计数原理小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)
计数原理小题大做
一、单选题
1．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A ．60种 B ．120种 C ．240种 D ．480种
【答案】C 【分析】
先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得. 【详解】
根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有2
5C 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C ⨯=种不同的分配方案， 故选：C. 【点睛】
本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.
2．（2020年北京市高考数学试卷）在5(2)x 的展开式中，2x 的系数为（ ）． A ．5- B ．5
C ．10-
D ．10
【答案】C 【分析】
首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可. 【详解】
)
5
2x 展开式的通项公式为：()
()552
15
5
22r r
r
r
r
r r T C
x C x
--+=-=-，
令
522
r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11
522510C -=-⨯=-. 故选：C. 【点睛】
二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条
件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A ．13
B ．
25
C ．
23 D ．45
【答案】C 【分析】
采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解. 【详解】
将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2
510C =种排法，
所以2个0不相邻的概率为102
5103
=+. 故选：C.
4．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版））（2017新课标全国卷Ⅰ理科）621
(1)(1)x x
++展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35
【答案】C 【解析】
因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x
+
+=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为22
261C 15x x ⋅=，
621(1)x x ⋅+展开式中含2
x 的项为442621C 15x x x
⋅=，故2x 的系数为151530+=，选C.
点睛:对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含2x 的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的r 不同.
5．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷参考版））用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A ．24
B ．48
C ．60
D ．72
【答案】D 【详解】
试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其
他位置共有44A 种排法，所以奇数的个数为4
4372A =，故选D.
【考点】排列、组合
【名师点睛】利用排列、组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．
6．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 A ．
5
18
B ．
49 C ．59
D ．
79
【答案】C 【详解】
标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中，标奇数的有5张，标偶数的有4张，所以抽
到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是
115425
989
C C =⨯ ,选C. 【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.江苏对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.
7．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版））(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80 B ．-40
C ．40
D ．80
【答案】C 【详解】
()()
()()5
55
222x y x y x x y y x y +-=-+-，
由()5
2x y -展开式的通项公式()()515
C 2r
r
r
r T x y -+=-可得： 当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3
32
5C 2140⨯⨯-=-；
当2r
时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2
2
35
C 2180⨯⨯-=， 则33x y 的系数为804040-=. 故选C.
【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.
（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.
8．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A ．120种 B ．90种 C ．60种 D ．30种
【答案】C 【分析】
分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【详解】
首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有1
6C ； 然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有2
5C ； 最后剩下的3名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有12
6561060C C ⋅=⨯=种.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.
9．（2021·云南红河·模拟预测（理））有如下形状的花坛需要栽种4种不同颜色的花卉，要求有公共边界的两块不能种同种颜色的花，则不同的种花方式共有（ ）
A ．96种
B ．72种
C ．48种
D ．24种
【答案】A 【分析】
如图，由题意可知②，④同色，或者③，⑤同色，或者①，④同色，或者①，⑤同色，从而可求得结果 【详解】
依题意可知，将区域标号如图.
用4种颜色的花卉完成栽种，需要②，④同色，或者③，⑤同色，或者①，④同色，或
者①，⑤同色，故有4
4496A ⨯=种.
故选：A
10．（2021·全国全国·模拟预测）如图为并排的4块地，现对4种不同的农作物进行种植试验，要求每块地种植1种农作物，相邻地块不能种植同一种农作物且4块地全部种上农作物，则至少同时种植3种不同农作物的种植方法种数为（ ） ① ② ③ ④
A ．24
B ．80
C ．72
D ．96
【答案】D 【分析】
先分同时种植4种农作物和3种农作物两种情况，再按排列或组合及计数原理进行求解. 【详解】
至少同时种植3种不同农作物可分两种情况：
第一种，种植4种农作物，有4
4A 24=种不同的种植方法；
第二种，种植3种农作物，则有2块不相邻的地种植同一种农作物，
有①③、②④、①④这三种情况，每一种情况都有111
432C C C 24=种不同的种植方法．
则至少同时种植3种不同农作物的种植方法有2432496+⨯=种． 故选：D.
