一次函数与四边形存在性问题

1、如图，在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，2，点C的坐标为（－18,0）。

（1）求点B的坐标;（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D,交y轴于点E,且OE=4,OD=2BD，求直线DE的解析式；（3）若点P是（2)中直线DE上的一个动点,在坐标平面内是否存在点Q,使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

2、如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B 点坐标是(3,4)，矩形ABCD沿直线EF折叠,点A落在BC边上的G处,E、F分别在AD、AB上,且F点的坐标是（2，4）．

（1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；(3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M,使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在,请说明理由．

3、如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边0A、08分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2—7x+12=0的两根（OA〈0B)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,设点P、Q运动的时间为t秒．

（1）求A、B两点的坐标。

(2)求当t为何值时,△APQ与△AOB相似，并直接写出此

时点Q的坐标．

(3）当t=2时,在坐标平面内,是否存在点M,使以A、P、Q、

M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出M

点的坐标；若不存在，请说明理由．

4、如图,在平面直角坐标系中，点A是动点且纵坐标为4，点B是线段OA上的一个动点．过

点B作直线MN平行于x轴,设MN分别交射线OA与X•轴所形成的两个角的平分线于点E、F．

（1）求证:EB=BF；

(2)当OB

为何值时，四边形AEOF是矩形?并证明你的结论；

（3）是否存在点A、B，使四边形AEOF为正方形．若存在，求点A与点B的坐标；• 若不存在,请说明理由．

5、如图，Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，3CAO=30°，将Rt△OAC•折叠，•使OC 边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE．

（1）求折痕CE所在直线的解析式；

（2)求点D的坐标;

（3)设点M为直线CE上的一点，过点M作AC的平

行线,交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M、

N、D、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求

出符合条件的点M的坐标；若不存在,请说明理由．

一次函数的存在性问题(共13题)

一次函数之存在性问题知识点睛函数背景下研究存在性问题，先把函数信息转化为几何信息，然后按照存在性问题来处理．几何图形一次函数坐标 1. 如图，直线2 y x =+与坐标轴分别交于A，B两点，点C在y轴上，且 1 2 OA AC =，直线CD ⊥AB于点P，交x轴于点D．（1）求点P的坐标；（2）坐标系内是否存在点M，使以点B，P，D，M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2. 如图，直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且4 3 OC OB ．（1）求B 点的坐标和k 的值．（2）若点A （x ，y ）是第一象限内的直线y =kx -4上的一个动点,则当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在点P ，使△POA 是等腰三角形？若存在，求出点P 3. 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，OA =6，OB =12，点C 是直线y =2x

与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD = （1）求直线AB的解析式及点C的坐标；（2）求直线AD的解析式；（3）P是直线AD上的一个动点，在平面内是否存在点Q，使以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

4. 如图，直线1 22 y x = +与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点C 的坐标为（-3,0），P （x ，y ）是直线1 22 y x = +上的一个动点（点P 不与点A 重合）．（1）在P 点运动过程中，试写出△OPC 的面积S 与x 的函数关系式；（2）当P 运动到什么位置时，△OPC 的面积为27 8 ，求出此时点P 的坐标；（3）过P 作AB 的垂线分别交x 轴、y 轴于E ，F 两点，是否存在这样的点P ，使△EOF ≌△BOA ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 6.如图，在直角坐标系中，一次函数y = 23 x +的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）已知OC ⊥AB 于C ，求C 点坐标；（2）在x 轴上是否存在点P ，使△PAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若 x x

一次函数与平行四边形存在性问题

一次函数与平行四边形存在性问题问题描述在平面几何中，我们知道一次函数可以用来表示一条直线的方程，而平行四边形则是具有平行边的四边形。我们现在想研究以下问题：一次函数是否存在与平行四边形的边平行的斜率？解决方案我们将通过讨论一次函数的斜率和平行四边形的边进行分析。一次函数的斜率一次函数可以用如下的一般方程表示： y = mx + c 其中，`m` 表示斜率，`c` 表示截距。

