一次函数与特殊四边形的存在性问题(培优拓展)
一次函数与特殊四边形的存在性问题
（培优专题）
1．（2015春•通州区校级期中）如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（0，3），P是x轴上一动点，在直线y=x上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2015春•北京校级期中）已知直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B．
（1）求∠BAO的平分线的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）
（2）点M在已知直线上，点N在坐标平面内，是否存在以点M、N、A、O 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
3．（2010秋•吴江市校级期中）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD 边上，AE＞DE，BE=BC，点O是线段CE的中点．
（1）试说明CE平分∠BED；
（2）在直线AD上是否存在点F，使得以B、C、F、E为顶点的四边形是菱形？如果存在，试画出点F的位置，并作适当说明；如果不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系xOy，直线y=x+1与y=﹣2x+4交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一个动点，直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，点A的坐标是（2，1），点B的坐标是（5，1），过点A的直线l 的表达式为y=2x+b，点C在直线l上运动，在直线OA上是否存在一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2012春•雨花区校级期末）如图，已知等边△ABC的边长为2，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动．
（1）当OA=时，求点C的坐标．
（2）在（1）的条件下，求四边形AOBC的面积．
（3）是否存在一点C，使线段OC的长有最大值？若存在，请求出此时点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2012春•石狮市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣分别
与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（8，0），四边形ABCD是正方形．
（1）填空：b=；
（2）求点D的坐标；
（3）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外），试探索在x上方是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标．
8．（2014秋•朝阳区期末）如图，四边形ABCD为矩形，点D与坐标原点重合，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（8，12），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，点E，F分别在AD，AB上，且F 点的坐标是（5，12）．
（1）求点G的坐标；
（2）求直线EF的解析式；
（3）坐标系内是否存在点M，使以点A，E，F，M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2014•伊春模拟）如图，矩形OABC在坐标系中，OA＞OC，矩形面积为12，对角线AC的长为5．
（1）求A，C的坐标；
（2）若D为AC中点，过D的直线交y轴负半轴于E，交BC于F，且OE=1，求直线EF的解析式；
（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在一点G，使以C，D，F，G 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2011春•张家港市期末）如图，OB是矩形OABC的对角线，点B的坐标为（3，6）．D、E分别是OC、OB上的点，OD=5，OE=2EB，过D、E的直线交x轴于点F．
（1）点E的坐标为；
（2）求直线DE的解析式；
（3）若点M是线段DF上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使得以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2007秋•成都期末）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点A、B 的坐标分别A（，0）、B（，2），∠CAO=30°．（1）求对角线AC所在的直线的函数表达式；
（2）把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折，点O落在平面上的点D 处，求点D的坐标；
（3）在平面内是否存在点P，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2014•金华模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l：分别
交x轴、y轴于A、B两点．点C（2，0）、D（8，0），以CD为一边在x轴上方作矩形CDEF，且CF：CD=1：3．设矩形CDEF与△ABO重叠部分的面积为S．
（1）求点E、F的坐标；
（2）求s与b的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）若把点O关于直线l的对称点记为点G，在直线l上下平移的过程中，平面上是否存在这样的点P，使得以A、P、E、G为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（2，3）．
（1）求出直线AB的解析式；
（2）点P是直线AB上的一个动点，在平面直角坐标系内，是否存在另一个点Q，使得以A，O，P，Q为顶点的四边形是菱形（AP为其中一个边）？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+12与x轴、y轴交于A、B 两点，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD．
（1）点C的坐标为；
（2）求直线AD的解析式；
（3）P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以为O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
一次函数中的(特殊图形)存在性问题(解析版)八年级数学上册同步考点归类培优题库
专题十五 一次函数中的（特殊图形）存在性问题 考点一 直角三角形存在性问题 【方法点拨】分类讨论哪个角为直角，一般分三种情况，简称“两垂线+一圆” 1．如图1，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（﹣4，4），点B 的坐标为（4，0）． （1）求直线AB 的解析式； （2）点M 是坐标轴上的一个点，若AB 为直角边构造直角三角形△ABM ，请求出满足条件的所有点M 的坐标； （3）如图2，以点A 为直角顶点作∠CAD ＝90°，射线AC 交x 轴的负半轴与点C ，射线AD 交y 轴的负半轴与点D ，当∠CAD 绕点A 旋转时，OC ﹣OD 的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围（不要解题过程）． 【思路点拨】（1）由A 、B 两点的坐标利用待定系数法可求得直线AB 的解析式； （2）分别过A 、B 两点作AB 的垂线，与坐标轴的交点即为所求的M 点，再结合相似三角形的性质求得OM 的长即可求得点M 的坐标； （3）过A 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，可证明△AEC ≌△AFD ，可得到EC ＝FD ，从而可把OC ﹣OD 转化为FD ﹣OD ，再利用线段的和差可求得OC ﹣OD ＝OE +OF ＝8； 【解析】解： （1）设直线AB 的解析式为：y ＝kx +b （k ≠0）． ∵点A （﹣4，4），点B （0，2）在直线AB 上， ∴{?4k +b =4b =2，解得{k =?1 2b =2 ， ∴直线AB 的解析式为：y =?1 2x +2； （2）∵△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形， ∴有∠BAM ＝90°或∠ABM ＝90°，
一次函数之存在性问题(一)(讲义及答案).
