(江苏专用)高考数学二轮复习 第二篇 第27练 压轴小题专练(1)试题 理-人教版高三全册数学试题
第27练 压轴小题专练(1)
[明晰考情] 高考题中填空题的最后2或3个小题，往往出现逻辑思维深刻，难度高档的题目.
考点一 与函数有关的压轴小题
方法技巧 本类压轴题常以超越方程、分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点、参数的X 围和通过函数性质求解不等式.解决该类问题的途径往往是构造函数，进而研究函数的性质，利用函数性质去求解问题是常用方法，其间要注意导数的应用.
1.偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2
，若函数g (x )＝f (x )－|lg x |，则g (x )在(0,10)上的零点个数为________. 答案 10
解析 由题意g (x )＝f (x )－|lg x |＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
f (x )－l
g x ，lg x ≥0，f (x )＋lg x ，lg x <0，
∵f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x )＝f (x ＋2)，故f (x )是周期函数，且T ＝2， 又函数f (x )是R 上的偶函数，
∴f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于x ＝1对称，当x >0时，在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝|lg x |的图象，如图所示.
由图象知函数g (x )的零点个数为10.
2.已知函数f (x )＝2x
－12(x <0)与g (x )＝log 2(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的
取值X 围是________. 答案 (－∞，2)
解析 由f (x )关于y 轴对称的函数为h (x )＝f (－x )＝2－x
－12(x >0)，
令h (x )＝g (x )，得2－x
－12＝log 2(x ＋a )(x >0)，
则方程2－x
－12
＝log 2(x ＋a )在(0，＋∞)上有解，
作出y ＝2－x
－12
与y ＝log 2(x ＋a )的图象，如图所示，
当a ≤0时，函数y ＝2－x
－12与y ＝log 2(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上必有交点，符合题意；
若a >0，两函数在(0，＋∞)上必有交点，则log 2a <1
2，解得0 综上可知，实数a 的取值X 围是(－∞，2). 3.函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D 使得f (x ) 在[a ，b ]上的值域为⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤a 2，b 2，则称函数f (x )为“成功函数”.若函数f (x )＝log m (m x ＋2t )(其 中m >0，且m ≠1)是“成功函数”，则实数t 的取值X 围为________. 答案 ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫0，18 解析 无论m >1还是0 ＋2t )都是R 上的单调增函数，故应有 ⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝a 2，f (b )＝b 2 ，则问题可转化为求f (x )＝x 2，即f (x )＝log m (m x ＋2t )＝x 2 ，即m x ＋2t ＝1 2 x m 在 R 上有两个不相等的实数根的问题，令λ＝1 2 x m (λ>0)，则m x ＋2t ＝1 2 x m 可化为2t ＝λ－λ 2 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋14，结合图形(图略)可得t ∈⎝ ⎛⎭ ⎪⎫0，18. 4.(2018·某某省如东高级中学月考)已知函数f (x )＝(x 2 －3)e x ，设关于x 的方程f 2 (x )－af (x )＝0(a ∈R )有4个不同的实数解，则a 的取值X 围是________. 答案 ⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫ 6e 3∪(－2e,0) 解析 由题意知，f ′(x )＝2x e x ＋(x 2－3)e x ＝e x (x 2 ＋2x －3)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3， 所以当x <－3或x >1时，f ′(x )>0，当－3 所以f (x )在(－∞，－3)上单调递增，在(－3,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝－3时，f (x )取得极大值6 e 3； 当x ＝1时，f (x )取得极小值－2e ，当x →－∞时，f (x )→0， 作出函数f (x )的图象，如图所示， 由f 2 (x )－af (x )＝0，得f (x )＝0或f (x )＝a ， 由图象可知f (x )＝0有两解，所以f (x )＝a 也有两解， 所以a ＝6 e 3或－2e 考点二 与数列有关的压轴小题 方法技巧 数列与函数的交汇、数列与不等式的交汇问题是高考的热点.解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化，确定数列的通项或前n 项和，利用函数的性质、图象求解最值问题，不等关系或恒成立问题. 5.在公比为q 的正项等比数列{a n }中，a 4＝4，则当2a 2＋a 6取得最小值时，log 2q ＝________. 答案 14 解析 2a 2＋a 6≥22a 2a 6＝22a 24＝82，即2a 2＋a 6＝2a 4q 2＋a 4q 2≥82，所以q 4－22q 2 ＋2≥0， 即(q 2 －2)2 ≥0，当且仅当q 4 ＝2时取等号，所以log 2q ＝log 2214 ＝14 . 6.已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝ a n a n ＋2(n ∈N *).若 b n ＋1＝(n －2λ)·⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1a n ＋1(n ∈N * )，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值X 围是________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23 解析 由a n ＋1＝ a n a n ＋2，得1a n ＋1＝2a n ＋1，即1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，所以⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫1a n ＋1是以1a 1＋1为首项，2为公比的等比数列，所以1a n ＋1＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1a 1＋12n －1＝2n ，所以b n ＋1＝(n －2λ)·2n .因为数列{b n } 是单调递增数列， 所以当n ≥2时，由b n ＋1>b n ，得(n －2λ)·2n >(n －1－2λ)·2 n －1 ，解得n >2λ－1，即2>2λ －1，所以λ<32；当n ＝1时，由b 2>b 1得(1－2λ)·2>－λ，解得λ<23，因此λ<2 3 . 7.