第七章三角形(87中)

?180人教版七下第七章《三角形》单元设计

（承担单位：87中学初一数学备课组）

总体说明（执笔：陈婷）

教学重点：与三角形有关的一些概念（三角形、三角形的边、顶点、内角、外角、高、中线、角平分线）以及三角形的性质（稳定性，三角形内角和等于 ）；与多边形有关的概念及多边形的内角和与外角和公式；平面图形的镶嵌.

教学难点：通过逻辑推理证明“三角形内角和等于?180 .”的结论成立.这证明可以让学生形成先证明后使用定理的思想，这不仅提高学生已有的水平，还可以为正式学习证明作准备，可学生初接触证明，仍需教师引导学生利用“平行线的性质与平角的定义”证明. 教学时数：教参建议9节，本设计安排9节 设计的整体框架：以三角形的有关概念与性质为基础，通过把多边形转化成三角形问题解决，教会学生把复杂图形转化为简单图形的转化思想。 具体安排分述如下

总共5课时讲解新课，用了4节巩固课.

课时1：教学目标及要解决的问题：了解与三角形有关的一些概念（三角形、三角形的边、顶点、内角），知道三角形的分类，并会说明“三角形两边的和大于第三边”.

课时2：教学目标及要解决的问题：通过画图，在三角形的高的认识基础上，学习三角形的中线、角平分线，并能从实验中得出三角形的稳定性.

课时3：教学目标及要解决的问题：通过逻辑推理证明“三角形的内角和等于?180.”的结论成立；并能利用三角形的内角和定理推导“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.”与“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.”

课时4：教学目标及要解决的问题：能利用三角形内角和或外角和定理解题.

课时5：教学目标及要解决的问题：利用三角形的概念学习多边形的有关概念，并能利用三角形的内角和和外角和定理推导多边形的内角和和外角公式，学会简单应用. 课时6：教学目标及要解决的问题：多边形内角和及外角和定理巩固练习课.

课时7：教学目标及要解决的问题：通过平面图形的镶嵌，由多边形的内角和公式说明任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计. 课时8：教学目标及要解决的问题：综合应用练习课. 课时9：教学目标及要解决的问题：单元巩固练习课.

三角形学案（1）

7.1 与三角形有关的线段（1）

姓名____________班级___________学号__________

一、新课讲解： 1.看图1,并用几何语言填空：

该图形记作____________,其顶点分别是_____、______、______; 其边分别是_______、_________、___________;

其内角分别是__________、___________、____________.

结合本题，概括出三角形的概念“由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形”，尤其注意“首尾顺次相接”.

2.思考：是否任意三条线段都能首尾顺次相接构成三角形？

试一试：任意画一个ABC ?，假设一只小虫从点B 出发，沿三角形的边爬到点C ，它有几

C A 图1

条路线可以选择？各条路线的长一样吗？若从点A出发，爬到点C呢？若从点A爬到点B 呢？

由此得出结论：三角形两边的和大于第三边.

3.练习：下列长度的三条线段能否首尾顺次连接组成三角形？为什么？

（1）3，4，8；（2）5，6，11；（3）5，6，10.

4.三角形的分类：

（1）按边分类：

①随意画一个三边都不相等的三角形.

②如图2，三角形ABC中，若AB=AC，则三角形ABC是三角形，

则,

AB AC叫等腰三角形的；BC叫做．

,B C

∠∠叫做；A

∠叫做．

③三角形ABC中，若AB=BC＝CA，则三角形ABC是三角形．

（2）按角分类

如图．图①是三角形；图②是三角形；图③是三角形．

二、例题讲解：

例题：用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.

（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？

（2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？

三、巩固练习：

1.练习：

图3中共有个三角形，它们分别是

E

D C A

图①图②图③

C

B

A

（图2）

B

C

A

C

B A

C

B

A

2.下列长度的各组线段不能组成三角形的是（ ）．

Ａ．２cm ，３cm ，４cm Ｂ．３cm ，４cm ，5cm Ｃ．４cm ，６cm ，10cm Ｄ．5 cm, 6cm, 10cm 3. 若三角形的两边长为４，8，则第三边可以为（ ）．

Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ 4. 若等腰三角形的两边长分别是４，７，则第三边长是（ ）．

Ａ．４ Ｂ．７ Ｃ．5 Ｄ．4或7

5. ①等腰三角形的两边长分别是5cm ，8 cm ，则等腰三角形的周长是 ； ②等腰三角形的两边长分别是6cm ，12cm ，则等腰三角形的周长是 ．

6. 若三角形的两边长分别为6、7，则第三边长a 的取值范围是（ ）．

A ． 71<

B ． 136<

C ．131<

D ．可取任何值

7．以7和3为三角形的两边长，另一边的长是整数，这样的三角形一共有（ ）．

A ．2个

B ．3个

C ． 4个

D ． 5个 8. 用一个长24cm 细铁丝围成一个等腰三角形.