3 一次函数之存在性问题（一）（讲义） ?课前预习 1.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为 ( ，1)，P 为y 轴上一点，且△POA 为等腰三角形，则满足条件的点P 的坐标为． 2.如图是乐乐的五子棋棋盘的一部分（5×5 的正方形网格），以 点D，E 为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC 全等，这样的格点三角形最多可以画出个．
1
?知识点睛 1.存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某 种状态是否存在的题目，主要考查． 2.存在性问题的处理思路： ①分析不变特征 分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类． ②分类画图求解 分析各种状态的可能性，画出符合题意的图形． 通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形． ③结果验证 回归点的运动范围，画图或推理，验证结果． 注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点、线、图形；函数背景往往研究点坐标、表达式等． 3.等腰三角形存在性的不变特征及特征下操作要点举例： 两定一动 连接两个定点得定线段，定线段在等腰三角形中作腰或底进行分类（两圆一线），通常借助腰相等或者“三线合一”进行求解． 4.全等三角形存在性的特征分析及特征下操作要点： 分析两三角形的不变特征及对应关系，根据不确定的对应关系进行分类，通常借助边、角的对应相等进行求解．
?精讲精练 1.如图，直线y=kx-4 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，且OB 4 ．OA 3 点 C 在第一象限，且在直线y=kx-4 上，△AOC 的面积是6．（1）求点C 的坐标． （2）x 轴上是否存在点P，使△POC 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
一次函数的存在性问题(共13题)
一次函数之存在性问题 知识点睛 函数背景下研究存在性问题，先把函数信息转化为几何信息，然后按照存在性问题来处理． 几何图形 一次函数 坐标 1. 如图，直线2 y x =+与坐标轴分别交于A，B两点，点C在y轴上，且 1 2 OA AC =，直线CD ⊥AB于点P，交x轴于点D． （1）求点P的坐标； （2）坐标系内是否存在点M，使以点B，P，D，M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在， 请说明理由．
2. 如图，直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且4 3 OC OB ． （1）求B 点的坐标和k 的值． （2）若点A （x ，y ）是第一象限内的直线y =kx -4上的一个动点,则当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？ （3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在点P ，使△POA 是等腰三角形？若存在，求出点P 3. 如图， 在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，OA =6，OB =12，点C 是直线y =2x
与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD = （1）求直线AB的解析式及点C的坐标； （2）求直线AD的解析式； （3）P是直线AD上的一个动点，在平面内是否存在点Q，使以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4. 如图，直线1 22 y x = +与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点C 的坐标为（-3,0） ，P （x ，y ）是直线1 22 y x = +上的一个动点（点P 不与点A 重合） ． （1）在P 点运动过程中，试写出△OPC 的面积S 与x 的函数关系式； （2）当P 运动到什么位置时，△OPC 的面积为27 8 ，求出此时点P 的坐标； （3）过P 作AB 的垂线分别交x 轴、y 轴于E ，F 两点，是否存在这样的点P ，使△EOF ≌△BOA ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 6.如图，在直角坐标系中，一次函数y = 23 x +的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ． （1）已知OC ⊥AB 于C ，求C 点坐标； （2）在x 轴上是否存在点P ，使△PAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若 x x
一次函数与平行四边形存在性问题
一次函数与平行四边形存在性问题 问题描述 在平面几何中，我们知道一次函数可以用来表示一条直线的方程，而平行四边形则是具有平行边的四边形。我们现在想研究以下问题：一次函数是否存在与平行四边形的边平行的斜率？ 解决方案 我们将通过讨论一次函数的斜率和平行四边形的边进行分析。 一次函数的斜率 一次函数可以用如下的一般方程表示： y = mx + c 其中，`m` 表示斜率，`c` 表示截距。