已知S n 和T n 分别为数列{a n }与数列{b n }的前n 项和，且a 1＝e 4，S n ＝e S n ＋1－e 5，a n ＝e n b ，则当T n 取得最大值时n 的值为________. 答案 4或5 解析 由S n ＝e S n ＋1－e 5 ，得S n －1＝e S n －e 5 (n ≥2)，两式相减，得a n ＝e a n ＋1(n ≥2)，易知a 2＝ e 3 ，a 2a 1＝e 3e 4＝1e ，所以数列{a n }是首项为e 4，公比为1e 的等比数列，所以a n ＝e 5－n .因为a n ＝e n b ， 所以b n ＝5－n .由⎩⎪⎨ ⎪⎧ b n ≥0， b n ＋1≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 5－n ≥0， 5－(n ＋1)≤0， 解得4≤n ≤5，所以当n ＝4或n ＝5时， T n 取得最大值. 8.已知函数f (x )＝x 2 ＋(a ＋8)x ＋a 2 ＋a －12，且f (a 2 －4)＝f (2a －8)，设等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N * )，若S n ＝f (n )，则S n －4a a n －1 的最小值为________. 答案 37 8 解析 由题意可得a 2 －4＝2a －8或a 2 －4＋2a －8＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－ a ＋82，解得a ＝1或a ＝－4. 当a ＝1时，f (x )＝x 2 ＋9x －10，数列{a n }不是等差数列； 当a ＝－4时，f (x )＝x 2 ＋4x ，S n ＝f (n )＝n 2 ＋4n ， ∴a 1＝5，a 2＝7，a n ＝5＋(7－5)(n －1)＝2n ＋3， ∴S n －4a a n －1＝n 2＋4n ＋162n ＋2＝12×(n ＋1)2 ＋2(n ＋1)＋13n ＋1＝12×⎣ ⎢⎡⎦⎥⎤(n ＋1)＋13n ＋1＋2≥12⎣ ⎢⎡ ⎦ ⎥⎤ 2(n ＋1)× 13n ＋1＋2＝13＋1， 当且仅当n ＋1＝ 13 n ＋1 ，即n ＝13－1(舍负)时取等号， ∵n 为正整数，2<13－1<3，当n ＝2时，S n －4a a n －1＝143；当n ＝3时，S n －4a a n －1＝37 8 ，故当n ＝3时原式取最小值37 8 . 1.(2018·全国Ⅱ改编)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝________. 答案 2 解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1).∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数. 由f (x )为奇函数及其定义域为R 得f (0)＝0. 又∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50)＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2. 2.已知实数f (x )＝⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ e x ，x ≥0， lg (－x )，x ＜0，若关于x 的方程f 2 (x )＋f (x )＋t ＝0有三个不同的实 根，则t 的取值X 围为________. 答案 (－∞，－2] 解析 设m ＝f (x )，作出函数f (x )的图象，如图所示，则当m ≥1时，m ＝f (x )有两个根，当 m <1时，m ＝f (x )有一个根.若关于x 的方程f 2(x )＋f (x )＋t ＝0有三个不同的实根，则等价 为m 2 ＋m ＋t ＝0有两个不同的实数根m 1，m 2，且m 1≥1，m 2＜1.当m ＝1时，t ＝－2，此时由m 2 ＋m －2＝0，解得m ＝1或m ＝－2，f (x )＝1有两个根，f (x )＝－2有一个根，满足条件；当m ≠1时，设h (m )＝m 2 ＋m ＋t ，其对称轴为m ＝－12，则需h (1)<0即可，即1＋1＋t <0，解得t <－2. 综上，实数t 的取值X 围为t ≤－2. 3.若存在两个正实数x ，y 使等式2x ＋m (y －2e x )(ln y －ln x )＝0成立(其中e ＝2.71828…)，则实数m 的取值X 围是________. 答案 (－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫2e ，＋∞ 解析 当m ＝0时，不满足题意，由题意可得m ＝2x (2e x －y )(ln y －ln x )， 则1m ＝(2e x －y )(ln y －ln x )2x ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫e －12·y x ·ln y x ， 令t ＝ y x ()t >0，构造函数g (t )＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫e －t 2ln t (t >0)， 则g ′(t )＝－12ln t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫e －t 2×1t ＝－12ln t ＋e t －1 2(t >0)， 设h (t )＝g ′(t )， 则h ′(t )＝－12t －e t 2＝－t ＋2e 2t 2<0恒成立， 则g ′(t )在(0，＋∞)上单调递减， 当t ＝e 时，g ′(t )＝0， 则当t ∈(0，e)时，g ′(t )>0，函数g (t )单调递增， 当t ∈(e，＋∞)时，g ′(t )<0，函数g (t )单调递减， 则当t ＝e 时，g (t )取得最大值g (e)＝e 2， 且当t →0时，g (t )→－∞， 据此有1m ≤e 2，∴m <0或m ≥2e . 综上可得实数m 的取值X 围是(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫2e ，＋∞. 4.已知函数f (x )＝2x 2 x ＋1，函数g (x )＝a sin π 6 x －2a ＋2(a ＞0)，若存在x 1，x 2∈[0,1]，使得 f (x 1)＝ g (x 2)成立，则实数a 的取值X 围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤12，43 解析 当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x 2 x ＋1 是增函数，其值域是[0,1]. g (x )＝a sin π 6 x －2a ＋2(a ＞0)的值域是⎣ ⎢⎡⎦ ⎥⎤2－2a ，2－32a ，因为存在x 1， x 2∈[0,1]， 使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以[0,1]∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2a ，2－32a ≠∅，若[0,1]∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2a ，2－32a ＝∅，则2－2a ＞1 或2－3 2 a ＜0， 即a <12或a ＞43，所以a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43. 5.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若 S n S 2n 为常数，则称数列{a n }为“精致数列”.已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“精致数列”，则数列{b n }的通项公式为__________. 