高中数学函数专题经典.doc
高中数学函数专题
1．已知在实数域R 上可导的函数)(x f y =对任意实数21,x x 都有
),()()(2121x f x f x x f ?=+若存在实数b a ,，使0)(0)(>'≠b f a f 且， 求证：（1）0)(>x f ；（2）),()(+∞-∞=在x f y 上是单调函数
证明：（1）2
)]2
([)2()2()22()(x f x f x f x x f x f =?=+=
又()[()]()()0,()022222x x x x x f a f a f f a f =+-=?-≠∴≠,0)(0)]2
([2
>>∴x f x f 即
（2）x x f b f x b f x f b f x b f x b f b f x x x ?-?=?-?=?-?+='→?→?→?1
)(lim
)()()()(lim )()(lim )(000 即)()
()(]1)()[(lim )()()(1)(lim 00b f b f x f x x f x f x f b f b f x x f x x '?=?-?='∴'=?-?→?→?
0)(0)(,0)(,0)(>'∴>>'>∴x f b f b f x f )(x f ∴在R 上是单调递增函数.
2．已知抛物线C 的方程为F x y ,42
=为焦点，直线()00:1>=+-k k y kx l 与C 交于A 、
B 两点，P 为AB 的中点，直线2l 过P 、F 点。
（1）求直线2l 的斜率关于k 的解析式)(k f ，并指出定义域；
（2）求函数)(k f 的反函数)(1
k f
-；（3）求1l 与2l 的夹角θ的取值范围。 （4）解不等式()()1,0121log 1
≠>>?????
?+-a a x xf a 。
解：（1）()???+==142x k y x y ???>>-=??=+-?0
0161604422
k k k y ky 10<
()0,1,21,222221F k k k y x k y y y p p p -=-==+= ()1011202)(2
2
2<<-=
---=∴k k k
k
k k k f （2）()02141)(21
>-+=
-k k k k f （3）??
?
??∈∴<<∴<<=+-=4,0,10,10,)(1)(3πθθθtg k k k kf k k f tg Θ
（4）4124121)(221
+=+=+-x x x xf ，∴原不等式为 ()0241log 2>>??? ?
?
+x x a
当1>a 时，41,41222->∴->a x a x ；当10< 12 2- 210≤ 1 < 3．已知二次函数)(41)(2R t a t b at t f ∈+ -=有最大值且最大值为正实数，集合 }0| {<-=x a x x A ，集合}|{22b x x B <=. （1）求A 和B ； （2）定义A 与B 的差集：A x x B A ∈=-|{且}B x ?.设a ，b ，x 均为整数， 且A x ∈。)(E P 为x 取自B A -的概率，)(F P 为x 取自B A I 的概率，写出a 与b 的三组值，使3 2 )(=E P ， 3 1 )(=F P ，并分别写出所有满足上述条件的a （从大到小） 、b （从小到大）依次构成的数列{n a }、{n b }的通项公式（不必证明）； （3）若函数)(t f 中，n a a =，n b b = （理）设1t 、2t 是方程0)(=t f 的两个根，判断||21t t -是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。 （文）写出)(t f 的最大值)(n f ，并判断)(n f 是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。 解：（1）∵)()(412R t t b at t f a ∈+-=有最大值，∴0 b a b t a t f 4 122)()(-+- =，由1041>?>-b a b .∴}0|{<<=x a x A ，}|{b x b x B <<-=。 （2）要使3 2)(= E P ，3 1)(=F P 。可以使①A 中有3个元素，B A -中有2个元素，B A I 中有1个元素.则2,4=-=b a .②A 中有6个元素，B A -中有4个元素，B A I 中有2个元素。 则3,7=-=b a .③A 中有9个元素,B A -中有6个元素,B A I 中有3个元素.则4,10=-=b a .1,13+=--=n b n a n n . （3）（理）0)(=t f ，得01>-=?n b . 6911 691 2122121122 4)(||)(++++-= = = -+=-=n n n n n n n a b t t t t t t n g ， ∵692911=?≥+n n n n ，当且仅当31 =n 时等号成立. ∴)(n g 在N 上单调递增。4 1max 21)1(||==-g t t .又0)(lim =∞ →n g n ，故没有最小值。 （文）∵n n n n n a b n g 4121 4 1241)(++-===单调递增， ∴4 1min )1()(==f n f ，又12 1)(lim =∞ →n f n ，∴没有最大值。 4．已知函数1 1log )(--=x mx x f a 是奇函数)1,0(≠>a a 。 (1)求m 的值； （2）判断）（x f 在区间),1(+∞上的单调性并加以证明； （3）当)2,(,1-∈>a r x a 时，)(x f 的值域是),1(+∞，求r a 与的值. 解:（1）m=－1 （2）由（1），).1,0(1 1 log )(≠>-+=a a x x x f a 任取1 1)(,11)(,11)(,),,1(2221112121-+=-+=-+=<+∞∈?x x x t x x x t x x x t x x x x 则令设， ) 1)(1() (21111)()(2112221121---= -+--+= -∴x x x x x x x x x t x t . ,,1,12121x x x x <>>Θ ,0,01,011221>->->-∴x x x x 11 11 ),()(221121-+> -+>∴x x x x x t x t 即 . ),1()(,1 1 log 11log ,12211+∞-+>-+>∴在时当x f x x x x a a a 上是减函数； 当0 （2）当a >1时，要使)(x f 的值域是),1(+∞，则111log >-+x x a ，01 1)1(,11>-++->-+∴x a x a a x x 即 而a >1，∴上式化为 0111 <--+- x a a x ① 又),1 2 1(log 11log )(-+=-+=x x x x f a a ∴当x >1时，0)(>x f .当0)(,1<- 因而，欲使)(x f 的值域是),1(+∞，必须1>x ，所以对不等式①，当且仅当1 1 1-+< 32,1,1 ,1121+==?? ?? ???>-+=-=∴a r a a a a r 得解之. 5．|AB|=|x B -x A |表示数轴上A 、B 两点的距离，它也可以看作满足一定条件的一种运算。