斜率 `m` 是函数直线斜率的关键参数，它决定了直线的倾斜程度。我们知道，当两条直线的斜率相等时，它们是平行的。 平行四边形的边 平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边是平行的。我们可以定义平行四边形的边为 `AB` 和 `CD`，并假设它们是平行的。 讨论 现在，我们来探讨一次函数是否可能存在与平行四边形的边平行的斜率 `m`。 假设 `AB` 和 `CD` 是平行四边形的边，我们可以通过求解两个点的斜率来判断函数的斜率是否与平行四边形的边平行。 假设点 `A` 的坐标为 `(x1, y1)`，点 `B` 的坐标为 `(x2, y2)`，我们可以计算出两点的斜率 `m_AB`： m_AB = (y2 - y1) / (x2 - x1)
同理，如果点 `C` 的坐标为 `(x3, y3)`，点 `D` 的坐标为 `(x4, y4)`，我们可以计算出另一条边的斜率 `m_CD`： m_CD = (y4 - y3) / (x4 - x3) 如果 `m_AB` 等于 `m_CD`，那么一次函数存在与平行四边形的边平行的斜率。 总结 通过对一次函数的斜率和平行四边形的边进行分析，我们得出结论：一次函数存在与平行四边形的边平行的斜率。 请注意，此结论仅在满足题设条件的情况下成立，具体问题具体分析。此解决方案仅提供了一种可能的方法，具体问题的解决需要进一步讨论和推导。 参考资料：
一次函数之平行四边形存在性问题
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一次函数与平行四边形 1.线段中点公式 平面直角坐标系中，点A 坐标为(x 1，y 1)，点B 坐标为(x 2，y 2)， 则线段AB 的中点P 的坐标为 （2 ,22121y y x x ++） 例：如图，已知点A (-2，1)，B (4，3)，则线段AB 的中点P 的坐标是________. 2.线段的平移 平面内，线段AB 平移得到线段A'B' ，则①AB ∥A'B' ，AB =A'B' ；②AA'∥BB'，AA'= BB'. 如图，线段AB 平移得到线段A'B' ，已知点A (-2，2)，B (-3，-1)， B' (3，1)，则点A'的坐标是________. 例：如图，在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点坐标分别为A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)、C (x 3,y 3)、D (x 4,y 4)，已知其中3个顶点的坐标，如何确定第4个顶点的坐标 例：如图，已知□ABCD 中A (-2，2)，B (-3，-1)， C (3，1)，则点D 的坐标是________. 方法一：利用线段平移 总结：x 1-x 2= x 4-x 3，y 1-y 2= y 4-y 3 或者 x 4-x 1= x 3-x 2，y 4-y 1= y 3-y 2 等 方法二：利用中点公式 总结：x 1+x 3= x 2+x 4，y 1+y 3= y 2+y 4
类型一：三定一动 例1 、如图，平面直角坐标中，已知中A (-1，0)，B (1，-2)，C (3，1)，点D是平面内一动点，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是_________________________________. 总结：三定一动问题，可以通过构造中点三角形得以解决. 说明：若题中四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标只有一个结果 ________
一次函数背景下的平行四边形存在性问题
一次函数背景下的平行四边形存在性问题 在解决一次函数背景下的平行四边形的存在性问题，我们需要首先先厘清平行四边形的性质： 1、平行四边形的对边平行且相等； 2、平行四边形的对角线互相平分。 总结：第③种情况共有3种做法，解法1利用平行直线斜率相等，
联立求出交点D坐标；解法2利用了图形运动思想，点C→点A的运动路径与点B→点D运动路径相同(也可以利用点C→点B，点A→点D);解法3利用了平行四边形的中心对称性对角中点互相重合。三种办法殊途同归，但是方法2与3更为简单。 在解决平面直角坐标系中的平行四边形存在性问题时，首选解法3。一方面计算过程简便，另一方面不考虑方向性。将解法3进行一般化，我们可以得到以下结论： 上述问题中的问题1和2，将这类问题称为“三定一动”，即题目中有3个定点，1个动点，这个动点的横纵坐标都不确定，可以设这个定点为(x,y)，此时有2个未知数。上述问题中的问题3，将这类问题称为“二定二动”，即题目中有2个定点，2个动点，这两个动点的横纵坐标都不确定，但是这两个动点可能在直线上，也可能在坐标轴上，最后通过设元，还是体现了2个未知数。 即运用上述公式解决问题时，只能有2个未知量，不然无法解出
等式。但是如果平行四边形中有一条边平行于坐标轴(问题1)，则可以直接利用“对边相等”这个性质解决，相较于对角线法更为简单。
对于平行四边形的存在性问题，不难发现，一般情况下，动点最多也就两个，不管是在坐标轴上、还是在直线、甚至在今后所学的抛物线上，总是能够用字母表示出动点的坐标。只要能够准确分类讨论，标对了点的坐标，接下来只要计算正确即可了。
