平面向量综合测试(附答案)
高一下单元综合测试
平面向量
（满分150分，时间120分钟）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.下列结果是的是
A.AM－MN+MB
B.AC－BF+CF
C.－+
D.－+
答案：B
2.已知a=（1，3），b=（－2，－1），则（3a+2b）·（2a+5b）等于
A.105+610－95
B.55
C.15
D.205
答案：C
3.在△ABC中，已知b=a sin C，c=a cos B，则△ABC是
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
答案：D
4.下列命题中，是真命题的是
A.a=（－2，5）与b=（4，－10）方向相同
B.a=（4，10）与b=（－2，－5）方向相反
C.a=（－3，1）与b=（－2，－5）方向相反
D.a=（2，4）与b=（－3，1）的夹角为锐角
答案：B
5.设e1与e2是互相垂直的单位向量，且a=2e1+3e2，b=k e1－4e2，若a⊥b，则实数k的值为
A.－6
B.6
C.3
D.－3
答案：A
6.设|a|=1，|b|=2，且a与b的夹角为120°，则|2a+b|等于
A.2
B.4
C.2
D.3
答案：A
7.曲线x2+2y2－2mx=0按a=（－2，0）平移后，得到曲线x2+2y2=4，则m的值是
A.2
B.－2
C.4
D.－4
答案：A
8.设a=（－1，2），b=（1，－1），c=（3，－2），用a、b作基底表示为c=p a+q b，则实数p、q的值为
A.p=4，q=1
B.p=1，q=4
C.p=0，q=4
D.p=1，q=0
答案：B
9.设△ABC的重心为M，BC、CA、AB的中点是D、E、F，则+－等于
A.0
B.3
C.－4
D.4
答案：D
10.向量a 与－a 的关系是
A.垂直
B.平行
C.相交成60°
D.不一定相交 答案：B
11.设a =（cos θ，sin θ），b =（
21，3k ），则|3a －4b |的最大值为 A.49 B.7 C.7 D.1
答案：B
12.已知m =（3，2），n =（x ，4），m ∥n ，则x 的值为
A.6
B.－6
C.－38
D.3
8 答案：A
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知|a |=3，|b |=4，|a －b |=13，则a 与b 的夹角为_________. 答案：3
π 14.设|a |=25，b =（－1，3），若a ⊥b ，则a =__________.
答案：（32，2）或（－32，－2）
15.若有点M 1（4，3）和M 2（2，－1），点M 分21M M 的比为λ=－2，则点M 的坐标为______________.
答案：（0，－5）
16.设OA =（－2，m ），OB =（n ，1），OC =（5，－1），若A 、B 、C 三点共线，且OA ⊥OB ，则m +n 的值是___________.
答案：9或2
9 三、解答题（17题10分，18~22题每小题12分，共70分）
17.设两个非零向量e 1和e 2不共线，如果=e 1+e 2，=2e 1+8e 2，CD =3（e 1－e 2）.
（1）求证：A 、B 、D 三点共线;
（2）试确定实数k 的值，使k e 1+e 2和e 1+k e 2共线.
（1）证明：∵BD =BC +CD =5e 1+5e 2=5AB ， ∴与共线.又B 为公共点，∴A 、B 、D 三点共线.
（2）解：∵k e 1+e 2=λ（e 1+k e 2），∴????==.
1,k k λλ
解得k =±1.
18.非零向量a 和b 满足|a |=|b |=|a －b |，求a 与（a +b ）的夹角.
解：设a 与（a +b ）的夹角为θ，由|a |=|b |=|a －b |，得
|a |2=|b |2=|a －b |2=|a |2+|b |2－2a ·b ，故a ·b =2
1|a |2. 而|a +b |2=|a |2+|b |2+2a ·b =3|a |2，∴|a +b |=3a .
因此，cos θ=.23|3|||||21||||||)(2
2=+
=++?a a a a b a a b a a 又0°≤θ≤180°，故θ=30°.