答案 b n ＝2n －1(n ∈N * ) 解析 设等差数列{b n }的公差为d ， 由 S n S 2n 为常数，设S n S 2n ＝k 且b 1＝1， 得n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ， 即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ， 整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0， 因为对任意正整数n 上式恒成立， 则⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ d (4k －1)＝0， (2k －1)(2－d )＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2，k ＝1 4 ， 所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1(n ∈N * ). 6.若数列{a n }满足 1 a n ＋1 －p a n ＝0，n ∈N * ，p 为非零常数，则称数列{a n }为“梦想数列”.已知正 项数列⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫1b n 为“梦想数列”，且b 1b 2b 3…b 99＝299 ，则b 8＋b 92的最小值是________. 答案 4 解析 依题意可得b n ＋1＝pb n ，则数列{b n }为等比数列.又b 1b 2b 3…b 99＝299 ＝b 99 50，则b 50＝2.b 8＋ b 92≥2b 8·b 92＝2b 50＝4，当且仅当b 8＝b 92＝2，即该数列为常数数列时取等号. 7.当n 为正整数时，定义函数N (n )表示n 的最大奇因数.如N (3)＝3，N (10)＝5，…，S (n )＝N (1)＋N (2)＋N (3)＋…＋N (2n )，则S (5)＝________. 答案 342 解析 ∵N (2n )＝N (n )，N (2n －1)＝2n －1，而S (n )＝N (1)＋N (2)＋N (3)＋…＋N (2n )， ∴S (n )＝N (1)＋N (3)＋N (5)＋…＋N (2n －1)＋[N (2)＋N (4)＋…＋N (2n )]， ∴S (n )＝1＋3＋5＋ (2) －1＋[N (1)＋N (2)＋N (3)＋…＋N (2 n －1 )]， ∴S (n )＝1＋2n －12×2n 2＋S (n －1)(n ≥2)，即S (n )－S (n －1)＝4n －1 ，又S (1)＝N (1)＋N (2)＝1 ＋1＝2， ∴S (5)－S (1)＝[S (5)－S (4)]＋[S (4)－S (3)]＋…＋[S (2)－S (1)]＝44 ＋43 ＋42 ＋4，∴S (5)＝2＋4＋42 ＋43 ＋44 ＝342. 8.抛物线x 2＝12y 在第一象限内图象上的一点(a i ,2a 2 i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i ＋1， 其中i ∈N *，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6＝________. 答案 42 解析 抛物线x 2＝12y 可化为y ＝2x 2，则y ′＝4x ，抛物线在点(a i ,2a 2i )处的切线方程为y －2a 2 i ＝4a i (x －a i )，所以切线与x 轴交点的横坐标为a i ＋1＝1 2a i ，所以数列{a 2k }是以a 2＝32为首项， 1 4 为公比的等比数列，所以a 2＋a 4＋a 6＝32＋8＋2＝42. 9.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2>a 1，S 4＝a 1＋28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项，若 数列⎩⎨ ⎧⎭ ⎬⎫ a n ＋1S n S n ＋1的前n 项和T n ≤2n －2＋M 恒成立，则M 的最小值为________. 答案 －1 6 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，依题意得2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，又S 4＝a 1＋28，∴a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8， ∴⎩ ⎪⎨⎪⎧ a 1q ＋a 1q 3 ＝20，a 3＝a 1q 2 ＝8，解得⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ a 1＝2， q ＝2或⎩⎪⎨⎪ ⎧ a 1＝32，q ＝1 2 . 又a 2>a 1，∴a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n ，S n ＝2n ＋1 －2. 令b n ＝ a n ＋1 S n S n ＋1 ， ∴b n ＝2n ＋1 (2n ＋1－2)(2n ＋2 －2)＝12n ＋1－2－1 2n ＋2－2， ∴T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2－123－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123－2－124－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪ ⎫12n ＋1－2－12n ＋2－2＝122－2－12n ＋2－2＝12 －1 2n ＋2 －2 . 故T n －2n －2 ＝12－12n ＋2－2－2n －2. 又T n －2 n －2 －(T n ＋1－2 n －1 )＝2 n －2 － 2 n －2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1－12>2 n －2 －2n －2(2n －1)2＝22n －2(2n －2) (2n －1) 2≥0， 即T n －2 n －2 >T n ＋1－2 n －1 ， 故数列{T n －2n －2 }单调递减，故(T n －2 n －2 )max ＝12－123－2－2－1 ＝－16 . 又T n ≤2 n －2 ＋M 恒成立， 即M ≥T n －2 n －2 恒成立，故M ≥－16，所以M 的最小值为－1 6 . 10.已知数列{a n }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列{a n } 的前n 项和为S n ，且满足a 4＝S 3，a 9＝a 3＋a 4，则使得S 2k S 2k －1 恰好为数列{a n }的奇数项的正整数k 的值为________. 答案 1 解析 设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1＋d ，a 4＝2q ，a 9＝1＋4d . 因为a 4＝S 3，a 9＝a 3＋a 4， 所以1＋2＋1＋d ＝2q,1＋4d ＝1＋d ＋2q ， 解得d ＝2，q ＝3， 则对于n ∈N * ，有a 2n －1＝2n －1，a 2n ＝2×3 n －1 ， 所以S 2n ＝[1＋3＋…＋(2n －1)]＋2(1＋3＋32 ＋…＋3 n －1 )＝3n ＋n 2－1，S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3 n －1 ＋ n 2－1. 若 S 2k S 2k －1恰好为数列{a n }的奇数项，则可设S 2k S 2k －1 ＝m (m 为正奇数)， 所以S 2k S 2k －1＝3k ＋k 2 －13k －1＋k 2－1 ＝m ， 即(3－m )3 k －1 ＝(m －1)(k 2 －1).当k ＝1时，m ＝3，满足条件； 当k ≠1时，3k －1 k 2－1＝m －13－m ，由3k －1 k 2－1>0，得m －1 3－m >0， 解得1 ，若存在x 0使得f (x 0)≤110成立，则实 数a 的值为________. 