一次函数与特殊四边形的存在性问题(培优拓展)
一次函数与特殊四边形的存在性问题 (培优专题） 1．(2015春•通州区校级期中）如图，在直角坐标系中，A（0，1)，B（0,3），P是x轴上一动点，在直线y=x上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形?若存在，画出所有满足情况的平行四边形,并求出对应的P、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．(2015春•北京校级期中）已知直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B． （1）求∠BAO的平分线的函数关系式；（写出自变量x的取值范围） (2）点M在已知直线上，点N在坐标平面内，是否存在以点M、N、A、O为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标;若不存在，说明理由． 3．（2010秋•吴江市校级期中)已知:如图,在矩形ABCD中，点E在AD边上，AE＞DE，BE=BC，点O是线段CE的中点． （1）试说明CE平分∠BED；
(2)在直线AD上是否存在点F，使得以B、C、F、E为顶点的四边形是菱形？如果存在，试画出点F的位置，并作适当说明；如果不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系xOy,直线y=x+1与y=﹣2x+4交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一个动点，直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O,A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标;若不存在，请说明理由． 5．如图，点A的坐标是（2，1），点B的坐标是(5，1）,过点A的直线l的表达式为y=2x+b，点C在直线l上运动，在直线OA上是否存在一点D，使得以A,B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(完整)一次函数特殊平行四边形存在性
(完整)一次函数特殊平行四边形存在性 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)一次函数特殊平行四边形存在性）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)一次函数特殊平行四边形存在性的全部内容。
特殊平行四边形存在性 ➢课前预习 1.一般情况下我们如何处理存在性问题？ （1）研究背景图形 坐标系背景下研究____________、____________；几何图形研究____________、____________、____________． （2）根据不变特征,确定分类标准 研究定点，动点，定线段,确定分类标准 不变特征举例： ①等腰三角形（两定一动） 以定线段作为_________或者___________来分类,利用 _______________确定点的位置． ②等腰直角三角形（两定一动） 以________________来分类，然后借助_________或者 ___________确定点的位置． （3）分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解 (4）结果验证 2.用铅笔做讲义第1，2题,并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题， 思路受阻时（某个点做了2～3分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．➢知识点睛 1.存在性问题处理框架： ①研究背景图形． ②根据不变特征，确定分类标准． ③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解． ④结果验证． 2.特殊平行四边形存在性问题不变特征举例： ①菱形存在性问题（两定两动） 转化为等腰三角形存在性问题; 以定线段作为底边或者腰确定分类标准,利用两圆一线确定一动点的位置,然后通过平移确定另一动点坐标． ②正方形存在性问题（两定两动） 转化为等腰直角三角形存在性问题；
09 专题九：一次函数与平行四边形存在性问题(方法专题)
1、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，-2），B（4，0），若C是坐标平面内一点，且以A，B，C，O为顶点的平行四边形是_______________________。 【答案】（-2,-2），（6，-2）或（2,2）。 2、已知M（1，1）是AB的中点，若点A的坐标为（3，2）则点B的坐标为_________。 【答案】（-1,0）。 1.线段中点坐标公式 平面直角坐标系中，点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则线段AB的中点坐标为1212 , 22 x x y y ++ ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ 。 2.平行四边形顶点坐标公式 ABCD的顶点坐标分别为A（x A，y A）、B（x B，y B）、C（x C，y C）、D（x D，y D），则：x A+x C=x B+x D；y A+y C=y B+y D。 即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等。 解法点睛 专题导入 一次函数与平行四边形存在 性问题
