高中数学 概率经典例题和巩固练习及答案
高中数学：概率总复习
（例题、巩固练习、例题和巩固练习详解）
【典型例题】
要点一：随机事件与概率
例1．某射手在相同条件下进行射击，结果如下：
(1)问该射手射击一次，击中靶心的概率约是多少? (2)假设该射手射击了300次，估计击中靶心的次数是多少?
举一反三：
【变式1】若在同等条件下进行n 次重复试验得到某个事件A 发生的频率()n f ，则随着n 的逐渐增大，有( )
A .()n f 与某个常数相等
B .()n f 与某个常数的差逐渐减小
C .()n f 与某个常数的差的绝对值逐渐减小
D .()n f 与某个常数的附近摆动并趋于稳定
要点二：互斥事件与对立事件
例2．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下：
(1)至多2人排队等候的概率是多少? (2)至少3人排队等候的概率是多少?
举一反三：
【变式1】某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：
.
要点三：古典概型
例3．5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，然后由乙抽一张，求：
(1)甲中奖的概率P(A)；
(2)甲、乙都中奖的概率P(B)；
(3)只有乙中奖的概率P(C)；
(4)乙中奖的概率P(D)．
举一反三：
【变式1】
在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等.
(Ⅰ)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；
(Ⅱ)求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率.
【变式2】从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.
要点四：几何概型
例4、从甲地到乙地有一班车在9:30到10:00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9:45到10:15出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少？
举一反三：
【变式1】在0～1之间随机选择两个数，这两个数对应的点把长度为1的线段分成了三条线段，试求这三条线段能构成三角形的概率．
【变式2】已知关于x 的二次函数2
()41f x ax bx =-+．
(1)设集合P ＝{-1，1，2，3，4，5}和Q ＝{-2，-1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数()y f x =在区间[1，+∞)上是增函数的概率：
(2)设点(a ，b)是区域8000x y x y +-≤⎧⎪
>⎨⎪>⎩
内的随机点，求函数()f x 在区间[1，+∞)上是增函数的概
率．
【巩固练习】
1．一个射手进行射击，记事件E 1：“脱靶”，E 2：“中靶”，E 3：“中靶环数大于4”，E 4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对
2．某校学生毕业后有回家待业，上大学和补习的三种方式，现取一个样本调查结果如图所示，若该校每一个学生上大学的概率为
4
5
，则每个学生补习的概率为( )
A ．
110 B ．225 C ．325
D ．15
3．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4．8，4.85)(g)范围内的概率是( ) A ．0.62 B ．0.38 C ．0.02 D ．0.68
4．先后抛掷骰子三次，则至少一次正面朝上的概率是（ ） A ．
81 B ． 83 C ． 85 D ． 8
7 5．有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（ ）。
A ．
101 B ．103 C ．21 D ．10
7 6．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在
奇数所在区域的概率是( )
A ．
49 B ．29 C ．23 D ．13
7．一条河上有一个渡口，每隔一小时有一趟渡船，河的上游还有一座桥，某人到这个渡口等候渡船，
他准备等候20分钟，如果20分钟渡船不到，他就要绕到上游从桥上过河，则他乘船过河的概率为( ) A ．
15 B ．14 C ．13 D ．23
8．任取一个三位数的正整数N ，则log 2N 为一个正整数的概率是( ) A ．
1225 B ．1300 C ．1
450
D ．3899 9．广告法对插广告时间有规定，某人对某台的电视节目作了长期的统计后得到结论，他任意时间打开电视看该台节目，看不到广告的概率约为
9
10
，那么该台每小时约有_______分钟插播广告． 10．一次有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，每1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖5个，二等奖100个．则任摸一张奖券中奖的概率为________．
11．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为
2
3
，则阴影区域的面积为________．
12．2盒中有1个红球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别．现由10人依次摸出1个球，设第1个人摸出的1个球是红球的概率为P1，…，第8个人摸出红球的概率是P8，则________．
13．对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
(1)计算表中优等品的各个频率．
(2)该厂生产的电视机优等品的概率约是多少?
14．将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y．
(1)求事件“x+y≤3”的概率；
(2)求事件“|x-y|＝2”的概率．
15．如图所示，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心
是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm，靶心直径为12.2 cm，运动员在70 m外射箭，假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少?
16．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率是0.19．
(1)求x的值．
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在九年级抽取多少名?
(3)已知y≥245，z≥245，求九年级中女生比男生多的概率．
数学试题答案
【典型例题】
要点一：随机事件与概率
例1．
【思路点拨】弄清频率和概率的含义及它们之间的关系是解题的关键．
【解析】(1)由表可知概率约为0.9；
(2)估计击中靶心的次数为300×0.9＝270(次)．
【总结升华】本题中利用概率知识估计击中靶心的次数是一种非常科学的决策方法．
举一反三：
【变式1】
【答案】本题选D，根据概率的定义.
要点二：互斥事件与对立事件
例2．
【思路点拨】利用互斥事件概率加法公式计算．
【解析】记“等候的人数为0”为事件A，“1人等候”为事件B，“2人等候”为事件C，“3人等候”为事件D，“4人等候”为事件E，“5人及5人以上等候”为事件F，则易知A、B、C、D、E、F互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，
∴ P(G)＝P(A+B+C)＝P(A)+P(B)+P(C)
＝0.1+0.16+0.3＝0.56．
(2)记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，
∴ P(H)＝P(D+E+F)＝P(D)+P(E)+P(F)
＝0.3+0.1+0.04＝0.44．
【总结升华】第(2)问也可以这样解：因为G与H是对立事件，所以P(H)＝1－P(G)＝1－0.56＝0.44．
举一反三：
【变式1】
【答案】（1）0.37（2）0.55
mm 【解析】(1)记这个地区的年降水量在[100,150)、[150,200)、[200,250)、[250,300)()
A B C D，这4个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，年降水范围内分别为事件,,,
mm范围内的概率是
量在[100,200)()
P A B P A P B
+=+=+=
()()()0.120.250.37
mm范围内的概率是0.37.