这样，可以将满足下列三个条件的一个x 与y 间的运算p(x,y)叫做x,y 之间的距离：条件一，非负性p(x,y)≥0，等号成立当且仅当x=y ；条件二，交换律p(x,y)=p(y,x);条件三，三角不等式p(x,z)≤p(x,y)+p(y,z). 试确定运算s(x,y)= | |1| |y x y x -+-是否为一个距离？是，证明；不是，举出反例。 解：要说明s(x,y)是否为距离，只要验证它是否满足三条即可 s(x,y)= ||1| |y x y x -+-≥0等号成立当且仅当|x-y|=0,即x=y ，第一条满足 s(x,y)=||1||y x y x -+-=| |1| |x y x y -+-=s(y,x) ，第二条也满足 s(x,z)=||1||z x z x -+-∵函数f(x)=x x +1=1-x +11 (或111+x )在x>0上单调增，且|x-z|≤ |x-y|+|y-z|(8分）∴s(x,z)≤||||1||||z y y x z y y x -+-+-+-=| |||1| |z y y x y x -+-+- +||||1||z y y x z y -+-+-≤||1||y x y x -+-+| |1| |z y z y -+-=s(x,y)+s(y,z) （10分） 总之，s(x,y)是距离 6．已知曲线轴与y d cx bx ax y L +++=2 3 :相交于点A ，以其上一动点P （x 0,y 0）为切点的直线l 与y 轴相交于Q 点.（Ⅰ）求直线l 的方程，并用x 0表示Q 点的坐标； （Ⅱ）求.sin sin lim 0AQP APQ x ∠∠+∞→ (Ⅰ）解：c bx ax k c bx ax y d A ++=++='02 0223,23),,0( 0002 0002 00))(23(0),)(23(y x c bx ax y x x x c bx ax y y Q +-++==-++=-∴得令 )))(23(,0(0002 0y x c bx ax Q +-++∴ （Ⅱ）由正弦定理得： 03232000000222322 0000003 2 0023220000sin sin () ()sin |2| lim lim 2 sin ||() x x APQ AQ AQP AP x y d x ax bx cx APQ a AQP a x ax bx cx →+∞∠=== ∠+-+++∠∴===∠+++ 7．设a 、b 为常数，F x b x a x f x f M };sin cos )(|)({+==：把平面上任意一点（a ，b ）映射为函数.sin cos x b x a +（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数； （2）证明：当M x f ∈)(0时，M t x f x f ∈+=)()(01，这里t 为常数； （3）对于属于M 的一个固定值)(0x f ，得}),({01R t t x f M ∈+=，在映射F 的作用下，M 1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？ 答案：（1）假设有两个不同的点（a ，b ），（c ，d ）对应同一函数，即x b x a b a F sin cos ),(+=与x d x c d c F sin cos ),(+=相同， 即x d x c x b x a sin cos sin cos +=+对一切实数x 均成立。特别令x =0，得a =c ；令2 π =x ， 得b=d 这与（a ，b ），（c ，d ）是两个不同点矛盾，假设不成立. 故不存在两个不同点对应同函数。 （2）当M x f ∈)(0时，可得常数a 0，b 0，使x b x a x f sin cos )(000+= )()(01t x f x f +=)sin()cos(00t x b t x a +++= x t a t b x t b t a sin )sin cos (cos )sin cos (0000-++= 由于t b a ,,00为常数，设n m n t a t b m t b t a ,,sin cos ,sin cos 0000则=-=+是常数. 从而M x n x m x f ∈+=sin cos )(1。 （3）设M x f ∈)(0，由此得x n x m t x f sin cos )(0+=+ （t b t a m sin cos 00+=其中，t a t b n sin cos 00-=） 在映射F 下，)(0t x f +的原象是（m ，n ），则M 1的原象是 },sin cos ,sin cos |),{(0000R t t a t b n t b t a m n m ∈-=+= 消去t 得202022b a n m +=+，即在映射F 下，M 1的原象}|),{(2 02022b a n m n m +=+ 是 以原点为圆心，2 020b a +为半径的圆。 8．试构造一个函数(),f x x D ∈，使得对一切x D ∈有|()||()|f x f x -=恒成立，但是() f x 既不是奇函数又不是偶函数，则()f x 可以是2 ,(1) (),(1)? x x f x x x 9．设A∪B∪C={ }5,4,3,2,1,且A∩B={}3,1,符合此条件的(A,B,C)共有(注:A,B,C 顺序不同为不同组) (A) A.500组 B.75组 C.972组 D.125组 10．电信局为了配合客户的不同需要，设有A ，B 两种优惠方案.这两种方案应付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）(.注：图中MN ∥CD)试问： （I ）若通话时间为2小时，按方案A 、B 各付话费多少元？ （II ）方案B 从500分钟后，每分钟收费多少元？ （III ）通话时间在什么范围内，方案B 才会比方案A 优惠？ 解：设这两种方案的应付话费与通话时间的函数 关系分别为),(),(x f x f B A 则由已知及图象可得 98,(060),()380,(60);10A x f x x x ≤≤??=?+>??168, (0500)()3 18;(500).10 B x f x x x ≤≤?? =?+>?? （I ）通话时间2小时，按方案A ，B 各付话费116元和168元； （II ）因为)500)((3.010 3 )()1(>==-+n n f n f B B 元，所以方案B 从500分钟后，每分钟收费0.3元； （III ）由图象知，当600≤ ),()(,50060),()(,5004x f x f x x f x f x B A B >≤<>>由时在时当可得.3 880 > x 即当通话时间在（),3 880 +∞，方案B 比方案A 优惠. 11、(04河南)若,R a ∈求函数ax e x x f 2)(=的单调区间. 解：22()2(2).ax ax ax f x xe ax e x ax e '=+=++Q （I ）当a =0时，若x <0，则)(x f '<0，若x >0,则)(x f '>0.所以当a =0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数. （II ）当,02 ,02,02>-<>+>x a x ax x a 或解得由时 由.02 ,022 <<- <+x a ax x 解得 所以，当a >0时，函数f (x )在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a 2 ，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数； （III ）当a <0时，由2x +ax 2>0，解得0 2. 