斜率 `m` 是函数直线斜率的关键参数，它决定了直线的倾斜程度。我们知道，当两条直线的斜率相等时，它们是平行的。平行四边形的边平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边是平行的。我们可以定义平行四边形的边为 `AB` 和 `CD`，并假设它们是平行的。讨论现在，我们来探讨一次函数是否可能存在与平行四边形的边平行的斜率 `m`。假设 `AB` 和 `CD` 是平行四边形的边，我们可以通过求解两个点的斜率来判断函数的斜率是否与平行四边形的边平行。假设点 `A` 的坐标为 `(x1, y1)`，点 `B` 的坐标为 `(x2, y2)`，我们可以计算出两点的斜率 `m_AB`： m_AB = (y2 - y1) / (x2 - x1)

同理，如果点 `C` 的坐标为 `(x3, y3)`，点 `D` 的坐标为 `(x4, y4)`，我们可以计算出另一条边的斜率 `m_CD`： m_CD = (y4 - y3) / (x4 - x3) 如果 `m_AB` 等于 `m_CD`，那么一次函数存在与平行四边形的边平行的斜率。总结通过对一次函数的斜率和平行四边形的边进行分析，我们得出结论：一次函数存在与平行四边形的边平行的斜率。请注意，此结论仅在满足题设条件的情况下成立，具体问题具体分析。此解决方案仅提供了一种可能的方法，具体问题的解决需要进一步讨论和推导。参考资料：

一次函数与四边形存在性问题

一次函数与四边形存在性【学习目标】 1．熟练运用一次函数解决特殊四边形存在问题； 2．体会数形结合的思想方法；体会一次函数与几何图形的内在联系．平行四边形问题:（注意点的顺序） 1.给三点，先连接三点构成三角形；然后以每边为对角线构造平行四边形；以中点公式或者平移法求点坐标。 2.给两点，分为边和对角线讨论，充分利用平行四边形对边平行且相等，对角线平分两个全等三角形来做。 1.在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为．（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为．（2）在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标． 2.已知点A、B、C、D可以构成平行四边形，且点A（－1，0），点B（0，3），点C（3，0），则第四个顶点D的坐标为_________________________；

x y B C A O 举一反三： 1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，以线段AB 为边作菱形ABCD （点C 、D 在第一象限），且点D 的纵坐标为9．（1）求点A 、点B 的坐标；（2）求直线DC 的解析式；（3）除点C 外，在平面直角坐标系xOy 中是否还存在点P ，使点A 、B 、D 、P 组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

2.如图，在平面直角坐标系中，函数122+=x y 的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点．过点A 的直线交 y 轴正半轴于点C ，且点C 为线段OB 的中点．（1）求直线AC 的表达式；（2）如果四边形ACPB 是平行四边形，求点P 的坐标． 3. 如图10，直线102+-=x y 与x 轴交于点A ，又B 是该直线上一点，满足OA OB =，（1）求点B 的坐标；（2）若C 是直线上另外一点，满足AB=BC ，且四边形OBCD 是平行四边形，试画出符合要求的大致图形，并求出点D 的坐标. 4.已知：如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形ABCD ，且AD ∥BC ，AB=CD ，点A 在y 轴正半轴上，点B 、C 在x 轴上（点B 在点C 的左侧），点D 在第一象限，AD=3，BC=11，梯形的高为2，双曲线y=经过点D ，直线y=kx +b 经过A 、B 两点． O B A x y D

09 专题九：一次函数与平行四边形存在性问题(方法专题)

1、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，-2），B（4，0），若C是坐标平面内一点，且以A，B，C，O为顶点的平行四边形是_______________________。【答案】（-2,-2），（6，-2）或（2,2）。 2、已知M（1，1）是AB的中点，若点A的坐标为（3，2）则点B的坐标为_________。【答案】（-1,0）。 1.线段中点坐标公式平面直角坐标系中，点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则线段AB的中点坐标为1212 , 22 x x y y ++ ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ 。 2.平行四边形顶点坐标公式 ABCD的顶点坐标分别为A（x A，y A）、B（x B，y B）、C（x C，y C）、D（x D，y D），则：x A+x C=x B+x D；y A+y C=y B+y D。即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等。解法点睛专题导入一次函数与平行四边形存在性问题