11．（2021·河北衡水中学模拟预测）在2020中俄高加索联合军演的某一项演练中，中方参加演习的有5艘军舰，4架飞机；俄方有3艘军舰，6架飞机．若从中、俄两方中各选出2个单位（1架飞机或一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（ ） A ．51种 B ．224种 C ．240种 D ．336种
【答案】C 【分析】
按中方选一架飞机或俄方选一架飞机分类讨论，每类再分步选择即可得． 【详解】
不同的选法有：11202011
54365436C C C C C C C 54311013660180C 240+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=（种）．
故选：C ．
12．（2021·广东·模拟预测）甲､乙､丙､丁四名交通志愿者申请在国庆期间到,,A B C 三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表：
这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求,,A B C 三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法数有（ ） A ．14种 B ．11种
C ．8种
D ．5种
【答案】B 【分析】
根据分类计数法进行分类讨论，然后进行求和. 【详解】 解：由题意得：
以C 路口为分类标准：C 路口执勤分得人口数情况有2种，两个人或一个人 C 路口执勤分得人口数为2个，丙、丁在C 路口，那么甲、乙只能在A B 、路口执勤； C 路口执勤分得人口数为1个，丙或丁在C 路口，具体情况如下： 丙在C 路口：
A（丁）B（甲乙）C（丙）；
A（甲丁）B（乙）C（丙）；
A（乙丁）B（甲）C（丙）；
丁在C路口：
A（甲乙）B（丙）C（丁）；
A（丙）B（甲乙）C（丁）；
A（甲丙）B（乙）C（丁）；
A（乙）B（甲丙）C（丁）；
A（乙丙）B（甲）C（丁）；
A（甲）B（乙丙）C（丁）；.
所以一共有2+3+6=11种选法.
故选：B.
二、填空题
13．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有
_____________种．（用数字填写答案）
【答案】16
【分析】
首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.
【详解】
根据题意，没有女生入选有3
44
C=种选法，从6名学生中任意选3人有3
620
C=种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416
-=种，故答案是16.
【点睛】
该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.
14．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））已知(13)n x
+
的展开式中含有2x项的系数是54，则n=_____________.
【答案】4 【分析】
利用通项公式即可得出． 【详解】
解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：T r +1r n =（3x ）r ＝3r r n
x r ．
∵含有x 2的系数是54，∴r ＝2． ∴2
2
3n
=54，可得2n =6，∴
()12
n n -=6，n ∈N *．
解得n ＝4． 故答案为4． 【点睛】
本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 15．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版））用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答） 【答案】1080 【详解】
41345454A C C A 1080+=
【考点】计数原理、排列、组合
【名师点睛】计数原理包含分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法）
，组成四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，利用加法原理计数.
三、双空题
16．（2021年浙江省高考数学试题）已知多项式
344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________.
【答案】5; 10. 【分析】
根据二项展开式定理，分别求出43,(1(4))x x -+的展开式，即可得出结论. 【详解】
332(1)331x x x x -=-+-， 4432(1)4641x x x x x +=++++，
所以12145,363a a =+==-+=， 34347,110a a =+==-+=，
所以23410a a a ++=. 故答案为：5,10.
试卷第10页，共1页
计数原理小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)
计数原理小题大做 一、单选题 1．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A ．60种 B ．120种 C ．240种 D ．480种 【答案】C 【分析】 先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得. 【详解】 根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有2 5C 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C ⨯=种不同的分配方案， 故选：C. 【点睛】 本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解. 2．（2020年北京市高考数学试卷）在5(2)x 的展开式中，2x 的系数为（ ）． A ．5- B ．5 C ．10- D ．10 【答案】C 【分析】 首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可. 【详解】 ) 5 2x 展开式的通项公式为：() ()552 15 5 22r r r r r r r T C x C x --+=-=-， 令 522 r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11 522510C -=-⨯=-. 故选：C. 【点睛】 二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《计数原理与概率统计》经典测试题及答案解析