所以当a <0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a 2 ）内为增 函数，在区间（－a 2 ，+∞）内为减函数. 12、(04河南文)已知13)(2 3+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围. 解：2 ()36 1.f x ax x '=+-Q （Ⅰ）当0)(<'x f （R x ∈）时，)(x f 是减函数. )(01632R x x ax ∈<-+036120 3.a a a ? 所以，当))((,0)(,3R x x f x f a ∈<'-<知由时是减函数； （II ）当3-=a 时，133)(2 3 +-+-=x x x x f =,9 8)31(33 + --x 由函数3 x y =在R 上的单调性，可知 当3-=a 时，R x x f ∈)((）是减函数； （Ⅲ）当3->a 时，在R 上存在一个区间，其上有,0)(>'x f 所以，当3->a 时，函数))((R x x f ∈不是减函数. 综上，所求a 的取值范围是（].3,-∞- 13、若函数1)1(2 131)(2 3+-+-= x a ax x x f 在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围. 解：函数)(x f 的导数 .1)(2 -+-='a ax x x f 令0)(='x f ，解得 ) ,1(,)1,1(,)1,()(,211,),1()(,211. 11+∞---∞>>-+∞≤≤--==a a x f a a x f a a a x x 在内为减函数在上为增函数在函数时即当不合题意 上是增函数在函数时即当或 为增函数. 依题意应有 当.0)(,),6(,0)(,)4,1(>'+∞∈<'∈x f x x f x 时当时 所以 .614≤-≤a 解得.75≤≤a 所以a 的取值范围是[5，7]. 14、已知函数x x x f -+=)1ln()(,x x x g ln )(=.(i)求函数)(x f 的最大值； (ii)设b a <<0,证明:2ln )()2 (2)()(0a b b a g b g a g -<+-+<. （Ⅰ）解：函数)(x f 的定义域为),1(+∞-. .111 )(-+= 'x x f 令 .0,0)(=='x x f 解得 当,0)(,01>'<<-x f x 时 当.0)(,0<'>x f x 时 又,0)0(=f 故当且仅当x =0时，)(x f 取得最大值，最大值为0. （Ⅱ）证法一：2 ln )(ln ln )2( 2)()(b a b a b b a a b a g b g a g ++-+=+-+ .2ln 2ln b a b b b a a a +++= 由（Ⅰ）结论知),0,1(0)1ln(≠-><-+x x x x 且 由题设 ,021,02,0<-<->-< b a a a b b a 得 因此 ,2)21ln(2ln a a b a a b b a b -->-+-=+ ,2)21ln(2ln b b a b b a b a b -->-+-=+ 所以 .02 22ln 2ln =---->+++b a a b b a b b b a a a 又.2ln )(2ln )(2ln 2ln 2ln 2ln , 22a b b a b a b b a b b b b a a b a b b b a a a b b a b a a -<+-=+++<++++<+ 综上 .2ln )()2 ( 2)()(0a b b a g b g a g -<+-+< 证法二：.1ln )(,ln )(+='=x x g x x x g 设),2 (2)()()(x a g x g a g x F +-+= 则 .2 ln ln ])2( [2)()(x a x x a g x g x F +-='+-'=' 当,0)(,0<'< 因此 ,0)(,,0)(>>=b F a b a F 所以 即 ).2 (2)()(0b a g b g a g +-+< 设,2ln )()()(a x x F x G --= 则 ).ln(ln 2ln 2 ln ln )(x a x x a x x G +-=-+-=' 当.0)(,0<'>x C x 时 因此),0()(+∞在x G 上为减函数. 因为 ,0)(,,0)(<>= b G a b a G 所以 即 .2ln )()2 (2)()(a b b a g b g a g -<+-+ 15、求函数2 4 1)1ln()(x x x f -+=在[0,2]上的最小值. 解：,2111)(x x x f -+= ' 令 ,02 111=-+x x 化简为,022 =-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍去 当)(,0)(,10x f x f x >'<≤时单调增加； 当)(,0)(,21x f x f x <'≤<时单调减少. 所以4 1 2ln )1(- =f 为函数)(x f 的极大值. 又因为 ),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-== 所以 0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，4 1 2ln )1(-=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最大值. 16、已知函数x bx ax x f 3)(2 3 -+=在1±=x 处取得极值. （1）讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值； （2）过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程. （1）解：323)(2-+='bx ax x f ，依题意，0)1()1(=-'='f f ，即 ?? ?=--=-+. 0323, 0323b a b a 解得0,1==b a 。 ∴)1)(1(333)(,3)(2 3 -+=-='-=x x x x f x x x f 。 令0)(='x f ，得1,1=-=x x 。 若),1()1,(∞+--∞∈Y x ，则0)(>'x f ，故)(x f 在)1,(--∞上是增函数， )(x f 在),1(∞+上是增函数。 若)1,1(-∈x ，则0)(<'x f ，故)(x f 在)1,1(-上是减函数。 所以，2)1(=-f 是极大值；2)1(-=f 是极小值。 （2）解：曲线方程为x x y 33 -=，点)16,0(A 不在曲线上。 设切点为),(00y x M ，则点M 的坐标满足03 003x x y -=。 因)1(3)(200-='x x f ，故切线的方程为))(1(302 00x x x y y --=- 注意到点A （0，16）在切线上，有)0)(1(3)3(1602 0030x x x x --=-- 化简得83 0-=x ，解得20-=x 。 