∴年降水量在[100,200)()
mm范围内的概率是
(2)年降水量在[150,300)()
()()()()0.250.160.140.55P B C D P B P C P D ++=++=++=
∴年降水量在[150,300)()mm 范围内的概率是0.55. 要点三：古典概型 例3．
【思路点拨】先确定事件总数，再确定四个事件中包含的基本事件个数，用古典概率公式求解． 【解析】甲、乙两人按顺序各抽一张，5张奖券分别为A 1，A 2，B 1，B 2，B 3，其中A 1，A 2为中奖券，则基本事件为(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，A 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，A 1)，(B 1，A 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，A 1)，(B 2，A 2)，(B 2，B 1)，(B 2，B 3)，(B 3，A 1)，(B 3，A 2)，(B 3，B 1)，(B 3，B 2)，共20种．
(1)若“甲中奖”，则有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，A 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共8种，故P(A)82205
=
=． (2)甲、乙都中奖含有的基本事件有(A 1，A 2)，(A 2，A 1)，共2种，所以P(B)＝
212010
=． (3)“只有乙中奖”的基本事件有(B 1，A 1)，(B 2，A 1)，(B 3，A 1)，(B 1，A 2)，(B 2，A 2)，(B 3，A 2)，共6种，故63()2010
P C =
=． (4)“乙中奖”的基本事件有(A 2，A 1)，(B 1，A 1)，(B 2，A 1)，(B 3，A 1)，(A l ，A 2)，(B 1，A 2)，(B 2，A 2)，(B 3，A 2)，共8种，故82()205
P D =
=． 【总结升华】
1、利用古典概型的计算公式时应注意两点： (1)所有的基本事件必须是互斥的；
(2)m 为事件A 所包含的基本事件数，求m 值时，要做到不重不漏.
2、古典概型解题步骤： (1)阅读题目，搜集信息；
(2)判断是否是等可能事件，并用字母表示事件； (3)求出基本事件总数n 和事件A 所包含的结果数m ； (4)用公式()m
P A n
=求出概率并下结论. 举一反三： 【变式1】 【答案】(Ⅰ)
38 (Ⅱ)516
【解析】设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为y x ,，用),(y x 表示抽取结果，则所有可能有()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()3,1，()3,2，()3,3，
()3,4，()4,1，()4,2，()4,3，()4,4，共16种.
(Ⅰ)所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有()1,2， ()2,1， ()2,3，()3,2， ()3,4， ()4,3，共6种. 故所求概率63
168
P =
=. (Ⅱ)所取两个球上的数字和能被3整除的结果有()1,2， ()2,1， ()2,4， ()3,3， ()4,2，共5种. 故所求概率为516
P =. 【变式2】 【答案】
23
【解析】每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)和，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2).其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A 表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，
则A=[(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)]， 事件A 由4个基本事件组成，因而，P(A)=64=3
2. 要点四：几何概型
例4、
【思路点拨】此题中班车出发的时间与甲到达的时间都是随机的，设为两个变量. 然后把这两个变量所满足的条件写成集合形式，并把所研究事件A 的集合也分析得出. 把两个集合用平面区域表示，特别注意不等式所表示区域.
【解析】
到达乙地的时间是9:30到10:00之间的任一时刻，某人从乙地转乘的时间是9:45到10:15之间的任一时刻，如果在平面直角坐标系中用x 轴表示班车到达乙地的时间，y 轴表示从乙地出发的时间，因为到达乙地时间和从乙地出发的时间是随机的，则试验的全部结果可看作是边长为0.5的正方形.设“他能赶上车”为事件A ，则事件A 的条件是x y ≤，构成事件A 的区域为图中的阴影部分.
由几何概型公式，得222
1
0.50.252()0.8750.5P A -⨯
=
=，即他能赶上车的概率为0.875.
【总结升华】在概率问题中，与面积有关或可以转化为二维空间的，可以采取几何概型的方法去解决.直接与面积有关的，可直接计算，有时需要先进行转化成二维空间，然后利用几何概型.
举一反三： 【变式1】
【解析】设三条线段的长度分别为x ，y ，1-x-y ，
则0101011x y x y <<⎧⎪
<<⎨⎪<--<⎩
，，， 即0101x y x <<⎧⎨<<-+⎩
，.
在平面上建立如图所示的平面直角坐标系，直线x ＝0，y ＝0，y ＝-x+1围成如图所示三角形区
域G(不包括边界)，每一对(x ，y)对应着G 内的点(x ，y)，由题意知，每个试验结果出现的可能性相等，因此，试验属于几何概型．三条线段能构成三角形，当且仅当
111x y x y x x y y +>--⎧⎪
->⎨⎪->⎩，，
， 即121212y x x y ⎧
>-+⎪⎪
⎪<⎨⎪
⎪
<⎪⎩
，，. 因此图中的阴影区域g 就表示“三条线段能构成三角形”，容易求得g 的面积为1
8
，G 的面积为
12
，则P(这三条线段能构成三角形)1
4g G =
=的面积的面积． 【变式2】
【思路点拨】(1)用古典概型的概率公式计算．(2)属于几何概型问题，用几何概型的知识求解．
【解析】(1)∵ 函数2
()41f x ax bx =-+的图像的对称轴为2b
x a =
，要使函数2()41f x ax bx =-+在区间[1，+∞)上为增函数，当且仅当a ＞0且21b
a
≤，即2b ≤a ，a ＞0．
若a ＝1，则b ＝-2，-1； 若a ＝2，则b ＝-2，-1，1； 若a ＝3，则b ＝-2，-1，1； 若a ＝4，则b ＝-2，-1，1，2； 若a ＝5，则b ＝-2，-1，1，2．
∴ 满足条件的事件包含事件的个数是2+3+3+4+4＝16．
∴ 所求事件的概率为
164369
=． (2)由(1)知，当且仅当2b ≤a 且a ＞0时，函数2
()41f x ax bx =-+在区间[1，+∞)上为增函