【最新】数学《计数原理与概率统计》复习知识点(1) 一、选择题 1．在矩形ABCD 中，AB AD >，在CD 上任取一点P ，使ABP △的最大边是AB 的概率为 3 5 ，则在折线A-D-C-B 上任取一点Q ，使ABQ △是直角三角形的概率为（ ） A ． 611 B ． 511 C ． 59 D ． 49 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意设5AB =，由几何概型概率公式结合勾股定理可得3AD =，再由几何概型概率公式即可得解. 【详解】 如图，矩形是对称的，设P 在线段MN 上时，ABP △的最大边为AB ， 则此时AM BN AB ==， 设5AB =，则3MN =， 所以1DN CM ==，4DM =，5AM =， 由勾股定理知3AD =， 当Q 在AD 或BC 上时，ABQ △为直角三角形， 故所求概率为6 11 AD BC p AD CD BC +==++. 故选：A. 【点睛】 本题考查了几何概型概率的求解，考查了转化化归思想，属于中档题. 2．已知点P ,Q 为圆C :x 2+y 2=25上的任意两点,且|PQ|<6,若PQ 中点组成的区域为M ,在圆C 内任取一点,则该点落在区域M 上的概率为( ) A ．35 B ．925 C ． 1625 D ． 25 【答案】B 【解析】 PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示,那么在C 内部任取一点落在M 内的概率为
25π-16π9 25π25 =,故选B. 3．已知5929 0129(1)(2)(1)(1)...(1)x x a a x a x a x ++-=+-+-++-，则7a =（ ） A ．9 B ．36 C ．84 D ．243 【答案】B 【解析】 【分析】 ()()59x 1x 2++-等价变形为[()][()()]59x 12x 11-++-+-，然后利用二项式 定理将其拆开，求出含有7 (1)x -的项，便可得到7a ． 【详解】 解：55(1)[(1)2]x x +=-+展开式中不含7 (1)x -； ()[()()]99x 2x 11-=-+-展开式中含7(1)x -的系数为()72 9C 136-= 所以，7a 36=，故选B 【点睛】 本题考查二项式定理，解题的关键是要将原来因式的形式转化为目标因式的形式，然后再进行解题． 4．某小学要求下午放学后的17：00-18：00接学生回家，该学生家长从下班后到达学校（随机）的时间为17：30-18：30，则该学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为（ ） A ． 78 B ． 34 C ． 12 D ． 14 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ，转化成线性规划问题，利用面积型几何概型求概率，即可求得概率. 【详解】 解：根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ， 学生出来的时间为17：00-18：00，看作56x ≤≤， 家长到学校的时间为17：30-18：30，5.5 6.5y ≤≤， 要使得家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子，则需要y x ≥，
2020届高考数学(理)一轮复习精品特训专题十：计数原理(6)排列与组合C
计数原理（6）排列与组合C 1、2018年3月22日,某校举办了“世界水日”主题演讲比赛,该校高三年级准备从包括甲乙丙在内的6名学生中选派4人参加演讲比赛,其中学生丙必须参加,仅当甲乙两同学同时参加时候,甲乙至少有一人与丙学生演讲顺序相邻,那么选派的4名学生不同的演讲顺序的种数为( ) A.228 B.238 C.218 D.248 2、某单位实行职工值夜班制度,已知,,,, A B C D E,5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班,且没有两人同时值夜班,星期六和星期日不值夜班,若A昨天值夜班,从今天起,B C 至少连续4天不值夜班, D星期四值夜班,则今天是星期几( ) A.二 B.三 C.四 D.五 3、甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展,她们选择共享电动车出行,每辆电动车只能载两人,其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车,甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,则她们坐车不同的搭配方式有( ) A.12种 B.11种 C.10种 D.9种 4、两所学校分别有2名、3名学生获奖,这5名学生要排成一排合影,则同校学生排在一起的概率是( ) A. 1 30 B. 1 15 C. 1 10 D. 1 5 5、某校毕业典礼由6个节目组成,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起,则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )种。 A. 240 B. 156 C. 188 D. 120
6、若112 311n n n n n n n n C C C C +--+++=++,则n = ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 7、将5名同学分到甲、乙、丙3个小组,若甲组至少两人,乙、丙组每组至少一人,则不同的分配方案的种数为( ) A.50 B.80 C.120 D.140 8、将3本相同的语文书和2本相同的数学书分给四名同学,每人至少1本,不同的分配方法数有( ) A.24 B.28 C.32 D.36 9、若,m n 均为非负整数，在做m n +的加法时各位均不进位(例如：20191002119+=，则称(),m n 为“简单的”有序对，而m n +称为有序对(),m n 的值，那么值为2019的“简单的”有序对的个数是( ) A ．30 B ．60 C ．96 D ．100 10、5个男生和3个女生站成一排,则女生不站在一起的不同排法有( ) A.14400种 B.7200种 C.2400种 D.1200种 11、将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,被人至少1张,如果分别同一人的两张参观券连号,那么不同的分法种数是__________. 12、甲、乙、丙、丁四个人排成一行,则乙、丙相邻的排法种数是__________. 13、学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手,其中男生甲不适合担任一辩手,女生乙不适合担任四辩手.现要求:如果男生甲入选,则女生乙必须入选.那么不同的组队形式有__________种 14、有编号分别为1,2,3,4,5的5个黑色小球和编号分别为1,2,3,4,5的5个白色小球,若选取的4个小球中既有1号球又有白色小球,则有__________种不同的选法 15、有4个不同的球,四个不同的盒子,把球全部放入盒内(结果用数字表示). 1.共有多少种放法? 2.恰有一个盒子不放球,有多少种放法? 3.恰有一个盒内放2个球,有多少种放法? 4.恰有两个盒不放球,有多少种放法?