所以，切点为)2,2(--M ，切线方程为0169=+-y x 。 17、10、已知函数)0()(3 ≠++=a d cx ax x f 是R 上的奇函数，当1=x 时)(x f 取得极值2-.（1）求)(x f 的单调区间和极大值； （2）证明对任意1x ，)1,1(2-∈x ，不等式4)()(21<-x f x f 恒成立. （1）解：由奇函数的定义，应有)()(x f x f -=-，R x ∈ 即d cx ax d cx ax ---=+--3 3 ∴ 0=d 因此，cx ax x f +=3 )( c ax x f +='2 3)( 由条件2)1(-=f 为)(x f 的极值，必有0)1(='f ，故???=+-=+0 32 c a c a 解得1=a ，3-=c 因此，x x x f 3)(3 -=，)1)(1(333)(2 -+=-='x x x x f 0)1()1(='=-'f f 当)1,(--∞∈x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在单调区间)1,(--∞上是增函数 当)1,1(-∈x 时，0)(<'x f ，故)(x f 在单调区间)1,1(-上是减函数 当),1(∞+∈x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在单调区间),1(∞+上是增函数 所以，)(x f 在1-=x 处取得极大值，极大值为2)1(=-f （2）解：由（1）知，x x x f 3)(3 -=)]1,1[(-∈x 是减函数，且 )(x f 在]1,1[-上的最大值2)1(=-=f M )(x f 在]1,1[-上的最小值2)1(-==f m 所以，对任意的1x ，)1,1(2-∈x ，恒有4)2(2)()(21=--=-<-m M x f x f 18、(04重庆)某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为：2 1242005 p x =- ,且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本） 解：每月生产x 吨时的利润为)20050000()5 124200()(2 x x x x f +-- = ). (200,2000240005 3 )() 0(50000240005 1 2123舍去解得由-===+-='≥-+-=x x x x f x x x 0)(200),0[)(='=+∞x f x x f 使内只有一个点在因，故它就是最大值点，且 最大值为：)(31500005000020024000)200(5 1 )200(3 元=-?+-=f 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元. 19、14、已知2 2)(2+-=x a x x f 在区间[-1，1]上是增函数. （Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ； （Ⅱ）设关于x 的方程x x f 1 )(=的两个非零实根为21,x x .试问：是否存在实数m ，使得 不等式2121x x tm m -≥++对任意A a ∈及∈t [-1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范 围；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）f ＇(x)=222)2(224+-+x x ax = 2 22)2()2(2+---x ax x ， ∵f(x)在[-1，1]上是增函数， ∴f ＇(x)≥0对x ∈[-1，1]恒成立， 即x 2 -ax-2≤0对x ∈[-1，1]恒成立. ① 设?(x)=x 2 -ax-2， 方法一： ?(1)=1-a-2≤0， ①? ?-1≤a ≤1， ?(-1)=1+a-2≤0. ∵对x ∈[-1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(-1)=0以及当a=-1时，f ＇(1)=0 ∴A={a|-1≤a ≤1}. 方法二： 2a ≥0， 2 a <0， ①? 或 ?(-1)=1+a-2≤0 ?(1)=1-a-2≤0 ? 0≤a ≤1 或 -1≤a ≤0 ? -1≤a ≤1. ∵对x ∈[-1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(-1)=0以及当a=-1时，f ＇(1)=0 ∴A={a|-1≤a ≤1}. （Ⅱ）由 222 +-x a x =x 1，得x 2 -ax-2=0， ∵△=a 2 +8>0 ∴x 1，x 2是方程x 2 -ax-2=0的两非零实根， x 1+x 2=a ， ∴ 从而|x 1-x 2|=212 214)(x x x x -+=82 +a . x 1x 2=-2， ∵-1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82 +a ≤3. 要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立， 当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[-1，1]恒成立， 即m2+tm-2≥0对任意t∈[-1，1]恒成立. ② 设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2)， 方法一： g(-1)=m2-m-2≥0， ②? g(1)=m2+m-2≥0， ?m≥2或m≤-2. 所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}. 方法二： 当m=0时，②显然不成立； 当m≠0时， m>0， m<0， ②?或 g(-1)=m2-m-2≥0 g(1)=m2+m-2≥0 ?m≥2或m≤-2. 所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}. 20、16、已知0,1>->c b ,函数b x x f +=)(的图象与函数c bx x x g ++=2 )(的图象相切.(1)求b 与c 的关系式.(用c 表示b ) (2)设函数)()()(x g x f x F =在),(+∞-∞内有极值点,求c 的取值范围. 解：（Ⅰ）依题意，令.2 1,12),()(b x b x x g x f -= =+'='故得 .21,0,1. 4)1(),2 21()21( 2c b c b c b b g b f +-=∴>->=+-=-Θ得由于 （Ⅱ）.43)(.)(2)()()(2 2 2 2 3 c b bx x x F bc x c b bx x x g x f x F +++='++++== : )(,0)(,0). 3(4)(1216.043,0)(022222的变化如下且有一个实根则若则即令x F x x F c b c b b c b bx x x F '='=?-=+-=?=+++=' x ),(0x -∞ x 0 （),0+∞x )(x F ' + + 于是0x x =不是函数)(x F 的极值点. )()(,0)(,02121x F x x x x x F '<='>?