数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为80()00a b a b a b ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪
>⎨⎨⎬⎪⎪⎪
>⎩⎩⎭
，，，，
构成所求事件的区域为如图所示阴影部分．
由802
a b a
b +-=⎧⎪⎨=⎪⎩，
得交点坐标为16833⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∴ 所求事件的概率为18
81231
3882
P ⨯⨯
==⨯⨯． 【总结升华】几何概型的概率问题关键是数形结合，将问题转化成与长度、角度、面积、体积等相关的类型解决． 【巩固练习】 【答案与解析】 参考答案 1．【答案】B
【解析】E 1与E 3，E 1与E 4均为互斥而不对立的事件． 2．【答案】C
【解析】设某校毕业生的人数为x 人，则每个学生上大学的概率为804
5
x =，所以x ＝100，则补习生的人数为12人，所以每个学生补习的概率为123
10025
P ==． 3．【答案】C
【解析】记事件A 、B 分别为“质量小于4.8 g ”与“质量在[4.8，4.85)(g)”，又记事件C 为“质量小于4.85 g ”，则C ＝A+B ，且A 与B 互斥，所以P(C)＝P(A+B)－P(A)+P(B)，即0.32＝0.3+P(A)，解得P(A)＝0.02． 4. 【答案】D
【解析】至少一次正面朝上的对立事件的概率为
3
1117,12888
=-=
5. 【答案】B
【解析】能构成三角形的边长为(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)三种，从这5条线段中任取3条共有10种取法，3()10
A P A ==包含的基本事件的个数基本事件的总数。 6．【答案】A
【解析】记a ，b 分别为两个指针所落在区域中的数，则所有可能结果(a ，b)有(1，1)，(1，2)，(1，
3)．(1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，1)，…，(7，8)，(7，9)，即共有6×6＝36(个)，而(a ，b)中的a ，b 均为奇数有(1，1)，(1，3)，(1，7)，(1，9)，(3，1)，(3，3)，(3，7)，(3，9)，(5，1)，(5，3)，(5，7)，(5，9)，(7，1)，(7，3)，(7，7)，(7，9)，共4×4＝16(个)，所以由古典概型的概率的计算公式得所求概率为
164369=． 7．【答案】C
【解析】考虑一趟渡船离开到下一趟渡船到达之间的1个小时为基本事件的全部，由几何概型可以求得，此人乘船过河的概率为201603P =
=． 8．【答案】B
【解析】因为三位数的正整数N 共有900个，其中2log N 为一个正整数的N 只有：27，28，29三个，所以所求的概率为
31900300
=． 9．【答案】6 【解析】某人打开电视看该台节目，看到广告的概率约为9111010
-=，所以该台每小时约有60×110
=6(分钟)插播广告． 10．【答案】53500
【解析】由古典概型的计算公式得所求的概率为
15100531000500++=． 11．【答案】83
【解析】由几何概型的计算公式知23S S =阴正，4S =正方形，则28433
S =⨯=阴． 12．【答案】81P P =
【解析】虽然摸球的顺序有先后，但只需不让后摸的人知道先摸者摸出的结果，那么各个摸球者摸到红球的概率都是相等的，并不因摸球的顺序不同而影响其公平性．
13．【解析】(1)由频率公式()n m f A n
=
及题意可计算出优等品的频率依次为0.8，0.92，0.96，0.95，0.956，0.954．
(2)由(1)知，计算出的优等品的频率虽然各不相同，但都是在常数0.95附近摆动，因此，可估计该厂的电视机优等品的概率约是0.95．
14．【解析】设(x ，y)表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，…，(6，5)，(6，6)，共36个基本事件．
(1)用A 表示事件“x+y ≤3”，
则A 的结果有(1，1)，(1，2)，(2，1)，共3个基本事件，
∵ P(A)＝313612
=． 答：事件“x+y ≤3”的概率为112
． (2)用B 表示事件“|x-y|＝2”，
则B 的结果有(1，3)，(2，4)，(3，5)，(4，6)，(6，4)，(5，3)，(4，2)，(3，1)，共8个基本事件，
∴ P(B)＝82369
=． 答：事件“|x-y|＝2”的概率为29
． 15．【解析】在该试验中，射中靶面的每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直径为122cm 的大圆内的任意一点，如题图所示，记“射中黄心”为事件B ，由于中靶点随机落在面积为
2
11224π⨯⨯(cm 2)的大圆内，而当中靶点落在面积为
2112.24
π⨯⨯(cm 2)的黄心内时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率为 2
2
112.24()0.0111224
P B ππ⨯⨯==⨯⨯， 即射中黄心的概率是0.01．
16．【解析】(1)∵ 0.192000
x =，∴ x ＝380． (2)九年级人数为y+z ＝2000－(373+377+380+370)＝500，
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在九年级抽取的人数为：50048122000
⨯=名． (3)设九年级女生比男生多的事件为A ，九年级女生、男生数记为(y ，z)；
由(2)知y+z ＝500，且y ，z ∈N ，基本事件有：
(245，255)、(246，254)、(247，253)、…、(255，245)，共11个，
事件A包含的基本事件有：(251，249)、(252，248)、(253，247)、(254，246)、(255，245)，
共5个，∴
5 ()
11 P A ．
高中数学 概率经典例题和巩固练习及答案
高中数学：概率总复习 （例题、巩固练习、例题和巩固练习详解） 【典型例题】 要点一：随机事件与概率 例1．某射手在相同条件下进行射击，结果如下： (1)问该射手射击一次，击中靶心的概率约是多少? (2)假设该射手射击了300次，估计击中靶心的次数是多少? 举一反三： 【变式1】若在同等条件下进行n 次重复试验得到某个事件A 发生的频率()n f ，则随着n 的逐渐增大，有( ) A .()n f 与某个常数相等 B .()n f 与某个常数的差逐渐减小 C .()n f 与某个常数的差的绝对值逐渐减小 D .()n f 与某个常数的附近摆动并趋于稳定 要点二：互斥事件与对立事件 例2．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下： (1)至多2人排队等候的概率是多少? (2)至少3人排队等候的概率是多少?
