整式的乘法与因式分解
整式的乘法与因式分解
整式是指由常数、变量和运算符（加法、减法、乘法）组成的代数表达式。整
式的乘法是代数学中的基本运算之一，而因式分解则是将整式分解为多个因子的过程。本文将探讨整式的乘法与因式分解，并说明其在数学中的重要性。
一、整式的乘法
整式的乘法是将两个或多个整式相乘的运算。在进行整式的乘法时，需要根据
乘法法则进行运算。乘法法则包括分配律、结合律和乘法交换律。
1. 分配律：对于整式a、b、c来说，分配律可以表示为：
a * (
b + c) = a * b + a * c
(a + b) * c = a * c + b * c
例如，对于整式2x * (3x + 4)，根据分配律，可以展开为2x * 3x + 2x * 4，即
6x^2 + 8x。
2. 结合律：对于整式a、b、c来说，结合律可以表示为：
(a * b) * c = a * (b * c)
例如，对于整式(2x * 3y) * 4z，根据结合律，可以变为2x * (3y * 4z)，即24xyz。
3. 乘法交换律：对于整式a、b来说，乘法交换律可以表示为：
a *
b = b * a
例如，对于整式2x * 3y，根据乘法交换律，可以变为3y * 2x，即6xy。
通过运用这些乘法法则，我们可以将整式相乘，得到最简形式的结果。
二、因式分解
因式分解是将一个整式分解为多个因子的过程。通过因式分解，可以将复杂的整式简化为更简单的形式，便于进一步的运算和研究。
1. 提取公因式：在进行因式分解时，首先要考虑的是是否存在公因式。如果整式中存在公因式，可以将其提取出来。
例如，对于整式6x^2 + 9x，可以提取公因式3x，得到3x(2x + 3)。
2. 分解二次三项式：对于二次三项式，可以通过配方法进行因式分解。
例如，对于整式x^2 + 5x + 6，可以通过配方法进行分解为(x + 2)(x + 3)。
3. 分解差平方：差平方是指两个数的平方之差。对于差平方，可以通过公式进行因式分解。
例如，对于整式x^2 - 4，可以通过差平方公式进行分解为(x + 2)(x - 2)。
通过这些因式分解的方法，我们可以将复杂的整式分解为多个简单的因子，使得整式更易于理解和计算。
三、整式的乘法与因式分解的重要性
整式的乘法和因式分解在数学中具有重要的意义和应用。
1. 简化和化简运算：通过整式的乘法和因式分解，可以将复杂的整式简化为更简单的形式，从而方便进行各种数学运算，如加法、减法、乘法和除法等。
2. 解方程和求根：在代数方程中，整式的乘法和因式分解可以帮助我们解方程和求根。通过将方程进行因式分解，可以得到方程的根，从而解决实际问题。
3. 探索数学规律：整式的乘法和因式分解也有助于我们探索和发现数学规律。通过观察和研究整式的乘法和因式分解的过程，我们可以发现一些有趣的数学规律和性质。
总结起来，整式的乘法和因式分解是数学中重要的概念和运算。通过运用乘法法则和因式分解的方法，我们可以将复杂的整式简化为更简单的形式，方便进行各种数学运算和解决实际问题。同时，整式的乘法和因式分解也有助于我们发现和探索数学规律，提高数学思维能力。因此，掌握整式的乘法和因式分解对于学习和理解代数学是非常重要的。
整式的乘法与因式分解
整式的乘法与因式分解 整式是指由常数、变量和运算符（加法、减法、乘法）组成的代数表达式。整 式的乘法是代数学中的基本运算之一，而因式分解则是将整式分解为多个因子的过程。本文将探讨整式的乘法与因式分解，并说明其在数学中的重要性。 一、整式的乘法 整式的乘法是将两个或多个整式相乘的运算。在进行整式的乘法时，需要根据 乘法法则进行运算。乘法法则包括分配律、结合律和乘法交换律。 1. 分配律：对于整式a、b、c来说，分配律可以表示为： a * ( b + c) = a * b + a * c (a + b) * c = a * c + b * c 例如，对于整式2x * (3x + 4)，根据分配律，可以展开为2x * 3x + 2x * 4，即 6x^2 + 8x。 2. 结合律：对于整式a、b、c来说，结合律可以表示为： (a * b) * c = a * (b * c) 例如，对于整式(2x * 3y) * 4z，根据结合律，可以变为2x * (3y * 4z)，即24xyz。 3. 乘法交换律：对于整式a、b来说，乘法交换律可以表示为： a * b = b * a 例如，对于整式2x * 3y，根据乘法交换律，可以变为3y * 2x，即6xy。 通过运用这些乘法法则，我们可以将整式相乘，得到最简形式的结果。 二、因式分解
因式分解是将一个整式分解为多个因子的过程。通过因式分解，可以将复杂的整式简化为更简单的形式，便于进一步的运算和研究。 1. 提取公因式：在进行因式分解时，首先要考虑的是是否存在公因式。如果整式中存在公因式，可以将其提取出来。 例如，对于整式6x^2 + 9x，可以提取公因式3x，得到3x(2x + 3)。 2. 分解二次三项式：对于二次三项式，可以通过配方法进行因式分解。 例如，对于整式x^2 + 5x + 6，可以通过配方法进行分解为(x + 2)(x + 3)。 3. 分解差平方：差平方是指两个数的平方之差。对于差平方，可以通过公式进行因式分解。 例如，对于整式x^2 - 4，可以通过差平方公式进行分解为(x + 2)(x - 2)。 通过这些因式分解的方法，我们可以将复杂的整式分解为多个简单的因子，使得整式更易于理解和计算。 三、整式的乘法与因式分解的重要性 整式的乘法和因式分解在数学中具有重要的意义和应用。 1. 简化和化简运算：通过整式的乘法和因式分解，可以将复杂的整式简化为更简单的形式，从而方便进行各种数学运算，如加法、减法、乘法和除法等。 2. 解方程和求根：在代数方程中，整式的乘法和因式分解可以帮助我们解方程和求根。通过将方程进行因式分解，可以得到方程的根，从而解决实际问题。 3. 探索数学规律：整式的乘法和因式分解也有助于我们探索和发现数学规律。通过观察和研究整式的乘法和因式分解的过程，我们可以发现一些有趣的数学规律和性质。
整式的乘法和因式分解知识点汇总
整式的乘法和因式分解知识点汇总 整式乘除与因式分解 一、知识点 1.幂的运算性质： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即，am·an＝am＋ n（m、n为正整数）。 例如：(－2a)2(－3a2)3 = 4a2·-27a6 = -108a8. 2.幂的乘方性质： 幂的乘方，底数不变，指数相乘。即，a(mn)＝(am)n（m、n为正整数）。 例如：(－a5)5 = (-1)5·a25 = a25.