19.在△ABC 中，已知A >B >C ，且A =2C ，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，b =4.又a 、b 、c 成等差数列，求a 、c 的长. 解：由正弦定理得C c A a sin sin =，又A =2C ，∴.sin 2sin C
c C a = ∴cos C =.2435284cos ,82.2222c
a a c a a c a a c a C
b
c a c a =-=+-=-+=∴==+ 可得2a =3c ，与a +c =8联立，解得a =524，c =5
16. 20.经过△ABO 的重心G 的直线与OA 、OB 两边分别交于P 、Q 两点，设OP =m OA ，=n ·，求n
m 11+的值. 解：设OA =a ，OB =b ，则OG =
31（a +b ），PG =OG －OP =31（a +b ）－m a =（31－m ）a +3
1b .因P 、G 、Q 三点共线，所以存在实数λ，使PQ =λ，即n b －m a =λ31[(－m )a +31b ］.于是有???????=-=-.3
1,)31(n m m λλ 消去λ，得n
m 11+=3. 21.已知A 、B 是△ABC 的两个内角，i 、j 是互相垂直的单位向量，m =cos 2B A -i +25sin 2
B A + j ，若|m |=423，试求tan A ·tanB. 解：∵i ·j =0，|i |=|j |=1，
∴|m |2=m 2=cos 22sin 4522B A B A ++-
=.8
92)cos(1452)cos(1=+-?+-+B A B A ∴4cos （A －B ）=5cos （A +B ），
4cos A cos B +4sin A sin B =5cos A cos B －5sin A sinB.
∴9sin A ·sin B =cos A ·cosB.又△ABC 中，sin A ·sin B ≠0，
∴cos A ·cos B ≠0.∴tan A ·tan B =9
1.
22.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O ，如图5－6的东偏南θ（θ=arccos 10
2）方向300 km 海平面P 处，并以20 km/h 的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭区域为圆形，当前半径为600 km ，并以10 km/h 的速度不断增大，问：几小时后该城市开始受到台风侵袭.
解：如图5－7，设t 时刻台风中心为Q ，此时台风侵袭的圆形区域半径为（10t +60） km ，若在t 时刻城市O 受到台风侵袭则OQ ≤10t +60.
图5－7
由余弦定理，知
OQ 2=PQ 2+PO 2－2PQ ·PO cos OPQ .
由于PO =300，PQ =20t ，
cos OPQ =cos （θ－45°）
=cos θcos45°+sin θsin45° =2210
21221022?-+?=54. 故OQ 2=（20t ）2+3002－2×20t ×300×
54 =202t 2－9600t +3002.
因此，202t 2－9600t +3002≤（10t +60）2，即t 2－36t +288≤0.
∴（t －12）（t －24）≤0.∴12≤t ≤24.
故经过12小时后，台风开始袭击该城市.
平面向量测试题及详解
平面向量 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。) 1．(文)(2011·北京西城区期末)已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB → ∥a ，则实数y 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 [答案] C [解析] AB →＝(3，y －1)，∵AB → ∥a ，∴31＝y －12 ，∴y ＝7. (理)(2011·福州期末)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值为( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 [答案] D [解析] a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)， ∵a ＋b 与4b －2a 平行，∴36＝x ＋1 4x －2 ，∴x ＝2，故选D. 2．(2011·蚌埠二中质检)已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB → ⊥a ，则实数k 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 [答案] B [解析] AB →＝(2,3)，∵AB → ⊥a ，∴2(2k －1)＋3×2＝0，∴k ＝－1，∴选B. 3．(2011·北京丰台期末)如果向量a ＝(k,1)与b ＝(6，k ＋1)共线且方向相反，那么k 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．－17 D.1 7 [答案] A [解析] 由条件知，存在实数λ<0，使a ＝λb ，∴(k,1)＝(6λ，(k ＋1)λ)，∴? ???? k ＝6λ (k ＋1)λ＝1， ∴k ＝－3，故选A.
高中数学平面向量-综合测试题
平面向量 综合测试题 （时间：120分钟 满分：150分） 学号：______ 班级：______ 姓名：______ 得分：______ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 向量a ，b ，c ，实数λ,下列命题中真命题是( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λ a ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c 2．已知向量a ＝(1,0)与向量b ＝(－1，3)，则向量a 与b 的夹角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 3. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.PA →＋PB →＝0 B.PC →＋PA →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.PA →＋PB →＋PC →＝0 4．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D.12 5．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 6．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152 C ．－322 D ．－3152 7. 已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )
平面向量基本定理练习试题整理