举一反三： 【变式1】某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示： . 要点三：古典概型 例3．5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，然后由乙抽一张，求： (1)甲中奖的概率P(A)； (2)甲、乙都中奖的概率P(B)； (3)只有乙中奖的概率P(C)； (4)乙中奖的概率P(D)． 举一反三： 【变式1】 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等. (Ⅰ)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率； (Ⅱ)求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率. 【变式2】从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率. 要点四：几何概型
高中数学概率大题(经典一)
高中数学概率大题（经典一） 一．解答题（共10小题） 1．在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛．（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X 的数学期望； （2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？ 2．某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分 （1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率； （2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望． 3．某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行． （1）有三人参加抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于，则“海宝”卡至少多少张？ （2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及Eξ的值． 4．一袋中有m（m∈N*）个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球． （1）当m=4时，求取出的2个球颜色相同的概率； （2）当m=3时，设ξ表示取出的2个球中黑球的个数，求ξ的概率分布及数学期望； （3）如果取出的2个球颜色不相同的概率小于，求m的最小值． 5．某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖． （Ⅰ）求一次抽奖中奖的概率； （Ⅱ）若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X（元）的概率分布和期望E（X）． 6．将一枚硬币连续抛掷15次，每次抛掷互不影响．记正面向上的次数为奇数的概率为P1，正面向上的次数为偶数的概率为P2． （Ⅰ）若该硬币均匀，试求P1与P2； （Ⅱ）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为，试比较P1与P2的大小． 7．某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下三种方案：
概率随机变量均值方差独立性正态分布强化训练专题练习(二)带答案新人教版高中数学名师一点通
高中数学专题复习 《概率随机变量均值方差独立性正态分布》单元 过关检测 经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！ 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人得分 一、选择题 1．(汇编重庆理)已知随机变量ζ服从正态分布N(3,a2),则P(3) ζ<＝ (A)1 5 (B) 1 4 (C) 1 3 (D) 1 2 2．(汇编福建理)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为4 5 ,那么播下4粒 种子恰有2粒发芽的概率是 A.16 625 B. 96 625 C. 192 625D. 256 625 3．(汇编江苏)（10）右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，
再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是 （A ） 454 （B ）361（C ）154 （D ）15 8 4．（汇编上海理）若事件E 与F 相互独立，且()()1 4 P E P F ==，则()P E F I 的值等于 A ．0 B ．116 C ．14 D ．12 5．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ） A ．10 100 6 10 480C C C ? B ．10 100 410 680C C C ? C ．10 100 620480C C C ? D ．10 100 420 680C C C ?(汇编辽宁) 6． 1．每次试验的成功率为(01)P P <<，重复进行试验直至第n 次才取得 (0)r r n ≤≤次成功的概率为---------------------------------------------------------------------------------------------------（ ） (A ) (1)r r n r n C P P -- (B ) 11(1) r r n r n C P P ---- (C ) (1)r n r P P -- (D)11 1(1)r r n r n C P P ----- 7．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是-（ ） 信号源
人教B版(2019)高中数学必修第二册 第五章统计与概率5.4统计与概率的应用同步习题(含答案)
5.4 统计与概率的应用 知识点一统计在实际中的应用 1．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时． 2．甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85 现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由． 知识点二概率在实际中的应用 3．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过三次而接通电话的概率为( ) A． 9 10 B． 3 10 C．1 8 D． 1 10 4．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是________．
5．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验．其中一名学生摸球，另一名学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为6000次． (1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是________； (2)请你估计袋中红球接近________个． 6．用力伸大拇指有的人是直的(直拇指)，有的人是曲的(曲拇指)．同人的眼皮单双一样，也是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作D，隐性基因记作d；成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是直拇指(这就是说，“直拇指”的充要条件是“基因对是DD，dD或Dd”)．同前面一样，决定眼皮单双的基因仍记作B(显性基因)和b(隐性基因)． 有一对夫妻，两人决定大拇指形态和眼皮单双的基因都是DdBb，不考虑基因突变，求他们的孩子是直拇指且单眼皮的概率．(生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰．) 7．已知某音响设备由A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道五个部件组成，其中每个部件工作的概率如图所示，当且仅当A与B中有一个工作，C工作，D与E中有一个工作时能听到声音；且若D和E同时工作则有立体声效果． (1)求能听到立体声效果的概率； (2)求听不到声音的概率． 8．如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B.转盘A被平均分成三份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成四份，分别标上3,4,5,6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字(若指针指在分界线上，则重新转动该转盘)，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜；否则乙获胜．你认为这个游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方都公平？