且有两个不相等的实根则若的变化如下： x ),(1x -∞ x 1 ),(21x x 2x （),2+∞x )(x F ' + — + 由此，)(,)(21x F x x x F x x 是函数的极大值点是函数==的极小值点. 综上所述，当且仅当.),()(,0上有极值点在函数时+∞-∞=?x F ). ,347()347,0(. 3473470.321321,21. 330)3(42+∞+?-+>-<<>+-<+-∴+-=>-<>-=?的取值范围是故所求或解之得或或得由c c c c c c c c b c b c b c b Θ 21、17、已知函数,)(2ax e x x f =其中e a ,0≤为自然对数的底数. (Ⅰ)讨论函数)(x f 的单调性; (Ⅱ)求函数)(x f 在区间[0,1]上的最大值. 解 (Ⅰ).)2()(ax e ax x x f +=' （i ）当a=0时，令)(x f '=0, 得x=0. 若x>0. 则)(x f '>0,从而f(x)在(0,+∞)上单调递增; 若x<0,则)(x f '<0,从而f(x)在(--∞,0)上单调递减. ()ii 当a<0时,令)(x f '=0,得x(ax+2)=0,故x=0或.2a x -= 若x<0,则)(x f '<0,从而f(x)在(--∞,0)上单调递减. 若0 则)(x f '>0.从而f(x)在(0, ,2 a -)上单调递增; 若x>,2a - 则)(x f '<0.从而f(x)在(,2 a -+∞)上单调递减. (Ⅱ) ()i 当a=0时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(1)=1. ()ii 当02??-a 时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(1)=a e . )(iii 当a ≤-2时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是2 24)2 (e a a f =-. 22、如图，已知曲线C 1：=x 3(x ≥0)与曲线C 2:y=-2x 3 +3x(x ≥0)交于点O 、A.直线x=t(0 （Ⅰ）写出四边形ABOD 的面积S 与t 的函数关系S=f(t)； （Ⅱ）讨论f(t)的单调性，并求f(t)的最大值. y=x 3 ， 解：（Ⅰ）由 得交点O 、A 的坐标分别是 （0，0），（1，1）. y=-2x 3 +3x ， f(t)=S △ABD +S △OBD =21|BD|·|1-0|=21|BD|=2 1(-3t 3 +3t)， 即f(t)=- 2 3(t 3 -t)，(0 3 . 令f ＇(t)=0 解得t= 3 3 . 当0 33时，f ＇(t)>0，从而f(t)在区间（0，3 3）上是增函数； 当 33 3，1）上是减函数. 所以当t=33时，f(t)有最大值为f(33)=3 3 . 函数图象变换 1、平移变换（左加右减上加下减）： y=f(x)h 左移→y=f(x+h); y=f(x)h 右移→y=f(x -h); y=f(x)h 上移→y=f(x)+h; y=f(x)h 下移→y=f(x)-h. 2、对称变换： y=f(x) 轴x →y= -f(x); y=f(x) 轴y →y=f(-x); y=f(x) 原点 →y= -f(-x). y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x); y=f(x) x y =→直线y=f -1(x); 3、翻折变换： （1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方， 去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； （2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左 边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到． 4、伸缩变换： y=f(x)ω?→x y=f(ωx ); y=f(x)ω ?→y y=ωf(x). 经典题型：作已知函数的图像、知式选图或知图选式、图像应用 例1．函数1 11--=x y 的图象是（ ） 答案B 例2．如图所示，)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在]1,0[上的四个函数，其中满足性质：“对]1,0[中任意的1x 和2x ，)]()([2 1)2(2121x f x f x x f +≤+恒成立”的只有（ ） 答案A 例3、利用函数x x f 2)(=的图象，作出下列各函数的图象： （1）)1(-x f ；（2）|)(|x f ；（3）1)(-x f ；（4）)(x f -；（5）.|1)(|-x f 例4已知0>a ，且≠a 1，函数x a y =与)(log x y a -=的图象只能是图中的（ ） 答案B 例5函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象如右上，则函数)(x f y =·)(x g 的图象是（ ） 答案A 例6 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )． A ．10个 B ．9个 C ．8个 D ．1个 解析：画出两个函数图象可看出交点有10个．答案 A 2014高三数学专题 抽象函数 特殊模型和抽象函数 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1) y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。 解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ? ?-x f 3log 2 1 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。 []11log ,13 评析： 已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。 （数学1必修）函数及其表示 一、选择题 1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(，2)(x x g =； ⑷()f x ()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。 A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸ 2．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 3．已知集合{}{} 421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且* ,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ） A ．2,3 B ．3,4 C ．3,5 D ．2,5 4．