3.积的乘方性质： 积的乘方等于各因式乘方的积。即，(ab)n = an·bn（n为正整数）。 例如：(－a2b)3 = (-1)3·a6·b3 = -a6b3. 4.幂的除法性质： 同底数幂相除，底数不变，指数相减。即，a/m ÷ a/n = a(m-n)（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）。 例如：(1) x8÷x2 = x6；(2) a4÷a = a3；(3) (ab)5÷(ab)2 = a3b3. 5.零指数幂的概念： a0 = 1（a≠0）。任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1.
例如：若(2a-3b)0=1成立，则a,b满足任何条件。 6.负指数幂的概念： a-p = 1/ap（a≠0，p是正整数）。任何一个不等于零的数 的-p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数。 例如：(m/n)-2 = n2/m2. 7.单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 例如：(1) 3a2b·2abc·abc2 = 6a4b2c3；(2) (-m3n)3·(- 2m2n)4 = -8m14n7. 8.单项式与多项式的乘法法则：
八上数学整式的乘法与因式分解知识详解
八上数学整式的乘法与因式分解知识详解 整式的乘法与因式分解 知识结构图： 一、整式的有关概念 1．整式 整式是单项式与多项式的统称． 2．单项式 单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数．3．多项式 几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数． 二、整数指数幂的运算 1、同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2、同底数幂除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 3、幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 4、积的乘方：积的乘方等于各因式乘方的积。 注：（1）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1； （2）任何一个不等于零的数的-p（p为正整数）指数幂， 等于这个数的p指数幂的倒数。
（3）科学记数法：或 绝对值小于1的数可记成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个有效数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零）。 三、同类项与合并同类项 1．所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项． 2．把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 四、求代数式的值 1．一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值． 2．求代数式的值的基本步骤： (1)代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入； (2)计算：按代数式指明的运算关系计算出结果． 五、整式的运算 1．整式的加减 (1)整式的加减实质就是合并同类项； (2)整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．2．整式的乘除 (1)整式的乘法 ①单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． ②单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc． ③多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb． (2)整式的除法 ①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，
整式的乘法和因式分解
整式的乘法 注意：单项式的乘法的关键是通过乘法的交换律和结合律，把它转化为幂的运算．单项式与多项式的乘法可以采用我们已经熟悉的有理数运算中乘法分配律的应用类比理解，并且指导运算．多项式与多项式的乘法，先将一个多项式的每项分别与另外一个多项式的每项相乘，再把所得的积相加，运算中利用单项式与单项式的乘法和合并同类项．运算时需要按照一定的顺序进行，防止漏项和符号出错． 1.单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数. 2.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式.多项式中每个单项式叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫多项式的次数. 3.整式的概念：单项式和多项式统称整式. 注意：凡是分母含有字母的代数式都不是整式，也不是单项式和多项式. 4.单项式与单项式相乘的法则：把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式. 注意：（1）①积的系数等于各因式系数的积； ②相同字母相乘是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”计算； ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，要注意不要丢掉这个因式； ④单项式乘以单项式的结果仍是单项式； ⑤单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用. （2）单项式乘法中，若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行. 例1.计算：
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8） （9）（10） （11）（12） （13）（14）
（15） 例2.计算： （1） （2） （3） （4）
整式乘法与因式分解的关系