考点专练56：两个计数原理、排列与组合—2023届高考数学一轮复习(附答案)(人教A版(2019))
考点专练56：两个计数原理、排列与组合 一、选择题 1.现有甲、乙、丙三种树苗可供选择，分别种在一排五个坑中，要求相同的树苗不能相邻，第一、五坑内只能种甲种树苗，则不同的种法共有() A.4种 B.5种 C.6种 D.7种 2.6名同学和1名老师去参观“伟大征程——庆祝中国共产党成立100周年特展”，参观结束后他们排成一排照相留念．若老师站在正中间，甲、乙两同学相邻，则不同的排法共有() A.240种 B.192种 C.120种 D.96种 3.A，B，C，D，E五人并排站成一排，若A，B必须相邻且B在A的左边，那么不同的排法共有() A.24种 B.36种 C.48种 D.60种 4.(2022·枣庄期末)一名同学有2本不同的数学书，3本不同的物理书，现要将这些书放在一个单层的书架上．如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，则不同放法的种数为() A.24 B.12 C.120 D.60 5.冼太夫人故里、放鸡岛、窦州古城、茂名森林公园这4个景区均为广东茂名市的热门旅游景区．现有5名学生决定于今年暑假前往这4个景区旅游．若每个景区至少有1名学生前去，且每名学生只去一个景点，则不同的旅游方案种数为() A.120 B.180 C.240 D.360 6.某校进行体育抽测，甲与乙两名同学都要在100 m跑、立定跳远、铅球、引体向上、三级跳远这5项运动中，选出3项进行测试．假定他们对这五项运动没有偏好，则他们选择的结果中至少有两项相同运动的选法种数为() A.70 B.50 C.30 D.20 7.某公司销售六种不同型号的新能源电动汽车A，B，C，D，E，F．为了让顾客选出自己心仪的电动汽车，把它们按顺序排成一排，A必须安排在前两个位置，B，C不相邻，则不同的排法有() A.144种 B.156种 C.160种 D.178 种 8.(多选)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是() A.若每人都安排一项工作，则不同的方法数为45
第04练 计数原理、排列组合、二项式定理-2023年新高考数学一轮复习小题必刷(原卷版)
第04练 计数原理、排列组合、二项式定理 1．（2020·呼和浩特开来中学高二期末（理））六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 2．（2020·广东省高二期末）在()62x +展开式中，二项式系数的最大值为m ，含4x 的系数为n ，则n m =（ ） A ．3 B ．4 C ．13 D ．14 3．（2020·青铜峡市高级中学高二期末（理））设2220122(1)...n n n x x a a x a x a x ++=++++，则0a 等 于（ ） A ．1 B ．0 C ．3 D ．3n 4．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高二月考（理））3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同的选法有（ ） A ．243 B ．125 C ．128 D ．264 5．（2020·洮南市第一中学高二月考（理））求346774C C -的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．360 D ．120 6．（2020·洮南市第一中学高二月考（理））522x x ⎛⎫+ ⎪⎝ ⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 7．（2020·山东省高三其他）若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝ ⎭的展开式中6x 的系数为150，则2a =（ ） A ．20 B ．15 C ．10 D ．25 8．（2020·北京高二期末）5(1)a +展开式中的第2项是（ ） A ．35a B ．310a C ．45a D ．410a 9．（2020·北京高二期末）已知有1B ，2B ，⋯，6B 支篮球队举行单循环赛（单循环赛：所有参赛队均能相遇一次），那么比赛的场次数是（ ）
(浙江专用)高考数学一轮复习 专题十 计数原理 10.1 计数原理与排列、组合试题(含解析)-人教版
专题十计数原理 【考情探究】 课标解读 考情分析备考指导主题内容 一、计数原理、排列、组合1.分类加法计数原理,分步乘 法计数原理 (1)理解分类加法计数原理和 分步乘法计数原理.(2)会用 两个原理分析和解决一些简 单的实际问题. 2.排列与组合 (1)理解排列、组合的概念. (2)能利用计数原理推导排列 数公式、组合数公式. (3)能解决简单的实际问题. 从近几年高考命题情况来看,这 一部分主要考查分类加法、分步 乘法计数原理以及排列、组合的 简单应用.题型以选择题、填空题 为主,在解答题中一般将排列、组 合知识综合起来,有时也与求事 件概率,分布列问题相结合考查. 1.求特定项系数问题可以分两步 完成:第一步是根据所给出的条 件(特定项)和通项公式建立方程 来确定指数(求解时要注意二项 式系数中n和r的隐含条件,即 n,r均为非负整数,且n≥r);第 二步是根据所求的指数求解所求 的项. 2.有理项是字母指数为整数的 项.解此类问题必须合并通项公 式中同一字母的指数,根据具体 要求,令其为整数,再根据数的整 除性来求解. 1.用排列、组合知识解决计 数问题时,如果遇到的情况 较为复杂,即分类较多,标准 也较多,同时所求计数的结 果不太容易计算时,往往利 用表格法、树状图法将其所 有的可能一一列举出来,这 样会更容易得出结果. 2.求解二项展开式的特定项 时,即求展开式中的某一项, 如第n项,常数项、有理项、 字母指数为某些特殊值的 项,先准确写出通项 T r+1=r a n-r b r,再把系数与字 母分离出来(注意符号),最 后根据题目中所指定的字母 的指数所具有的特征,列出 关系式求解即可. 二、二项式定理1.能用计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 【真题探秘】
2023年新高考数学一轮复习讲义精讲精练第32讲 计数原理(解析)
第32讲计数原理 学校____________ 姓名____________ 班级____________ 一、知识梳理 基本计数原理 1.分类加法计数原理 完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法. 3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事. 排列与组合 1.排列与组合的概念 (1)从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A m n表示. (2)从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号C m n表示. 3.排列数、组合数的公式及性质