3.一个基本事实，确定动点位置 如图，已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，在平面内另找一个点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形.答案有三种：以AB 为对角线的ACBD 1，以AC 为对角线的ABCD 2，以BC 为对角线的ABD 3C 。 例1、已知：在平面直角坐标系中，点(1,0)A ，点(4,0)B ，点C 在y 轴正半轴上，且2OB OC =． （1）试确定直线BC 的解析式； （2）在平面内确定点M ，使得以点M 、A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M 的坐标． 【答案】解：（1）(4,0)B ，4OB ∴=， 又2OB OC =，C 在y 轴正半轴上， (0,2)C ∴． 设直线BC 的解析式为(0)y kx b k =+≠． 过点(4,0)B ，(0,2)C ， ∴402k b b +=⎧⎨=⎩ ， 解得122 k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为122 y x =-+． 专题精析
【八年级压轴精选】一次函数背景下的存在性问题与最值问题，一题通关！
【八年级压轴精选】一次函数背景下的存在性问题与最值问 题，一题通关！ 展开全文 自编一题，融合多种存在性问题和最值问题，若有兴趣补充编题的请留言，八下内容，解法要避开相似。 1、求解析式 ①用尺规作出直线BC和点D， ②求直线BC的解析式，③求点D坐标； 2、存在性问题 (1)全等三角形存在性： ①P为平面内一动点，且满足△ABC与△ABP全等，求点P坐标； ②P为直线BC上一动点，Q为x轴上一动点，且满足△ABC与△CQP全等，求点P坐标 (2)等腰三角形存在性： P为直线BC上一动点，△ABP为等腰三角形，求点P坐标； (3)直角三角形存在性：
直线l过原点，且与BC平行，P为直线l上一动点，△ABP为直角三角形，求点P坐标； (4)等腰直角三角形存在性： P为第二象限内上一动点，△ABP为等腰直角三角形，求点P坐标； (5)等边三角形存在性（九年级用） P为第二象限内上一动点，△ABP为等边三角形，求点P坐标； (7)平行四边形存在性： ①三定一动：P为平面内一动点，且以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，求点P坐标； ②两定两动：P为直线AB上一动点，Q为y轴上一动点，且以B、 C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P、Q的坐标； (8)菱形存在性： P为直线BC上一动点，Q为平面内一动点，且以A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形，求点P、Q的坐标； (9)矩形存在性： 直线l过原点，且与BC平行，P为直线l上一动点，Q为平面内一动点，且以A、B、P、Q为顶点的四边形为矩形，求点P、Q的坐标；
本讲先来解析部分小题： 1、求解析式 ①用尺规作出直线BC和点D， ②求直线BC的解析式，③求点D坐标； （考查内容：尺规作图、图形折叠、待定系数法求解析式，勾股定理或等积法求线段长） ①折叠想到重合，全等，可得BC为∠ABO平分线，完成基本作图作已知角的角平分线即可，由D、O重合，可知BD=BO，CD=CO，CD⊥AB，所以在AB上截取BD=BO或CD=CO，或过C作CD⊥AB 于D(此法较繁)
【教学设计】八下数学专题复习--以一次函数为载体的平行四边形的存在性问题
1 八下数学专题复习 --以一次函数为载体的平行四边形的存在性问题 一、教学目标 1. 知识目标：探索以一次函数为载体的平行四边形的存在性问题，并能熟练应用。 2. 能力目标：经历探索以一次函数为载体的平行四边形的存在性问题，提高学生对问题的探究能力和对知识的综合应用能力。 3. 情感目标：在探究中发展学生的探究意识和合作交流的习惯，感受平行四边形与三角形知识的密切联系，体会数学的数形结合思想、分类思想和转化思想。 二、教学重难点 1. 重点：找三定一动类型的动点位置。 2. 难点：求三定一动类型的动点坐标。 三、教法：探索归纳 四、教学过程 1. 课前导学 （1）画一画：请你画出以A 、B 、C 为其中三个顶点的 平行四边形. （2）已知点A （2,1），点C （6,5），那么AC 中点P 的 坐标为 . （3）已知点B （3,4），点P 为线段BD 的中点，那么点 D 的坐标为 . （4）顺次连接ABCD ，请问四边形ABCD 是什么四边 形？为什么？ （5）请问平行四边形ABCD 的顶点横坐标之间有什么 关系？纵坐标呢？ 2. 归纳总结 若平行四边形ABCD 处于平面直角坐标系中， 其顶点坐标为A （x a ，y a ）B （x b ，y b ） C （x c ，y c ） D （x d ，y d ）,你可以得出什么 结论？
