程为：y －4=k(x －2)，由

2

4(2)162

y k x y x -=-??

?=-+??，消去y ，得22440x kx k +--=。 所以244222

244A A

k x k y k k --?

==--???=-++?，因为PA 和PB 的倾角互补，所以PB PA k k k =-=-，用－k 代k ，得2

22244

B B x k y k k =-??=-++?，所以B A

AB A B y y k x x -=- 2244

22(22)k k k k --+=

----=824k k

=。 （2）设AB 的方程为y=2x+m(m ＞0)，由2

2162y x m y x =+??

?=-+??，消去y 得： 242120x x m ++-=，令△=16－4(2m －12) ＞0，解得0＜m ＜8，

221212||5[()4]AB x x x x =+-25[44(212)]40(8)m m =--=-，点P 到AB 的距离

d=|224|55

m m ?-+=，所以，2222

211||40(8)2(8)445PAB m S AB d m m m =?=?-?

=- =43311888()()(8)8()2233m m m -≤?=，所以，643

9

PAB S ≤ ，

当且仅当182m m =-，即163m =时，等号成立，故△PAB 面积最大值为6439

。

【例4】?(2011·四川)椭圆有两顶点A (－1,0)、B (1,0)，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，

并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q .

(1)当|CD |＝3

22时，求直线l 的方程．

(2)当点P 异于A 、B 两点时，求证：O P →·O Q →为定值． [审题视点] (1)设出直线方程与椭圆方程联立．利用根与系数的关系和弦长公式可求出斜率从而求出直

线方程；(2)关键是求出Q 点坐标及其与P 点坐标的关系，从而证得OP →·OQ →为定值．证明过程中要充

分利用已知条件进行等价转化． (1)解 因椭圆焦点在y 轴上，

设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)， 由已知得b ＝1，

c ＝1，

所以a ＝2，椭圆方程为y

2

2＋x 2＝1. 直线l 垂直于x 轴时与题意不符．

设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，将其代入椭圆方程化简得 (k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，

则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1

k 2＋2

，

|CD |＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2

－4x 1x 2＝22(k 2＋1)k 2＋2

.

由已知得22(k 2＋1)k 2＋2

＝3

22，解得k ＝±2.

所以直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝－2x ＋1. (2)证明 直线l 与x 轴垂直时与题意不符． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0且k ≠±1)，

所以P 点坐标为? ??

??

－1k ，0.

设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由(1)知x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1

k 2＋2

，

直线AC 的方程为y ＝y 1

x 1＋1(x ＋1)，

直线BD 的方程为y ＝y 2

x 2－1

(x －1)，

将两直线方程联立，消去y 得x ＋1x －1＝y 2(x 1＋1)

y 1(x 2－1).

因为－1＜x 1，x 2＜1，所以x ＋1x －1与y 2

y 1

异号．

? ????x ＋1x －12＝y 22(x 1＋1)2

y 21(x 2－1)

2 ＝2－2x 222－2x 21·(x 1＋1)2

(x 2－1)

2＝(1＋x 1)(1＋x 2)(1－x 1)(1－x 2) ＝1＋－2k k 2＋2＋－1k 2

＋21－－2k k 2＋2＋

－1k 2＋2

＝?

????k －1k ＋12

. 又y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝2(1－k )(1＋k )k 2＋2＝－2(1＋k )2k 2＋2·k －1k ＋1，

∴k －1k ＋1与y 1y 2异号，x ＋1x －1与k －1k ＋1同号， ∴x ＋1x －1＝k －1k ＋1

，解得x ＝－k . 因此Q 点坐标为(－k ，y 0)．

O P →·O Q →＝? ??

??－1k ，0·()－k ，y

0＝1.

故O P →·O Q →为定值．

解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确：即定值问题必然是在变化中所表现出来的

不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积等，其不受变化的量所影响的一个值即为定值，化解这类问题的关键是引进参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量，解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况，计算要准确． 【训练4】 (2011·山东)在平

面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x

2

3＋y 2＝1.如图所示，斜率为k (k ＞0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m )． (1)求m 2＋k 2的最小值； (2)若|OG |2＝|OD |·|OE |，求证：直线l 过定点．

(1)解 设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k ＞0)，由题意，t ＞0.

由方程组????

?

y ＝kx ＋t ，x 23

＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.

由题意Δ＞0，所以3k 2＋1＞t 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6kt

3k 2＋1

，

所以y 1＋y 2＝2t

3k 2＋1

.

由于E 为线段AB 的中点，因此x E ＝－3kt

3k 2＋1

，

y E ＝t

3k 2＋1

，

此时k OE ＝y E x E

＝－13k .所以OE 所在直线方程为y ＝－13k x ，又由题设知D (－3，m )，令x ＝－3，得m ＝1

k ，

即mk ＝1，

所以m 2＋k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，

此时由Δ＞0得0＜t ＜2，因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2＋k 2取最小值2.

(2)证明 由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－1

3k x ， 将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0，

解得G ? ????－3k 3k 2＋1，13k 2

＋1. 又E ? ??

??－3kt 3k 2＋1，t 3k 2＋1，D ? ????－3，1k ， 由距离公式及t ＞0得

|OG |2

＝?

????－3k 3k 2＋12＋? ????13k 2＋12＝9k 2＋13k 2＋1，

|OD |＝ (－3)2

＋? ??

??1k 2

＝9k 2＋1k ，

|OE |＝ ? ?