整式乘法与因式分解的关系 一、引言 整式乘法与因式分解是初中代数中非常重要的概念和技巧。整式乘法是指将两个或多个整式相乘的运算，而因式分解是将一个整式写成几个整式的乘积的过程。整式乘法与因式分解密切相关，通过整式乘法可以得到一个整式的因式分解形式，通过因式分解可以得到一个整式的乘积形式。本文将通过具体例子和解释来阐述整式乘法与因式分解之间的关系。 二、整式乘法与因式分解的基本概念 1. 整式乘法： 整式乘法是将两个或多个整式相乘的运算。例如，将(x+2)和(x-3)相乘可以得到x^2-x-6，其中x^2是两个整式的第一项相乘得到的，-x是两个整式的第二项相乘得到的，-6是两个整式的最后一项相乘得到的。 2. 因式分解： 因式分解是将一个整式写成几个整式的乘积的过程。例如，将x^2-x-6进行因式分解可以得到(x+2)(x-3)，其中(x+2)和(x-3)是原整式的因子，它们的乘积等于原整式。 三、整式乘法与因式分解的关系 整式乘法与因式分解是相互关联的过程。通过整式乘法可以得到一
个整式的因式分解形式，通过因式分解可以得到一个整式的乘积形式。 1. 整式乘法得到因式分解形式： 通过整式乘法可以将一个整式写成多个整式的乘积形式，即因式分解。例如，将x^2-4进行因式分解可以得到(x+2)(x-2)，其中(x+2)和(x-2)是原整式的因子，它们的乘积等于原整式。 2. 因式分解得到整式乘积形式： 通过因式分解可以将一个整式写成多个整式的乘积形式。例如，将(x+3)(x-1)进行乘法运算可以得到x^2+2x-3，其中x^2是两个整式的第一项相乘得到的，2x是两个整式的第二项相乘得到的，-3是两个整式的最后一项相乘得到的。 因此，整式乘法与因式分解是相互依存的过程，可以相互转化。 四、整式乘法与因式分解的应用举例 1. 应用举例1：求解方程 已知方程x^2-5x+6=0，我们可以通过因式分解将其转化为(x-2)(x-3)=0，然后可以得到两个解x=2和x=3。 2. 应用举例2：简化表达式 已知表达式3x^2+9x可以通过整式乘法将其转化为3x(x+3)。 3. 应用举例3：求解面积
整式的乘法和因式分解知识点汇总
整式乘除与因式分解 一．知识点 （重点） 1．幂的运算性质： a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例：(－2a )2(－3a 2)3 2．() n m a ＝ a mn （m 、n 为正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 例： (－a 5)5 3． ()n n n b a ab = （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积． 例：(－a 2b )3 练习： （1）y x x 2 3 25⋅ （2）)4(32 b ab -⋅- （3）a ab 23⋅ （4）2 2 2z y yz ⋅ （5）)4()2(2 3 2 xy y x -⋅ （6）2 2253)(63 1ac c b a b a -⋅⋅ 4．n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减． 例：（1）x 8÷x 2 （2）a 4÷a （3）（a b ）5÷（a b ）2 （4）（-a ）7÷（-a ）5 （5） (-b ) 5÷(-b )2 5．零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ． 例：若1)32(0=-b a 成立，则b a ,满足什么条件？
6．负指数幂的概念： a －p ＝p a 1 （a ≠0，p 是正整数） 任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：p p n m m n ⎪ ⎭⎫ ⎝⎛=⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 7．单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 例：（1）223123abc abc b a ⋅⋅ （2）4233)2()21 (n m n m -⋅- 8．单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 例：（1）)35(22 2b a ab ab + （2）ab ab ab 2 1)232(2⋅- （3）)32()5(-2 2 n m n n m -+⋅ （4）xyz z xy z y x ⋅++)(23 2 2 9．多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 例：（1） )6.0(1x x --）（ （2）))(2(y x y x -+ （3）2)2n m +-（ 练习： 1．计算2x 3·(－2xy)(－ 1 2 xy) 3的结果是 2．(3×10 8)×(－4×10 4)＝
整式的乘法与因式分解3篇
整式的乘法与因式分解3篇 数学一直是很多学生比较头疼的科目，感觉怎么学就是学不会，到了初三很多人就选择放弃了。要持之以恒啊!下面是小编给大家带来的整式的乘法与因式分解，欢迎大家阅读参考，我们一起来看看吧! 初中数学八年级上册整式的乘法与因式分解 一、整式的有关概念 1.整式 整式是单项式与多项式的统称. 2.单项式 单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子;单项式中的数字因数叫做单项式的系数;单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数. 3.多项式 几个单项式的和叫做多项式;多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项;多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数. 二、整数指数幂的运算 1、同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2、同底数幂除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 3、幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 4、积的乘方：积的乘方等于各因式乘方的积。 注：(1)任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1; (2)任何一个不等于零的数的-p(p为正整数)指数幂， 等于这个数的p指数幂的倒数。 (3)科学记数法 绝对值小于1的数可记成的形式，其中n是正整数，n等于原数中第一个有效数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)。 三、同类项与合并同类项 1.所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项.