专题八平面向量的基本定理 （A 卷） （测试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( ) A. (7,4)-- B.(7,4) C.(1,4)- D.(1,4) 【答案】A 【解析】∵AB OB OA =-=（3,1），∴BC =AC AB -=(-7,-4)，故选A. 2.【2018届湖北省黄石市第三中学（稳派教育）高三阶段性检测】若()1,3MA =-， ()1,7MB =，则 1 2 AB = ( ) A. ()0,5 B. ()1,2 C. ()0,10 D. ()2,4 【答案】B 【解析】 ()()() 111,3,1,7,22MA MB AB MB MA =-=∴=- ()()()11 11,732,41,222 =+-==，故选B. 3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ） A.()5,7 B.()5,9 C.()3,7 D.()3,9 【答案】A 【解析】因为2(4,8)a =r ，所以2(4,8)(1,1)a b -=--r r =()5,7，故选A. 4.【2018届重庆市第一中学高三上学期期中】已知直角坐标系中点 ，向量 ， ，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵向量 ， ，
∴，又 ∴ ∴点的坐标为 故选：C. 5.在ABC ?中，D 为AB 边上一点，12AD DB = ，2 3 CD CA CB λ=+，则λ=（ ） A ．13- B. 1 3 C.1- D.2 【答案】B 【解析】由已知得，13AD AB =，故13C D C A A D C A A B =+=+1()3CA CB CA =+-21 33 CA CB =+, 故1 3 λ= ． 6. 已知平面向量(1,2)a =，(2,)a k =-，若a 与b 共线，则|3|a b +=( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．5 【答案】C. 【解析】∵a 与b 共线，∴?=-?-?0)2(21k 4-=k ，∴3(1,2)a b +=，|3|5a b +=. 7.已知向量(,),(1,2)a x y b ==-，且(1,3)a b +=，则|2|a b -等于（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】D 【解析】 因(1,3)a b +=,(1,2)b =-,故(2,1)a =,所以2(4,3)a b -=-,故2|2|435a b -= +=,故应选D. 8.【2018届湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）高三上期中联考】点G 为 ABC ?的重心（三边中线的交点） ．设,GB a GC b ==，则1 2 AB 等于 （ ） A. 3122a b - B. 1 2 a b + C. 2a b - D. 2a b + 【答案】B 【解析】如图，
平面向量单元测试题
2016-2017第二学期第七章单元测试题 班级__________ 座位_________ 姓名_________ 成绩_____________ 一、选择题(每题3分,共30分) 1.下列说法错误的是（ ） A. 零向量与任一非零向量平行 B. 零向量与单位向量的模不相等 C. 平行向量方向相同 D. 平行向量一定是共线向量 2.下列四式不能化简为 的是（ ） A.( )+ B.( )+( ) C. + - D. - + 3．已知 =（3，4）， =（5，12）， 与 则夹角的余弦为（ ） A. 65 63 B.65 C. 513 D. 13 4.已知 、 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么∣ +3 ∣=( ) A. 7 B. 10 C. 13 D.4 5.点P （-2,6）关于点M(1，2)的对称点C 的坐标为（ ） A.(0，-2 ) B.(0，10) C.(4，-2) D.(-4，2) 6.设 ， 为不共线向量， = , =-4 - , =-5 -3 ,则下列关系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 7.与向量a=（-5,4）平行的向量是（ ） A.(-5K,4K) B.( k 5-，k 4 -) C.(-10，2) D.(5K,4K) 8. 线段AB 的中点为C ，若AB =BC l ，则l =（ ） A 2、 B -2、 C 2或-2、 D -2或 1 2 、 9.与向量（2,3）垂直的向量是（ ） A.(-2，3 ) B.(-2，-3) C.(-3，2 ) D.(2，-3) 10.已知点M （3.-3），N （8，y ），且∣ ∣=13，则y 的值为（ ）
(完整版)平面向量基本定理练习题
平面向量基本定理及坐标表示强化训练 姓名__________ 一、选择题 1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ; B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)4 3,2 1(- 2. 若AB u u u r =3a, CD u u u r =－5a ,且||||AD BC =u u u r u u u r ,则四边形ABCD 是 （ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 3. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD → =2DB →, CD → =13CA →+λCB → ,则λ 等于（） A. 23 B. 13 C. 13- D. 2 3- 4．已知向量a 、b ，且AB u u u r =a +2b ,BC u u u r = -5a +6b ,CD u u u r =7a -2b ,则一定共线的三点是 （ ） A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、 D D ．A 、C 、D 5．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有 （ ）①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对； ③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．仅② 6．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD u u u r =x AB u u u r ,AE u u u r =y AC u u u r ,xy ≠0，则11 x y +的值 为 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b 二、填空题 8．作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F 3= ; 9．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB u u u r =2AC u u u r ,则x = ，y = ; 10．已知A (2,3),B (1,4)且12 AB u u u r =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2 π),则α+β= *11．已知 a =(1,2) , b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行，则实数k 的值为