高中数学概率统计经典例题
高中数学概率统计经典例题 高中数学概率统计经典例题可以涵盖各种不同的概率问题，包括随机事件、概率的定义、条件概率、贝叶斯公式、独立事件等。以下是一些示例: 1. 某公司发行了 200 张彩票，其中 100 张为一等奖，每张彩票的价格为 1 元，另有 100 张为二等奖，每张彩票的价格为 2 元。假设彩民购买了一张彩票，请问中奖的概率是多少？ 答案：中奖的概率为 1/100 + 1/200 = 3/50。 2. 某次考试中，有 20 道选择题，每道选择题的难度相等，正确答案的概率为 1/4。请问答对 4 道或 5 道选择题的概率是多少？ 答案：答对 4 道或 5 道选择题的概率为 (1/4)×(1/4)×(1/4)×(1/4) + (1/4)×(1/4)×(1/4)×(1/4) = 1/64。 3. 某只股票的售价为 10 元，预计在未来的 1 个月内会上涨10%,也就是说，股价将会上涨 1 元。请问购买 100 股股票，总投资金额为多少元？ 答案：总投资金额为 100×(1+1)=1100 元。 4. 某次比赛共有 20 名参赛者，其中 15 名是男性，5 名是女性。请问男性参赛者中获得第一名的概率是多少？ 答案：男性参赛者中获得第一名的概率为 15/20=3/4。 5. 某次考试中，有 20 道选择题，每道选择题的难度相等，正确答案的概率为 1/4。请问答对 3 道或 4 道选择题的概率是多少？ 答案：答对 3 道或 4 道选择题的概率为 (1/4)×(1/4)×(1/4)
×(1/4) + (1/4)×(1/4)×(1/4)×(1/4) = 1/64。 这些示例展示了概率统计在解决实际问题中的重要性。在高中数学中，概率统计是一个重要的学科，可以帮助人们更好地理解世界，解决实际问题。
高中数学概率大题(经典二)
高中数学概率大题（经典二） 一．解答题（共10小题） 1．某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2．从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换．（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率； （Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）． 2．已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品．需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设ξ为取出的次数，求ξ的分布列及Eξ．3．某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； （II）求使P（X=m）取得最大值的整数m． 4．在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数． （Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）和数学期望Eξ； （Ⅱ）求概率P（ξ≥Eξ）． 5．A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部 （Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明） 250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润． （Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；
高中数学10.1.4《概率的基本性质》基础过关练习题
第十章 10.1 10.1.4 A 级——基础过关练 1．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为( ) A ．0.40 B ．0.30 C ．0.60 D ．0.90 【答案】A 【解析】依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40.故选A ． 2．(2019年咸阳检测)某校高三(1)班50名学生参加1 500 m 体能测试，其中23人成绩为A ，其余人成绩都是B 或C ．从这50名学生中任抽1人，若抽得B 的概率是0.4，则抽得C 的概率是( ) A ．0.14 B ．0.20 C ．0.40 D ．0.60 【答案】A 【解析】由于成绩为A 的有23人，故抽到C 的概率为1－23 50－0.4＝0.14. 故选A ． 3．(2019年信阳月考)盒子中有若干个红球和黄球，已知从盒中取出2个球都是红球的概率为328，从盒中取出2个球都是黄球的概率是5 14，则从盒中任意取出2个球恰好是同一颜 色的概率是( ) A ．13 28 B ．5 7 C ．15 28 D ．37 【答案】A 【解析】设“从中取出2个球都是红球”为事件A ，“从中取出2个球都是黄球”为事件B ，“任意取出2个球恰好是同一颜色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥，所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝328＋514＝13 28 .故选A ． 4．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A 表示“向上的点数是奇数”，事件B 表示“向上的点数不超过3”，则P (A ∪B )＝( ) A ．1 2 B ．2 3
高中数学概率与统计综合练习题(附答案)
高中数学概率与统计综合练习题(附答案) 1. 概率问题 1.1 在一副标准扑克牌中，从中随机抽取一张牌，请问抽到的是红心的概率是多少？ 答案：抽到红心的概率为 13/52，即 1/4。 1.2 甲、乙、丙三人同时向目标射击，射击命中的概率分别为0.6、0.7 和 0.8。请问至少有一人射中的概率是多少？ 答案：至少有一人射中的概率为 1 - (1 - 0.6)(1 - 0.7)(1 - 0.8) = 0.976。 2. 统计问题 2.1 甲班有 60 名学生，其中男生有 30 名，乙班有 40 名学生，其中男生有 20 名。请问从这两个班中随机选择一名学生，男生的概率是多少？ 答案：男生的概率为 (30 + 20) / (60 + 40) = 50/100 = 0.5。
2.2 某班级的学生中，语文成绩优秀的有 30 人，英语成绩优秀 的有 20 人，数学成绩优秀的有 25 人。求至少具备一门优秀科目的 学生人数。 答案：至少具备一门优秀科目的学生人数为 30 + 20 + 25 = 75。 3. 综合问题 3.1 某杂货店卖出的商品中，20% 是苹果，30% 是橙子，50% 是其他水果。其中，90% 的苹果是新鲜的，70% 的橙子是新鲜的，80% 的其他水果是新鲜的。请问随机选择一件水果，它是新鲜的概 率是多少？ 答案：随机选择一件水果是新鲜的概率为 (0.2 * 0.9) + (0.3 * 0.7) + (0.5 * 0.8) = 0.69。 3.2 某地区发生洪水的概率为 0.2，发生地震的概率为 0.3。当 洪水和地震同时发生的概率为 0.05。请问至少发生一种自然灾害的 概率是多少？
高考概率论真题及答案解析
高考概率论真题及答案解析 概率论作为数学中的一个分支，是高考数学中的一个重要考点。 在高考中，概率论题目常常给考生带来困扰。本文将选取几道高考概 率论真题，以及对应的解析方法，帮助考生更好地掌握解题技巧。 一、某高中有400名学生，其中300名喜欢足球，200名喜欢篮球。求既不喜欢足球也不喜欢篮球的学生人数。 解析：首先，该高中学生总人数为400人。喜欢足球的人数为 300人，喜欢篮球的人数为200人。根据概率论中的容斥原理，我们可以得到既不喜欢足球也不喜欢篮球的学生人数为400-300-200=100人。 二、在一个班级中，60%的学生喜欢音乐，40%的学生喜欢运动， 且有70%的学生至少喜欢一种。求这个班级中既不喜欢音乐也不喜欢运动的学生人数。 解析：根据题意，喜欢音乐的学生占60%，喜欢运动的学生占40%，至少喜欢一种的学生占70%。根据概率论中的加法原理，我们可 以得到既不喜欢音乐也不喜欢运动的学生人数为100% - 70% = 30%。 假设班级中共有100名学生，那么既不喜欢音乐也不喜欢运动的学生 人数为30% * 100 = 30人。 三、有两个盒子，盒子A中有3个白球，2个黑球，盒子B中有 4个白球，1个黑球。先从一个盒子中任取一球放入另一个盒子，然后 从新的盒子中随机取一球。已知最后随机取到的球是白色，求原盒子 中的球的颜色。 解析：根据题意，我们可以列出两个条件：