已知2 2(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-< 函 数 练 习 题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴33y x =+- ⑵y = ⑶01(21)111 y x x =+-++-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x = 6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 )5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3) 11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ） (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞ D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x =+≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数 C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数 D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数 高一数学之抽象函数专题集锦 一、选择题（本大题共14小题，共70.0分） 1. 设f(x)为定义在R 上的偶函数，且f(x)在[0,+∞)上为增函数，则f(?2)，f(?π)，f(3)的大小顺序是( ) A. B. C. D. 2. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(x +2)关于x =?2对称，若f(?2)=1，则f(x ?2)≤1的x 的取值范围 是( ) A. [?2,2] B. (?∞,?2]∪[2,+∞) C. (?∞,0]∪[4,+∞) D. [0,4] 3. 已知函数y =f(x)定义域是[?2,3]，则y =f(2x ?1)的定义域是( ) A. [0,5 2] B. [?1,4] C. [?1 2,2] D. [?5,5] 4. 函数f(x)在(?∞,+∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)=?1，则满足?1≤f(x ?2)≤1的x 的取值范围是 ( ) A. B. C. [0,4] D. [1,3] 5. 若定义在R 上的奇函数f(x)在(?∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x ?1)?0的x 的取值范围是( ) A. [?1,1]∪[3,+∞) B. [?3,?1]∪[0,1] C. [?1,0]∪[1,+∞) D. [?1,0]∪[1,3] 6. 已知f(x)={ x 2+4x x ≥0 , 4x ?x 2 , x <0 若f(2?a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是( ) A. (?2 , 1) B. (?1 , 2) C. (?∞ , ?1)?(2 , +∞) D. (?∞ , ?2)?(1 , +∞) 7. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2?x)=f(x)，且在[1,+∞)上为增函数，则下列关系式正确的是 A. f(?1) 专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制． 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映． 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求． 函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。 因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意以下方面。 1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法． 2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题． 3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题． 4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力． 以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点．运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点． 例1设a＞0，求函数 ) ln( ) (a x x x f+ - =(x∈(0，＋∞))的单调区间． 分析：欲求函数的单调区间，则须解不等式 ()0 f x '≥ (递增)及 ()0 f x '< (递减)。 《函 数》复习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01(21)111y x x = +-+ -2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数 1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+ ，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 )5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3) 11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ） (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞U D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x =+≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数 C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数 D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数 抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。 一、定义域问题 例1. 已知函数 )(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21 [，-，求函数)] 3([log 2 1x f -的定义域。 二、求值问题 例 3. 已知定义域为+ R 的函数f （x ），同时满足下列条件：① 51 )6(1)2(= =f f ，；② )()()(y f x f y x f +=?