答案 130 解析 f (x )＝x 2 ＋(ln3x )2 －2a (x ＋3ln3x )＋10a 2 ＝(x －a )2 ＋(ln3x －3a )2 表示点M (x ，ln3x )与点N (a,3a )距离的平方，M 点的轨迹是函数g (x )＝ln3x 的图象，N 点的轨迹是直线y ＝3x ，则g ′(x )＝1x .作g (x )的平行于直线y ＝3x 的切线，切点为(x 1，y 1)，则1x 1＝3，所以x 1＝1 3， 切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，所以曲线上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0到直线y ＝3x 的距离最小，最小距离d ＝110 ，所以f (x )≥110，根据题意，要使f (x 0)≤110，则f (x 0)＝110 ，此时N 为垂足，点M 与点P 重合，k MN ＝ 3a －0a －13 ＝－13，得a ＝130. 12.(2018·某某省海安高级中学月考)已知公比不为1的等比数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝a ，且a n ＋1 ＝k (a n ＋a n ＋2)对任意正整数n 都成立，且对任意相邻三项a m ，a m ＋1，a m ＋2按某顺序排列后成 等差数列，则满足题意的k 的值为________. 答案 －2 5 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 2a 1 ＝a (a ≠1)， 所以a m ＝a m －1 ，a m ＋1＝a m ，a m ＋2＝a m ＋1 . ①若a m ＋1为等差中项，则2a m ＋1＝a m ＋a m ＋2， 即2a m ＝a m －1 ＋a m ＋1 ，解得a ＝1，不合题意. ②若a m 为等差中项，则2a m ＝a m ＋1＋a m ＋2， 即2a m －1 ＝a m ＋a m ＋1 ，化简得a 2 ＋a －2＝0， 解得a ＝－2或a ＝1(舍去). ∴k ＝a m ＋1a m ＋a m ＋2＝a m a m －1＋a m ＋1＝a 1＋a 2＝－2 5 . ③若a m ＋2为等差中项，则2a m ＋2＝a m ＋1＋a m ， 即2a m ＋1 ＝a m ＋a m －1 ，化简得2a 2 －a －1＝0， 解得a ＝－1 2 或a ＝1(舍去)， ∴k ＝a m ＋1a m ＋a m ＋2＝a m a m －1＋a m ＋1＝a 1＋a 2＝－2 5 . 综上可得满足要求的实数k 有且仅有一个，且k ＝－25 . 【高考调研】（新课标）2016届高考数学二轮专题复习 第二部分 讲 重点小题专练 专题9 数列作业19 理 一、选择题 1．(2015·浙江杭州月考)数列{a n }：1，－58，715，－9 24，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝(－1)n ＋1 2n －1n 2 ＋n (n ∈N * ) B ．a n ＝(－1)n －1 2n ＋1n 3 ＋3n (n ∈N * ) C ．a n ＝(－1)n ＋1 2n －1n 2 ＋2n (n ∈N * ) D ．a n ＝(－1)n －1 2n ＋1n 2 ＋2n (n ∈N * ) 答案 D 解析 数列{a n }各项可写成： 31×3，－52×4，73×5，－9 4×6 ，…，故选D. 2．(2015·河北石家庄二模)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1 (n ∈N * )，则a 20等于( ) A ．0 B ．－ 3 C. 3 D.32 答案 B 解析 本题考查了数列的周期性．由a 1＝0，a n ＋1＝ a n －33a n ＋1 (n ∈N * )，得a 2＝－3，a 3 ＝3，a 4＝0，…，数列的周期为3，所以a 20＝a 2＝－ 3. 3．(2015·河北保定调研)在等差数列{a n }中，a 5<0，a 6>0且a 6>|a 5|，S n 是数列的前n 项的和，则下列说法正确的是( ) A ．S 1，S 2，S 3均小于0，S 4，S 5，S 6，…均大于0 B ．S 1，S 2，…，S 5均小于0，S 6，S 7，…均大于0 C ．S 1，S 2，…，S 9均小于0，S 10，S 11，…均大于0 D ．S 1，S 2，…，S 11均小于0，S 12，S 13，…均大于0 答案 C 解析 由题意可知a 6＋a 5>0，且数列{a n }为递增数列，故S 10＝ a 1＋a 10×10 2 ＝ 专题限时训练 (小题提速练) (建议用时：45分钟) 一、选择题 1．若?x 1，x 2∈? ????0，π2，x 2>x 1，y 1＝sin x 1x 1，y 2＝sin x 2x 2，则( ) A ．y 1＝y 2 B ．y 1>y 2 C ．y 1 A ．[0,1) B ．(－1,1) C.? ????0，12 D ．(0,1) 答案：D 解析：f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )． 当a ≤0时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(0,1)内单调递增，无最小值． 当a >0时，f ′(x )＝3(x －a )(x ＋a )． 当x ∈(－∞，－a )和(a ，＋∞)时，f (x )单调递增， 当x ∈(－a ，a )时，f (x )单调递减， 所以当a <1，即0x －12x . 令f (x )＝x －1 2x ，∴f ′(x )＝1＋2－x ln 2>0. ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )>f (0)＝0－1＝－1， ∴a 的取值范围为(－1，＋∞)． 5．(2019·曲靖二模)已知偶函数f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，其导函数为f ′(x )，对定义域内的任意x ，都有2f (x )＋xf ′(x )＞0成立，若f (2)＝1，则不等式x 2f (x )＜4的解集为( ) A ．{x |x ≠0，±2} B ．(－2,0)∪(0,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 第27练 压轴小题专练(1) [明晰考情] 高考题中填空题的最后2或3个小题，往往出现逻辑思维深刻，难度高档的题目. 考点一 与函数有关的压轴小题 方法技巧 本类压轴题常以超越方程、分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点、参数的X 围和通过函数性质求解不等式.解决该类问题的途径往往是构造函数，进而研究函数的性质，利用函数性质去求解问题是常用方法，其间要注意导数的应用. 1.偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2 ，若函数g (x )＝f (x )－|lg x |，则g (x )在(0,10)上的零点个数为________. 答案 10 解析 由题意g (x )＝f (x )－|lg x |＝⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ f (x )－l g x ，lg x ≥0，f (x )＋lg x ，lg x <0， ∵f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x )＝f (x ＋2)，故f (x )是周期函数，且T ＝2， 又函数f (x )是R 上的偶函数， ∴f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于x ＝1对称，当x >0时，在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝|lg x |的图象，如图所示. 