(1) 若一边长为6 cm ，求另两边的长度；

(2) 如果底边比腰长3cm ，求三角形各边的长．

三角形学案（2）

7.1 与三角形有关的线段（2）

姓名____________班级___________学号__________ 一、新课讲解：

1.ABC ?中BC 边上的高，下列画法正确的是（ ）．

2. 分别画出下列各三角形的三条高．

B

C

A C

B A C

B

A

B

C

A C

B

A C

B

A

3．观察上题填空：以上各个三角形的三条高的位置关系是____________________. 锐角三角形的三条高的交点在三角形的 ；直角三角形的三条高的交点在三角形 ；钝角三角形的三条高的交点在三角形的 ． 4.作图并观察：

（1）分别画出下列各三角形的三条角平分线．

观察上图填空：锐角三角形的三条角平分线、直角三角形的三条角平分线、钝角三角形的三条平分线是否也有交点？

（2）分别画出下列各三角形的三条中线．

观察上图填空：锐角三角形的三条中线、直角三角形的三条中线、钝角三角形的三条中线是否也有交点？

二、例题讲解：

例1：如图1，AD 是BAC ∠的角平分线，点E 是BC 边上的中点，AF 是ABC ?中BC 边上的高. ①若0

100BAC ∠=，则CAD ∠＝ 度； ②若8BE =cm ，则BC ＝ cm ；

③若8BD =cm ，ABD S ?＝16cm 2

，则AF ＝ cm ．

例2：如图2，ABC ?中，AB=2cm,BC=4cm, ABC ?的高AD 与CE 的比是多少？（提示：

利用三角形的面积公式.）

F

E D C

B

A (图1)

C D B E A

B C A C B A C

B A

例3：如图3，已知，MB 是ABC ?的中线，AB =5cm, BC =3cm ，ABM ?与BCM ?周长

差是多少？ABM ?与BCM ?的面积有什么关系？

三、巩固练习：

1. 如图4，点D 是ABC ?中AB 边上的中点，连接CD ，则下列结论正确的是（ ）．

Ａ．BDC ADC S S ??= Ｂ．BDC ADC S S ??> Ｃ．BDC ADC S S ??< Ｄ．以上都不对

2.对于下面每个三角形，过顶点A 画出中线、角平分线和高.

四、阅读课本67---68页，动手实践，掌握三角形的稳定性.

练习：下列图形中，具有稳定性的有

__________________________.

五.自我挑战：

如图5， 已知ABC ?中，1=?ABC S .

（1）AD 是ABC ?的中线，则ADC S ?= ； （2）DE 是ADC ?的中线，则DEC S ?= ； （3）EF 是DEC ?的中线，则EFC S ?= ；

(4) 如此循环下去，第十次得到的三角形的面积是 ；第n 次得到的三角形的面

积是 ．

(图3)

D

C

B

A

(图4)

(图5)

E

D C

A

① ② ③

三角形学案（3）

7.2 与三角形有关的角（1）

姓名____________班级___________学号__________

一、认识三角形有关的角

如图1所示，在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠ACB ；三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如∠ACD 是与△ABC 的内角∠ACB 相邻的外角.图1指明了△ABC 的主要成分.

二、三角形按角的分类

图中，三个三角形的内角各有什么特点？

第一个三角形中，三个内角均为锐角；第二个三角形中，有一个内角是直角；第三个三角形中，有一个内角是钝角.

三角形可以按角来分类：

所有内角都是锐角――锐角三角形； 有一个内角是直角――直角三角形； 有一个内角是钝角――钝角三角形； 练 习

1. 请在右侧画出：

（1） 等腰锐角三角形； （2） 等腰直角三角形； （3） 等腰钝角三角形. 三、三角形的内角和定理

1、三角形的内角是 度

2、如图CD 是BC 的延长线，CE 平行于AB ，求证：∠1＋∠2＋∠3＝180°

图1

2E

D C B A 31

四、三角形的外角和．

如图2所示，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角．

图2 三角形的外角与内角有什么关系呢？

图

3

如图3，显然有 ∠CBD （外角）＋∠ABC （相邻内角）＝180°． 那么外角∠CBD 与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？ 做一做

在一张白纸上画出如图3所示的图形，然后把∠ACB 、∠BAC 剪下拼在一起，放到∠CBD 上，看看会出现什么结果，与你的同伴交流一下，结果是否一样.

