2020届高三一轮复习立体几何大题

P A

B

C

D

E

1如图，在直三棱柱111ABC A B C -

中，190,30,1,o o ACB BAC BC AA ∠=∠===M 是棱1CC 的中点.

(1)求证：1A B AM ⊥；

(2)求直线AM 与平面11AA BB 所成角的正弦值.

2图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ?为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且

1,,AB AA E F =分别是1,CC BC 的中点

（1）求证：1B F ⊥平面AEF ； （2）求锐二面角1B AE F --的余弦值.

3四棱锥P -ABCD 中，直角梯形ABCD 中，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，∠APD =60°，PA =CD =2PD =2AB =2，且平面PDA ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．

（Ⅰ）求证：PD ⊥平面ABCD ；

（Ⅱ）求直线PD 与平面BDE 所成角的大小．

F

E

C 1

B 1

A 1

C B A

E

F

A B

C

P

D

4如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，⊥PA 平面ABCD ，F E ,分别是PC AB ,的 中点，12

1

==

AD AB ． （1）求证：//EF 平面PAD （2）若4

π

=∠PDA ，求直线AC 与平面PCD 所成角的正弦值．

5如图，在四棱柱ABCD -PGFE 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB //DC ，∠ABC ＝45o

，DC ＝1，AB ＝2，PA ＝1．

(1)求PD 与BC 所成角的大小； (2)求证：BC ⊥平面PAC ； (3)求二面角A -PC -D 的大小．

6如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA C C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AA C C ，

3,5AB BC ==

（Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角111C A B C --的大小；

（Ⅲ）若点D 是线段BC 的中点，请问在线段1AB 上是否存在点E ，使得DE ∥面11AA C C ？若 存在，请说明点E 的位置；若不存在，请说 明理由.

A B C 11

A B

F

P E

D

C

7如图：在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，

60=∠DAB ，ABCD PD 平面⊥，1==AD PD ，

点F E ,分别为PD AB 和的中点.

（Ⅰ）求证：直线AF ∥平面PEC ;

（Ⅱ）求PC 与平面PAB 所成角的正弦值.

8如图，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所

在平面互相垂直，90ADE ∠=，DE AF //，22===AF DA DE . (Ⅰ) 求证：//AC 平面BEF ；

(Ⅱ) 求平面BEF 与平面ABCD 所成角的正切值．

9直三棱柱111ABC A B C - 中，11AA AB AC ===，E ，F 分别是1CC 、BC 的中点，11AE A B ⊥，D 为棱11A B 上的点. （1）证明：DF AE ⊥;

（2）是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐

二面角的余弦值为14

?若存在，说明点D 的位置，若不存在，说明理由.

A

B

C D

F E

B 1

1(1)因为C1C⊥平面ABC，BC⊥AC，所以以C为原点，射线CA,CB,CC1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则

B(0,1,0),A1,0,0),M(0,0,

2

),

所以

1

A B(3,1,6),AM(3,0,

=--=-,

所以

1

A B AM=3+0-3=0,所以

1

A B AM

⊥，即A1B⊥AM.

(2)由(1)知AB

1

A A),设面AA1B1B的法向量为n=(x,y,z),则

3x y0,

6z0.

-+=

?

?

-=

?

不妨取设直线AM与平面AA1B1B所成角为θ,则

AM6

sin|cos|||.

6

|AM|||

θ===

n

n

n

所以直线AM与平面AA1B1B

2(1）连结AF，∵F是等腰直角三角形ABC

?斜边BC的中点，∴AF BC

⊥.

又 三棱柱

111

ABC A B C

-为直三棱柱，

∴面ABC⊥面11

BB C C，

∴AF⊥面

11

BB C C，

1

AF B F

⊥. ……… 2分

设

1

1

AB AA

==，则

11

3

2

B F EF B E

===.