3.一个基本事实，确定动点位置如图，已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，在平面内另找一个点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形.答案有三种：以AB 为对角线的ACBD 1，以AC 为对角线的ABCD 2，以BC 为对角线的ABD 3C 。例1、已知：在平面直角坐标系中，点(1,0)A ，点(4,0)B ，点C 在y 轴正半轴上，且2OB OC =．（1）试确定直线BC 的解析式；（2）在平面内确定点M ，使得以点M 、A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M 的坐标．【答案】解：（1）(4,0)B ，4OB ∴=，又2OB OC =，C 在y 轴正半轴上， (0,2)C ∴．设直线BC 的解析式为(0)y kx b k =+≠．过点(4,0)B ，(0,2)C ， ∴402k b b +=⎧⎨=⎩ ，解得122 k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为122 y x =-+．专题精析

优选一次函数特殊平行四边形存在性

特别平行四边形存在性课前预习 1.一般状况下我们怎样办理存在性问题（1）研究背景图形坐标系背景下研究 ____________ 、 ____________ ；几何图形研究____________、 ____________、____________．（2）依据不变特点，确立分类标准研究定点，动点，定线段，确立分类标准不变特点举例： ① 等腰三角形（两定一动）以定线段作为 _________或许 ___________来分类，利用 _______________确立点的地点． ② 等腰直角三角形（两定一动）以________________来分类，而后借助 _________或许 ___________确立点的地点．（3）剖析特别状态的形成要素，画出切合题意的图形并求解（4）结果考证 2.用铅笔做讲义第1，2 题，并将计算、演草保存在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了 2~3 分钟）重复上述动作，若仍没法解决，讲堂要点听．知识点睛 1.存在性问题办理框架：①研究背景图形．②依据不变特点，确立分类标准．③剖析特别状态的形成要素，画出切合题意的图形并求解．④结果考证． 2.特别平行四边形存在性问题不变特点举例： ①菱形存在性问题（两定两动）转变为等腰三角形存在性问题；以定线段作为底边或许腰确立分类标准，利用两圆一线确立一动点的地点，而后经过平移确立另一动点坐标． ②正方形存在性问题（两定两动）转变为等腰直角三角形存在性问题；依据直角极点确立分类标准，利用两腰相等或许 45°角确立一动点的地点，而后经过平移确立另一动点坐标．

一次函数与矩形存在性问题

一次函数与矩形存在性问题本文讨论一次函数与矩形存在性的问题，并探讨其中的关系和特点。引言一次函数是指具有形式为 y = ax + b 的函数，其中 a 和 b 均为常数，且 a 不等于 0。矩形是一个具有四个直角的四边形，其中所有内角均为 90 度。在数学中，我们经常会遇到一次函数与矩形的相关问题，例如确定一次函数是否与某个矩形相交或相切。问题分析一次函数与矩形相交或相切的存在性取决于函数的斜率和截距与矩形的边界条件之间的关系。以下是一些常见情况的分析结果： 1. 当函数的斜率为正时，如果函数的截距小于矩形最低边的上端点，并且截距大于矩形最高边的下端点，则函数与矩形相交或相切。

2. 当函数的斜率为负时，如果函数的截距大于矩形最低边的上端点，并且截距小于矩形最高边的下端点，则函数与矩形相交或相切。 3. 当函数的斜率为零时，如果函数的截距在矩形最低和最高边的下、上端点之间，则函数与矩形相交或相切。需要注意的是，以上分析仅适用于矩形的上、下、左、右四条边界条件，对于矩形内部的情况则不予考虑。实例分析为了更好地理解一次函数与矩形存在性问题，我们来看一个具体的实例。假设有一条直线方程为 y = 2x + 3，并且有一个矩形的四个顶点坐标分别为 A(1, 2)，B(4, 5)，C(6, 1) 和 D(3, -2)。我们可以根据上述分析方法来判断这条直线是否与该矩形相交或相切。根据函数的斜率和截距，我们可以得知该直线的斜率为 2，截距为 3。然后我们可以根据矩形的边界条件来判断：

1. 矩形的最低边为 AB，上端点为 B(4, 5)。根据情况 1，我们可以知道直线的截距必须小于 B 的 y 坐标，即 3 < 5，所以该直线与矩形 AB 边相交或相切。 2. 矩形的最高边为 CD，下端点为 D(3, -2)。根据情况 1，我们可以知道直线的截距必须大于 D 的 y 坐标，即 3 > -2，所以该直线与矩形 CD 边相交或相切。 3. 矩形的左边为 AD，右边为 BC，不受直线方程影响，不需要考虑。因此，根据以上分析，直线 y = 2x + 3 与矩形 ABCD 相交或相切。结论本文讨论了一次函数与矩形存在性的问题，并通过分析函数的斜率和截距与矩形的边界条件之间的关系，得出了一些结论。需要注意的是，这些结论仅适用于矩形的上、下、左、右四条边界条件，对于矩形内部的情况不予考虑。

