几何概型
几何概型
一、基础知识：
1、几何概型：
每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型
2、对于一项试验，如果符合以下原则：
（1）基本事件的个数为无限多个
（2）基本事件发生的概率相同
则可通过建立几何模型，利用几何概型计算事件的概率
3、几何概型常见的类型，可分为三个层次：
（1）以几何图形为基础的题目：可直接寻找事件所表示的几何区域和总体的区域，从而求出比例即可得到概率。
（2）以数轴，坐标系为基础的题目：可将所求事件转化为数轴上的线段（或坐标平面的可行域），从而可通过计算长度（或面积）的比例求的概率（将问题转化为第（1）类问题）
（3）在题目叙述中，判断是否运用几何概型处理，并确定题目中所用变量个数。从而可依据变量个数确定几何模型：通常变量的个数与几何模型的维度相等：一个变量→数轴，两个变量→平面直角坐标系，三个变量→空间直角坐标系。从而将问题转化成为第（2）类问题求解二、典型例题：
例1：已知函数()[]
22,5,5
f x x x x
=--∈-，在定义域内任取一点0x，使
()
00
f x≤的概率是（）
A.
110 B. 23 C. 3
10 D. 45
思路：先解出()00f x ≤时0x 的取值范围：22012x x x --<⇒-<<，从而在数轴上()1,2-区间长度占[]5,5-区间长度的比例即为事件发生的概率，所以310
P =
答案：C
例2：如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线()()()sin 0,f x x x π=∈及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投
掷一点，若落在阴影部分的概率为1
4
，则a 的值是（ ） A.
712π B. 23π C. 34
π
D. 56
π 思路：落在阴影部分的概率即为阴影部分面积与长方形面积的比值
长方形的面积6
6S a a
=⋅=，阴影面积'00sin cos |1cos a
a
S xdx x a ==-=-⎰，所以
有'1cos 164S a P S -===，可解得1cos 2a =-，从而23
a π
=
答案：B
例3：已知正方形ABCD 的边长为2，H 是边DA 的中点，在正方形ABCD
内部随机取一点P ，则满足PH <的概率为
（ ）
A. 8
π B. 18
4π
+ C. 4
π D. 14
4
π
+
思路：PH 为半径的圆的内部，通过作图可得概率为阴影部分面积所占正方形面积的比例。可将阴影部分拆为一个扇形与两个直角三角形，可计算其面积为'12 S π= +，正方形面积 2 24S ==，所以'1 84 S P S π==+ 答案：B 小炼有话说：到某定点的距离等于（或小于）定长的轨迹为圆（或圆的内部） ，所以从PH A. 34 B. 23 C. 13 D. 12 思路：所求概率为棱锥F AMCD -的体积与棱柱ADF BCE -体积的比值。由三视图可得A D D F C D ===，且,,AD DF CD 两两垂直，可得 31122ADF BCE ADF V S DC AD DF DC a -=⋅= ⋅⋅=，棱锥体积1 3 F AMCD ADMC V DF S -=⋅，而()21 3 2 4 ADCM S AD AM CD a =⋅+=，所以214 F AMCD V a -=。从而1 2 F AMCD ADF BCE V P V --= = 答案：D 例5：如图，点P 等可能分布在菱形ABCD 内，则2 14 AP AC AC ⋅≤的概率是（ ） A. 12 B. 14 C. 1 6 D. 18 思路：对AP AC ⋅联想到数量积的投影定义，即AC 乘 以AP 在AC 上的投影，不妨将投影设为l ，则2 14 A P A C l A C A C ⋅=⋅≤，即 1 4 l A C ≤ 即可，由菱形性质可得，取,AB AD 中点,M N ，有MN BD ∥，所以MN AC ⊥ 且垂足四等分AC ，P 点位置应该位于AMN 内。所以18 AMN ABCD S P S = =菱形 答案：D 例6：某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待时间不多于15分钟的概率为（ ） A. 14 B. 12 C. 23 D. 34 思路：所涉及到只是时间一个变量，所以考虑利用数轴辅助解决。在一个小时中，符合要求的线段长度所占的比例为12 ，所以概率12 P = 答案：B 例7：已知函数()22f x x ax b =+-，若,a b 都是区间[]0,4内的数，则使 () 10f >成立的概率是（ ） A. 34 B. 14 C. 38 D. 58 思路：题目中涉及,a b 两个变量，所以考虑利用直角坐标系解决。设Ω为“,a b 在区间[]0,4内”，则Ω要满足的条件为：04 04 a b ≤≤⎧⎨ ≤≤⎩ ，设事件A 为“()10f >成立”， 即210a b -+>，所以A 要满足的条件为： 0404 210a b a b ≤≤⎧⎪ ≤≤⎨⎪-+>⎩ ，作出各自可行域即可得到()()() S A P A S = = Ω38 答案：C 例8：在区间[]0,1上随机取两个数,x y ，记1P 为事件“1 2 x y +≥”的概率， 2P 为事件“12x y -≤ ”的概率，3P 为事件“1 2 xy ≤”的概率，则（ ） A. 123P P P << B. 231P P P << C. 312P P P << D. 321P P P << 思路：分别在坐标系中作出“1 2x y +≥”，“12x y -≤”，“12 xy ≤”的区域，并观察或计算其面积所占单位长度正方形的比例，即可得到123,,P P P 的大 小 ： 23P P P < < 答案：B 例9：小王参加网购后，快递员电话通知于本周五早上7:30-8:30送货到家，如果小王这一天离开家的时间为早上8:00-9:00，那么在他走之前拿到邮件的概率为（ ） A. 18 B. 12 C. 23 D. 78 思路：本题中涉及两个变量，一个是快递员到达的时刻，记为x ，一个是小王离开家的时刻，记为y ，由于双变量所以考虑建立平面坐标系，利用可行域的比值求得概率。必然事件Ω所要 满足的条件为：7.58.5 89x y <<⎧⎨<<⎩ ，设“小王走之前拿到邮件”为事件A ， 则A 要满足的条件为：7.58.5 89x y x y <<⎧⎪ <<⎨⎪<⎩ ，作出Ω和A 的可行域，可得 ()()() S A P A S = = Ω78 答案：D 例10：已知一根绳子长度为1m ，随机剪成三段，则三段刚好围成三角形的概率为______ 思路：随机剪成三段，如果引入3个变量,,x y z ，则需建立空间坐标系，不易于求解。