1. 最后取到的球是白色； 2. 先取球的盒子中的球的颜色。 设事件A表示最后取到的球是白色，设事件B表示先取球的盒子中的球的颜色。我们要求的是事件B在已知事件A发生的条件下的概率P(B|A)。 根据概率论中的条件概率公式，我们有：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。 根据题意，我们可以知道：P(A∩B) = P(从盒子A中取出球放入盒子B，然后从盒子B中取出白球) = (3/5) * (5/6) = 1/2。因为最后取到的球是白色，所以P(A) = 1。 综上所述，我们可以得到P(B|A) = (1/2) / 1 = 1/2。即在已知最后取到的球是白色的条件下，原盒子中的球的颜色是白色的概率为1/2。 通过以上三个例题，我们可以看到概率论在高考中的应用。在解答概率论题目时，我们可以运用概率论的基本原理，如容斥原理、加法原理、条件概率公式等，来解决问题。同时，我们还需要注意理解题意，把握好条件，进行合理的计算和转化。通过反复的练习和实际解题，我们可以逐渐提升自己的解题能力。 总结起来，掌握概率论的基本原理，并灵活运用于解题过程中，可以帮助我们更好地应对高考中的概率论题目。在备考过程中，我们应多做真题，积累解题经验，注重理论联系实际的运用。相信通过努力和准确的解题方法，我们一定可以在高考中取得优异的成绩。
高中数学概率与统计真题(解析版)
高中数学 专题23 概率与统计真题汇编 1．在1，2，3…，10中随机选出一个数a，在-1，-2，-3.…，-10中随机选出一个数b，则a2+b被3整除的概率为. 【答案】 【解析】若a∈{1，2，4，5，7，8，10}，. 若. 若a∈{3，6，9}，. 若. ∴a2+b为3的倍数的概率为. 2．将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a，b，c，d，e，f，则abc+def是偶数的概率为. 【答案】 【解析】先考虑abc+def为奇数的情况，此时abc，def一奇一偶，若abc为奇数，则a，b，c为1，3，5的排列，进而d，e，f为2，4，6的排列，这样有3！×3！=36种情况，由对称性可知，使abc+def为奇数的情况数为36×2=72种.从而abc+def为偶数的概率为. 3．袋子A中装有两张10元纸币和三张1元纸币，袋子B中装有四张5元纸币和三张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币．则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为________. 【答案】 【解析】 一种取法符合要求，等价于从A中取走的两张纸币的总面值a小于从B中取走的两张纸币的总面值b，从而，.故只能从A中取走两张1元纸币，相应的取法数为. 又此时，即从B中取走的两张纸币不能均为1元纸币，相应有种取法． 因此，所求的概率为.
4．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为______. 【答案】 【解析】 设正方体为，共12条棱，从中任意取出三条棱的方法有种. 下面考虑使三条棱两两异面的取法数. 由于正方体棱共确定三个互不平行的方向(即的方向)，具有相同方向的四条棱两两共面，因此，取出的三条棱必属于三个不同的方向.可先取定方向的棱，这有四种取法. 不妨设取的棱为.则方向只能取棱，共两种可能.当方向取棱时，方向取棱分别只能为. 综上，三条棱两两异面的取法数为8. 故所求概率为. 5．设A、B、C、D为空间四个不共面的点，以的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则点A与B可用(一条边或者若干条边组成的)空间折线连接的概率为_______. 【答案】 【解析】 每对点之间是否连边有2种可能，共有种情形.考虑其中点A、B可用折线连接的情形数. (1)有边AB：共种情形. (2)无边AB，但有边CD：此时，点A、B可用折线连接当且仅当点A与C、D中至少一点相连，且点B与C、D中至少一点相连，这样的情形数为. (3)无边AB，也无边CD：此时，AC与CB相连有种情形，AD与DB相连也有情形，但其中AC、CB、AD、DB均相连的情形被重复计了一次，故点A与B可用折线连接的情形数为. 综上，情形数的总和为. 故点A与B可用折线连接的概率为. 6．从1，2，…，20中任取五个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率是______. 【答案】 【解析】 设取自1，2， (20)
高一数学概率练习和答案分析
高一数学概率练习和答案分析 数学离不开做题，学生需要多做题，才会更加容易的将知识点运用到做题上，下面店铺的小编将为大家带来高一数学的关于盖里的练习题和答案，希望能够帮助到大家。 高一数学概率练习和答案 一、选择题：本大题共10小题，共50分. 1.编号为1,2,3的三位学生随意坐入编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，则三位学生所坐的座位号与学生的编号恰好都不同的概率是( ) A.23 B.13 C.16 D.56 解析：编号为1,2,3的三位学生随意坐入编号为1,2,3的三个座位时，1号学生有3种坐法，2号学生有2种坐法，3号学生只有1种坐法，所以一共有6种坐法，其中座位号与学生的编号恰好都不同的坐法只有2种，所以所求的概率P=26=13. 答案：B 2.小明同学的QQ密码是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中不同的6个数字组成的六位数码，由于长时间未登录QQ，小明忘记了密码的最后一个数字，如果小明登录QQ时密码的最后一个数字随意选取，则恰好能登录的概率是( ) A.1105 B.1104 C.1100 D.110 解析：从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取一个数字有10个基本事件，恰巧是密码最后一位数字有1个基本事件，则恰好能登录的概率为110. 答案：D 3. 已知点P是边长为4的正方形内任一点，则点P到四个顶点的距离均大于2的概率是( ) A.π4 B.1-π4 C.14 D.π3 解析：如图所示，边长为4的正方形ABCD，分别以A、B、C、
D为圆心，都以2为半径画弧截正方形ABCD后剩余部分是阴影部分. 则阴影部分的面积是42-4×14×π×22=16-4π， 所以所求概率是16-4π16=1-π4. 答案：B 4.(2013•江西卷)集合A={2,3}，B={1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( ) A.23 B .12 C.13 D.16 解析：从A，B中各任意取一个数，对应的基本事件有：(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共6种，而这两个数之和等于4的基本事件有：(2,2)，(3,1)，共2种，故所求的概率为P=26=13. 答案：C 5.从甲、乙、丙三人中，任选两名代表，甲被选中的概率为( ) A.12 B.13 C.14 D.23 解析：甲、乙、丙三人中任选两名代表有如下三种情况：(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)，其中甲被选中包含两种，因此所求概率为P=23. 答案：D 6.(2013•安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( ) A.23 B.25 C.35 D.910 解析：从甲、乙、丙、丁、戊5人中录用3人的所有事件为：甲乙丙、甲乙丁、甲乙戊、乙丙丁、乙丙戊、丙丁戊、乙丁戊、甲丙丁、甲丙戊、甲丁戊，共10种，其中甲或乙被录用包含9个基本事件，故甲或乙被录用的概率为910.故选D. 答案：D 7.若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线x+y=4上的概率是( )
高二数学第13章概率练习题(有答案和解释)
高二数学第13章概率练习题（有答案和解释） 1．将一枚质地均匀的硬币向上抛掷10次，其中“正面朝上恰好有5次”是() A．必然事件B．随机事件 C．不可能事件D．无法确定 解析：选B.“正面朝上恰好有5次”是可能发生也可能不发生的事件，故该事件为随机事件． 2．下列事件在R内是必然事件的是() A．|x－1|＝0B．x2＋1＜0 C.x＋1＞0D．(x＋1)2＝x2＋2x＋1 解析：选D.A、C为随机事件，B为不可能事件． 3．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为() A．至多有2件次品B．至多有1件次品 C．至多有2件正品D．至少有2件正品 解析：选B.至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件．共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品． 4．在掷一颗骰子观察点数的试验中，若令A＝{2,4,6}，则用语言叙述事件A对应的含义为__________________． 解析：观察事件A的特点． 答案：掷出的点数为偶数