可以发现∠CBD ＝∠ACB ＋∠BAC ， 实际上，因为

∠CBD ＋∠ABC ＝180°

∠ACB ＋∠BAC ＋∠ABC ＝180°

比较这两个式子，就可以得到你与你的同伴所发现的结论. 由此可知，三角形的外角有两条性质：

1. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；

2. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.

与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角.从与每

个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.如图4所示， ∠1＋∠2＋∠3就是△ABC 的外角和. 做一做

在图4中 ∠1＋______________=180°, ∠2＋______________=180°, ∠3＋______________=180°. 三式相加可以得到

∠1＋∠2＋∠3＋______+______+______=_______,（1） 而 ∠ACB ＋∠BAC ＋∠ABC ＝180°， （2） 将（1）与（2）相比较，你能得出什么结论？ 可以得到：∠1＋∠2＋∠3＝360°

由此可知：三角形的外角和等于360°.

C B

A

32

1图4

三角形学案（4）

7.2 与三角形有关的角（2）

姓名____________班级___________学号__________

例1 如图，D 是△ABC 的BC 边上一点，∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝80°，∠BAC =70°.

求：（1）∠B 的度数；（2）∠C 的度数. 解（1）因为∠ADC 是△ABD 的外角，

所以 ∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝80°. 又 ∠B ＝∠BAD ，

所以 ∠B ＝80°×

2

1

＝40°. （2）在△ABC 中，

因为 ∠B ＋∠BAC ＋∠C ＝180°， 所以 ∠C ＝180°－∠B －∠BAC

＝180°－40°－70°

＝70°

练 习

1.（口答）一个三角形可以有两个内角都是直角吗？可以有两个内角都是钝角或都是锐角吗？为什么？

2.已知∠A 、∠B 、∠C 是△ABC 的三个内角.

（1） 如果∠A ＝90°，∠C ＝55°，那么∠B ＝______；

（2） 如果∠A ＝90°，∠B －∠C ＝24°，那么∠B ＝_____，∠C =______；

（3） 如果∠C ＝4∠A ，∠A ＋∠B ＝100°，那么∠A ＝______,∠B =______,与∠C 相邻的

外角＝_______.

3.求下列各图中∠1的度数.

4.如图，在直角△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠BCD ＝35°，求∠A 与∠EBC 的度数.

（第4题）

（第3题）

A 组

1. 判断题（对的填“√”，错的填“╳”）：

（1） 三角形中至少有两个锐角.（ ）

（2） 钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和.（ ） （3） 锐角三角形的三个内角都是锐角.（ ） （4） 钝角三角形的三个内角都是钝角.（ ） （5） 直角三角形的两个锐角互为余角.（ ）

2. 如图，按规定，一块模板中AB 、CD 的延长线应相交成85°角.因交点不在板上，不便

测量，工人师傅边结AC ，测得∠BAC ＝32°，∠DCA ＝65°，此时AB 、CD 的延长线相交所成的角是不是符合规定？为什么？

3. 如图，在直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是△ABC 的高，∠1＝30°.求∠2、∠B 与

∠A 的度数. B 组

4. 选择题：

（1）在三角形的三个外角中，锐角最多只有（ ）.

A ．3个

B ．2个

C ．1个

D ．0个

（2）若三角形三个内角的比为1:2:3，则这个三角形是（ ）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．等边三角形

D ．钝角三角形

5. 如图，已知DC 是△ABC 中∠ACB 的外角平分线，说明为什么∠BAC ＞∠B .