考虑减少变量个数，由于三段的和为1，设其中两段为,x y ，则第三段为1x y -- 。只用两个变量，所以就可以 建立平面直角坐标系进行解决。设Ω为“一根绳子随机剪三段”，则Ω要 满足的条件为：01 01011x y x y <<⎧⎪ <<⎨⎪<--<⎩，设事件A 为“三段围成三角形”，则 ,,1x y x y --任意两边之和大于第三边，所以A 满足的条件为 ()()0101 01010110112111211 2 x y x x y y x y x y x y x y x x y y y y x y x x <<⎧⎪<<<<⎧⎪⎪<+<⎪<<⎪⎪<--<⎪⎪⎪ +>⇒⎨⎨+>--⎪⎪ ⎪⎪+--><⎪⎪+-->⎪⎪⎩<⎪⎩，在同一坐标系作出,A Ω的可行域。则()()()14 S A P A S = = Ω 答案：1 4 古典概型与几何概型 一）古典概型 （1）特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等； （2）概率计算公式：P （A ）=总的基本事件个数 包含的基本事件个数A ；P （A ）= n m 。 二）几何概型 1．随机数的概念 随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。 2．随机数的产生方法 3．几何概型的概念 如果事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称模型为几何概率模型； 4．几何概型的概率公式： P （A ）= 积） 的区域长度（面积或体 试验的全部结果所构成 积） 的区域长度（面积或体 构成事件A 。 5．几种常见的几何概型 （1）设线段l 是线段L 的一部分,向线段L 上任投一点.若落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比,而与 线段l 在线段l 上的相对位置无关,则点落在线段l 上的概率为：P=l 的长度/L 的长度 （2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分,向区域G 上任投一点,若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成 正比,而与区域g 在区域G 上的相对位置无关,则点落在区域g 上概率为：P=g 的面积/G 的面积 （3）设空间区域上v 是空间区域V 的一部分,向区域V 上任投一点.若落在区域v 上的点数与区域v 的体积 成正比,而与区域v 在区域v 上的相对位置无关,则点落在区域V 上的概率为：P=v 的体积/V 的体积 题型一 古典概型 类型1 骰子硬币型 1.先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是P1，P2，P3 ，则（ ） A ． P1=P2 3.3几何概型 1、几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，称这样的概率模型为集合概率模型，简称集合概型。 备注：（1）几何概型的特点①无限性，即在一次实验中，基本事件的个数可以是无限的；②等可能性，即每个基本事件发生的可能性是均等的。 2、几何概型的概率计算公式 积） 的区域长度（面积或体实验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A )( A P 【典型例题】 1、 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家, 你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少? 2、在墙上挂着一块边长为16cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm ，4cm ，6cm ，某人站在3m 之外向此版投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，问： (1) 投中大圆的内的概率是多少？（2）投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？ 【练习】 1、一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（ B ） A ．14 B ．18 C ．110 D ．1 12 2、在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是_____________. 3、已知地铁列车每10min 一班，在车站停１min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率为___________. 4、在线段[0,3]上任取一点,其坐标小于1的概率是_____________. 年 级 高二 学 科 数学 版 本 苏教版 课程标题 必修三第3章第3节 几何概型 编稿老师 褚哲 一校 黄楠 二校 张琦锋 审核 孙永涛 一、学习目标 1. 正确理解几何概型的概念。 2. 掌握几何概型的概率计算公式。 二、重点、难点 几何概型的概念、概率计算公式及应用 三、考点分析 本讲内容在高考中所占比重较小，近几年的高考对概率相关知识的要求降低，主要是以现实生活为背景，以几何图形为载体，重点考查几何概型的概率的求法，多以选择题、填空题形式出现。其中与长度、面积（体积）有关的几何概型更为重要。 1. 几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。 几何概型的特点：（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。 2. 几何概型的概率公式： P （A ）=积） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积） 的区域长度（面积或体构成事件A 知识点一：几何概型与古典概型的区别 例1 判断下列试验中事件A 发生的概率属于古典概型，还是几何概型。 （1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率； （2）有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。 思路分析：本题考查几何概型与古典概型的特点。古典概型具有有限性和等可能性，而几何概型则是在试验中会出现无限多个结果，且与构成事件的区域长度（面积或体积）有关。 解题过程：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的， 因此属于古典概型； （2）游戏中转盘指针指向B 区域时有无限多个结果，且不难发现“指针落在阴影部分”，所求概率可以用B 区域的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型。 解题后反思：要注意几何概型与古典概型的区别：古典概型具有有限性和等可能性，而几何概型则是在试验中会出现无限多个结果，且与构成事件的区域长度（面积或体积）有关。 知识点二：与长度有关的几何概型 例2 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率． 思路分析：假设此人在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的，但在0～60分钟之间有无穷多个时刻，故不能用古典概型的概率公式计算随机事件发生的概率。可以通过几何概型的概率公式得到事件发生的概率。因为客车每小时发一班，此人在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的，所以他在哪个时间段到车站等车的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件。 解题过程：设A={等车的时间不多于10分钟}，则事件A 恰好发生在此人到车站等车 的时刻位于[50，60]这一时间段内，因此由几何概型的概率公式，得P （A ）=605060-=6 1 ，即此人等车时间不多于10分钟的概率为6 1 。 解题后反思：在本题中，到车站等车的时刻是随机的，可以是0到60之间的任何一个 时刻，并且是等可能的。 例3 取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大？ 思路分析：从每一位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3m 的绳子上的任意一点，其基本事件有无限多个，显然不能用古典型概型计算，可考虑运用几何概型计算。 解题过程：如图：记“剪得两段绳长都不小于1米”为事件A 。把绳子三等分，于是当剪段位置处于中间一段上时，事件A 发生，由于中间一段的长度等于绳子的3 1 ，所以事件A 发生的概率3 1)(= A P 。 解题后反思：我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区 域中每一点被取得的机会一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解。 知识点三：与面积（体积）有关的几何概型 例4 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去。 求两人能会面的概率。 几 何 概 型 的 常 见 题 型 一．几何概型的定义 1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 2．特点：（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； （2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等. 3．计算公式：.)(积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P = 说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量. 4．古典概型和几何概型的区别和联系： （1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的. （2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的； ②两种概型的概率计算公式的含义不同. 一．与长度有关的几何概型 1、取一根长度为3cm 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么两段的长都不小于1m 的概率是 A.23 B.13 C.14 D.不能确定 2、某人睡午觉醒来， 发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待的时间小于10分钟的概率是 A.16 B.112 C.160 D.172 3、在线段[0，3]上任取一数，则此数大于1的概率是 A.34 B.23 C.12 D.13 4.在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2cos x π的值介于0到2 1之间的概率为 A.31 B.π 2 C.21 D.32 5.已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车 的概率是__________________________。 二．与面积有关的几何概型 1.在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆架贮藏着石油，假若在海域中任意一点钻探，那么钻到油层面的概率是 A.140 B.125 C.1250 D.1500 2.边长为2a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落在圆及正方形夹的部分的概率是__________________________。 3. ABCD 为长方形，1,2==BC AB ，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为 A ．4π B.14π- C.8π D.18 π- 三．与角度有关的几何概型 1.在圆心角为90°的扇形中，以圆心为起点做射线OC ，求使得AOC ∠和BOC ∠都不小 于30°的概率？ 四．与体积有关的几何概型 1.在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出1升水，含有病毒的概率是多大？ 