∴222

11

B F EF B E

+=，∴

1

B F E F

⊥. ………4分

又AF EF F

=，∴

1

B F⊥平面

AEF. ………6分

（2）以F为坐标原点，,

FA FB分别为,x y轴建立直角坐标系如图，

设

1

1

AB AA

==，

则

1

1

(0,0,0),((0,(0,)

2222

F A B E-，

C

C

1()2AE =-

，1(AB =-. ………8分

由（Ⅰ）知，1B F ⊥平面AEF ， ∴可取平面AEF

的法向量1(0,2

m FB ==. 设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z =

，

由110,0,0,222020,022

x y z n AE z n AB z x y z ?--+=??=+-=??????=--=???-++=?

? ∴可取(3,1,n =-. ………10分 设锐二面角1B AE F --的大小为θ

，则

03(1)1cos |cos ,|||||

m n

m

n m n θ?-+?=<>=

=

=

∴所求锐二面角1B AE F --的余弦值为6

………12分

3解：（1）2,1,60,==∠=o

Q PA PD PAD

2222cos 3∴=+-?∠=AD PA PD PA PD PAD ，∴=AD 222∴=+PA AD PD

∴⊥PD AD ，又?Q PD 平面PDA ，平面PDA I 平面=ABCD AD ，平面PDA ⊥平面ABCD ，∴⊥PD 平面ABCD

L L 6‘

（2）

⊥Q AD CD ，∴以,,DA DC DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系

1(0,0,0),(0,0,1),(0,1,),2D P E

B 1(0,1,),2

∴==uuu r uu u

r DE DB ，设平面BDE 的一个法向

量为(

,,)=r

n x y z ，则102

0?+=?

+=y z y ，令1=x ，(1∴=r n

cos ,142∴??==?uu u r r DP n ，设直线PD 与平面BDE 所成的角为θ，sin 2

θ=，∴直线PD 与平面

BDE 所成的角为60.o L L 12‘

4

【解析】：（1）证明：取PD 中点M ，连结FM AM ,

1//,2MF CD MF CD =

， 1

//,2

A E C D A E C

D = //,MF A

E M

F AE ∴= ∴四边形AEFM 为平行四边形

所以//,AM EF AM ?平面PAD ∴//EF 平面PAD （2）连结CM AM ,，由条件知PD AM ⊥，⊥CD 平面PAD

D CD PD AM CD =⊥∴ , 所以⊥AM 平面PCD ，

∴ACM ∠就是直线AC 与平面PCD 所成的角

经计算得5,3,2===

AC CM AM ∴5

10

sin ==

∠AC AM ACM 5（Ⅰ）取的AB 中点H ，连接DH ，易证BH//CD ，且BD=CD ………………………1分 所以四边形BHDC 为平行四边形，所以BC//DH

所以∠PDH 为PD 与BC 所成角………………………………2分 因为四边形，ABCD 为直角梯形，且∠ABC=45o

， 所以⊥DA ⊥AB

又因为AB=2DC=2，所以AD=1， 因为Rt △PAD 、Rt △DAH 、Rt △PAH 都为等腰直角三角形，所以

，故∠

PDH=60o

……………………………………………………………4分 （II ）连接CH ，则四边形ADCH 为矩形， ∴AH=DC 又AB=2，∴BH=1

在Rt △BHC 中，∠ABC=45o

， ∴CH=BH=1，

∴AD=CH=1，

∴AC 2

+BC 2

=AB 2

∴BC ⊥AC …………………………………6分 又PA 平面ABCD ∴PA ⊥BC ……………………………………7分 ∵PA ∩AC=A ∴BC ⊥平面PAC …………………………………8分

（Ⅲ）如图，分别以AD 、AB 、AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则由题设可知：

A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(1，0，0)， ∴

AP =(0，0，1)，PC =(1，1，-1) …………………………9分

设m =(a ，b ，c)为平面PAC 的一个法向量， 则00

AP PC ?=??

=??m m ，

即0

0c a b c =??

+-=?