2 3. 例题讲解 已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（3,7），（1,2）， （6,4），求点D 的坐标使四边形ABCD 成为平 行四边形。 4. 变式训练 已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（3,7），（1,2）， （6,4），求点D 的坐标使以A 、B 、C 、D 为顶 点的四边形成为成为平行四边形。 5. 比较总结 例题和变式在解题中有什么区别？ 6. 进阶训练 如图，若点A （2,1），B （5,1），C 在过点A 的直线y=2x-3上，且以A 、B 、C 为其中三个顶点的平行四边形的面积为6.求平行四边形顶点D 的坐标. 7. 拓展提升 在平面直角坐标系中，点A （2,1），B （5,1），点C 在直线y=2x-3上运动，问：在直线y=0.5x 上是否存在一点D ，使得以A 、B 、 C 、 D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由. 五、板书设计 八下数学专题复习--以一次函数为载体的平行四边形的存在性问题 找①类型：三定一动、两定两动 ②分类标准：对角线 ↓ 求①中点坐标法 ②平移法 ③全等法 六、教学反思
一次函数与四边形存在性问题
一次函数与四边形存在性 【学习目标】 1．熟练运用一次函数解决特殊四边形存在问题； 2．体会数形结合的思想方法；体会一次函数与几何图形的内在联系． 平行四边形问题:（注意点的顺序） 1.给三点，先连接三点构成三角形；然后以每边为对角线构造平行四边形；以中点公式或者平移法求点坐标。 2.给两点，分为边和对角线讨论，充分利用平行四边形对边平行且相等，对角线平分两个全等三角形来做。 1.在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为 ． （1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为． （2）在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标． 2.已知点A、B、C、D可以构成平行四边形，且点A（－1，0），点B（0，3），点C（3，0），则第四个顶点D的坐标为_________________________；
x y B C A O 举一反三： 1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线 交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，以线段AB 为边 作菱形ABCD （点C 、D 在第一象限），且点D 的纵坐标为9． （1）求点A 、点B 的坐标； （2）求直线DC 的解析式； （3）除点C 外，在平面直角坐标系xOy 中是否还存在点P ，使点A 、B 、D 、P 组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图，在平面直角坐标系中，函数122+=x y 的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点．过点A 的直线交 y 轴正半轴于点C ，且点C 为线段OB 的中点． （1）求直线AC 的表达式； （2）如果四边形ACPB 是平行四边形，求点P 的坐标． 3. 如图10，直线102+-=x y 与x 轴交于点A ，又B 是该直线上一点，满足OA OB =， （1）求点B 的坐标； （2）若C 是直线上另外一点，满足AB=BC ，且四边形OBCD 是平行四边形，试画出符合要求的大致图 形，并求出点D 的坐标. 4.已知：如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形ABCD ，且AD ∥BC ，AB=CD ，点A 在y 轴正半轴上，点B 、C 在x 轴上（点B 在点C 的左侧），点D 在第一象限，AD=3，BC=11，梯形的高为2，双曲线y=经过点D ，直线y=kx +b 经过A 、B 两点． O B A x y D
一次函数的存在性问题(共13题)版
2. 如图，直线尸kx-4与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且 (1) 求B 点的坐标和k 的值. OC = 4 OB 3 (2) 若点A (x ，y )是第一象限内的直线y=kx-4上的一个动点，则当点A 运动到什么位置 时，△AOB 的面积是6? (3)在(2)成立的情况下, x 轴上是否存在点 P ,使APOA 是等腰三角形？若存在，求 出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 一次函数之存在性问题 知识点睛 函数背景下研究存在性问题，先把函数信息转化为几何信息，然后按照存在性问题来处 理. 1.如图，直线y 2与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在y 轴上’且先丄Q '直线CD 丄AB 于点P ,交x 轴于点D . (1) 求点P 的坐标； (2) 坐标系内是否存在点M ，使以点B ，P ，D ，M 为顶点的四边形为平行四边形？若存 在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. y*