???－3kt 3k 2＋12＋? ??

??t 3k 2＋12＝t 9k 2＋13k 2＋1，

由|OG |2＝|OD |·|OE |得t ＝k ，

因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 所以直线l 恒过定点(－1,0)．

三、定点问题

处理这类问题有两种方法：一是从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关；二是直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点。

例5（2001年全国高考）设抛物线22y px =（p ＞0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明：直线AC 经过原点。

方法1：设直线方程为()2

p

y k x =-，A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，

C 2(,)2p y -，∴2()22p y k x y px

?

=-???=?

，2

220py y p k --=，∴212y y p =-，11OA y k x =

，2122

OC y p k p y ==-，又∵2112y px =，∴11OC OA y k k x ==，即

k 也是直线OA 的斜率，所以AC 经过原点O 。 当k 不存在时，AB ⊥x 轴，同理可证OC OA k k =。

方法2：如图2过A 作AD ⊥l ，D 为垂足，则：AD ∥EF ∥BC 连结AC 与EF 相交于点N ，则

||||||||||||EN CN BF AD AC AB ==，||||

||||

NF AF BC AB =，由抛物线的定义知：|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，∴

||||||||

||||||||

AD BF AF BC EN NF AB AB ??=

==.

点评：该题的解答既可采用常规的坐标法，借助代数推理进行，又可采用圆锥曲线的几何性质，借助平面几何的方法进行推理。解题思路宽，而且几何方法

较之解析法比较快捷便当，从审题与思维深度上看，几何法的采用，源于思维的深刻性。

典型例题

已知抛物线y 2=2px(p>0)，过M （a,0）且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点A 、B ，|AB|≤

C

x

y

O F

B

A

图2

x

y

F

B

A

C

D

O 图3

N E

2p

（1）求a 的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值。 分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a 的不等式，通过解不等式求出a 的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a 的范围；对于（2）首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。

解：(1)直线L 的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y 2=2px,得：设直线L 与抛物线两交点的坐标

分别为A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)，则???

??=+=+>-+221212)(204)(4a

x x p a x x a p a ,又y 1=x 1-a,y 2=x 2-a,

,2)2(80,0)2(8,2||0)2(8]4)[(2)()(||21221221221p a p p a p p p AB a p p x x x x y y x x AB ≤+<∴>+≤<+=-+=-+-=∴

解得:.4

2p a p -≤<-

(2)设AB 的垂直平分线交AB 与点Q ，令其坐标为（x 3,y 3），则由中点坐标公式得：

p a x x x +=+=

2

2

13, .2

)

()(221213p a x a x y y y =-+-=+=

所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p 2.又△MNQ 为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=P 2，所以 S △NAB =

2222

2

||22||||21p p p AB p QN AB =?≤?=?,即△NAB 面积的最大值为P 22。

（5）求曲线的方程问题

1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

例：已知直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。若点A （-1，0）和点B （0，8）关于L 的对称点都在C 上，求直线L 和抛物线C 的方程。 分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。 设出它们的方程，L ：y=kx(k ≠0),C:y 2=2px(p>0)

设A 、B 关于L 的对称点分别为A /、B /，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：

A /

（12,11222+-+-k k k k ），B （1

)

1(8,116222+-+k k k k ）。因为A 、B 均在抛物线上，代入，消去p ，得：k 2-k-1=0.解得：k=

251+,p=5

5

2. 所以直线L 的方程为：y=

251+x,抛物线C 的方程为y 2=5

5

4x. 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程

典型例题

已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x 2+y 2

=1, 动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）,求动点M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线。 分析：如图，设MN 切圆C 于点N ，则动点M 组成的集合是：

P={M||MN|=λ|MQ|}，由平面几何知识可知：

|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将M 点坐标代入，可得：(λ2-1)(x 2+y 2)-4λ2x+(1+4λ2)=0.

当λ=1时它表示一条直线；当λ≠1时，它表示圆。这种方法叫做直接法。

（6） 存在两点关于直线对称问题

在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）

典型例题 已知椭圆C 的方程x y 22431+=，试确定m 的取值范围，使得对于直线y x m =+4，椭圆

C 上有不同两点关于直线对称。

分析：椭圆上两点(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，相减得31212()()x x x x +-+

412()y y +()y y 120-=。

又x x x =

+122，y y y =+122，k y y x x =--=-12121

4

，代入得y x =3。 又由y x

y x m

==+???34解得交点(,)--m m 3。

交点在椭圆内，则有()()-+-

21313213

13m 。

（7）两线段垂直问题

圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用k k y y x x 1212

12

1···=

=-来处理或用向量的坐标运算来处理。

典型例题 已知直线l 的斜率为k ，且过点P (,)-20，抛物线C y x :()241=+，直线l 与抛物线C 有两个不同的交点（如图）。 （1）求k 的取值范围；

（2）直线l 的倾斜角θ为何值时，A 、B 与抛物线C 的焦点连线互相垂直。

分析：（1）直线y k x =+()2代入抛物线方程得

y

B A P

(-2,0) O x

M N Q O

k x k x k 222244440+-+-=()， 由?>0，得-<<≠110k k ()。

（2）由上面方程得x x k k 1222

44

=-， y y k x x 12212224=++=()()，焦点为O (,)00。 由k k y y x x k k OA OB ·==-=-12122211，得k =±

22，22arctan =θ或2

2

arctan -=πθ