公式(1)A m n＝n(n－1)(n －2)…(n－m＋1)＝ n！ （n－m）！ . (2)C m n＝ A m n A m m＝ n（n－1）（n－2）…（n－m＋1） m！ ＝ n！ m！（n－m）！ (n，m∈N*，且m≤n).特别地C0n＝1 性质(1)0！＝1；A n n＝n！. (2)C m n＝C n－m n ；C m＋1 n ＋C m n＝C m＋1 n＋1 二项式定理 1.二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)； (2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n. 2.二项式系数的性质 性质性质描述 对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即C m n＝C n－m n 增减性二项式系 数C k n 当k＜ n＋1 2(n∈N *)时，是递增的 当k＞ n＋1 2(n∈N *)时，是递减的 二项式 系数最大值 当n为偶数时，中间的一项取得最大值 当n为奇数时，中间的两项与相等且取得最大值 (1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n. (2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n ＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1. 二、考点和典型例题 1、基本计数原理【典例1-1】（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）甲乙丙丁四个同学星期天选择到东湖公园，西湖茶经楼，历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游
北师大版(2019)高中数学选择性必修第一册5-1基本计数原理作业含答案
第五章计数原理 §1基本计数原理 1.甲、乙两人从4门课程中各选修1门,则甲、乙所选的课程不相同的选法共有(). A.6种 B.12种 C.30种 D.36种 解析:∵甲、乙两人从4门课程中各选修1门, ∴由分步乘法计数原理可得甲、乙所选的课程不相同的选法有4×3=12种. 答案:B 2.由数字0,1,2,3,4可组成无重复数字的两位数的个数是(). A.25 B.20 C.16 D.12 解析:分两步:先选十位,不能选0,有4种选法;再选个位,有4种选法.由分步乘法计数原理,得可组成无重复数字的两位数的个数为4×4=16. 答案:C 3.给一些书编号,准备用3个字符,其中首字符用A,B,后两个字符用a,b,c(允许重复),则不同编号的书共有(). A.8本 B.9本 C.12本 D.18本 解析:完成这件事可以分为3步:第1步,确定首字符,有2种方法;第2步,确定第二个字符,有3种方法;第3步,确定第三个字符,有3种方法.因此,不同编号的书共有2×3×3=18本,故选D. 答案:D 4.有10本不同的数学书、9本不同的语文书、8本不同的英语书,从中任取两本不同类的书,则不同的取法共有(). A.27种 B.54种 C.152种 D.242种 解析:取两本不同类的书,分为3类:第1类,取一本数学书、一本语文书,根据分步乘法计数原理有10×9=90种不同取法;第2类,取一本语文书、一本英语书,有9×8=72种不同取法;第3类,取一本数学书、一本英语书,有10×8=80种不同取法.综合以上三类,利用分类加法计数原理,共有90+72+80=242种不同取法. 答案:D 5.某年级要从3名男生、2名女生中选派3人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案有(). A.6种 B.7种 C.8种 D.9种 解析:可按女生人数分类:若选派1名女生,有2×3=6种;若选派2名女生,则有3种.根据分类加法计数原理,共有9种不同的选派方案. 答案:D 6.有5列火车停在某车站并排的5条轨道上,若火车A不能停在第1条轨道上,则5列火车的停车方法共有(). A.96种 B.24种 C.120种 D.12种
高考数学《计数原理》综合复习练习题(含答案)
高考数学《计数原理》综合复习练习题（含答案） 一、单选题 1．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 2．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则不同的排列顺序有（ ）种 A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 3．中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有 A ．18种 B ．24种 C ．36种 D ．54种 4．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，如果规定每位同学必须报名，则不同的报名方法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种 5．若22 28n n n A C --=，则n =（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 6．演讲社团里现有水平相当的4名男生和5名女生，从中随机选出3名同学作为代表队到市里参加“最美逆行者”的演讲比赛，代表队中既有男生又有女生的不同选法共有（ ） A ．140种 B ．80种 C ．70种 D ．35种 7．在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是（ ） A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．10 8．我国拥有包括民俗、医药、文学、音乐等国家级非物质文化遗产3000多项，下图为民俗非遗数进前10名省份排名，现从这10个省份中任取2个，则这2个省份民俗非遗数量相差不超过1个的概率为（ ）
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》知识点总复习附解析