设1a =，则1b =-，∴m =(1，-1，0) …………………10分同理设n =(x ，y ，z) 为平面PCD 的一个法向量，求得 n =(1，1，1) …………………………………………………11分

∴1

cos ,2=

==m n m n m n

所以二面角A-PC-D 为60o

………………………………… 12分

F

P

D

6（Ⅰ）因为四边形11AA C C 是边长为4的正方形，所以1AA AC ⊥， ……1分 因为平面ABC ⊥平面11AA C C 且平面ABC 平面11AAC C AC =，

……2分 所以1AA ⊥平面ABC

……3分

（Ⅱ）解：以A 为坐标原点，以1,,AC AB AA

所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图所示：(图略) 则111,,,,,A B C A B C 点坐标分别为：

(0,0,0)A ；(0,3,0)B ；(4,0,0)C ；1(0,0,4)A ；1(0,3,4)B ；1(4,0,4)C

……5分

则3

(2,

,0)2

D 设平面11CA B 的法向量'''

(,,)m x y z =

所以111,m AC m A B ⊥⊥且 ，所以'''

44030

x z y ?-=?

?=?? ……6分

令'1x =，所以(1,0,1)m =，又易知平面111A B C 的法向量为(0,0,1)n = ……7分

所以2

cos ||||m n m n θ?=

=

所以二面角111C A B C --的大小为45?

……8分

（Ⅲ）设111(,,)E x y z ；平面11AA C C 的法向量(,,)u x y z =．

因为点E 在线段1AB 上，所以假设1AE AB λ=，所以111

034x y z λλ=??

=??=? (01)λ<≤

即(0,3,4)E λλ，所以3

(2,3,4)2

DE λλ=--

． ……10分

又因为平面11AA C C 的法向量易知(0,3,0)u =． 而//DE 面11AA C C ，所以0DE u ?=，所以12

λ= ……11分 所以点E 是线段1AB 的中点．

……12分 若采用常规方法并且准确，也给分。

7证明：

（Ⅰ）取PC 上的中点H ，则//,FH AE FH AE = ∴//,,AF EH AF PEC EH PEC ??面面 ∴//AF PEC 平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（Ⅱ）连接DE ，知DE DC ⊥

所以以D 为坐标原点，分别以,DE DC DP ，为x y z 轴，轴，轴建立坐标系．．．．6分

∴11

(0,0,1),,0),,0),(0,1,0)22

P A B C - 设平面PAB 的法向量为=,,)n x y （1

则有00

n PA n PB ??=???=??

?1

21

02

x y x y -=+-=

?=,0,2n （1．．．．．．．．．．．．．10分 则有42sin cos 14

PC n PC n

θα?===

?．．．．．．．．．．．．．12分

8解：(Ⅰ) 证明：方法一：设AC BD O =I ，取BE 中点G ，连结OG FG 、

， 则OG ∥DE 且OG ＝

1

2

DE ， ∵DE AF //，AF DE 2=， ∴AF ∥OG 且AF ＝OG ，∴AFGO 是平行四边形，∴AO FG //.

∵FG ?平面BEF ，AO ?平面BEF ，∴//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF . 方法二：∵90ADE ∠=，∴DE AD ⊥

∵正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，平面ABCD I 平面ADEF AD =，DE ?平面

ADEF ，∴DE ⊥平面ABCD

以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DE 所在的直线为x 轴、y 轴、z

轴建立空

间直角坐标系，设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =r

，

则00n FE n FB ??=???=??r uur r uu r ，而(2,0,1)(0,2,1)

FE FB ?=-??=-??uur uu r ，∴2020x z y z -+=??-=?，

令1x =，则1y =，2z =，(1,1,2)n =r

. ∵(2,2,0)AC =-uu u r ， ∴0n AC ?=r uuu r ，∴n AC ⊥r u u u r

，

而AC ?平面BEF ，∴//AC 平面BEF .

(Ⅱ) 设平面ABCD 与平面BEF 所成二面角的平面角为α，由条件知α是锐角

由 (Ⅰ) 知平面BEF 的法向量为( 1,1,2)n =r

，

又平面ABCD与z轴垂直，所以平面ABCD的法向量可取为

1(0,0,1)

n= u r

所以1

1

1

cos|cos,|||

3

||||

n n

n n

n n

α

?

=<>===

?

u r r

u r r

u r r

，所以tan

2

α=即为所求.