五．与线性规划有关的几何概型 1.在集合}40,50|),{(≤≤≤≤y x y x 内任取一个元素，能使代数式 012 1934≥-+y x 的概率是多少？ 习题 1、长方体ABCD-1111A B C D ，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A-1A BD 内的概率为_________________ 2、已知圆C ：2212x y +=，直线l ：4x+3y=25,圆C 上的点A 到直线l 的距离小于2的概率为____________ 几何概型的常见题型及典例分析 一．几何概型的定义 1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或 体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 2．特点： （1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限 多个； （2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等. 3．计算公式：.)(积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P = 说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应 的几何图形，并对几何图形进行度量. 4．古典概型和几何概型的区别和联系： （1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的. （2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无 限的； ②两种概型的概率计算公式的含义不同. 二．常见题型 （一）、与长度有关的几何概型 例1、在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2cos x π的值介于0到2 1之间的概率为( ). A.31 B.π2 C.21 D.32 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是 区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的 发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的 区间长度有关，符合几何概型的条件. 解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2x π的值介于0到21之间,需使223x πππ-≤≤-或322x πππ≤≤ ∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为3 2， 由几何概型知使cos 2x π的值介于0到21之间的概率为 3 1232 ===度所有结果构成的区间长符合条件的区间长度P . 故选A. 例2、 如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间 再随意安装两盏路灯C,D,问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的 概率是多少？ 思路点拨 从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限 多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型． 解 记 E ：“A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三 等分，由于中间长度为30×3 1=10米， ∴3 13010)(==E P . 方法技巧 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地 取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生 则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型 就可以用几何概型来求解． 例3、在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交 点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R 的概率。 思考方法：由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以， 题中的等可能参数是平行弦的中点，它等可能地分布在于平行弦垂直的直径上（如图1-1）。也就是说，样本空间所对应的区域G 是一维空间（即直线）上的线段MN ，而有利场合所对 应的区域G A 是长度不小于R 的平行弦的中点K 所在的区间。 [解法1].设EF 与E 1F 1是长度等于R 的两条弦， K K K1图1-2图1-1O O E F E F E1F1 3.3.1 几何概型（2） 使用日期:___ 月___ 日学案主人：_________小组:_________组内编号：___________ 【学习目标】 1．理解几何概型的定义． 2．会应用几何概型的概率公式解决实际问题． 【核心扫描】 1．理解几何概型的概念及其概率公式的应用条件．(重点、难点) 2．掌握应用求几何概型的概率．(难点) 【知识回顾】 1．几何概型 (1)定义： 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的(面积或体积)成，则称这样的概率模型为几何概率模 型，简称为几何模型． (2)计算公式． 在几何概型中，事件A的概率的计算公式是： P(A)＝. 【自主学习】 [例1]如图，A、B两盏路灯之间的距离是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A与C、D，B与C、D之间的距离都不小于10米的概率是多少？ 变式：某汽车站每隔15分钟就有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间大于10分钟的概率． 