一次函数背景下的平行四边形存在性问题

一次函数背景下的平行四边形存在性问题在解决一次函数背景下的平行四边形的存在性问题，我们需要首先先厘清平行四边形的性质： 1、平行四边形的对边平行且相等； 2、平行四边形的对角线互相平分。总结：第③种情况共有3种做法，解法1利用平行直线斜率相等，

联立求出交点D坐标；解法2利用了图形运动思想，点C→点A的运动路径与点B→点D运动路径相同(也可以利用点C→点B，点A→点D);解法3利用了平行四边形的中心对称性对角中点互相重合。三种办法殊途同归，但是方法2与3更为简单。在解决平面直角坐标系中的平行四边形存在性问题时，首选解法3。一方面计算过程简便，另一方面不考虑方向性。将解法3进行一般化，我们可以得到以下结论：上述问题中的问题1和2，将这类问题称为“三定一动”，即题目中有3个定点，1个动点，这个动点的横纵坐标都不确定，可以设这个定点为(x,y)，此时有2个未知数。上述问题中的问题3，将这类问题称为“二定二动”，即题目中有2个定点，2个动点，这两个动点的横纵坐标都不确定，但是这两个动点可能在直线上，也可能在坐标轴上，最后通过设元，还是体现了2个未知数。即运用上述公式解决问题时，只能有2个未知量，不然无法解出

等式。但是如果平行四边形中有一条边平行于坐标轴(问题1)，则可以直接利用“对边相等”这个性质解决，相较于对角线法更为简单。

对于平行四边形的存在性问题，不难发现，一般情况下，动点最多也就两个，不管是在坐标轴上、还是在直线、甚至在今后所学的抛物线上，总是能够用字母表示出动点的坐标。只要能够准确分类讨论，标对了点的坐标，接下来只要计算正确即可了。

【八年级压轴精选】一次函数背景下的存在性问题与最值问题，一题通关！

【八年级压轴精选】一次函数背景下的存在性问题与最值问题，一题通关！自编一题，融合多种存在性问题和最值问题，若有兴趣补充编题的请留言，八下内容，解法要避开相似。 1、求解析式 ①用尺规作出直线BC和点D， ②求直线BC的解析式，③求点D坐标； 2、存在性问题 (1)全等三角形存在性： ①P为平面内一动点，且满足△ABC与△ABP全等，求点P坐标； ②P为直线BC上一动点，Q为x轴上一动点，且满足△ABC与△CQP全等，求点P坐标 (2)等腰三角形存在性： P为直线BC上一动点，△ABP为等腰三角形，求点P坐标； (3)直角三角形存在性：直线l过原点，且与BC平行，P为直线l上一动点，△ABP为直角三角形，求点P坐标； (4)等腰直角三角形存在性： P为第二象限内上一动点，△ABP为等腰直角三角形，求点P坐标； (5)等边三角形存在性（九年级用） P为第二象限内上一动点，△ABP为等边三角形，求点P坐标； (7)平行四边形存在性： ①三定一动：P为平面内一动点，且以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，求点P坐标； ②两定两动：P为直线AB上一动点，Q为y轴上一动点，且以B、 C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P、Q的坐标； (8)菱形存在性： P为直线BC上一动点，Q为平面内一动点，且以A、B、P、Q为

顶点的四边形为菱形，求点P、Q的坐标； (9)矩形存在性：直线l过原点，且与BC平行，P为直线l上一动点，Q为平面内一动点，且以A、B、P、Q为顶点的四边形为矩形，求点P、Q的坐标；本讲先来解析部分小题： 1、求解析式 ①用尺规作出直线BC和点D， ②求直线BC的解析式，③求点D坐标；（考查内容：尺规作图、图形折叠、待定系数法求解析式，勾股定理或等积法求线段长） ①折叠想到重合，全等，可得BC为∠ABO平分线，完成基本作图作已知角的角平分线即可，由D、O重合，可知BD=BO，CD=CO，CD⊥AB，所以在AB上截取BD=BO或CD=CO，或过C作CD⊥AB 于D(此法较繁) ②待定系数法求直线解析式，需知两点，已知B（0，6）只要知道点C坐标，算OC长，八年级求线段长两种方法：勾股和等积，如下：再来解析2（7），考查平行四边形存在性，解法参考我之前文章：“平四”存在性问题探究 2(7)平行四边形存在性： ①三定一动：P为平面内一动点，且以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，求点P坐标； ②两定两动：P为直线AB上一动点，Q为y轴上一动点，且以B、 C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P、Q的坐标；