，求f （3），f （9）的值。 三、值域问题 例4. 设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。 解：令0==y x ，得2 )]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立，因此，对任意R x ∈，有 )]2([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明，对任意0)(≠∈x f R x ， 设存在 R x ∈0，使得0)(0=x f ，则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾，因此，对任意0)(≠∈x f R x ， 所以0)(>x f 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题 函数专题练习 1.函数1()x y e x R +=∈的反函数是( ) A ．1ln (0)y x x =+> B ．1ln (0)y x x =-> C ．1ln (0)y x x =--> D ．1ln (0)y x x =-+> 2.已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+? 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 (A )(0,1) (B )1(0,)3 (C )11 [,)73 (D )1 [,1)7 3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠ ， 1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x = (B )()||f x x = (C )()2x f x = (D )2()f x x = 4.已知()f x 是周期为2 的奇函数，当01x <<时，()l g f x x = 设 63(),(),52a f b f ==5 (),2 c f =则 (A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b << 5. 函数2 ()lg(31)f x x = ++的定义域是 A .1 (,)3 -+∞ B . 1 (,1)3 - C . 11 (,)33 - D . 1 (,)3 -∞- 6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A .3 ,y x x R =-∈ B . sin ,y x x R =∈ C . ,y x x R =∈ 7、函数()y f x =的反函数1 ()y f x -=的图像与y 轴交于点 (0,2)P (如右图所示)，则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A .4 B .3 C . 2 D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 (A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数 9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => ) 经典函数测试题及答案 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 抽象函数周期性的探究（教师版） 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.而在教学中我发现同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难,所以特探究一下抽象函数的周期性问题. 利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法.此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题.以下给出几个命题：命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）函数y=f(x)满足f(x+a)= 1 () f x ，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （3）函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. : 命题2：若a、b(a b )是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. (1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期. (2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期. 命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期. 【 我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似. 设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数. 条件B: f(x)关于x=a对称 条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期. 结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明: ①已知A、B→ C （2001年全国高考第22题第二问） ∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x) 又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a) ) ∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期 函数专题训练（一） 一、选择题 1．(文)若函数f(x)的定义域是[0,4]，则函数g(x)＝f (2x )x 的定义域是( ) A ．[0,2] B ．(0,2) C ．(0,2] D ．[0,2) (理)(2013·湖北荆门期末)函数f(x)＝1x ln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为( ) A ．(－∞，－4]∪(2，＋∞) B ．(－4,0)∪(0,1) C ．[－4,0)∪(0,1] D ．[－4,0)∪(0,1) 2．(文)(2012·江西文，3)设函数f(x)＝????? x 2＋1，x ≤1，2x ，x>1.则f(f(3))＝( ) A.15 B ．3 C.23 D.139 (理)已知函数f(x)＝??? 2x ＋1，x ≤0，f (x －3)，x>0， 则f(2014)等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．