（第3题）

（第2题）

（第5题）

三角形学案（5）

7.3 多边形及其内角和（1）

姓名____________班级___________学号__________

一．多边形的有关概念讲解. 1. 多边形的认识

（1）阅读课本第79页的前三自然段，理解多边形的定义. （2）仔细观察下面的三个图形，哪些图形是多边形？图（1）、（2）与图（3）有什么区别？

(3)

(2)

(1)

D

C B

A

E

D

C

B

A

D

C

B A

图（1）、图（2），也称为 ，图（3）也为 ，但它不是 2. 多边形的内角与外角

与三角形类似，多边形也有内角和外角，你能通过观察下图说出哪些角是四边形的内角？哪些角是四边形的外角？

F

E

D

C

B

A

3. 正多边形的定义

阅读课本第80页最后一段，并填空：

各个 都相等，各条 都相等的多边形，叫做正多边形. 4. 多边形的对角线

先阅读课本第80页第一段，再做课本的第81页的练习的1，2题. 二．多边形的内角和公式及外角和公式

1.从下面各个多边形中的顶点A 出发，画出每个多边形的对角线.

F E

D

C

B

A

E

D

C

B

A

D

C

B

A

C

B A

边形内角和等于

2. (1).如右图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少？（课本82页的例2）

得到：多边形的外角和公式：任意n边形外角和等于_______________.

三、例题讲解：

如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

四、课堂练习

1. 正六边形的每个内角等于度,八边形的内角和是度.

2. 如果一个多边形的内角和是3600°，那么它是_________边形.

3.已知一个多边形的内角和等于外角和的2倍，则这个多边形的边数是__________.

4. 做课本第83页练习的第1题.（做在书上）

三角形学案（6）

7.3 多边形及其内角和（2）

姓名____________班级___________学号__________

一．填空

1. 多边形的内角和公式：n边形内角和等于,任意n边形外角和等于________ .

2. 十边形的内角和是度.

3. 一个多边形的内角和等于900°，那么它是边形.

4. 正六边形的每个内角等于度;正八边形的每一个外角是________度.

5. 如果一个正多边形的每个外角是24°，那么这个多边形有__________条边.

6.如果一个多边形的内角和与外角和的差为14400，那么这个多边形是边形．

二. 选择题

1. 若n边形每个内角都等于120°，那么这个n边形是（）．

A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形

2.已知一个多边形的外角和等于它的内角和，则这个多边形是（）．

A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形

E

D C

B

A

x+50°x

130°

3. 多边形的边数增加1，则它的内角和（ ）．

A ．增加180°

B ．增加360°

C ．不变

D ．减少180° 三．解答题 1. 如图1，四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ，AB 与CD 有什么关系？为什么？BC 与AD 呢？

2.如图2,1∠、2∠、3∠ 都是四边形ABCD 的外角，且1∠＋2∠＋3∠＝0210，求A

∠的值．

3.如图3，四边形ABCD 中，,BO CO 分别是,ABC BCD ∠∠的角平分线，且

208A D ∠+∠=，求BOC ∠的度数．

4.如图4，已知五边形ABCDE 中，AB ∥DC ．求E A ∠∠,的度数．

三角形学案（7） 7.4 课题学习 镶嵌

姓名____________班级___________学号__________

一、创设情境，导入课题 请欣赏以下图片，并回答问题

图4 O

D

C

B

A

图3

图2

32

1A D C B D C B

A 图1

1）用什么形状的图形铺成的？

2）为什么这些形状的图形能铺成无缝隙的？

3）如果你来拼，应该怎样拼才能拼得无缝隙呢？

二、动动手，拼拼图

1)把下列的一些形状相同、大小一样的正三角形剪下来，拼拼看，能否镶嵌成一个平面图

形？

2)把下列的一些形状相同、大小一样的任意三角形剪下来，能否镶嵌成一个平面图形？

3)把下列的一些形状相同、大小一样的四边形剪下来，拼拼看，能否镶嵌成一个平面图形？

4)把下列的一些形状相同、大小一样的正五边形、正六边形剪下来，拼拼看，能否镶嵌成

一个平面图形？

5)归纳：一般的，多边形能覆盖平面需要满足两个条件：

（1）

（2）

三、动动脑，想想看

我们经常能看到以下图案，

这些形状的材料能铺成平整、无空隙的地面，请问：

1）象上述那样铺地面，能否全用正七边形的材料？为什么？

2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？请把它画成草图。

3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图。

四、来试试，你设计

某公园从工地上收集了许多大理石的边角料,准备给公园的小路铺地面

1、能否用(a)铺满地面？

2、能否用(b)铺满地面？

（a ） (b) 请你为公园设计铺设方案。

五、你谈谈，我谈谈

我的收获是

六、作业：

1．请你继续搜索更美丽的瓷砖、地砖图案 2.自制一块21cm*29cm 的平面挂图 1）由一种或多种形状的图形拼成 2）美观大方，设计新颖

三角形学案（8）

综合应用

姓名____________班级___________学号__________

一、例题讲解

例1：如图，.//,64,110,42CD AB ACD A B 证明?=∠∠=?+∠?=∠

例2：

B

C D

42?