平面向量及其应用单元测试题+答案百度文库
一、多选题 1．若a →，b →，c → 是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→ =，则a b →→ = B ．若a c b c →→→→?=?，则a b →→ = C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→ D ．若a b a b → → → → +=-，则a b →→ ⊥ 2．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（ ） A ．1122 AE AB AC → →→ =+ B ．2AB EF →→ = C ．1133 CP CA CB →→→ =+ D ．2233 CP CA CB → →→ =+ 3．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45° D ．() //2a a b + 4．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=?，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4. B ．若4A C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC = D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC << 5．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立 D ．在ABC 中， sin sin sin +=+a b c A B C 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ） A ． B ． C ．8 D ．7．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）
必修四2.3.1平面向量基本定理优秀试题练习题
平面向量基本定理课时练 1．给出下面三种说法： ①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底； ③零向量不可为基底中的向量． 其中正确的说法是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．② 解析：因为不共线的两个向量都可以作为一组基底，所以一个平面内有无数多个基底，又零向量和任何向量共线，所以基底中不含有零向量．因此本题中，①错，②、③正确，故选B. 答案：B 2．已知e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是( ) A ．e 1和e 1＋e 2 B ．e 1－2e 2和e 2－2e 1 C ．e 1－2e 2和4e 2－2e 1 D ．e 1＋e 2和e 1－e 2 解析：分析四个选项知，在C 中，4e 2－2e 1＝－2(e 1－2e 2)．∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，应选C. 答案：C 3．在△ABC 中，BC →＝3BD →，则AD →等于( ) A.13 (AC →＋2AB →) B.13 (AB →＋2AC →) C.14 (AC →＋3AB →) D.14 (AC →＋2AB →) 解析：如右图所示，AD →＝AB →＋BD → ＝AB →＋13 BC →
＝AB →＋13 (AC →－AB →) ＝23AB →＋13AC →＝13 (AC →＋2AB →)，故选A. 答案：A 4．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C )，则AP →等于( ) A ．λ(A B →＋AD →)，λ∈(0,1) B ．λ(AB →＋B C →)，λ∈? ???0，22 C ．λ(AB →－AD →)，λ∈(0,1) D ．λ(AB →－BC →)，λ∈? ???0，22 解析：∵ABCD 是菱形，且AC 是一条对角线，由向量的平行四边形法则知，AC →＝AB →＋AD →，而点P 在 AC 上， ∴三点A 、P 、C 共线，∴AP →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)，显然λ∈(0,1)，故选A. 答案：A 5．若四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →等于( ) A ．b ＋12 a B ． b －12a C ．a ＋12b D ．a －12 b 解析：BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12BA →＝b －12 a . 答案：B 6．已知a ，b 不共线，且c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1＝________. 解析：∵a ，b 不共线，∴a ，b 可以作为一组基底，又c 与b 共线，∴c ＝λ2b ，∴λ1＝0. 答案：0 7．设向量a ，b 不共线，且OC 1→＝k 1a ＋k 2b ，OC 2→＝h 1a ＋h 2b ，若OC 1→＋OC 2→＝m a ＋n b ，则实数m ＝________， n ＝________. 解析：OC 1→＋OC 2→＝(k 1＋h 1)a ＋(k 2＋h 2)b ＝m a ＋n b . ∴m ＝k 1＋h 1，n ＝k 2＋h 2. 答案：k 1＋h 1 k 2＋h 2 8．已知向量a 与b 的夹角是45°，则－2a 与3b 的夹角是________． 答案：135°
平面向量基本定理及经典例题
平面向量基本定理 一．教学目标： 了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件； 教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习 1.已知=(x,2)，=(1,x)，若//，则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 2 2.下列各组向量，共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-=r r ()B (2,3),(3,2)a b ==r r ()C (1,2),(7,14)a b =-=r r ()D (3,2),(6,4)a b =-=-r r 3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且?=?=2,3,则=MN ____ 4．已知点(1,5)A -和向量=(2,3),若=3,则点B 的坐标为 三.知识归纳 1. 平面向量基本定理：如果12,e e u r u u r 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+r u r u u r 成立。其中12,e e u r u u r 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________； 2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ?，j ? 作基底， 则对任一向量a ?，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a ???+=、就把_________叫做向量a ? 的坐标，记作____________。 3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量的坐标为＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为