一、选择题 1．在10件同类产品中，有8件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件的不可能事件是() A．3件都是正品B．至少有一件是次品 C．3件都是次品D．至少有一件是正品 解析：选C.10件同类产品中只有2件次品，取3件产品中都是次品是不可能的． 2．从6个男生，2个女生中任选3人，则下列事件中必然事件是() A．3个都是男生B．至少有1个男生 C．3个都是女生D．至少有1个女生 解析：选B.由于女生只有2人，而现在选择3人，故至少要有1个男生参选． 3．下列命题：①集合{x||x|＜0}为空集是必然事件；②若y＝f(x)是奇函数，则f(x)＝0是随机事件；③若loga(x－1)＞0，则x＞1是必然事件；④对顶角不相等是不可能事件，其中正确的有() A．0个B．1个 C．2个D．3个 解析：选D.∵|x|≥0恒成立，∴①正确；∵函数y＝f(x)只有当x＝0有意义时，才有f(0)＝0，∴②正确；∵当底数a与真数x－1在相同区间(0,1)或相同区间(1，＋∞)时，loga(x－1)＞0才成立，∴③是随机事件，即③错误；∵对顶角相等是必然事件，∴④正确．
高中数学-概率专题强化训练(解析版)
高中数学-概率专题强化训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.8，两人下成平局的概率是0.5，则甲胜的概率是（ ） A ．0.2 B ．0.3 C ．0.5 D ．0.8 2．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A =“出现的点数是1或2”，事件B =“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为（ ） A ．A B B ．A B C ．A B ⊆ D ．A B = 3．2020年起，山东省高考实行新方案.新高考规定：语文、数学、英语是必考科日，考生还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个等级考试科目中选取3个作为选考科目.某考生已经确定物理作为自己的选考科目，然后只需从剩下的5个等级考试科目中再选择2个组成自己的选考方案，则该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为（ ） A ．相互独立事件 B ．对立事件 C ．不是互斥事件 D ．互斥事件但不是对立事件 4．同时投掷两颗质地均匀且大小相同的骰子，用(x ，y )表示结果，其中x 表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第二颗骰子出现的点数，记A 为“所得点数之和小于5”，则事件A 包含的样本点个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.2，不用现金支付的概率为0.45，则既用现金支付也用非现金支付的概率为（ ） A ．0.35 B ．0.65 C ．0.25 D ．0 6．下列说法正确的是（ ） A ．投掷一枚硬币1000次，一定有500次“正面朝上” B ．若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定 C ．为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式 D ．一组数据1､2､5､5､5､3､3的中位数和众数都是5 7．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数(素数即质数)猜想的一个弱化形式.素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷个素数p ，使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数.则从不超过15的素数中任取两个素
高中数学概率练习题及答案
高中数学概率练习题及答案 一、选择题 1. 给出下列四个命题： ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 ②“当x为某一实数时可使x?0”是不可能事件 ③“明天广州要下雨”是必然事件 ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件， 其中正确命题的个数是 A．0 B. 1C. D. 2. 某人在比赛中赢的概率为0.6，那么他输的概率是 A．0.4B. 0. C. 0.3 D. 0.16 3. 下列说法一定正确的是 A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况 B．一枚硬币掷一次得到正面的概率是21，那么掷两次一定会出现一次正面的情况 C．如买彩票中奖的概率是万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D．随机事件发生的概率与试验次数无关 4．某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项
活动，每个同学被抽到的概率是 其中解释正确的是 A．4个人中必有一个被抽到B. 每个人被抽到的可能性是 C．由于抽到与不被抽到有两种情况，不被抽到的概率为1，411D．以上说话都不正确 5．投掷两粒均匀的骰子，则出现两个5点的概率为 A．1115B. C.D. 1861236 3211 B.C.D. 5486．从{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a,b,c}的子集的概率是 A． 7．若A与B是互斥事件，其发生的概率分别为p1,p2，则A、B同时发生的概率为 A．p1?p B. p1?pC. 1?p1?pD. 0 8．在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点D，则AD的长小于AC的长的概 率为 A．12 B. 1? C.D.22 2 二、填空题 9．如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心的概率是方片的概率是1，取到41，则取到黑色牌的概率是_____________
高中的数学概率大的题目(经典二)
高中数学概率大题〔经典二〕 一．解答题〔共10小题〕 1．某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号一样．假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2．从使用之日起每满1年进展一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换．〔Ⅰ〕在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率； 〔Ⅱ〕在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；〔Ⅲ〕当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率〔结果保存两个有效数字〕． 2．盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品．需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设ξ为取出的次数，求ξ的分布列与Eξ． 3．某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李教师和X教师负责，该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加〔n和k都是固定的正整数〕，假设李教师和X教师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李教师或X教师所发活动通知信息的学生人数为X． 〔I〕求该系学生甲收到李教师或X教师所发活动通知信息的概率； 〔II〕求使P〔X=m〕取得最大值的整数m． 4．在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇〔此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇〕，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数． 〔Ⅰ〕写出ξ的分布列〔不要求写出计算过程〕和数学期望Eξ； 〔Ⅱ〕求概率P〔ξ≥Eξ〕． 5．A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了局部学生一周的锻炼时间，数据如表〔单位：小时〕： A班 6 6.5 7 7.5 8 B班 6 7 8 9 10 11 12 C班 〔Ⅰ〕试估计C班的学生人数； 〔Ⅱ〕从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； 〔Ⅲ〕再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25〔单位：小时〕，这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．〔结论不要求证明〕 6．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ 1 2 3 4 5 P 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润． 〔Ⅰ〕求事件A：“购置该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款〞的概率P〔A〕；