由图象知函数g (x )的零点个数为10. 2.已知函数f (x )＝2x －12(x <0)与g (x )＝log 2(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的 取值X 围是________. 答案 (－∞，2) 解析 由f (x )关于y 轴对称的函数为h (x )＝f (－x )＝2－x －12(x >0)， 令h (x )＝g (x )，得2－x －12＝log 2(x ＋a )(x >0)， 则方程2－x －12 ＝log 2(x ＋a )在(0，＋∞)上有解， 专题突破练1 常考小题点过关检测 一、单项选择题 1.(2021·山东潍坊一模)已知集合A={-2,0},B={x|x 2-2x=0},则下列结论正确的是( ) A.A=B B.A ∩B={0} C.A ∪B=A D.A ⊆B 2.(2021·广东广州二模)已知集合P={x|-3≤x ≤1},Q={y|y=x 2+2x },则P ∪(∁R Q )=( ) A.[-3,-1) B.[-1,1] C.(-∞,-1] D.(-∞,1] 3.(2021·河北保定一模)设a ,b ∈R ,则“|a+b i |=|1+i |”是“a=b=1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2021·福建福州一中模拟)在复平面内,复数z=a+b i(a ∈R ,b ∈R )对应向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点),设|OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ,以x 轴的非负半轴为始边,射线OZ 为终边的角为θ,则z=r (cos θ+isin θ).法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理:z n =[r (cos θ+isin θ)]n =r n (cos n θ+isin n θ),则(-1+√3i)10=( ) A.1 024-104√3i B.-1 024+1 024√3i C.512-512√3i D.-512+512√3i 5.(2021·东北三校第一次联考)土楼有圆形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊脚楼等类型.某大学建筑系学生对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究.在制定调查顺序时,要求将圆形排在第一个或最后一个,方形、五角形相邻,则共有( )种不同的排法. A.480 B.240 C.384 D.1 440 6.(2021·河北唐山一模)记(x +12x )4展开式的偶数项之和为P ,则P 的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.(2021·江苏南京三模)在正方形ABCD 中,O 为两条对角线的交点,E 为BC 边上的动点.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μDO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0,μ>0),则2λ+1μ的最小值为( ) A.2 B.5 C.9 2 D.143 8.(2021·山东日照一中月考)已知f (x )=x 2+4x+1+a ,且对任意x ∈R ,f (f (x ))≥0恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A.[√5-1 2,+∞) B.[2,+∞) C.[-1,+∞) D.[3,+∞) 二、多项选择题 9.(2021·河北张家口一模)如果平面向量a =(2,-4),b =(-6,12),那么下列结论正确的是( ) A.|b |=3|a | B.a ∥b C.a 与b 的夹角为30° D.a ·b =-60 高考小题专攻练2.函数、不等式、导数 小题强化练,练就速度和技能,掌握高考得分点! 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设0 要使函数f(x)=e x-3-x+2a(a>0)有且只有两个零点，则-2+2a<0，所以a<1. 又因为a>0，所以0 中档大题规范练-—圆锥曲线 1．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0)，实半轴长为错误!。 （1)求双曲线C的方程； （2）若直线l:y＝kx＋错误!与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围； （3)在(2）的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，b)，求b的取值范围． 解(1)设双曲线方程为错误!－错误!＝1 （a>0，b〉0）， 由已知，得a＝错误!,c＝2，b2＝c2－a2＝1， 故双曲线方程为错误!－y2＝1. (2）设A（xA，yA），B（xB，yB)， 将y＝kx＋错误!代入错误!－y2＝1， 得（1－3k2)x2－62kx－9＝0. 由题意,知错误!解得错误!〈k〈1. 所以当错误! 限时练1 (时间:45分钟,满分:80分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2022·山东济宁三模)已知集合A={x|-2≤x<2},B={x|ln x ≥0},则A ∩B=( ) A.[-2,2) B.(0,1) C.[1,2) D.[1,2] 2.(2022·新高考Ⅰ·2)若i(1-z )=1,则z+z =( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.(2022·山东潍坊一中模拟)若某圆台的上底面半径为2,下底面半径为4,高为3,则该圆台的体积为 ( ) A. 28π 3 B.20π C.28π D.32π 4.(2021·新高考Ⅰ·5)已知F 1,F 2是椭圆C :x 2 9+y 2 4=1的两个焦点,点M 在C 上,则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( ) A.13 B.12 C.9 D.6 5.(2022·重庆巴蜀中学模拟)将函数y=f (x )的图象向右平移π 2 个单位长度得到函数g (x )=sin 3x 的图象, 则f (x )=( ) A.cos 3x B.-cos 3x C.sin 3x D.-sin 3x 6.(2022·山东淄博模拟)甲袋中有5个白球、1个红球,乙袋中有4个白球、2个红球,从两个袋中任选一袋,从中任取一球,则取到的球是红球的概率为( ) A.3 4 B.2 3 C.13 D.1 4 7.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前10项依次为 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,现将大衍数列各数按照如图排列形成一个数表,则该数表中第8行第3个数是( ) A.152 B.480 压轴小题组合练(C) 1.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x ＋1)为奇函数，f (0)＝0，当x ∈(0，1]时，f (x )＝log 2x ，则在区间(8，9)内满足方程f (x )＋2＝f ⎝⎛⎭⎫ 12的实数x 为( ) A.172 B.678 C.334 D.658 答案 D 解析 ∵f (x ＋1)为奇函数，则f (x ＋1)＝－f (－x ＋1)，即f (x )＝－f (2－x ). 当x ∈(1，2)时，2－x ∈(0，1)， ∴f (x )＝－f (2－x )＝－log 2(2－x ). 