《平面向量》单元测试卷A含答案
《平面向量》单元测试卷A （含答案） 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列命题中的假命题是（ ） A 、A B BA -→ -→ 与的长度相等； B 、零向量与任何向量都共线； C 、只有零向量的模等于零； D 、共线的单位向量都相等。 2．||||a b a b a b → → → → → → >若是任一非零向量，是单位向量；①；②∥； ||0||1|| a a b b a → →→ → → >=±=③；④；⑤ ，其中正确的有（ ） A 、①④⑤ B 、③ C 、①②③⑤ D 、②③⑤ 3．0a b c a b c a b c → → → → → → → → → → ++=设，，是任意三个平面向量，命题甲：；命题乙：把，， 首尾相接能围成一个三角形。则命题甲是命题乙的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、非充分也非必要条件 4．AD -→ 下列四式中不能化简为的是（ ） A 、A B CD B C -→ -→ -→ ++（） B 、AM MB B C C D -→ -→ -→ -→ +++（）（） C 、AC AB A D CB -→ -→ -→ -→ ++-（）（） D 、OC OA CD -→ -→ -→ -+
5．） ，则（ ），（，），（设21b 42a -=-=→ → A 、共线且方向相反与→ →b a B 、共线且方向相同与→ →b a C 、不平行与→ → b a D 、是相反向量与→ → b a 6．如图1，△ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 和AB 的中点，G 是△ABC 中的重心，则下列各等式中不成立的是（ ） A 、→-→ -=BE 3 2BG B 、→-→ -=AG 2 1DG C 、→ -→--=FG 2CG D 、→ -→ -→ -=+BC 2 1FC 3 2DA 3 1 7． ）（，则锐角∥，且），（，），（设=-+=--=→→→→θθθb a 4 1 cos 1b cos 12a A 、4 π B 、 6 π C 、3 π D 、 3 6ππ或 8．） 所成的比是（ 分，则所成比为分若→ -→--CB A 3AB C A 、2 3 - B 、3 C 、3 2- D 、-2 9．） 的范围是（ 的夹角与，则若θ→ →→→
重点中学平面向量单元测试题(含答案)
平面向量单元测试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．向量a =（1，－2），向量a 与b 共线，且|b |=4|a |．则b =（ ） A ．（－4，8） B ．（－4，8）或（4，－8） C ．（4，－8） D ．（8，4）或（4，8） 2．已知a=（2，1），b =（x ，1），且a ＋b 与2a －b 平行，则x 等于（ ） A ．10 B ．－10 C ．2 D ．－2 3．已知向量a 和b 满足|a |=1，|b |=2，a ⊥（a －b ）．则a 与b 的夹角为（ ） A ．30o B ．45o C ．75o D ．135o 4．设e 1、e 2是两个不共线向量，若向量 a =3e 1＋5e 2与向量b =m e 1－3e 2共线， 则m 的值等于（ ） A ．－ 53 B ．－ 95 C ．－ 35 D ．－ 59 5．设□ABCD 的对角线交于点O ，AD → =（3，7），AB → =（－2，1），OB → =（ ） A ．（ －52 ，－3） B ．（52 ，3） C ．（1，8） D ．（1 2 ，4） 6．设a 、b 为两个非零向量，且a ·b =0，那么下列四个等式①|a |=|b |；②|a ＋b |=|a －b |； ③a ·（b ＋a ）=0；④（a ＋b ）2=a 2＋b 2．其中正确等式个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7．下列命题正确的是（ ） A ．若→ a ∥→ b ，且→ b ∥→ c ，则→ a ∥→ c B ．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 C ．向量AB 的长度与向量BA 的长度相等 D ．若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线 8．a =），（21-，b =），（1-1，c =），（2-3用a 、b 作基底可将c 表示为c =p a ＋q b ，则实数p 、q 的值为（ ） A ．p =4 q =1 B ． p =1 q =4 C ． p =0 q =4 D ． p =1 q =0 9．设平面上四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（DB → ＋DC → －2DA → ）·（AB → －AC → ）=0．则ΔABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 10．设()()2211,,,y x b y x a ==定义一种向量积()()().,,,21212211y y x x y x y x b a =?=?已知 ,0,3,21,2?? ? ??=??? ??=πn m 点()y x P ,在x y sin =的图象上运动，点Q 在()x f y =的图象上运动，且满足 ()，为坐标原点 其中O n OP m OQ +?=则()x f y =的最大值A 及最小正周期T 分别为（ ） A ．π，2 B ．， 2π4 C ．,21π4 D ．π，2 1 二、填空题：每小题5分，共25分． 11．已知()2,1,10==b a ，且b a //，则a 的坐标为_______ 12．已知向量a 、b 满足 a =b =1，b a 23-=3，则 b a +3 = 13．已知向量a =（ 2 ，－ 2 ），b =（ 3 ，1）那么（a ＋b ）·（a －b ）的值是 ． 14．若a =（2，3），b =（－4，7），a ＋c =0，则c 在b 方向上的投影为 ． 15．若对n 个向量 a 1，a 2，a 3，…，a n ，存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n ，使得k 1 a 1＋k 2a 2 ＋…＋k n a n =0成立，则称a 1，a 2，…，a n 为“线性相关”．依此规定，能使a 1=（1，0），a 2=（1， －1），a 3=（2，2）“线性相关”的实数k 1，k 2，k 3 依次可以取 ． 三、解答题 16．（本题满分13分）已知向量a =(sin 2x ，cos 2x)，b =(sin 2x ，1), )(x f )=8a ·b ． （1）求)(x f 的最小正周期、最大值和最小值． （2）函数y=)(x f 的图象能否经过平移后，得到函数y=sin4x 的图象，若能，求出平移向量m ；若不能，则说明理由．