2.把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变. 四、求代数式的值 1.一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值. 2.求代数式的值的基本步骤： (1)代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入; (2)计算：按代数式指明的运算关系计算出结果. 五、整式的运算 1.整式的加减 (1)整式的加减实质就是合并同类项; (2)整式加减的步骤：有括号，先去括号;有同类项，再合并同类项.注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号. 2.整式的乘除 (1)整式的乘法 ①单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. ②单项式与多项式相乘：m(a+b+c)=ma+mb+mc. ③多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb. (2)整式的除法 ①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. ②多项式除以单项式：(a+b)÷m=a÷m+b÷m. 3.乘法公式 (1)平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2; (2)完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2. 六、因式分解 1.因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.
整式乘除与因式分解
整式乘除与因式分解 一、幂的运算 1、同底数幂的乘法：aˆm·aˆn=aˆm+n（m、n都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2、幂的乘方：（aˆm）ˆn=aˆmn（m、n都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘 3、积的乘方：（ab）ˆn=aˆn·bˆn（n是正整数) 积的乘方等于各因式乘方的积。 4、同底数幂的除法：aˆm÷aˆn=aˆm-n（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）同底数幂相除，底数不变，指数相减。 5、零指数幂：aº=1（a≠0） 任何一个不等于零的数零指数幂都等于1. 6、负整数指数幂：aˆ-p=1/aˆp（a≠0,p是正整数） 任何一个不等于零的数-p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数。 7、用科学记数法表示绝对值较小的数：±a×10ˆ-n(1≤a＜10,n表示小数点移动的位数) 二、整式乘法 1、单项式与单项式相乘：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 2、单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。
3、多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。 三、完全平方公式与平方差公式 1、完全平方公式：（a+b）²=a²+2ab+b²（a-b）²=a²-2ab+b² 两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍。 【左边：①两项都完全相同；②两项均互为相反数（提取负号即可） 两项同号，二倍乘积为正；两项异号，二倍乘积为负】 2、平方差公式：（a+b）(a-b)=a²-b² 两数之和与两数之差的乘积就等于这两数平方的差。 【相同项的平方减去互为相反数那一项的平方】 四、整式除法 1、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。【结果仍是单项式】 2、多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把一个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。【结果仍是多项式，结果项数与多项式项数保持一致】 五、因式分解
整式乘法与因式分解
第九章整式乘法与因式分解 一、整式乘法 1、单项式乘单项式 2、单项式乘多项式：m a+b+c=ma+mb+mc 3、多项式乘多项式： 一般形式：a+b c+d=ac+ad+bc+bd 乘法公式：平方差公式a+b a−b=a2−b2 完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2 补充：完全平方公式的变形 ○1a2+b2=(a+b)2−2ab=a−b2+2ab ○2(a+b)2+(a−b)2=2a2+2b2 ○3(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+bc ○4(a−b)2=(a+b)2−4ab ○5a+b2=a−b2=4ab ○6(a+b)2−a−b2=4ab 二、多项式的因式分解 1、定义：把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做因式分解。 2、注意： （1）因式分解与整式乘法间的关系： 整式乘法 a+b a−b a2−b2 因式分解 （2）因式分解的对象是多项式。 （3）因式分解的结果必须是整式的积。 （4）因式分解是把多项式从一种形式转化为另一种形式的变形，是一种恒等变形。 3、因式分解方法： （1）提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c) （2）公式法：平方差公式a2−b2=(a+b)(a−b) 完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2 4、因式分解步骤： 一提：有公因式先提公因式 二套：提取公因式后套用公式 三查：根据整式乘法检查分解是否正确；检查是否还可以继续分解 经典例题： 1、已知a2+b2+4a−6b+13=0，则b a的值为。