又f (x )为偶函数，即f (x )＝f (－x )， ∴f (－x )＝－f (－x ＋2)，∴f (x )＝－f (x ＋2)＝f (x ＋4)，故f (x )是以4为周期的函数. ∵f (1)＝0，∴当8 微专题07 函数压轴小题 秒杀总结 一、对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大. 二、对于双变量问题，首先变形后引入新变量把问题变为单变量，再引入新函数，利用导数求得函数值的范围，然后再解相应的不等式可得所求参数范围． 三、函数零点的求解与判断方法： （1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； （2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. 四、已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解. 典型例题 例1．（2021·福建省福州第一中学高二期末）若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1 x g x f x x = ++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小 值的和为（ ） A ．4 B ．8 C ．12 D ．16 例2．（2021·天津·耀华中学高二期中）设函数()32 2ln f x x ex mx x =-+-，记()() f x g x x = ，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是 A ．2 1,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦ B ．210,e e ⎛⎤ + ⎥⎝⎦ C ．21e ,e ⎛⎫ ++∞ ⎪⎝⎭ D ．2211e ,e e e ⎛⎤ --+ ⎥⎝ ⎦ [技法指导——迁移搭桥] [思维流程——找突破口] 化归的常用策略 利用化归思想可探索一些一般数列的简单性质．等差数列与等比数列是数列中的两个特殊的基本数列，高考中通常考查的是非等差、等比数列问题，应对的策略就是通过化归思想，将其转化为这两种数列. [典例] (2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n . (1)求b 1，b 2，b 3； (2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式． [快审题] 求什么 想什么 判断数列{b n }是等比数列，想到判断等比数列的方法． 求{a n }的通项公式，想到求b n 的通项公式． 给什么 用什么 给出na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，用化归方法化为a n ＋1n ＋1＝2a n n 的形式. [稳解题] (1)由条件可得 a n ＋1＝2(n ＋1)n a n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4. (2)数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 理由如下： 由条件可得a n ＋1 n ＋1＝2a n n ， 即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝1， 所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n ＝2n －1， 所以a n ＝n ·2n －1. [题后悟道] 等差、等比数列基本量的计算模型 (1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题．如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的逻辑次序． (2)注意细节．在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等． [针对训练] 已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)，a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式． (2)设b n ＝(1－a n )2－a (1－a n )，若b n ＋1>b n 对任意n ∈N *恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为a 2n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)， 所以a 2n ＋1＝S n ＋1＋S n . 两式相减，得a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋1＋a n . 因为a n >0，所以a n ＋1－a n ＝1. 又a 1＝1，所以{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． 所以a n ＝n . (2)因为b n ＝(1－a n )2－a (1－a n )，且由(1)得a n ＝n ， 所以b n ＝(1－n )2－a (1－n )＝n 2＋(a －2)n ＋1－a ， 所以b n ＋1＝(n ＋1)2＋(a －2)(n ＋1)＋1－a ＝n 2＋an . 因为b n ＋1>b n 恒成立， 第29练 压轴小题突破练(2) [明晰考情] 高考选择题的12题位置、填空题的16题位置，往往出现逻辑思维深刻，难度高档的题目. 考点一 与向量有关的压轴小题 方法技巧 (1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进展转化，最后归结为不含向量的问题. (2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识解题. 1.△ABC 的外接圆半径为1，圆心为点O ，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，那么OC →·AB → 的值为( ) A.85B.75C.－15D.45 答案 C 解析 ∵3OA →＋4OB →＋5OC → ＝0， ∴4OB →＋5OC →＝－3OA →， ∴16OB →2＋40OB →·OC →＋25OC →2＝9OA →2 ， 又∵|OA →|＝|OB →|＝|OC → |＝1， ∴OB →·OC →＝－45，同理可求OA →·OC → ＝－35. ∴OC →·AB →＝OC →·(OB →－OA → ) ＝－45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－15. 应选C. P 是△ABC 所在平面内一点，假设AP →＝34BC →－23 BA → ，那么△PBC 与△ABC 的面积的比为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 A 解析 在线段AB 上取D 使AD ＝23AB ，那么AD → ＝－23 BA →，过A 作直线l 使l ∥BC ，在l 上取点E 使AE →＝34 BC → ，过D 作l 的平行线，过E 作AB 的平行线，设交点为P ， 那么由平行四边形法那么可得AP →＝34BC →－23 BA → ， 设△PBC 的高为h ，△ABC 的高为k ，由三角形相似可得h ∶k ＝1∶3， ∵△PBC 与△ABC 有公共的底边BC ， ∴△PBC 与△ABC 的面积的比为1 3 ，应选A. 3.(2021·江苏)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1,1，2，OA →与OC → 的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.