平面向量综合测试(附答案)
高一下单元综合测试 平面向量 （满分150分，时间120分钟） 一、选择题（每小题5分，共60分） 1.下列结果是的是 A.AM－MN+MB B.AC－BF+CF C.－+ D.－+ 答案：B 2.已知a=（1，3），b=（－2，－1），则（3a+2b）·（2a+5b）等于 A.105+610－95 B.55 C.15 D.205 答案：C 3.在△ABC中，已知b=a sin C，c=a cos B，则△ABC是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 答案：D 4.下列命题中，是真命题的是 A.a=（－2，5）与b=（4，－10）方向相同 B.a=（4，10）与b=（－2，－5）方向相反 C.a=（－3，1）与b=（－2，－5）方向相反 D.a=（2，4）与b=（－3，1）的夹角为锐角 答案：B 5.设e1与e2是互相垂直的单位向量，且a=2e1+3e2，b=k e1－4e2，若a⊥b，则实数k的值为 A.－6 B.6 C.3 D.－3 答案：A 6.设|a|=1，|b|=2，且a与b的夹角为120°，则|2a+b|等于 A.2 B.4 C.2 D.3 答案：A 7.曲线x2+2y2－2mx=0按a=（－2，0）平移后，得到曲线x2+2y2=4，则m的值是 A.2 B.－2 C.4 D.－4 答案：A 8.设a=（－1，2），b=（1，－1），c=（3，－2），用a、b作基底表示为c=p a+q b，则实数p、q的值为 A.p=4，q=1 B.p=1，q=4 C.p=0，q=4 D.p=1，q=0 答案：B 9.设△ABC的重心为M，BC、CA、AB的中点是D、E、F，则+－等于
平面向量的概念线性运算基本定理及坐标表示与向量的数量积知识点与同步练习
平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示与向量的数量积 一、向量的概念 1.向量：既有大小有方向的量叫做向量. 只有大小没有方向的量称为数量. 2.几何表示: 向量可以用有向线段表示. 长度：向量AB u u u r 的大小,也就是向量AB u u u r 的长度(或称模),记做|AB|u u u r . 向量也可用字母L a b,c ,（印刷用黑体a ，手写用a r ）或用表示向量的有向线段的起点和终点表示.例如，AB u u u r ，CD uuu r . 零向量：长度为0的向量.记做0. 单位向量: 长度为1的向量. 平行向量: 方向相同或相反的向量.记作a //b . 规定: 零向量与任一向量平行. 3.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 记做a =b . 注意: 向量相等与有向线段的起点无关. 共线向量:任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫共线向量. 二、平面向量的线性运算(向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算) 1.向量加法的三角形法则 已知非零向量a 、b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC uuu r 叫 做a 和b 的和，记做a +b ，即 AB BC =+u u u r u u u r a +b 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种方法称为向量加法的三角形法则. 2.向量加法的平行四边形法则 以同一个点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作Y OACB ,则以O 为起点的对角线 OC u u u r 是a 与b 的和,即OA OB OC =+=u u u r u u u r u u u r a +b .此法叫做向量加法的平行四边形法则. 规定：对零向量与任一向量a ，00a +=+a =a 3.小结论 对任意向量a 、b ，有≤|a +b ||a |+|b |； 当a 、b 同向时，|a +b |=|a |+|b |； 当a 、b 反向是，|a +b |=|a |-|b |（或|b |-|a |） 4.向量加法交换律：a +b =b+a ；向量加法结合律：(a +b)+c =a +(b+c) 5.与a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量.规定：零向量的相反向量是零向量. 6.向量减法的几何意义：a -b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 7.向量的数乘：一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： (1) ||||||λλ=a a ；
平面向量基本定理03913
2.3.1平面向量基本定理 学习目标： 1. 了解基底的含义，理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量. 2. 掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义. 3. 两个向量的夹角与两条直线所成的角. 学习重点：平面向量基本定理 学习难点：两个向量的夹角与两条直线所成的角. 课上导学： ［基础初探］ 教材整理1平面向量基本定理 阅读教材P93至P94第六行以上内容，完成下列问题. 1. ____________ 定理：如果e i, e是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的____________ 向量a, ______________ 实数入，入2，使a= _________________________ 2. ____________ 基底：___________________________ 的向量e1, e2叫做表示这一平面内______________________________ 向量的一
组基底. 判断(正确的打“，错误的打“X” ) (1) 一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所 有向量的基底.() (2) 若e i, e是同一平面内两个不共线向量，则入& + 说 k, 入2为实数)可以表示该平面内所有向量.() (3) 若ae i + be2=ce i + de2(a, b, c, d€ R)，则a = c, b = d.( ) 教材整理2两向量的夹角与垂直 阅读教材P94第六行以下至例1内容，完成下列问题. 1. __________________ 夹角：已知两个_________________ a 和b,作OA= a, OB= b,则__ = B叫做向量a与b的夹角.