【合作探究】 [例2]如图在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm,4cm,6cm，某人站在3m远向此板投镖．设投镖击中线上或没有击中木板时都不算，可重投，问： (1)投中大圆内的概率是多少？ (2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？ (3)投中大圆之外的概率是多少？ 变式：向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于S 2的概率是 ________． [例3]有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个细菌的概率． 在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，在正方体内随机取点M. (1)求M与面ABCD的距离大于a 3的概率； (2)求M与面ABCD及面A1B1C1D1的距离都大于a 3的概率． 【当堂检测】 教材140页第1－2 【课堂小结】 几种常见的几何概率模型 济宁一中 贾广素(邮编：272000) 电话：130******** 几何概型是高中阶段一个重要的概率模型,其求解方法是多种多样的.但我们只要掌握了几种常见的几何概型,就可以做到“举一反三”,做到真正的了解和掌握这一类题目的求法.下面我们就介绍几种常见的几何概型. 一、长度型的几何概率模型 例1、 如图1所示,平面上画了一些彼此相距a 2的平行线，把一枚半径a r <的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行相碰的概率。 分析：硬币不与直线相碰，可以看作硬币的中心O 到直线的距离r OM >||，这样就可以把问题转化为 中心O 到较近的一条直线的距离||OM 满足 a OM r ≤<||的概率问题。因为硬币是任意掷在平面 上的，所以硬币中心O 到较近一条直线的距离||OM 在 0到a 解：设事件A={硬币不与任一条平行相碰}，为了确定硬币的位置，由硬币的中心O 向靠得最近的平行线引垂线，垂足为M ，如图1所示，这样线段OM 的长度的取值范围是[]a ,0，只有当a OM r ≤<||时硬币不与平行线相碰。由几何概率公式求得：a r a A P -= )(。即硬币不与任一条平行相碰的概率为 a r a -。 注：解决本题的关键是把硬币与直线的关系转化为中心到直线的距离，从而转化为长度型的几何概率问题。 二、角度型的几何概率模型 例2、如图2所示，在直角三角形ABC 中，030=∠A ，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于点M ，求使|AM|>|AC|的概率。 分析：因为过一点作射线是均匀的，因而应把在∠内任射线CM 看作是等可能的。基本事件为射线CM 落在内任一处。使|AM|>|AC|的概率只与1ACC ∠以这是符合几何概型的。 解：记事件A={作射线CM ，使|AM|>|AC|}，在AB 任取一点1C 使得||||1AC AC =，所以1ACC ∆是等腰三角形，所以 辨析几何概型疑点及生活中的应用 一、几何概型的定义 1.几何概型的定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，则称这样的概率模型为几何概型。 2．几何概型的概率计算公式，在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下： 二、疑点辨析 1.概率为零的事件不一定是不可能事件 不可能事件的概率一定为零，即若，则。但反之不然，概率为零的事件却不一定是不可能事件，即若，则不一定有。 例如,在几何概率中，设，.为圆域，而为其中一圆周.则 。 显然，是可能发生的，即若向内随机投点，点落在圆周上的情况是可能发生的。 仅在样本点有限（比如古典概型）或样本点可数这种特殊的情况下,若，则。 2.在求解几何概率问题时,几何度量找不准是经常出错的原因之一。 例在0～1之间随机选择两个数,这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三条线段,试求这三条线段能构成三角形的概率。 错解:因为所以,于是。 错解分析：本题误把长度看作几何度量． 正确解法：设三条线段的长度分别为则 即. 在平面上建立如图所示的直角坐标系，直线围成如图所示三角形区域G，每一对对应着G内的点，由题意知,每个试验结果出现的可能性相等，因此，试验属于几何概型，三条线段能构成三角形，当且仅当 即 因此图中的阴影区域就表示“三条线段能构成三角形”,容易求得的面积为,的面积为,则(这三条线段能构成三角形)。 三、生活应用解疑解:在奖品的诱惑面前要冷静 在一所小学的门口有人设一游戏（如图）吸引许多小学生参加。小学生每转动指针一次交5角钱，若指针与阴影重合，奖5角钱；若连续重合2次奖文具盒一个；若连续重合3次，奖书包一个；若连续重合4次，奖电子游戏机一台。不少学生被高额奖品所诱惑，纷纷参与此游戏，却很少有人得到奖品，这是为什么呢？ 利用几何概率可以解释这个问题。由于指针位于圆周上阴影部分才能得奖，设圆周周长为100cm，阴影部分位于圆周上的每一弧长为2cm，由几何概型及指针的对称性知，指针落于阴影上的概率为 即参加一次游戏不用花钱的概率为0.08.由于每次转动可看成相互独立的随机事件(即若表示事件与同时发生,则)，设={指针与阴影连续重合次}，则 ， 可见，参加游戏者得奖的概率很小，得到一个文具盒的可能性仅有0.0064，那么要想得到游戏机，则几乎是天方夜谭。由小概率原理可知，只参加一次游戏，几乎不可能中奖。所以，这是一个骗人的把戏。 考点五十 几何概型 知识梳理 1．几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的概率公式 P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 3．几何概型的两个特点 几何概型有两个特点：一是无限性；二是等可能性． 4．几何概型与古典概型的区别 古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，而几何概型则是无限个． 