高中数学《计数原理与概率统计》练习题(含答案解析)
高中数学《计数原理与概率统计》练习题（含答案解析） 一、单选题 1．某校有学生800人，其中女生有350人，为了解该校学生的体育锻炼情况，按男、女学生采用分层抽样法抽取容量为80的样本，则男生抽取的人数是（ ） A ．35 B ．40 C ．45 D ．60 2．数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,,6.6x 的65百分位数是4.5，则实数x 的取值范围是（ ） A ．[4.5,)+∞ B ．[4.5,6.6) C ．(4.5,)+∞ D ．(4.5,6.6] 3．若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（ ） A ．15 B ． 310 C ．35 D ．12 4．已知随机变量X 服从二项分布(),X B n p ，若()5 4 E X = ，()1516=D X ，则p =（ ） A ．14 B ．13 C ．34 D ．45 5．总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ） 第1行78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 53 69 97 28 01 98 第2行32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81 A ．27 B ．26 C ．25 D ．19 6．已知随机变量X 的分布列为 设23Y X =+，则()D Y 等于（ ） A ．83 B ．53 C ．23 D ．13 7．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A ．0.3 B ．0.5 C ．0.6 D ．0.8
高三数学概率综合试题答案及解析
高三数学概率综合试题答案及解析 1.将一枚硬币连掷5次,如果出现k次正面向上的概率等于出现k+1次正面向上的概率,那么k的值为() A．0B．1C．2D．3 【答案】C 【解析】由()k()5-k=()k+1·()5-k-1,即=,故k+(k+1)=5,即k=2. 2.甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射 击目标，则目标被击中的概率为()． A．B．C．D． 【答案】A 【解析】设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C，则目标被击中的事件可以表示为A＋B＋C，即击中目标表示事件A、B、C中至少有一个发生．∴P()＝ P()·P()·P()＝[1－P(A)]·[1－P(B)]·[1－P(C)]，故目标被击中的概率为1－P()＝1－＝. 3.为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表： 学校学校甲学校乙学校丙学校丁 该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军,现要从中选出两名队员代表冠军队发言． （Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率； （Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．【答案】（I）． （II）的分布列为： . 【解析】（I）由古典概型概率公式即得；（II）首先确定的所有可能取值.因为总共只取2人，甲校共有4人，故的所有可能取值为.将队员分为甲校学生和非甲校学生，显然这是一个超几何分布，由超几何分布概率公式即可得其分布列，从而得其期望. 试题解析：（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件， 则． 6分
(完整版)概率经典例题及解析、近年高考题50道带答案.doc
【经典例题】 【例 1】（ 2012 湖北） 如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA ， OB 为直径作两个半圆．在扇形 OAB 内 随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 2 1 1 2 1 A ．1- π B ． 2 - π C ． π D ． π 【答案】 A 【解析】 令 OA=1，扇形 OAB 为对称图形， ACBD 围成面积为 S 1，围成 OC 为 S 2，作对称轴 OD ，则过 C 点． S 2 即为以 OA 2 π 1 2 1 11 π -2 S 2(2)-2×2×2= 1 为直径的半圆面积减去三角形 OAC 的面积， S = 8 ．在扇形 OAD 中 2 为扇形面积减去三角 S 2 S 1 1 21 S 2 π -2 π -2 π 形 OAC 面积和 2 ， 2 = 8 π×1 - 8 - 2 = 16 ， S 1+S 2= 4 ，扇形 OAB 面积 S= 4 ，选 A ． 【例 2】（ 2013 湖北） 如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体，经过搅拌后， 从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为 X ，则 X 的均值 E(X) ＝ ( ) 126 6 168 7 A. 125 B. 5 C. 125 D. 5 【答案】 B 27 54 36 8 27 【解析】 X 的取值为 0，1， 2，3 且 P(X ＝ 0) ＝125，P(X ＝ 1) ＝125，P(X ＝ 2) ＝ 125，P(X ＝ 3) ＝ 125，故 E(X) ＝0× 125 ＋1× 54 36 8 6 ＋2× ＋3× ＝，选B. 125 125 125 5 【例 3】（ 2012 四川） 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通 电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪 亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是 ( ) 1 1 3 7 A. 4 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】 C 【解析】 设第一串彩灯在通电后第 x 秒闪亮， 第二串彩灯在通电后第 y 秒闪亮，由题意 0≤ x ≤ 4， 满足条件的关系式 0≤y ≤4，
高中理科数学选修2-3：《概率》全章节复习与巩固
《概率》全章节复习与巩固 【学习目标】 1.理解随机变量及其概率分布的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性. 2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用. 3.理解事件的独立性和条件概率，并能进行简单的应用. 4.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题. 5.理解随机变量的均值、方差的概念，能计算简单随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题. 6.了解正态分布的有关概念. 【要点梳理】 要点一、离散型随机变量及其分布列 1．离散型随机变量： 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用希腊字母 ηξ,等表示。 对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量； 若ξ是随机变量，,b a +=ξη其中a,b 是常数，则η也是随机变量，并且不改变其属性（离散型、连续型）。 2．离散性随机变量的分布列： 设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1,x 2,…,x 3,…,若ξ取每一个值x i (i=1,2,…)的概率为 i i P x P ==)(ξ，则称表 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： （1）p i ≥0,i=1,2…； （2）P 1+P 2+…=1 3．如果随机变量X 的分布列为 称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布。 要点二、超几何分布 在含M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{}X k =发生的概率为： ()k n k M N M n N C C P X k C --⋅==，0,1,2,,k m =， 其中min{}m M =，n ，n N M N n M N N * ≤≤∈，，，，，称分布列