假设OC →＝mOA →＋nOB → (m ，n ∈R )，那么m ＋n ＝________. 答案 3 解析 如图，过点C 作CD ∥OB 交OA 的延长线于点D . 设OD →＝mOA →，DC →＝nOB → ，那么在△ODC 中有OD ＝m ， DC ＝n ，OC ＝2，∠OCD ＝45°， 由tan α＝7，得cos α＝210 ， 又由余弦定理知， ⎩⎨⎧ m 2＝n 2＋(2)2－22n cos45°，n 2＝m 2 ＋(2)2－22m cos α， 即⎩ ⎪⎨⎪⎧ m 2 －n 2 ＝2－2n ，①n 2－m 2 ＝2－25m ，② 第27讲 切点弦结论 平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫作曲线的切点弦方程，切点弦方程是解析几何中的热点问题，而切线往往和导函数相关，近几年高考数学的趋势也是把解析几何和导函数相结合作为压轴题，这类题目综合性强，难度一般较大，圆锥曲线的切线问题有两种处理思路： (1)导数法：将圆锥曲线方程化为函数y ＝f (x )，利用导数法求出函数y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的切线方程，特别是焦点在y 轴上的抛物线常用此法求切线． (2)判别式法：根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥曲线方程，化为关于x (或y )的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件：判别式△＝0，可解出切线方程． 圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法．下面介绍一些切线和切点弦相关的结论，来帮助快速解题． 一、圆相关的切线结论 结论一：点()00 M x y ，在圆222x y R +=上，过点M 作圆的切线方程为 200x x y y R +=． 结论二：点()00 M x y ，在圆222x y R +=外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为 A B ，，则切点弦AB 的直线方程为200x x y y R +=． 结论三：点()00 M x y ，在圆222x y R +=内，过点M 作圆的弦AB (不过圆心)，分别过 A B ，作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线200x x y y R +=． 证明：由上述结论二可得过() P P P x y ，的圆的切点弦AB 的直线方程为 P P x x y y +=2R ．又弦AB 过点()00 M x y ，，即0P x x +20P y y R =，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线200x x y y R +=． 二、一般圆相关的结论 结论四：点()00 M x y ，在圆2()x a -+22()y b R -=上，过点M 作圆的切线方程为()()200()()x a x a y b y b R --+--=． 专题2-3 导数压轴小题归类 目录 讲高考 ............................................................................................................................................................................... 1 题型全归纳 ...................................................................................................................................................................... 2 【题型一】公切线求参 ............................................................................................................................................... 2 【题型二】“过点”切线条数 ................................................................................................................................. 3 【题型三】切线法解题 ............................................................................................................................................... 3 【题型四】恒成立“同构型”求参 ....................................................................................................................... 4 【题型五】恒成立“虚根”型求参 ....................................................................................................................... 5 【题型六】恒成立“整数解”求参 ....................................................................................................................... 5 【题型七】换元求参型 ............................................................................................................................................... 6 【题型八】选择主元求参型 ..................................................................................................................................... 7 【题型九】多参放缩型 ............................................................................................................................................... 7 【题型十】多参韦达定理型 ..................................................................................................................................... 7 【题型十一】构造函数求参 ..................................................................................................................................... 8 【题型十二】极值点偏移型 ..................................................................................................................................... 