【高中数学】数学《计数原理与概率统计》复习知识点(1) 一、选择题 1．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（） A．1 3 B． 1 4 C． 1 5 D． 1 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据条件概率的公式与排列组合的方法求解即可. 【详解】 由题意得学生甲和乙都不是第一个出场,甲不是最后一个出场的概率 113 333 15 5 C C A9 A20 P==,其中学生丙第一个出场的概率 13 33 25 5 C A3 A20 P==,所以所求概率为2 1 1 3 P P P ==. 故选：A 【点睛】 本题主要考查了根据排列组合的方法求解条件概率的问题,属于中等题型. 2．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布()() 22 1122 ,,, N N μδμδ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（） A．甲类水果的平均质量 1 0.4kg μ= B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从正态分布的参数 2 1.99 δ= 【答案】D 【解析】 由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故A，B，C，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2 1.99，故D 不正确．故选D．3．设某中学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数() , i i x y() 1,2,3,, i n =L L，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为
中职高考数学一轮复习讲练测专题10-1 计数原理(练)(含详解)
专题10.1 计数原理 1．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC 电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( ) A ．7种 B ．8种 C ．6种 D ．9种 2．有一排5个信号的显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或者不亮灯，则共可以发出的不同信号有( )种 A ．25 B ．52 C ．35 D ．53 3．将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校，不同的分配方案有( ) A ．8 B ．15 C ．125 D ．243 4. 1.A 67－A 56A 45等于( ) A ．12 B ．24 C ．30 D ．36 5．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( ) A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 6．3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有多少种( ) A ．144 B ．90 C ．260 D ．120 7．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答) 8．若C 8n ＝C 2n ，则n ＝( )
A．2 B．8 C．10 D．12 8. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同英文字母可以相同的牌照号码共有() A．(C126)2A410个B．A226A410个 C．(C126)2104个D．A226104个 9. 在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是() A．C16C294B．C16C299 C．C3100－C394D．A3100－A394 10.某文艺小组有20人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中14人会唱歌，10人会跳舞．从中选出会唱歌与会跳舞的各1人，有多少种不同选法？ 1．用0、1、…、9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为() A．243 B．252 C．261 D．279 2.某公共汽车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站全部下完，乘客下车的可能方式有() A．510种B．105种 C．50种D．以上都不对 3．用数字1,2,3组成三位数． (1)假如数字可以重复，共可组成____________个三位数； (2)其中数字不重复的三位数共有____________个； (3)其中必须有重复数字的有____________个． 4．若A n10－A n9＝n！·126(n∈N＋)，则n等于() A．4 B．5
2020高考数学基础考点提速训练第5讲计数原理(学生试题训练)
第5讲计数原理 1.（2019广元统考）在我市举行“四川省运动会”期间，组委会将甲、乙、丙、丁四位志愿者全部分配到A, B, C三个运动场馆执勤.若每个场馆至少分配一人，则不同分配方案的种数是（） A.24 B.36 C.72 D.96 2.阪_1 n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（） x A.28 B.-28 C.70 D. — 70 3.（2019全国m）（1 +2x2）（1 +x）4的展开式中x3的系数为（） A.12 B.16 C.20 D.24 4.若（1+x）（1 — 2x）8= a o+a i x+…+ a9x9, xC R,则a i .并a2 •计…十a9 ・ 9的值为（） A.29 B.29-1 C.39 D.39—1 5.2019年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中（1）班、（2）班、（3）班、（4）班每班 各两名，分乘甲、乙两军^汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其 中（1）班两位同学是挛生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有（） A.18 种 B.24 种 C.48 种 D.36 种 .2 一 6.（2019百色卞^拟）若x2+飞n的展开式存在常数项，则n的取小值为（） x A.3 B.4 C.5 D.6 1 7.在（a—以）12的展开式中，x5项的系数等于264,则/q + 2x dx等于（） A.2 + ln 2 B.ln 2 + 3 C.3—ln 2 D.2—In 2 8.（2019洛阳考试）某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（） A.900 种 B.600 种 C.300 种 D.150 种 9.（2019沈阳东北育才学校模拟）某次文艺汇演，要将A, B, C, D, E, F这六个不同节目编排成节目单，如下表：
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》知识点总复习附解析