3.如图，在平面直角坐标系中，点A, B分别在x轴、y轴上，0A=6, OB=12，点C是直线y=2x 与 直线AB的交点，点D在线段0C上，OD= 2.5 . (1) 求直线AB的解析式及点C的坐标； (2) 求直线AD的解析式； (3) P是直线AD上的一个动点，在平面内是否存在点Q,使以O, A，P，Q为顶点的四边 形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
最新资料推荐 1 4.如图，直线y「x+2与x轴、y轴分别交于A, B两点，点C的坐标为(-3,0), P (x, y) 2 1 是直线y = -x 2上的一个动点(点P不与点A重合). 2 (1)在P点运动过程中，试写出△OPC的面积S与x的函数关系式； (2)当P运动到什么位置时，△OPC的面积为27，求出此时点P的坐标； 8 (3)过P作AB的垂线分别交x轴、y轴于E，F两点，是否存在这样的点P,使AEOF ◎△ BOA?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
初二数学.春.直升班.教师版.第13讲 特殊四边形的存在性问题1
模块一：坐标系下平行四边形的存在性问题 1．已知三点求第四点构成平行四边形： 如图所示，已知11(,)B x y ，22(,)C x y ，33(,)D x y ，在平面内找一点(,)A x y ，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为平行四边形． 2．解决方法，分两步走： （1）找点：连接BC 、CD 、BD 得到BCD △，以三角形中任意一条边作为平行四边形的对角线，另外两条边作为平行四边形的一组邻边，依次做两邻边的平行线，分别相交于A 、A'、A''三点． （2）求点定点：分类讨论，以哪条线为对角线分类讨论． ①几何中心法（适用解答大题）： 在平行四边形ABCD 中，连接其对角线AC 、BD 相交于点00(,)E x y ， 则E 是BD 的中点，∴E 点坐标可表示为1313,2 2x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 同理E 也是AC 的中点，∴E 点坐标也可表示为22,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， ∴13222x x x x ++=，13222y y y y ++= ，由此即可求出A 点坐标． 同理可以求得，A'、A''的坐标． ②公式法（填空选择题）： 直接利用对角的点的横坐标的和相等，纵坐标的和相等，即132x x =x x ++，132y y =y y ++． 模块二：菱形的存在性问题 1．题型描述：已知两个定点A 、B ，在定直线l 上有一点C ，在平面内有一点D 使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为菱形． 2．解决方法，分两步走： （1）转化：转化为等腰三角形的存在性问题． （2）等腰三角形存在性问题： ①找点：两圆一线； ②求点：以谁为顶点分类讨论． 模块三：矩形的存在性问题 1．题型描述：已知两个定点A 、B ，在定直线l 上有一点C ，在平面内有一点D 使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为矩形． 2．解决方法，分两步走： （1）转化：转化为直角三角形的存在性问题． （2）直角三角形存在性问题： ①找点：两线一圆； ②求点：以谁为直角分类讨论．
第2讲-特殊四边形存在性问题
平行四边形存在性问题 知识总结 1． 平行四边形性质： （1）对应边平行且相等； （2）对角线互相平分． 2． 坐标系中的平行四边形： （1）对边平行且相等：A B D C A B D C x x x x y y y y -=-⎧⎨-=-⎩， （2）对角线互相平分：2222 A C B D A C B D x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，即A 、C 中点与B 、D 中点重合． 以上两条可统一为： A B D C A C D B A B D C A C D B x x x x x x x x y y y y y y y y -=-+=+⎧⎧→⎨⎨-=-+=+⎩⎩，2222 A C B D A C B D x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨ ++⎪=⎪⎩→A C B D A C B D x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩． 当AC 和BD 为对角线时，结果可简记为：A C B D +=+（各个点对应的横纵坐标相加）． y D -y C x D -x C y A -y B x A -x B A B C D D C B A 特殊四边形存在性问题 第2讲
若坐标系中的4个点A 、B 、C 、D 满足“A +C =B +D ”，则四边形ABCD 是否一定为平行四边形？ 反例如下： 注意：（1）四边形ABCD 是平行四边形：AC 、BD 一定是对角线． （2）以A 、B 、C 、D 四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论． 3． 常见题型 （1）三定一动 已知A （1，2）B （5，3）C （3，5），在坐标系内确定点D 使得以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形． （2）两定两动 已知A （1，1）、B （3，2），点C 在x 轴上，点D 在y 轴上，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求C 、D 坐标． D D 2 O y A