一次函数与四边形存在性问题

一次函数与四边形存在性问题 1、如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边 OC、OA分别与 x 轴、y 轴重合， AB∥OC，∠A OC=90°，∠ BCO=45°， BC=12 2，点 C的坐标为（－ 18，0）。（1）求点 B 的坐标；（ 2）若直线 DE交梯形对角线 BO于点 D，交 y 轴于点 E，且 OE=4，OD=2BD，求直线 DE的分析式；（ 3）若点 P 是（ 2）中直线 DE 上的一个动点，在座标平面内能否存在点 Q，使以 O、E、P、Q为极点的四边形是菱形若存在，请直接写出点 Q的坐标；若不存在，请说明原因。 2、如图，四边形 ABCD为矩形， C 点在 x 轴上， A 点在 y 轴上， D点坐标是（ 0，0）， B 点坐标是（ 3， 4），矩形 ABCD沿直线 EF 折叠，点 A 落在 BC边上的 G处， E、 F 分别在 AD、AB 上，且 F 点的坐标是（ 2，4）．（ 1）求 G点坐标；（2）求直线 EF 分析式；（ 3）点 N 在 x 轴上，直线EF 上能否存在点M，使以M、 N、 F、G 为极点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明原因．

3、如图，在平面直角坐标系中，已知 Rt △AOB 的两条直角边 0A 、08 分别在 y 轴和 x 轴上，而且 OA 、 OB 的长分别是方程 x 2— 7x+12=0 的两根 (OA<0B)，动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 l 个单位长度的速度向点 O 运动；同时，动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动，设点 P 、Q 运动的时间为 t 秒． (1) 求 A 、 B 两点的坐标。 (2) 求当 t 为什么值时，△ APQ 与△ AOB 相像，并直接写出此时点 Q 的坐标． (3) 当 t=2 时，在座标平面内，能否存在点 M ，使以 A 、P 、 Q 、M 为极点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出 M 点的坐标；若不存在，请说明原因． 4、如图，在平面直角坐标系中，点 A 是动点且纵坐标为 4，点 B 是线段 OA 上的一个动点．过点 B 作直线 MN 平行于 x 轴，设 MN 分别交射线 OA 与 X? 轴所形成的两个角的均分线于点 E 、 F ．（ 1）求证： EB=BF ；（ 2）当 OB 为什么值时，四边形 AEOF 是矩形并证明你的结论； OA （ 3）能否存在点 A 、 B ，使四边形 AEOF 为正方形．若存在，求点 A 与点 B 的坐标； ? 若不存在，请说明原因．

一次函数平行四边形存在性

平行四边形存在性知识点睛 1.存在性问题处理框架： ①研究背景图形． ②根据不变特征，确定分类标准． ③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解． ④结果验证． 2.平行四边形存在性问题特征举例： ①三定一动，连接定点出现三条定线段．定线段分别作为平行四边形的 ________，利用________确定点的坐标． ②两定两动，连接定点出现一条定线段．若定线段作为平行四边形的 ________，则通过________确定点的坐标；若定线段作为平行四边形的________，则定线段绕________旋转，利用________________确定点的坐标．精讲精练 1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(4，0)，点C在y轴正半轴上，且OB=2OC．若M是坐标平面内一点，且以点M，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为_____________________． 2.如图，在平面直角坐标系中，已知A(3，0)，B(0，1)， C(2，2)，若D是坐标平面内一点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为______________．