高中数学《计数原理与概率统计》知识点归纳 一、选择题 1．从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和为奇数，则不同取法种数有（ ） A ．60 B ．66 C ．72 D ．126 【答案】A 【解析】 【分析】 要使四个数的和为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个，再根据排列组合及计数原理知识，即可求解. 【详解】 从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和要为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个： 所以共有1331 545460C C C C +=种取法. 故选：A 【点睛】 本题考查了排列组合及简单的计数问题，属于简单题. 2．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p u v ＝(m ，n)，q v ＝(3,6)．则向量p u v 与q v 共线的概率为( ) A ． 13 B ． 14 C ． 16 D ． 112 【答案】D 【解析】 【分析】 由将一枚骰子抛掷两次共有36种结果，再列举出向量p u r 与q r 共线的基本事件的个数，利用 古典概型及其概率的计算公式，即可求解。 【详解】 由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有6636⨯=种结果， 又由向量(,),(3,6)p m n q ==u r r 共线，即630m n -=，即2n m =， 满足这种条件的基本事件有：(1,2),(2,4),(3,6)，共有3种结果， 所以向量p u r 与q r 共线的概率为31 3612 P = =，故选D 。 【点睛】 本题主要考查了向量共线的条件，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中根据向量的共线条件，得出基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
高考真题与模拟训练 专题26 计数原理与概率统计(解析版)
专题26 计数原理与概率统计 第一部分 真题分类 1．（2021·天津高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和1 5 ，且每次 活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________． 【答案】23 20 27 【解析】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为5642 53 ⨯=； 则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为23 2 3 21220 33327C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . 故答案为：23；20 27 . 2．（2021·江苏高考真题）下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（ ） A ．14条 B ．12条 C ．9条 D ．7条 【答案】B 【解析】由图可知，由①→④有3条路径，由④→⑥有2条路径，由⑥→⑧有2条路径，根据分步乘法计算原理可得从①→⑧共有32212⨯⨯=条路径. 故选：B 3．（2021·江苏高考真题）已知()12n x -的展开式中2x 的系数为40，则n 等于（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】A 【解析】()()2 2 2221n C x n n x -=-，所以()21405n n n -=⇒=. 故选：A. 4．（2021·天津高考真题）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分数据分为8组：[)66,70、[)70,74、 、[]94,98，并整理得到如下的费率分布直方图，则 评分在区间[)82,86内的影视作品数量是（ ）
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《计数原理与概率统计》易错题汇编含解析
【高中数学】数学《计数原理与概率统计》复习知识点 一、选择题 1．下列命题： ①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】A 【解析】 【分析】 根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案． 【详解】 由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A 与B 是互斥事件时，才有P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A ，B 满足P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A ＝{摸到红球或黄球}，事件B ＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A 与B 不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1. 【点睛】 本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题． 2．若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A ．252 B ．70 C ．256x D ．256x - 【答案】B 【解析】 由题意可得26 n n C C =，所以8n =，则展开式中二项式系数最大的项为第五项，即 44445881 ()70T C x C x ===，故选B. 3．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = )
数列小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)
数列小题大做 一、单选题 1．（2021·吉林省实验模拟预测（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若73a =，4516a a +=，则10S =（ ） A ．60 B ．80 C ．90 D ．100 【答案】A 【分析】 由题意，利用等差数列通项公式将两式化为基本量1,a d 的关系式，计算1,a d ，然后代入等差数列前n 项和公式计算. 【详解】 由题意，数列{}n a 为等差数列，所以7163a a d =+=，4512716+=+=a a a d ，联立得,1a 15d 2==-，所以10109 1015(2)602 ⨯=⨯+ ⨯-=S . 故选：A 2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 【答案】A 【分析】 根据题目条件可得2S ，42S S -，64S S -成等比数列，从而求出641S S -=，进一步求出答案. 【详解】 ∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和， ∴2S ，42S S -，64S S -成等比数列 ∴24S =，42642S S -=-= ∴641S S -=， ∴641167S S =+=+=. 故选：A.