2、如果2a+2b+12a+2b−1=63，那么a+b=。 3、如果a2−b2=10，则(a+b)2(a−b)2=。 4、已知M=(x−3)(x−5)，N=x−2x−6，则M与N的关系为。 5、计算：3×22+124+1×28+1216+1+1. 6、已知 a=3 8x−20，b=3 8 x−18，c=3 8 x−16，求代数式a2+b2+c2−ab−ac−bc 的值。
【全】初中数学整式的乘法与因式分解知识点总结
整式的乘法与因式分解 第一节：整式的乘法 1．同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，有(m、n都是正整数)。即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。该乘法法则是幂的运算中最基本的法则。 在应用法则运算时，要注意以下几点: ①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式； ②指数是1时，不要误以为没有指数； ③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加； ④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为（其中m、n、p均为正整数）； ⑤公式还可以逆用：（m、n均为正整数）。 2．幂的乘方 一般地，对任意底数a与任意正整数m、n，有(m、n都是正整数)。即幂的乘方，底数不变，指数相乘。该法则是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆。 另有：（m、n都是正整数）。 当底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底， 如将(-a)3化成-a3。 底数有时形式不同，但可以化成相同。 要注意区别(ab)n与(a+b)n意义是不同的，不要误以为(a+b)n=a n+b n（a、b均不为零）。 3.积的乘方法则 一般地，对于任意底数a、b与任意正整数n，有（n为正整数）。即积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。 4.整式的乘法 1）单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；
整式的乘法与因式分解
整式的乘法与因式分解 知识点的回顾 1、单项式：都是数与字母的乘积的代数式叫做单项式（单独的一个数或一个字母也是单项式）。 2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。 3、整式：单项式和多项式统称整式。 4、一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数；一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。（单独一个非零数的次数是0） 5、整式的加减运算法则： 整式的加减⎩⎨⎧合并同类项法则去括号法则 练一练： 1、下列代数式中，单项式共有 个，多项式共有 个。 －231a , 52243b a -, 2， ab ， )(1y x a +, )(21b a +, a , 712+x , π y x + 2、（1）单项式2 32z y x -的系数是 ，次数是 ； （2）π的次数是 。 （3）22322--+ab b a c ab 是单项式 的和，次数最高的项是 ， 它是 次 项式，二次项是 ，常数项是 3、一个多项式加上-2x 3+4x 2y+5y 3后，得x 3-x 2y+3y 3，求这个多项式，并求当x=-21，y=2 1时，这个多项式的值。
第一讲. 整式的乘法 1、同底数幂的乘法 同底数幂的乘法，底数不变，指数相加。即：n m n m a a a +=⋅，（m ,n 都是正整数）。 例1 （1）()=⨯-6533 （2）=⋅+12m m b b =-⋅⋅-32)())(3(y y y 提示： ①三个或三个以上的同底数幂相乘，法则也适用，即p n m p n m a a a a +++=⋅⋅⋅ΛΛ， （p n m Λ,,都是正整数）； ②不要忽视指数为一的因数； ③底数不一定是一个数或者一个字母，也可以是单项式或多项式； ④注意法则的逆用，即n m n m a a a ⋅=+ 2、幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘。即：()mn n m a a =， （m ,n 都是正整数）。 例2 （1）()232＝ （2）()=55b （3）()=-312n x （4）(x 3x m )3=
整式的乘法与因式分解
欧阳治创编 2021.03.10 整式的乘法与因式分解 知识点的回顾 1、单项式：都是数与字母的乘积的代数式叫做单项式（单独的一个数或一个字母也是单项式）。 2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。 3、整式：单项式和多项式统称整式。 4、一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数；一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。（单独一个非零数的次数是0） 5、整式的加减运算法则： 练一练： 1、下列代数式中，单项式共有个，多项式共有个。 2， ab ， a , 2、（1
欧阳治创编 2021.03.10 （2）π的次数是。 （3 次数最高的项是， 3、一个多项式加上-2x3+4x2y+5y3后，得x3-x2y+3y3， 求这个多项式，并求当 的值。 第一讲. 整式的乘法 1、同底数幂的乘法 同底数幂的乘法，底数不变，指数相加。 （2） 提示： 法则也适用，即 ； ②不要忽视指数为一的因数； ③底数不一定是一个数或者一个字母，也可以是单项式或多项式； 2、幂的乘方 幂的乘方，底数不变， 指数相乘。 都是正整数）。 例2 （1 （2（34）(x3xm)3=
欧阳治创编 2021.03.10 3、积的乘方 积的乘方法则可以进行逆运算．即： an·bn=（ab ）n （n 为正整数） =（a·b） n 同指数幂相乘，底数相乘，指数不变． 例 3 （1 （2） （3 （4 （5 4、整式的乘法： （1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