典例剖析 题型一 与长度有关的几何概型 例1 (2014·高考湖南卷)在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( ) A. 45 B. 35 C. 25 D. 15 变式训练 (2015山东文)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝⎛⎭ ⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A. 34 B. 23 C. 13 D. 14 解题要点 基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率． 题型二 与面积有关的几何概型 例2 (2014·高考辽宁卷) 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( ) A. π2 B. π4 C. π6 D. π8 变式训练 (2015福建文)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≥0，－12 x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( ) A. 16 B. 14 C. 38 D. 12 解题要点 求解与面积有关的几何概型的注意点： 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解． 题型三 与体积有关的几何概型 例3 在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A. π12 B ．1－π12 C. π6 D ．1－π6 变式训练 有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 解题要点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求． 当堂练习 1．(2015陕西文)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A. 34＋12π B. 12＋1π C. 14－12π D. 12－1π 2．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A. 4π81 B. 81－4π81 C. 127 D. 827 3. 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个x ，sin x 的值介于－12与12 之间的概率为( ) A. 13 B. 2π C. 12 D. 23 4．在[－2,3]上随机取一个数x ，则(x ＋1)(x －3)≤0的概率为( ) 几 何 概 型 的 常 见 题 型 几何概型是高中新课改后增加的一种概率类型，也是高考的一个新增热点，但由于试题设计的背景不同，试题所呈现的方式也不同，此试卷通过对几何概型试题的归纳整理，以便更好地理解和掌握此类问题. 一．几何概型的定义 1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 2．特点：（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； （2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等. 3．计算公式：.)(积） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积） 的区域长度（面积或体构成事件A A P = 说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量. 4．古典概型和几何概型的区别和联系： （1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的. （2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的； ②两种概型的概率计算公式的含义不同. 二．常见题型 1．与长度有关的几何概型 例1．(2009山东卷·文理)在区间]1,1[-上随机取一个数x ，2 cos x π的值介于0到 2 1 之间的概率为( ). A. 31 B.π 2 C.21 D.32 分析：在区间]1,1[-上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间]1,1[-的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件. 解：在区间]1,1[-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2 x π的值介于0到 2 1 之间, 需使2 2 3 x π ππ - ≤ ≤- 或 3 2 2 x π ππ ≤ ≤ 归纳与技巧：几何概型 基础知识归纳 1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． 2．几何概型的概率公式 在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： P (A )＝ 构成事件A 的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) . 基础题必做 1．(教材习题改编)设A (0,0)，B (4,0)，在线段AB 上任投一点P ，则|P A |＜1的概率为( ) A.1 2 B.1 3 C.14 D.15 解析：选C 满足|P A |＜1的区间长度为1，故所求其概率为1 4 . 2． 有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( ) 解析：选A 中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13 . 3.分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( ) A.4－π2 B.π－22 C.4－π4 D.π－24 解析：选B 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P ＝2π－44＝π－2 2 . 4．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是________． 解析：试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故P ＝0.05. 