高一数学平面向量单元测试
必修4第二章《平面向量》单元测试 姓名 班级 一、选择题(每小题5分,共50分) 1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若e e 则213,5=== A ． )35(2 1 21e e + B ． )35(2121e e - C ．)53(2 1 12e e - D ．)35(2 1 12e e -（ ） 2．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①= ②||||BC AB = ③||||+=- ④||4||||22=+ 2 其中正确的个数为 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（ ） A ．c b a =+ B ．d b a =- C ．d a b =- D ．b a c =- 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ） A ．||||||b a b a -=- B ．||||b a b a -=+ C ．||||||-=+ D ．||||||+=+ 5．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为 （ ） A ．（1，5）或（5，－5） B ．（1，5）或（－3，－5） C ．（5，－5）或（－3，－5） D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5） 6．与向量)5,12(=平行的单位向量为 （ ） A ．)5,13 12 ( B ．)135,1312(-- C ．)135,1312( 或 )135,1312(-- D ．)13 5,1312(±± 7．若32041||-=-，5||,4||==，则b a 与的数量积为 （ ） A ．103 B ．－103 C ．102 D ．10 8．若将向量)1,2(=a 围绕原点按逆时针旋转 4 π 得到向量,则的坐标为 ( ）
必修四平面向量基本定理
平面向量基本定理 [学习目标] 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 知识点一 平面向量基本定理 (1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 思考 如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG → ， a . 答案 通过观察，可得： AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF → ＝4e 1－4e 2， GH → ＝－2e 1＋5e 2，HG → ＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1. 知识点二 两向量的夹角与垂直 (1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，如图，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a 与b 的夹角． ①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向． (2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a⊥b .
思考 在等边三角形ABC 中，试写出下面向量的夹角． ①AB →、AC →；②AB →、CA →；③BA →、CA →；④AB →、BA →. 答案 ①AB →与AC → 的夹角为60°； ②AB →与CA → 的夹角为120°； ③BA →与CA → 的夹角为60°； ④AB →与BA → 的夹角为180°. 题型一 对向量的基底认识 例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________． ①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝ λ(λ2e 1＋μ2e 2)； ④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. 答案 ②③ 解析 由平面向量基本定理可知，①④是正确的． 对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的． 对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个． 跟踪训练1 设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)
必修四 平面向量 综合测试题
平面向量 综合测试题 一、选择题 1.已知ABC ?的边BC 的垂直平分线交BC 于Q ，交AC 于P ，若1=AB ，2=AC ，则BC AP ?的值为（ ） A. 3 B.23 C.3D.23 2．已知向量a ＝(1,0)与向量b ＝(－1，3)，则向量a 与b 的夹角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 3. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB →＋PC →＝0 4．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若ma ＋nb 与a －2b 共线，则m n ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12D.12 5．在ABC ?中， D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，向量AB AC +与向量AD 共线，若10AC =， 2BC =， 0GA GB GC ++=，则 AB CG =（ ） A. 3 B. 5 C. 2 D. 10 2 6．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152 C ．－322D ．－3152 7. 已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是() A ．[0，π6] B ．[π3，π] C ．[π3，2π3] D ．[π6，π] 8. 已知向量a ，b 满足|a |＝1，(a ＋b )·(a －2b )＝0，则|b |的取值范围为( ) A ．[1,2] B ．[2,4]C.??????2141， D.?? ????121， 9. 已知在ABC ?中， O 是ABC ?的垂心，点P 满足： 113222 OP OA OB OC =++，则ABP ?的面积与ABC ?的面积之比是（ ） A. 23 B. 34 C. 35 D. 12
专题 平面向量基本定理 课后练习
平面向量基本定理课后练习 题一：已知12e e 、 是同一平面内的两个不共线向量，12=a e e +，12=3b e e -， 12=5c e e +，试用向量a ，b 表示c . 题二：已知向量12=2a e e -3 ，12=2b e e +3 ，其中12e e 、 不共线，向量12=2c e e -9 ， 问是否存在这样的实数λμ、，使向量=d a b λμ +与c 共线？ 题三：如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点（靠近点B ），那么 EF → 等于（ ） A. 12AB → － 13AD → B. 14AB → ＋ 12AD → C. 13AB → ＋ 12DA → D. 12AB → － 23 AD → 题四：如图所示，在平行四边形OADB 中，向量OA → ＝a ，OB → ＝b ，两条对角线交点为C ，又BM → ＝ 23BC →，CN → ＝ 23 CD →，试用a 、b 表示 MN →. 题五：在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD → ＝2DB →，CD → ＝ 13 CA →＋λCB →， 则λ＝________. 题六：设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点, AB AD 2 1=，BC BE 32=,若12=+uu u r uu u r uu u r DE AB AC λλ (1λ，2λ为实数),则12λλ+的值为 .