9 专题训练 (10) 讲高考 1．（2022·全国·统考高考真题）当1x =时，函数()ln b f x a x x =+取得最大值2-，则(2)f '=（ ） A ．1- B ．1 2 - C ．1 2 D ．1 2．（2021·全国·统考高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a << D ．0e a b << 3．（2019·天津·高考真题）已知a R ∈，设函数222,1, ()ln , 1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩若关于x 的不等 式()0f x 在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]0,e D ．[]1,e 4．（·四川·高考真题）设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01, {ln ,1, x x x x -<<>图象上点P 1，P2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,+∞) D ．(1,+∞) 5．（2021·全国·统考高考真题）设0a ≠，若x a =为函数()()()2 f x a x a x b =--的极大值点， 则（ ） A ．a b < B ．a b > C ．2ab a < D ．2ab a > 6．（2022·全国·统考高考真题）已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________． 小题压轴题专练14—数列（1） 一、单选题 1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足sin （a 4﹣1）+2a 4﹣5＝0，sin （a 8﹣1）+2a 8+1＝0，则下列结论正确的是（ ） A ．S 11＝11，a 4＜a 8 B ．S 11＝11，a 4＞a 8 C ．S 11＝22，a 4＜a 8 D ．S 11＝22，a 4＞a 8 解：sin （a 4﹣1）+2a 4﹣5＝0，sin （a 8﹣1）+2a 8+1＝0， ∴sin （a 4﹣1）+2（a 4﹣1）﹣3＝0，sin （1﹣a 8）+2（1﹣a 8）﹣3＝0， 令f （x ）＝sin x +2x ﹣3，可得f ′（x ）＝cos x +2＞0， 因此函数f （x ）在R 上单调递增． 又f （1）＝sin1﹣1＜0，f （2）＝sin2+1＞0， 因此函数f （x ）在（1，2）内存在唯一零点． ∴a 4﹣1＝1﹣a 8，1＜a 4﹣1＜2，1＜1﹣a 8＜2， ∴a 4+a 8＝2，2＜a 4＜3，﹣1＜a 8＜0， ∴S 11＝＝＝11，a 4＞a 8， 故选：B ． 2．非负实数列{}n a 前n 项和为(0)n n S S >．若分别记2{}n n a 与2 {}n a n 前n 项和为n T 与n R ，则55 2 5T R S 的最大值与最小值的差为t ，则||(t = ) A ．2 B ． 125 C ．3 D ．165 解 ： 由 题 设和 柯 西 不 等 式 可得： 22222235 24551234511234552 222(2345)()()2345 a a a a T R a a a a a a a a a a a S =+++++ +++++++=，当且仅当10a >且23450a a a a ====时取“= “， ∴ 55 2 5T R S 的最小值为1， 又222235 24551234512222 (2345)()2345a a a a T R a a a a a a =++++++++ 22222 222324123451522221(2345)(5555)5234 a a a a a a a a a a = +++++⋅+⋅+⋅+ 222222222222 2234112234551234552222255115(51)13(52345)(()()54234105 a a a a a a a a a a a a a a a S +⋅+++++++++++++= 专题四|导数的综合应用 卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ 2018利用导数的单调性证 明不等式·T21(2) 根据函数的极值求参 数、不等式的证 明·T21 导数在不等式的证 明、由函数的极值点 求参数·T21 2017利用导数研究函数的 零点问题·T21(2) 函数的单调性、极值、 零点问题、不等式的 证明·T21 由不等式恒成立求参 数、不等式放缩·T21 2016函数的零点、不等式 的证明·T21 函数单调性的判断、 不等式的证明及值域 问题·T21 函数的最值、不等式 的证明·T21 纵向把握趋势导数的综合问题是每 年的必考内容且难度 大．主要涉及函数的 单调性、极值、零点、 不等式的证明．预计 2019年会考查用分类 讨论研究函数的单调 性以及函数的零点问 题 导数的综合问题是每 年的必考内容，涉及 函数的极值、最值、 单调性、零点问题及 不等式的证明，且近3 年均考查了不等式的 证明．预计2019年仍 会考查不等式的证 明，同时要重点关注 会讨论函数的单调性 及零点问题 导数的综合问题是每 年的必考内容，涉及 函数的最值、零点、 不等式的恒成立及不 等式的证明问题，其 中不等式的证明连续 3年均有考查，应引起 关注．预计2019年仍 会考查不等式的证 明，同时考查函数的 最值或零点问题 横向把握重点导数日益成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题，是高考的热点和难点． 解答题的热点题型有： (1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值；(2)利用导数证明不等式或探讨方程根； (3)利用导数求解参数的范围或值. 2021届九年级数学 第二轮专题复习专题1 一线三等角/ K型图（垂直处理） 专题2 特殊几何图形在坐标系（函数图像）中 专题3 设点法解决反比例函数问题 专题4 等腰三角形存在性问题 专题5 直角三角形存在性问题 专题6 特殊四边形存在性问题 专题7 相似、全等三角形存在性问题 专题8 相切问题 专题9 线段问题 专题10 角度问题 专题11 面积问题 专题六 特殊四边形存在性问题 坐标系中特殊四边形的存在性问题的解题策略： 1、平行四边形的存在性：利用构造全等或对角线互相平分建立点的坐标之间的关系； 2、菱形的存在性：利用菱形的邻边相等的对称性，转化为等腰三角形的存在性问题； 3、矩形的存在性：转化为直角三角形的存在性问题。 【平行四边形】 例1： 如图，已知抛物线x x y 3 16 342+= 与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为（0，-3），点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由。 变式：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线23 4 322++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接BC. （1）求A 、B 、C 三点的坐标及抛物线的对称轴。 （2）点D 为线段BC 上方抛物线上一点，连接CD 、BD ，求四边形COBD 面积的最大值及此时点D 的坐标。 （3）在（2）的条件下，若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以B 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由。(新课标)届高考数学二轮专题复习第二部分讲重点小题专练专题9数列作业19理
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