欧阳治创编 2021.03.10 例4 单项式乘以单项式注意几点 ① 各单项式的系数相乘； ② 相同字母的幂按同底数的幂相乘; ③ 单独字母连同它的指数照抄。 注意：单项式乘以单项式的结果仍是单项式. （2）单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 单项式与多项式相乘公式： 例5 （3）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 (a+b)(m+n) =a(m+n)+b(m+n) =am+an+bm+bn 例6 练习 1.下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？ （1）b5 · b5= 2b5 （ ） （2）b5 + b5 = b10 （ ） ()m c m b m a c b a m ++=++
初中数学整式的乘除与因式分解知识点归纳！
初中数学整式的乘除与因式分解知识点归纳！ 整式的乘除 一、幂的运算 1. 同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 即：a m·a n=a m+n<>n>（m，n为正整数） 2. 幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 即：(a m)n=a mn（m，n为正整数） 3. 积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 即：(ab)n=a n b n（n为正整数） 4. 同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 即：a m÷a n=a m-n <>n>（m、n是正整数且m＞n,a≠0） 二、整式的乘法运算 1. 单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 2. 单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 3. 多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 三、整式的除法运算 1. 单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 2. 多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。 四、常用乘法公式： 1. 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的
平方差 即：(a+b)(a-b)=a2-b2 2. 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。 即：(a±b)2=a2±2ab+b2 因式分解 一、因式分解 1. 因式分解的概念： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。 2. 因式分解与整式乘法的关系： 因式分解与整式乘法都是整式变形，两者互为逆变形。因式分解是将“和差”的形式化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。 注：分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底。 3. 公因式： 多项式的各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式。 系数——取各项系数的最大公约数； 字母——取各项都含有的字母； 指数——取相同字母的最低次幂。 例如：多项式 pa+pb+pc 中因式 p 即为多项式各项的公因式。 二、因式分解的方法 因式分解的方法在初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。 【1】提公因式法 1. 定义： 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
整式的乘法及因式分解知识点
整式的乘法与因式分解知识点 1．单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 3 a 2 b 2 ×2abc=（3×2）×（a 2 b 2 ×abc ）=6 a 3 b 3 c 例：（1）223123abc abc b a ⋅⋅ （2）4233)2()2 1 (n m n m -⋅- 2．单项式与多项式的乘法法则：a(b+c+d)= ab + ac + ad 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 例：（1）)35(22 2b a ab ab + （2）ab ab ab 2 1)232(2⋅- （3）)32()5(-2 2 n m n n m -+⋅ （4）xyz z xy z y x ⋅++)(23 2 2 3．多项式与多项式的乘法法则：( a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 例：（1）)6.0(1x x --）（ （2）))(2(y x y x -+ （3） 2)2n m +-（ 练习： 1．计算2x 3·(－2xy)(－1 2 xy)3的结果是 2．(3×108)×(－4×104)＝ 3．若n 为正整数，且x 2n ＝3，则(3x 3n )2的值为
4．如果(a n b·ab m)3＝a9b15，那么mn的值是 5．－[－a2(2a3－a)]＝ x2)＝ 6．(－4x2＋6x－8)·(－1 2 7．2n(－1＋3mn2)＝ 8．若k(2k－5)＋2k(1－k)＝32，则k＝ 9．(－3x2)＋(2x－3y)(2x－5y)－3y(4x－5y)＝ x＋8)的结果中不含x3和x项，则a＝，b＝ 10．在(ax2＋bx－3)(x2－1 2 11．一个长方体的长为(a＋4)cm，宽为(a－3)cm，高为(a＋5)cm，则它的表面积为，体积为。 12．一个长方形的长是10cm，宽比长少6cm，则它的面积是，若将长方形的长和都扩大了2cm，则面积增大了。 4．乘法公式：①完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a－b）2＝a2－2ab＋b2 语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍． ②平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2 语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． 例1：（1）(7+6x)(7−6x)；（2）(3y ＋x)(x−3y)；（3）(−m＋2n)(−m−2n)． 例2：(1) (x+6)2(2) (y-5)2(3) (-2x+5)2