3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】 当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】 由题，当数列为2,4,8, ---时，满足0q >， 但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． 若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B ． 【点睛】 在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程． 4．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．2 28n S n n =- D ．2 122 n S n n =- 【答案】A 【分析】 等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72) 1002 S -+= =-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，2455415 0,5250522 S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ． 【详解】
专题10 计数原理-2022年高考真题和模拟题数学分类汇编(解析版)
专题10 计数原理 1．【2022年新高考2卷】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（） A．12种B．24种C．36种D．48种 【答案】B 【解析】 【分析】 利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】 因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!×2×2=24种不同的排列方式， 故选：B 2．【2022年北京】若(2x−1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4=（）A．40B．41C．−40D．−41 【答案】B 【解析】 【分析】 利用赋值法可求a0+a2+a4的值. 【详解】 令x=1，则a4+a3+a2+a1+a0=1， 令x=−1，则a4−a3+a2−a1+a0=(−3)4=81， =41， 故a4+a2+a0=1+81 2 故选：B. )(x+y)8的展开式中x2y6的系数为________________（用3．【2022年新高考1卷】(1−y x 数字作答）． 【答案】-28
【解析】【分析】 (1−y x )(x+y)8可化为(x+y)8−y x (x+y)8，结合二项式展开式的通项公式求解. 【详解】 因为(1−y x )(x+y)8=(x+y)8−y x (x+y)8， 所以(1−y x )(x+y)8的展开式中含x2y6的项为C86x2y6−y x C85x3y5=−28x2y6， (1−y x )(x+y)8的展开式中x2y6的系数为-28 故答案为：-28 4．【2022年浙江】已知多项式(x+2)(x−1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2=__________，a1+a2+a3+a4+a5=___________． 【答案】8−2 【解析】 【分析】 第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令x=0求出a0，再令x=1即可得出答案． 【详解】 含x2的项为：x⋅C43⋅x⋅(−1)3+2⋅C42⋅x2⋅(−1)2=−4x2+12x2=8x2，故a2=8； 令x=0，即2=a0， 令x=1，即0=a0+a1+a2+a3+a4+a5， ∴a1+a2+a3+a4+a5=−2， 故答案为：8；−2． 1．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测） 6 2 x ⎫ ⎪ ⎭ 展开式中的常数项为（） A．60B．64C．－160D．240【答案】A 【解析】 【分析】
高中数学选择性必修三 精讲精炼 第六章 计原理 章末测试(提升)(含答案)
第六章 计数原理 章末测试(提升) 一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分) 1．(2021·全国·高二课时练习)某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取2个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有( ) A ．36种 B ．48种 C ．72种 D ．144种 【答案】C 【解析】根据题意，从4个视频中选2个有2 4C 种方法， 2篇文章全选有2 2C 种方法， 2篇文章要相邻则可以先捆绑看成1个元素，三个学习内容全排列有3 3A 种方法， 最后需要对捆绑元素进行松绑全排列有2 2A 种方法， 故满足题意的学法有2232 4232C C A A 72=(种)． 故选：C 2．(2021·全国·高二课时练习)一个66⨯的表格内，放有3辆完全相同的红车和3辆完全相同的黑车，每辆车占1格，每行每列只有1辆车，放法种数为( ) A ．720 B ．20 C ．518400 D ．14400 【答案】D 【解析】先假设3辆红车不同，3辆黑车也不相同， 第一辆车显然可占36个方格中任意一个，有36种放法， 第二辆车由于不能与第一辆车同行，也不能与第一辆车同列，有25种放法， 同理，第三、四、五、六辆车分别有16，9，4，1种放法． 再注意到3辆红车相同，3辆黑车也相同， 故不同的放法共有()2 2 654321362516941720144003!3!6636 ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯(种)． 故选：D 3．(2022·全国·高三专题练习)在关于[]()sin 0,x x π∈的二项式()1sin n x +的展开式中，末尾两项的二项式 系数之和为7，且二项式系数最大的项的值为5 2 ，则x =( )
易错点15 计数原理、排列组合、二项式定理-备战高考数学考试易错题(新高考专用)(解析版)
专题15 计数原理与排列组合、二项式定理 易错分析 【正解】 一、混淆二项式系数与项的系数致错 1．5 23x x ⎛⎫+ ⎪⎝ ⎭的展开式中4x 的系数为（ ） A ．10 B ．20 C ．90 D ．80 【错解】A ，由题可得() 52 10315533r r r r r r r T C x C x x --+⎛⎫ == ⋅⋅⎪⎝⎭ ⋅⋅ 令103r 4-=,则r 2=, 所以5 23x x ⎛⎫+ ⎪⎝ ⎭的展开式中4x 的系数为2510C =，故选A. 【错因】错把二项式系数当成项的系数。 【正解】C ，由题可得() 52 10315 533r r r r r r r T C x C x x --+⎛⎫ == ⋅⋅⎪⎝⎭ ⋅⋅ 令103r 4-=,则r 2=,所以 22553390r r C C ⋅⋅==，故选C. 2、()11 a b -的展开式中,系数最大的项是第 项 【错解】6或7，()11 a b -的展开式中共12项,第6项的系数为511 C ,第 7项的系数为6 11C ,又 511 C =6 11C ， 所以数最大的项是第6或7项. 【错因】错把二项式系数当成项的系数。 【正解】()11 a b -的展开式中共12项,第6项的系数为5 11C -,第7项的系数为6 11C , 所以数最大的项是第7项. 二、忽略二项展开式的通项是第r+1项不是第r 项致错 3、二项式6 2x x ⎛⎫- ⎪⎝ ⎭的展开式的第二项是（ ） A ．260x B ．260x - C ．412x D ．412x - 【错解】展开式的通项为() 662C r r r x x -⎛⎫- ⎪⎝⎭,令2r =,可得展开式的第二项为2 2462C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ = 260x .故选A. 【错因】误认为第二项是2r =而错误