3. 如图，在平面直角坐标系中，直线2 3 y x =+与坐标轴分别交于点A，B，点C在y轴正半轴上，且 1 2 OA AC =，直线CD⊥AB于点P，交x轴于点D．在坐标平面内是否存在点M，使得以点B，P，D，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4.如图，在平面直角坐标系中，直线 3 3 4 y x =-+与x轴、y轴分别交于点A，B，点C的坐标为(0，2 -)．若点D在直线AB上运动，点E在直线AC上运动，当以点O，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形时，求点D的坐标．

一次函数之存在性问题

一次函数之存在性问题〔知识点睛函数背景下研究存在性问题，先把函数信息转化为几何信息，然后按照存在性问题来处理． ① 求坐标：___________________________；______________． ② 求函数表达式：__________________；_________________． ③ 研究几何图形：__________________；__________________．二、精讲精练 1. 如图，直线23y x = +与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在y 轴上，且12 OA AC =，直线CD ⊥AB 于点P ，交*轴于点D ．〔1〕求点P 的坐标；〔2〕坐标系是否存在点M ，使以点B ，P ，D ，M 为顶点的四边形为平行四边形.假设存在，求出点M 的坐标；假设不存在，请说明理由． 2. 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的边OC ，OA 分别与*轴、y 轴重合，AB ∥OC ，∠ AOC =90°，∠BCO =45°，BC =，点C 的坐标为〔-9，0〕．〔1〕求点B 的坐标．〔2〕如图，直线BD 交y 轴于点D ，且OD =3，求直线BD 的表达式．〔3〕假设点P 是〔2〕中直线BD 上的一个动点，是否存在点P ，使以O ，D ，P 为顶点的三角形是等腰三角形.假设存在，求出点P 的坐标；假设不存在，请说明理由．

3. 如图，直线y =k*-4与*轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且4 3 OC OB =．〔1〕求B 点的坐标和k 的值．〔2〕假设点A 〔*，y 〕是第一象限的直线y =k*-4上的一个动点,则当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是6. 〔3〕在〔2〕成立的情况下，*轴上是否存在点P ，使△POA 是等腰三角形.假设存在，求出点P 的坐标；假设不存在，请说明理由． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在*轴、 y 轴上，OA =6，OB =12，点C 是直线y =2*与直线AB 的交点，点D 在线段OC 上，OD = 〔1〕求直线AB 的解析式及点C 的坐标；〔2〕求直线AD 的解析式；〔3〕P 是直线AD 上的一个动点，在平面是否存在点Q ，使以O ，A ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形.假设存在，求出点Q 的坐标；假设不存在，请说明理由． 5. 如图，直线1 22 y x = +与*轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点C 的坐标为〔-3,0〕，P 〔*，y 〕是直线1 22 y x = +上的一个动点〔点P 不与点A 重合〕．〔1〕在P 点运动过程中，试写出△OPC 的面积S 与*的函数关系式；〔2〕当P 运动到什么位置时，△OPC 的面积为27 8 ，求出此时点P 的坐标；〔3〕过P 作AB 的垂线分别交*轴、y 轴于E ，F 两点，是否存在这样的点P ，使△EOF ≌△BOA .假设存在，求出点P 的坐标；假设不存在，请说明理由．【参考答案】一、知识点睛 ① 函数表达式求出或表达出坐标；线段长转坐标． ② 坐标代入；k ，b 几何意义． ③ 坐标转线段长；k ，b 几何意义．一次函数之存在性问题 (每日一题 )

(完整)一次函数特殊平行四边形存在性

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特殊平行四边形存在性 ➢课前预习 1.一般情况下我们如何处理存在性问题？（1）研究背景图形坐标系背景下研究____________、____________；几何图形研究____________、____________、____________．（2）根据不变特征,确定分类标准研究定点，动点，定线段,确定分类标准不变特征举例： ①等腰三角形（两定一动）以定线段作为_________或者___________来分类,利用 _______________确定点的位置． ②等腰直角三角形（两定一动）以________________来分类，然后借助_________或者 ___________确定点的位置．（3）分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解 (4）结果验证 2.用铅笔做讲义第1，2题,并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2～3分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．➢知识点睛 1.存在性问题处理框架： ①研究背景图形． ②根据不变特征，确定分类标准． ③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解． ④结果验证． 2.特殊平行四边形存在性问题不变特征举例： ①菱形存在性问题（两定两动）转化为等腰三角形存在性问题; 以定线段作为底边或者腰确定分类标准,利用两圆一线确定一动点的位置,然后通过平移确定另一动点坐标． ②正方形存在性问题（两定两动）转化为等腰直角三角形存在性问题；