初二整式的乘法与因式分解知识点(完整版)
初二整式的乘法与因式分解知识点总结 （含答案解析） 知识点： 1.基本运算： ⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a+ ⨯= ⑵幂的乘方：()n m mn = a a ⑶积的乘方：()n n n = ab a b 2.整式的乘法： ⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加. ⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加. 3.计算公式： ⑴平方差公式：()()22 -⨯+=- a b a b a b ⑵完全平方公式：()222 2 -=-+ a b a ab b +=++；()222 2 a b a ab b 4.整式的除法： ⑴同底数幂的除法：m n m n ÷= a a a- ⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加. ⑷多项式÷多项式：用竖式. 5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个
式 子因式分解. 6.因式分解方法： ⑴提公因式法：找出最大公因式. ⑵公式法： ①平方差公式：()() 22 -=+- a b a b a b ②完全平方公式：()2 22 ±+=± a a b b a b 2 ③立方和：3322 +=+-+ ()() a b a b a ab b ④立方差：3322 -=-++ a b a b a ab b ()() ⑶十字相乘法：()()() 2 x p q x pq x p x q +++=++ ⑷拆项法⑸添项法 常考题： 一．选择题（共12小题） 1．下列运算中，结果正确的是（） A．x3•x3=x6B．3x2+2x2=5x4C．（x2）3=x5D．（x+y）2=x2+y2 2．计算（ab2）3的结果是（） A．ab5B．ab6C．a3b5D．a3b6 3．计算2x2•（﹣3x3）的结果是（） A．﹣6x5B．6x5C．﹣2x6D．2x6 4．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）A．a（x+y）=ax+ay B．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4 C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）D．x2﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x
整式的乘法与因式分解
整式的乘法与因式分解 一：[整式的乘法与因式分解]初二数学知识点之整式乘除与因式分解讲解及汇总 1.单项式的乘法法那么： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式. 单项式与多项式的乘法法那么： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加. 多项式与多项式的乘法法那么： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加. 单项式的除法法那么： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，那么连同它的指数作为商的一个因式. 多项式除以单项式的法那么： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商
2、乘法公式： ①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 文字语言表达：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差. ②完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 文字语言表达：两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍. 3、因式分解： 因式分解的定义. 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解. 掌握其定义应注意以下几点： (1)分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可; (2)因式分解必须是恒等变形;
(3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止. 弄清因式分解与整式乘法的内在的关系. 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式. 除了课堂上的学习外,数学知识点也是学生提高数学成绩的重要途径，本文为大家提供了初二数学知识点解析：二次函数的应用，希望对大家的学习有一定帮助。 2.有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米，现在它的示意图放在平面直角坐标系中(如右图)，那么此抛物线的解析式为(). 3.某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长到达了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是() 4.把一段长1.6米的铁丝围长方形ABCD，设宽为x，面积为y.那么当y最大时，x所取的值是() A.0.5 B.0.4 C.0.3 D.0.6 【考点归纳】 1.二次函数的解析式：(1)一般式：();(2)顶点式：();(3)交点式：(). 2.顶点式的几种特殊形式.
