性质。
二、典型例题:
例1、证明 (1)b a b a +≥+, (2)b a b a -≥+。 证明(1)如果,0≥+b a 那么.b a b a +=+所以.b a b a b a +=+≥+
如果,0<+b a 那么).(b a b a +-=+所以
b a b a b a b a +=+-=-+-≥+)()(
(2)根据(1)的结果,有b b a b b a -+≥-++,就是,a b b a ≥++。 所以,b a b a -≥+。
例2、证明 b a b a b a +≤-≤-。
例3、证明 c b c a b a -+-≤-。
思考:如何利用数轴给出例3的几何解释?
(设A ,B ,C 为数轴上的3个点,分别表示数a ,b ,c ,则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ,B 之间时,等号成立。这就是上面的例3。特别的,取c =0(即C 为原点),就得到例2的后半部分。)
探究:试利用绝对值的几何意义,给出不等式b a b a +≥+的几何解释? 定理1 如果,a b R ∈, 那么b a b a +≥+.
在上面不等式中,用向量,a b r r 分别替换实数,a b , 则当,a b r r 不共线时, 由向量加法三角形法则: 向量,a b r r ,a b +r r 构成三角形, 因此有|a+b |<|a |+|b |
其几何意义是什么?
含有绝对值的不等式常常相加减,得到较为复杂的不等式,这就需要利用例1,例2和例3的结果来证明。
例4、已知 2,2c b y c a x <-<-,求证 .)()(c b a y x <+-+ 证明 )()()()(b y a x b a y x -+-=+-+ b y a x
-+-≤ (1)
2
,2c b y c a x <-<-Θ, ∴c c c b y a x =+<-+-2
2 (2) 由(1),(2)得:c b a y x <+-+)()(
例5、已知.6
,4a y a x << 求证:a y x <-32。 证明 6,4a y a x <<Θ,∴2
3,22a y a x <<, 由例1及上式,a a a y x y x =+<+≤-2
23232。 注意: 在推理比较简单时,我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法,只能用于不等号方向相同的不等式。
四、巩固性练习:
1、已知.2
,2c b B c a A <-<
-求证:c b a B A <---)()(。 2、已知.6,4c b y c a x <-<-求证:c b a y x <+--3232。 作业:习题1.2 2、3、5
1.4绝对值三角不等式学案
☆预习目标: 1.理解绝对值的定义,理解不等式基本性质的推导过程; 2.了解定理1的两种证明思路及其几何意义; 3.理解绝对值三角不等式。 ☆预习内容: 1.绝对值的定义:a R ?∈,||a ??=???
2. 绝对值的几何意义:
10. 实数a 的绝对值||a ,表示数轴上坐标为a 的点A