平面向量在解析几何中的应用

-----高三专题复习课教学案例

福建省福州格致中学宋建辉

一、引言：

平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。正因为如此，在2004年3月25日在校教学公开周中开设了《平面向量在解析几何中的应用》高三专题复习公开课，以求在教与学的过程中提高学生学习向量的兴趣，让学生树立并应用向量的意识。

二、背景:

向量知识在许多国家的中学数学教材中，早就成了一个基本的教学内容。在我国全面实施新课程后，向量虽然已进入中学，但仍处于起步的阶段。向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。但实际情况是很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题，学生应用向量的意识不强。鉴于这种情况，结合我校开展的构建“探究-合作”型教学模式研究的课题，开设本节《平面向量在解析几何中的应用》高三专题复习公开课，通过问题的探究、合作解决，旨在进一步探索“探究-合作”型教学模式，使学生树立并增强应用向量的意识。

在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。正因为如此，本节课这样设计：

1、教育家赞可夫说“要以知识本身吸引学生学习，使学生感到认识新事物的乐趣，体验克服困难的喜悦”；教育心理学认为：思维是从提出问题开始的；美国心理学家贾德通过实验证明“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需掌握原理，形成类比，才能让迁移到具体的类似学习中”。因此首先通过两个旧问题的引入解决，让学生体会向量的工具性特点，体会向量解题的优越性。

2、通过例

3、例4两个问题的探究解决，由此让学生发现，用向量法的最大优点是思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。

三、问题：

例1、勾股定理的证明：即在直角三角形ABC 中∠C=900，求证：222

AB AC BC =+ 证明：因为AC ⊥BC 所以0AC BC ?=u u u r u u u r

又AB AC CB =+u u u r u u u r u u u r ，两边平方得： 222222AB AC AC CB CB AC CB =+?+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

即222AB AC BC =+ 评注：对照老教材，勾股定理推导变得简单，回避了许多细节的讨论，优势不言

而喻。类似的命题还很多。

例2、利用向量知识来推导点到直线的距离公式。

已知点P 坐标( x 0,y 0 )，直线l 的方程为 Ax+By+C=0，P 到直线l 的距离是d ，则

证明：当0B ≠时，在直线l 上任取一点，不妨取1(0,)C P B -

，直线l 的法向量(,)n A B =r ，由向量的射影长知识得点P 到直线l 的距离等于向量1PP u u u r 在向量n r 方向上的射影长度d ，1PP u u u r =（00(,)C x y B

+， 100(,)n C d PP x y B n ∴=?=+=r u u u r r 当B=0时，可直接有图形证明（略）。

评注：比较传统证明方法，避免了复杂的构图过程，应用向量来证，简单易懂，

充分体现了向量的工具性和优越性。

四、问题的解决：

例3、（2000年全国高考题）椭圆14

2=+y x 的焦点为F ,1F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1P F 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是___。

解：F 1（－5,0）F 2（5,0）,设P （3cos θ,2sin θ）

21PF F ∠Θ为钝角

∴

123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ?=

-?-u u u r u u u u r （ =9cos

2θ－5＋4sin 2θ=5 cos 2θ－1<0 解得：55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是（5

53,553-）点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为

钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。

例4、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点，求

PA PB +的最大值和最小值。

分析：因为O 为AB 的中点，所以2,PA PB PO +=u u u r u u u r u u u u r 故可利用向量把问题转化为求向量OP u u u r 的最值。

解：设已知圆的圆心为C ，由已知可得：{1,0},{1,0}OA OB =-=u u u r u u u r

0,1OA OB OA OB ∴+=?=-u u u r u u u r u u u r u u u r 又由中点公式得2PA PB PO +=u u u r u u u r u u u r 所以222()2PA PB PA PB PA PB +=+-?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

=2(2)2()()PO OA OP OB OP --?-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =224222(

PO OA OB OP OP -?-+?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u =

222OP +u u u r 又因为{3,4}OC =u u u r 点P 在圆(x-3)2+(y-4)2=4上所以5,2,OC CP ==u u u r u u u r 且OP OC CP =+u u u r u u u r u u u r 所以OC CP OP OC CP OC CP -≤=+≤+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

即37OP ≤≤u u u r 故2222022100PA PB OP ≤+=+≤u u u r u u u r u u u r 所以22PA PB +的最大值为100，最小值为20。

点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。

例5、（2003年天津高考题）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(++=λ，[)∞∈＋，

0λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（）

（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心分析：因为||||

AB AC AB AC AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 、分别是与、同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知||||

AB AC AB AC +u u u r u u u r u u u r u u u r 是与∠ABC 的角平分线（射线）同向的一个向量，又()AB AC OP OA AP AB AC

λ-==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，知P 点的轨迹是∠ABC 的角平分线，从而点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心。

反思：根据本题的结论，我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤；

（1）由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得角两边的方向向量12v v u r u u r 、；

（2）求出角平分线的方向向量1212

v v v v v =+u r u u r r u r u u r （3）由点斜式或点向式得出角平分线方程。{直线的点向式方程：过P （00,x y ），

其方向向量为(,)v a b r ，其方程为00x x y y a b

--=} 应用：（1999年全国高考题）如图，给出定点A(a,0) (a>0)和直线l ：x=-1，B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C ，求C 点的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系

解：设B(-1,t)，则(1,),AB a t =--u u u r

从而直线AB 的方程为：01x a y a t --=--①

(,0),(1,),(1,0)OA a OB t OC OA OB OA OB ==-=+=+=u u u r u u u r Q u u u r u u u r r u u u r u u u r 则直线

v 故直线OC y t = ② 由①、②消去t 得：22(1)2(1)0(0)a x ax a y x a --++=≤<

点评：从上述方法看出较原参考答案要简单，且容易理解。

五、反思与讨论：

反思：由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识。那么如何树立应用向量的意识，从本节课案例得到以下启发：

第一、如何树立应用向量的意识，在教学中应先从学生熟悉的平面几何问题入手，让学生体会向量的工具性。

第二、如何树立应用向量的意识，应充分挖掘课本素材，在教学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识。

第三、如何树立应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性。

最后，如何树立应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题，逐步树立运用向量知识解题的意识。

探讨：例4、（2003年天津）已知常数0>a ，向量)0,1(),0(==i a c ，，经过原点O 以i c λ+为方向向量的直线与经过定点),0(a A 以c i λ2-为方向向量的直线相交于点P ，其中R ∈λ．试问：是否存在两个定点F E 、，使得PF PE +为定值，若存在，求出F E 、的坐标；若不存在，说明理由．

（本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.）解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，

使得点P 到两定点距离的和为定值.

∵i =（1，0），c=（0，a ）， ∴c+λi =（λ，a ），i －2λc=（1，－2λa ）. 因此，直线OP 和AP 的方程分别为 ax y =λ 和 ax a y λ2-=-.

消去参数λ，得点),(y x P 的坐标满足方程222)(x a a y y -=-.

整理得 .1)2()2(812

22=-+a a y x ……① 因为,0>a 所以得：

（i ）当2

2=a 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ；（ii ）当2

20<

（iii ）当2

2>a 时，方程①也表示椭圆，焦点))21(21,0(2-+a a E 和))2

1(21,0(2--a a F 为合乎题意的两个定点. 点评：本题以平面向量为载体，考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。去掉平面向量的背景，我们不难看到，本题即为下题：在△OAP 中，O （0，0）、A （0，a ）为两个定点，另两边OP 与AP 的斜率分别是(0),2a