因式分解与整式乘法定义
因式分解与整式乘法定义 1. 引言 因式分解与整式乘法是代数学中重要的概念和技巧。它们在解方程、化简表达式、研究多项式函数等方面都有广泛的应用。本文将详细介绍因式分解和整式乘法的定义、性质和应用。 2. 因式分解的定义 在代数学中，因式分解是将一个多项式表达式写成若干个乘积的形式的过程。这些乘积被称为因子，它们相乘得到原始表达式。 2.1 因子的定义 一个多项式表达式中，如果存在两个或更多不可约多项式（即不能再进行因式分解）相乘得到该多项式，则这些不可约多项式称为该多项式的因子。 2.2 因子定理 因子定理是判断一个多项式是否为另一个多项式的因子的重要工具。根据因子定理，如果一个多项式P(x)除以另一个一次或高次多项式Q(x)得到余数为0，那么Q(x) 就是P(x)的因子。 2.3 因子分解 根据上述定义和定理，我们可以进行因子分解。具体步骤如下： 1.将多项式按照最高次项降序排列。 2.判断多项式是否可以因式分解，如果不能，则已经是不可约的。 3.找到一个因子，将其除去，并重复步骤2，直到无法再进行因式分解。 3. 整式乘法的定义 整式乘法是指对于两个或多个整式进行乘法运算得到一个新的整式的过程。整式乘法遵循分配律和结合律。 3.1 分配律 对于任意三个整数a、b、c以及任意一个整式x，有以下分配律成立： •a(x + b) = ax + ab •(x + a)b = xb + ab
3.2 结合律 对于任意三个整数a、b、c以及任意两个整式x和y，有以下结合律成立：•(ax)b = a(xb) •x(yz) = (xy)z 4. 因式分解与整式乘法的应用 4.1 解方程 因式分解和整式乘法在解方程中有着重要的应用。通过将一个复杂的方程转化为多个简单的因子相乘等于零的形式，可以更容易地求解方程。 例如，考虑方程x^2 - 5x + 6 = 0。我们可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到两个简单的线性方程x - 2 = 0和x - 3 = 0。进一步求解这两个方程，我们可以得到x的解为2和3。 4.2 化简表达式 因式分解和整式乘法也可以用于化简复杂的代数表达式。通过将一个复杂的多项式表达式进行因式分解，并利用整式乘法进行合并，可以得到更简洁的表达形式。 例如，考虑表达式3x^2 + 6xy + 9y^2。我们可以将其因式分解为(√3x + √3y)2，并利用整式乘法展开得到3x2 + 6xy + 9y^2，从而化简了原始表达式。 4.3 研究多项式函数 因式分解和整式乘法在研究多项式函数时也起着重要作用。通过对多项式进行因子分解，我们可以更好地理解函数的性质和行为。 例如，考虑函数f(x) = x^4 - x^2。我们可以将其因子分解为f(x) = x^2(x + 1)(x - 1)，从而知道该函数在x=0、x=-1和x=1处有零点，并且在x=0处有二阶零点。 5. 总结 因式分解和整式乘法是代数学中重要的概念和技巧。它们在解方程、化简表达式、研究多项式函数等方面都有广泛的应用。通过因子定理和因式分解，我们可以将一个多项式表达式写成若干个乘积的形式。整式乘法遵循分配律和结合律，可以用于解方程和化简表达式。因此，掌握因式分解与整式乘法的定义、性质和应用对于代数学的学习非常重要。
因式分解与整式乘法的关系
因式分解与整式乘法的关系 【知识点】 整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形． 即：多项式因式分解 整式乘法 整式乘积 【练习题】 1.下列因式分解正确的是 ①()() 27818 x x x x --=+- ②()() 25623 x x x x -+=-- ③()2 2366 x x -=- ④()2 22 2 a a b b a b --=- ⑤()2 212366 y y y -+=+ 2.下列因式分解正确的是 ①()() 21001010 x x x -=+- ②()() 26823 x x x x -+=-- ③()() 2 436433 x x x -=-+ ④()2 22 a b a b -=- ⑤()2 214497 y y y ++=+ 3.下列因式分解正确的是 ①()2 22010010 x x x -+=-
②()() 24313 x x x x -+=-- ③()() 28199 x x x -=-+ ④()2 22 55 a a -=- ⑤()2 28164 y y y ++=- 4.下列因式分解正确的是 ①()2 2 92535 x x -=+ ②()() 210919 x x x x -+=++ ③()() 2 2515151 x x x -=+- ④()() 22 422 a b a b a b -=+- ⑤() 22 214227 y y y y ++=+ 5.下列因式分解正确的是 ①()2 2 48441 x x x -+=- ②()() 28991 x x x x --=+- ③()() 26488 x x x -=+- ④()2 216648 a x a -+=+ ⑤()() 23212 y y y y -+=-- 6.下列因式分解正确的是 ①()() 2422 x x x -=+- ②()() 261024 x x x x ++=++ ③()() 2 763733 x x x -=-+ ④()2 22 a b a b +=+ ⑤ 2 2 11 42 y y y ⎛⎫ ++=+ ⎪ ⎝⎭