一次函数与平行四边形存在性问题

一次函数与平行四边形存在性问题1．坐标系中的平行四边形：（1）对边平行且相等 2. 线段中点坐标公式平面直角坐标系中，点A坐标为(x1,y1)，点B坐标为(x2,y2)，则线段AB的中点坐标为( 22 1x x+ , 22 1y y+ ). 2.1平行四边形顶点坐标公式 □ABCD的顶点坐标分别为A(x A,y A)、B(x B,y B)、C(x C,y C)、D(x D,y D)，则：x A+x C=x B+x D；y A+y C=y B+y D. 证明：如图2，连接AC、BD，相交于点E． ∵点E为AC的中点，∴E点坐标为( 2C A x x+ , 2C A y y+ ). 又∵点E为BD的中点，∴E点坐标为( 2D B x x+ , 2D B y y+ ). ∴x A+x C=x B+x D；y A+y C=y B+y D. 即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．以上两条可统一为：总结：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等方法归纳： 1、列出四个点坐标 2、分三组对角线讨论列方程组，解方程组 3、验证点是否符合题意

如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求该一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）平面内是否存在一点M，使以点M、C、O、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段OA，OC的长分别是m，n且满足（m﹣6）2+＝0，点D是线段OC上一点，将△AOD沿直线AD翻折，点O落在矩形对角线AC上的点E处（1）求线段OD的长；（2）求点E的坐标；（3）DE所在直线与AB相交于点M，点N在x轴的正半轴上，以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形时，求N点坐标．

一次函数之平行四边形存在性问题

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一次函数与平行四边形 1.线段中点公式平面直角坐标系中，点A 坐标为(x 1，y 1)，点B 坐标为(x 2，y 2)，则线段AB 的中点P 的坐标为（2 ,22121y y x x ++）例：如图，已知点A (-2，1)，B (4，3)，则线段AB 的中点P 的坐标是________. 2.线段的平移平面内，线段AB 平移得到线段A'B' ，则①AB ∥A'B' ，AB =A'B' ；②AA'∥BB'，AA'= BB'. 如图，线段AB 平移得到线段A'B' ，已知点A (-2，2)，B (-3，-1)， B' (3，1)，则点A'的坐标是________. 例：如图，在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点坐标分别为A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)、C (x 3,y 3)、D (x 4,y 4)，已知其中3个顶点的坐标，如何确定第4个顶点的坐标例：如图，已知□ABCD 中A (-2，2)，B (-3，-1)， C (3，1)，则点D 的坐标是________. 方法一：利用线段平移总结：x 1-x 2= x 4-x 3，y 1-y 2= y 4-y 3 或者 x 4-x 1= x 3-x 2，y 4-y 1= y 3-y 2 等方法二：利用中点公式总结：x 1+x 3= x 2+x 4，y 1+y 3= y 2+y 4

类型一：三定一动例1 、如图，平面直角坐标中，已知中A (-1，0)，B (1，-2)，C (3，1)，点D是平面内一动点，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是_________________________________. 总结：三定一动问题，可以通过构造中点三角形得以解决. 说明：若题中四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标只有一个结果 ________

一次函数之存在性问题

一次函数之存在性问题（知识点睛函数背景下研究存在性问题，先把函数信息转化为几何信息，然后按照存在性问题来处理．几何图形一次函数坐标 ①求坐标：___________________________；______________． ②求函数表达式：__________________；_________________． ③研究几何图形：__________________；__________________．二、精讲精练 1. 如图，直线2 3 y x =+与坐标轴分别交于A，B两点，点C在y轴上，且 1 2 OA AC =，直线CD ⊥AB于点P，交x轴于点D．（1）求点P的坐标；（2）坐标系内是否存在点M，使以点B，P，D，M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y轴重合，AB∥ OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC =，点C的坐标为（-9，0）．（1）求点B的坐标．（2）如图，直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD的表达式．（3）若点P是（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3. 如图，直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且4 3 OC OB ．（1）求B 点的坐标和k 的值．（2）若点A （x ，y ）是第一象限内的直线y =kx -4上的一个动点,则当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在点P ，使△POA 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，OA =6，OB =12，点C 是直线y =2x