1

64?

BOA.DAC 70C 50BAC O BF AE AD ∠∠?=∠?=∠?，，求，，于点是角平分线，它们相交、是高，中，ABC O F

E D C

B

A

二、练习：

1.如图，现有三个村庄A 、B 、C ，村庄B 在村庄A 的南偏东 方向，村庄C 在村庄A 的南偏东?80方向，村庄B 在村庄C 的南偏西?45方向.求ABC ∠的度数.

2. 如图，DE 分别交ABC ?的边AB ，AC 于点D ，E ，

交BC 的延长线于点F ，0

67B ∠=，074ACB ∠=，048AED ∠=，求BDF ∠的度数．

3. 如图是一个五角星，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =_______．

4.如图, E 为ABC ?内一点，试说明：321∠+∠+∠=∠AEB ．

证明：延长BE 交AC 于F ∵BFA ∠是BFC ?的外角；

∴BFA ∠＝∠ ＋∠ （ ） 又∵AEB ∠是AEF ?的外角；

∴AEB ∠＝∠ ＋∠ （ ） ∴321∠+∠+∠=∠AEB （ ）

四、自我挑战

.

ABC ？请证明之间有怎样的数量关系与，相交于点相邻的两外角的平分线、中，分别与如图，已知BIC A I ACB ABC ∠∠∠∠?

?60E

D C

B

A

南

南

F

E

D

C

B

A

F

2

1

E

C

B

A

３

I

D

C

B A

（图3）

D C

B

A 三角形学案（9） 三角形单元巩固练习

姓名____________班级___________学号__________

一、选择题

1. 以长3cm ，5cm ，7cm ，10cm 的四条线段中的三条线段为边，可以构成三角形的个数是（ ）．

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 2. ABC ?中，A ∠:B ∠:C ∠＝１:２:３，则ABC ?是（ ）．

Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．等腰直角三角形 3. 如图1，P 为ABC ?内任意一点，

延长CP 交AB 于D ，则下列答案中错误的是（ ）． Ａ．13∠>∠ Ｂ．1A ∠>∠ Ｃ．2A ∠>∠ Ｄ．3A ∠<∠

4. 如图2,AB ∥CD ,AB 与CD 相交于点O ,0

30A ∠=,0

70D ∠=,则1∠的度数是（ ）．

A ．1400

B ． 1200

C ． 1000

D ．900

5. 能够铺满地面的正多边形组合是（ ）．

A ．正八边形和正方形

B ．正五边形和正十边形

C ．正方形和正六边形

D ．正四边形和正七边形

6.如果一个三角形的三条高的交点在三角形的外部，那么这个三角形是（ ）． Ａ．钝角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．锐角三角形 Ｄ．不能确定 二、填空题

１．一个多边形的内角和是0

1440，这个多边形的边数是________________.

２．若三角形的两边长分别为6、7，则第三边长a 的取值范围是 ． ３．已知△AB C 为等腰三角形，①当它的两个边长分别为8 cm 和3 cm 时，它的周长为_____；

②如果它的周长为18 cm ，一边的长为4 cm ，则腰长为_____cm ． 4. ABC ?中，0

100A ∠=，B C ∠=∠，则C ∠= 度． 5. 如图3，AD 是 ABC ?的中线，ABC ?的面积为80cm 2 ,

则ADB ?的面积是 cm 2． 三、解答题

1.如图4，按图中所给的条件，求出∠1、∠2、∠3的度数.

32

1D P C

B A

（图1）

O D C B

A （图2） １

2.如图5,AF ,AD 分别是ABC ?的高和角平分线,且040=∠B ,0

70=∠C ,求DAF ∠的

度数.

3． 如图6,五边形ABCDE 中,ED ∥BC ,求图中x 的值.

4．如图7，0

90B D ∠=∠=，AE 平分DAB ∠交BC 于E ，CF 平分BCD ∠交AD 于F ． 求证：AE ∥CF ．

5．如图8，ABC ?中，DB 是ABC ∠的角平分线，DE ∥BC ,交AB 于点

E ,060=∠A ,095=∠BDC ,求BDE ?各内角的度数.

E

F

D C B A （图7） D F

C

B A

（图5）

E D

C

A

（图8）

x

135°

60°

150°

E

D

B

A

（图6）