3 3．已知函数f(x)＝??? 2x ＋1，x<1，x 2＋ax ，x ≥1， 若f[f(0)]＝4a ，则实数a 等于( ) A.12 B.45 C ．2 D ．9 4．(2013·银川模拟)设函数f(x)＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x<0， 则不等式f(x)>f(1)的解集是( A ．(－3,1)∪(3，＋∞) B ．(－3,1)∪(2，＋∞) C ．(－1,1)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(1,3) 5．(文)函数f(x)＝22x －2 的值域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0)∪(0，＋∞)C ．(－1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) (理)若函数y ＝f(x)的值域是[12，3]，则函数F(x)＝f(x)＋1f (x ) 的值域是( ) A ．[12，3] B ．[2，103] C ．[52，103] D ．[3，103] 6．a 、b 为实数，集合M ＝{b a ，1}，N ＝{a,0}，f 是M 到N 的映射，f(x)＝x ，则a ＋b （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 § 1.2.1 函数的概念 ¤知识要点： 1. 设 A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f ：A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y = f (x) ， x A ．其中， x 叫自变量， x 的取值范 围 A 叫作定义域，与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的集合 { f ( x) | x A} 叫值域 . 2. 设 a 、b 是两个实数，且 a 三、值域问题 例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠，求函数f(x)的值域。 解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故 f(0)≠0，必有 f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x 、y 均成立，因此，0 )2()(2 ≥? ? ? ? ? =x f x f , 又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0. 四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法， 例6、设对满足x ≠0,x ≠1的所有实数x ，函数f(x)满足,()x x x f x f +=?? ? ??-+11 ,求f(x)的解析式。 解:(1)1),x 0(x x 1)x 1x (f )x (f ≠≠+=-+且Θ---- ,1 2)11()1(:x 1-x x x x f x x f x -=-+-得代换用 （2） :)1(x -11 得中的代换再以x .12)()x -11f(x x x f --=+---（3）1)x 0(x x 2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件: ①f(n)>0,n ∈N;②f(n 1+n 2)=f(n 1)f(n 2),n 1,n 2∈N*;③f(2)=4同时成立? 若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由. 解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想:f(x)=2x (x ∈N*) 小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解. 练习：1、.23 2|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 解:0 2)x (x f 3 x ,x 1)x (f 2)x 1(f ,x x 12 =++=-与已知得得代换用，. 23 2 |)x (f |,024)x (9f 02 ≥ ∴≥?-≥?得由 3、函数f (x )对一切实数x ,y 均有f (x +y)-f (y)=(x +2y+1)x 成立，且f (1)=0， （1）求(0)f 的值； （2）对任意的11 (0,)2 x ∈，21(0,)2 x ∈，都有f (x 1)+2 高中数学函数专题 1．已知在实数域R 上可导的函数)(x f y =对任意实数21,x x 都有 ),()()(2121x f x f x x f ?=+若存在实数b a ,，使0)(0)(>'≠b f a f 且， 求证：（1）0)(>x f ；（2）),()(+∞-∞=在x f y 上是单调函数 证明：（1）2 )]2 ([)2()2()22()(x f x f x f x x f x f =?=+= 又()[()]()()0,()022222x x x x x f a f a f f a f =+-=?-≠∴≠,0)(0)]2 ([2 >>∴x f x f 即 （2）x x f b f x b f x f b f x b f x b f b f x x x ?-?=?-?=?-?+='→?→?→?1 )(lim )()()()(lim )()(lim )(000 即)() ()(]1)()[(lim )()()(1)(lim 00b f b f x f x x f x f x f b f b f x x f x x '?=?-?='∴'=?-?→?→? 0)(0)(,0)(,0)(>'∴>>'>∴x f b f b f x f )(x f ∴在R 上是单调递增函数. 2．已知抛物线C 的方程为F x y ,42 =为焦点，直线()00:1>=+-k k y kx l 与C 交于A 、 B 两点，P 为AB 的中点，直线2l 过P 、F 点。 （1）求直线2l 的斜率关于k 的解析式)(k f ，并指出定义域； （2）求函数)(k f 的反函数)(1 k f -；（3）求1l 与2l 的夹角θ的取值范围。 （4）解不等式()()1,0121log 1 ≠>>????? ?+-a a x xf a 。 解：（1）()???+==142x k y x y ???>>-=??=+-?0 0161604422 k k k y ky 10<-+= -k k k k f （3）?? ? ??∈∴<<∴<<=+-=4,0,10,10,)(1)(3πθθθtg k k k kf k k f tg Θ （4）4124121)(221 +=+=+-x x x xf ，∴原不等式为 ()0241log 2>>??? ? ? +x x a 当1>a 时，41,41222->∴->a x a x ；当10<(完整版)函数图象变换及经典例题练习
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