高中数学 3.3《几何概型》素材2 苏教版必修3

几何概型交汇点剖析

几何概型的两大特点是无限性和等可能性．几何概型的一个题目往往包含多个知识点，这类综合题背景新颖，能力要求较高，内在联系深刻，故与其他知识交汇也成为几何概型的显著特征，下面通过几例剖析．

一、与随机数相关的几何概型

例1 将数2.5随机地分成两个非负实数，例如2.143和0.357 2.5，然后对每一个数取与它最接近的整数，如在上述第一个例子中是取2和0，在第二个例子中取2和1．那么这两个整数之和等于3的概率是多少？

分析：所谓随机地将2.5分成两个非负实数，就是在区间[02.5]，

上随机地取一个数x ，另一个数y 就是2.5x -．全体基本事件是线段[02.5]，

内的所有点，然后考虑取整后两数之和等于3的点的取值范围．

解：根据题意知，若[)00.5x ∈，，则(]22.5y ∈，，和数等于2；若[)0.51x ∈，

，则(]1.52y ∈，，和数等于3；若[)11.5x ∈，，则(]11.5y ∈，，和数等于2；若(]1.52x ∈，，则[)0.51y ∈，，和数等于3；若(]22.5x ∈，，则[)00.5y ∈，，和数等于2．

故和数等于3的x 值的取值范围为[)[)0.51 1.52，，

，其长度为1，于是所求事件的概率122.55

P =

=． 二、与方程相关的几何概型 例2 设p 在［0，5］上随机地取值，求方程21042

p x px +++=有实数根的概率． 解：一元二次方程有实数根0⇔∆≥， 而22142(1)(2)042p p p p p p ⎛⎫=-+=--=+- ⎪⎝⎭

≥，解得1p -≤或2p ≥， 故所求概率为(][){}[05]123[05]5

P --+==，∞，，∞的长度，的长度． 三、与不等式相关的几何概型

例3 在集合{}()|0504x y x y ，，≤≤≤≤内任取一个元素，能使代数式240x y +-≥右的概率是多少？

解：如图１，集合{}()0504x y x y ，|，≤≤≤≤为矩形内（包括边界）的点的集合，集合{}()240x y x y +-，|≥表示坐标平面内直线240x y +-=右上方（包括直线）所有点的

集合，所以所求概率为1(53)442455

S P S ⨯+⨯===⨯阴影

矩形．

四、与矩形相关的几何概型

例4 如图2所示，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝7．现在向该矩形内随机投一点P ，求90APB ∠>°的概率．

解：由于是向该矩形内随机投一点P ，点P 落在矩形内任一点的机会是均等的，故可以认为矩形ABCD 是区域Ｄ．要使得90APB ∠>°，须满足点P 落在以线段AB 为直径的半圆内，以线段AB 为直径的半圆可看作区域d ．记“点P 落在以线段AB 为直径的半圆内”为事件A ，于是求90APB ∠>°的概率转化为求以线段AB 为直径的半圆的面积与矩形ABCD 的面积的比，

依题意，得2

1525ππ228d μ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭

，矩形ABCD 的面积为35D μ=，故所求的概率为25π

5π8()356P A ==． 点评：挖掘出“点P 必须落在以线段AB 为直径的半圆内”是解答本题的关键．

例谈几何概型的计算

几何概型是将古典概型的有限性推广到无限性，而保留等可能性的一种求概率的方法．它是借助测度来表示样本区域与所考察的样本．

几何概型的计算一般按下列步骤进行：

（1）选取合适的模型，即样本区域Ｄ；

（2）在坐标系中正确表示Ｄ与所求概率事件A 所在的区域d ；

（3）计算D 与d 的测度D d μμ，；

（4）计算概率()d D

P A μμ=． 例1 在区间(01)，中随机地取出两个数，求这两个数的和小于65

的概率．

分析：解决本题的关键是如何将其归结为一个几何概型，设x ，y 分别表示随机所取的两个数，则由题意知x ，y 均等可能地在（0，1）中取值，从而（x ，y ）等可能地在平面区域{}()|0101D x y x y =<<<<，，中取值，将Ｄ作为样本区域，这就是一个几何概型问题．

解：如图1，设x 、y 分别表示从（0，1）中取出的两个数，

则样本区域{}()|0101D x y x y =<<<<，，．

记A 为事件“两个数的和小于”， 即6()|()5A x y x y x y D ⎧⎫=+<∈⎨⎬⎩⎭

，，，， 因为Ｄ的面积1D S =，

A 的面积2

1410.6825d S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭． 于是由几何概型的概率公式得到()0.68d D

S P A S ==． 例2 甲、乙两人相约于下午1:00～2:00之间到某车站乘公共汽车外出，他们到达车站的时间是随机的，设在1:00～2:00之间有四班客车开出，开车时间分别是1:15，1:30，1:45，

2:00，分别求他们在下述情况下同坐一班车的概率．

（1）约定见车就乘；

（2）约定最多等一班车．

分析：本题是几何概型中的典型例题——约会问题的变形．分别作出表示事件的所在区域，利用构造思想及数形结合思想，结合几何概型知识加以解决．

解：设甲、乙到站时间分别是x 时，y 时，

则１≤x ≤2，1≤y ≤2，

试验区域D 为点（x ，y ）所形成的正方形，以16个小方格表示，如图2所示．

（1）如图3，约定见车就乘的事件所表示的区域d 为图中4个黑的小方格所示，所求概率为41164

=； （2）如图4，约定最多等一班车的事件所表示的区域d 为图中10

个黑的小方格所示，

所求概率为

105168

=． 例3

随机地向半圆00)y a <<>内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率均

与该区域的面积成正比，求该点与原点连线与x 轴的夹角小于

π4

的概率． 分析：题目中“随机地”即表示试验结果的等可能性，“点落在半圆内任何区域的概率均与该区域的面积成正比”更强调试验的等可能性，因为试验结果是无限个，因此容易想到用几何概型来计算．

解：如图5，设事件A 表示“点与原点连线与x 轴的夹角小于的概率”．

于是样本区域{()|0D x y y =<<，， 即为图5中的半圆，其面积为21π2

a ； 而{}()|()A x y x y D x y =∈>，，，，其面积为2211π42

a a +． 由几何概型的概率公式有22211π1142()2ππ2

a a P A a +==+．