平面向量基本定理 课后练习参考答案 题一： =2c a b + . 详解：因为a ，b 不共线，所以可设=c a b λμ+ ， 则121212()(3)(3)()a b e e e e e e λμλμλμλμ+=++=++- -. 又12e e 、 不共线，所以351,,λμλμ+=??-=?解得21,, λμ=??=? 所以=2c a b + . 题二： 2λμ=-. 详解：∵121212=(2)(2)(22)(33)d e e e e e e λμλμλμ+= -3+3＋＋－＋， 要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d kc = ， 即1212(22)(33)29e e ke ke λμλμ= ＋＋－＋－ 即222339k k λμλμ=??=-?＋－＋，得2λμ=-. 故存在这样的实数λμ、，只要2λμ=-，就能使d 与c 共线． 题三： D 详解：在△CEF 中，有EF → ＝EC →＋CF →. ∵点E 为DC 的中点，∴ EC → ＝ 12 DC →. ∵点F 为BC 的一个三等分点，∴ CF → ＝ 23 CB →. ∴EF → ＝ 12DC →＋23CB → ＝ 12AB →＋23DA → ＝ 12AB → － 23 AD →，故选D. 题四： 12a ＋16 b . 详解：∵ MN → ＝MC →＋CN →，而BM → ＝ 23BC →，CN → ＝ 23 CD →， ∴ MN → ＝ 16BA →＋13OD → ＝ 16(OA →－OB →)＋13(OA →＋OB →) ＝ 12OA →＋16OB → ＝ 12a ＋16 b . 题五： 23 详解：由图知CD → ＝ CA →＋AD →……① CD → ＝ CB →＋BD →……② 且AD →＋2BD → ＝ 0→. ∴ ①＋②×2得：3CD → ＝ CA →＋2CB →， ∴ CD → ＝ 13CA →＋23CB →，∴λ ＝ 23 . 题六： 12
平面向量的基本定理
平面向量的基本定理 各位老师大家好，今天，我说课的内容是：人教B版必修4第二章第二节《平面向量的基本定理》第一课时，我将从教材分析、学生分析、教学方法和手段、教学过程以及教学评价五个方面进行分析 一、说教材 1.关于教材内容的分析 （1）平面向量基本是共线向量基本定理的一个推广，将来还可以推广到空间向量，得到空间向量基本定理，这三个定理可以看成是在一定范围内向量分解的唯一性定理。所以它是进一步研究向量问题的基础；是解决向量或利用向量解决问题的基本手段。 （2）平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进行向量运算的基本工具，它、也为平面向量坐标表示的学习打下基础。 （3）平面向量基本定理蕴涵了一种十分重要的数学思想——转化思想，因此，有着十分广阔的应用空间。 2.关于教学目标的确定 根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以下三个方面来确定本节课的教学目标。 1、①了解平面向量基本定理及其意义,会做出由一组基地所表示的向量
②会把任意向量表示为一组基地的线性组合。掌握线段中点的向量表达式 2、通过对平面向量基本定理的归纳，抽象、概况，体验定理的产生和形成过程，提高学生抽象的能力和概括的能力 3、通过对定理的应用增强向量的应用意识，进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具。 3.重点和难点的分析 掌握了平面向量基本定理，可以使向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题就转化为学生熟知的数量运算，这也是中学数学课中学习向量的目的之一，所以我认为对平面向量基本定理的应用是本节课的重点。另外对向量基本定理的理解这一点对于初学者来说有一定难度，所以是本节的难点。突破难点的关键是在充分理解向量的平行四边形法则的和向量共线的充要条件下多方位多角度的设计有关训练题从而加深对定理的理解。 二、说教学方法与教学手段 结合新课标“以学生为本”的课堂教学原则和实际情况，确定新课教学模式为：质疑—合作—探究式。 此模式的流程为激发兴趣--发现问题，提出问题--自主探究，解决问题--自主练习， 采用多媒体辅助教学，增强数学的直观性，实物投影的使用激发学生的求知欲。