答案：0.05 5.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________． 解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝1 6 . 答案：16 解题方法归纳 1.几何概型的特点： 几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关． 2．几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结果． 与长度、角度有关的几何概型 几何概型 1.几何概型 向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积 G 的面积，则称这种模型为几何 概型. 2.几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比. 3.借助模拟方法可以估计随机事件发生的概率. 概念方法微思考 1.古典概型与几何概型有什么区别？ 提示 古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个. 2.几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？ 提示 几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.( √ ) (2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.( √ ) (3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( √ ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( × ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝1 9.( × ) 题组二 教材改编 2.在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A.12 B.13 C.1 4 D.1 答案 B 解析 坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为1 3. 3.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( ) 答案 A 解析 ∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝1 3， ∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B ). 4.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤2， 0≤y ≤2 表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标 原点的距离大于2的概率是( ) A.π 4 B.π－22 C.π6 D.4－π4 答案 D 解析 如图所示， 正方形OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分(不包括AC )表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域.易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4，故选D. 题组三 易错自纠 5.在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为5 6，则m ＝________. 答案 3 解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m . 当0 高考数学复习点拨约会型几何概型问题 第一篇：高考数学复习点拨约会型几何概型问题 谈“约会型”概率问题的求解 由两个量决定的概率问题，求解时通过坐标系，借助于纵、横两轴产生公共区域的面积，结合面积产生问题的结论，我们称此类问题为“约会型”概率问题；“约会型”概率问题的求解，关键在于合理、恰当引入变量，再将具体问题“数学化”，透过数学模型，产生结论。请看以下几例： 例 1、甲、乙两人约定在晚上7时到8时之间在公园门口会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，这时即可离去，那么两人见面的概率是多少？ 解：以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，那么两人能见面的充要条件是|x-y|≤15，如图 由于(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形，可能会面的时间由图中阴影部分所表示，记“两人能见面”为事件A 602-4527=因此，两人见面的概率P(A)=16602点评：显然，“以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间”很关键，由这一句，将一个实际问题引入了数学之门，进一步分析会发现：要见面x,y必须满足|x-y|≤15，于是，结论也就顺其自然的产生了。 例 2、A、B两列火车都要在同一车站的同一停车位停车10分钟，假设它们在下午一时与下午二时随机到达，求这两列火车必须等待的概率； 解：以x轴和y轴分别表示A、B两列火车到达的时间 两列火车必须等待，则|x-y|≤10，如图 由于(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形，可能等待的时间由图中阴影部分所表示，记“两列火车必须等待” 为事件A 602-50211=因此，这两列火车必须等待的概率是P(A)= 23660点古典概型与几何概型
几何概型知识点及练习
必修三第3章第3节几何概型
几何概型
几何概型的常见题型及典例分析(最全)
331几何概型(2)
几种常见的几何概率模型
【素材】《几何概型》辨析几何概型疑点及生活中的应用(人教)-1
考点五十 几何概型学生
几何概型 讲义
归纳与技巧：几何概型(含解析)
几何概型
高考数学复习点拨约会型几何概型问题