6一次函数之存在性问题培优班讲义
一次函数之存在性问题（讲义） 一、知识点睛 存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查_______________. 一次函数背景下解决存在性问题的思考方向： 1.把函数信息（_________________）转化为几何信息； 2.分析特殊状态的形成因素，画出______________________； 3.结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的_______ _______建立等式来解决问题． 二、精讲精练 1. 如图，直线 3 y x =+x轴、y轴分别交于点A，点B，已知点P是第一象限内的点，由点P，O，B组成了一个含60°角的直角三角形，则点P的坐标为__________________．
2.如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且 4 3 OC OB . （1）求点B的坐标和k的值． （2）若点A是第一象限内直线y=kx-4上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6？ （3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 .
3.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y 轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC =，点C的坐标为(-9， 0)． （1）求点B的坐标． （2）若直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD的表达式． （3）若点P是（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
一次函数的存在性问题(共13题)
一次函数之存在性问题【1】 知识点睛 函数背景下研究存在性问题，先把函数信息转化为几何信息，然后按照存在性问题来处理． 几何图形 一次函数坐标 1. 如图，直线 2y x = +与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在y 轴上，且 1 2OA AC = ，直线CD ⊥AB 于点P ，交x 轴于点D ． （1）求点P 的坐标； （2）坐标系内是否存在点M ，使以点B ，P ，D ，M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 2. 如图，直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且 4 3OC OB =． （1）求B 点的坐标和k 的值． （2）若点A （x ，y ）是第一象限内的直线y =kx -4上的一个动点,则当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？ （3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在点P ，使△POA 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
3. 如图，在平面直角坐 标系中，点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，OA =6，OB =12， 点C 是直线y =2x 与直线AB 的交点，点D 在线段OC 上，OD = （1）求直线AB 的解析式 及点C 的坐标； （2）求直线AD 的解析式； （3）P 是直线AD 上的一个动点，在平面内是否存在点Q ，使以O ，A ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 4. 如图，直线 1 22 y x = +与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点C 的坐标为（-3,0），P （x ，y ）是直线 1 22 y x = +上的一个动点（点P 不与点A 重合）． （1）在P 点运动过程中，试写出△OPC 的面积S 与x 的函数关系式； （2）当P 运动到什么位置时，△OPC 的面积为278，求出此时点P 的坐标； （3）过P 作AB 的垂线分别交x 轴、y 轴于E ，F 两点，是否存在这样的点P ，使△EOF ≌△BOA ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 6.如图，在直角坐标系中，一次函数y =23 x +的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ． （1）已知OC ⊥AB 于C ，求C 点坐标； （2）在x 轴上是否存在点P ，使△PAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． x