-(n-N)2
<2nN 个, 满足条件|i-j|≥N 的有(n-N)2这时有
21n D (∑∑=n
i i 1
ξ)≤21n [∑<-<≤N
j i n j i ||,j i |) , cov( |ξξξ +
∑≥-<≤N
j i n
j i ||,j
i
|) , cov( |ξ
ξξ] ≤21n
[2nNe+(n-N)2
2
ε] =
2
)
(22ε
n N n n Ne -+≤ε
由ε的任意性即知21
n D (∑∑=n
i i 1
ξ)→0,n →∞,由4.23题知{ξ}服从大数定律,结论得证。
4.26 在贝努里试验中,事件A 出现的概率为P ,令
?
?
?+,其他出现
次试验中次及第若在第01,1A n n 证明{ξn }服从大数定律。 证:{ξ
n }为同分布随机变量序列,且E ξ
n = E 2
n ξ=p 2
,因而D ξ
n = p 2(1- p 2
)≤1,又当|i-j|
≥2时,i ξ与j ξ独立,由4。2题知{ξ
n
}服从大数定律,结论得证。
4.27 设在n 次贝努里试验中事件A 出现的次数为ξn
(在每次试验中事件A 出现的概率
为p ),令n η =2
n )]1([p np np
--ξ 证明当a>
2
1
时{ξn }服从大数定律。 证:因为E ξn =np ,故E n η=0,又当a>1/2时,对任意的n 有
1
21-n n
≤1,于是
D n η=
E n η=
12)]1([1--a p np ≤1
2)]
1([1
--a p p =C 又cov(n η,k n +η)=
a
a a k n n p p p np )()]1([)
1(2+--
≤???
????
>>?-≥?--)211(1)]1([1)
1(1)]1([11
222a k p p a k p p a a a a →0,k →∞
关于n 一致,于是由4。25题知{ξn
}服从大数定律,结论得证。
4.28 设{ξ
n
}为独立同分布的随机变量序列,方差存在,又
∑∞
=1
n n
a
为绝对收敛级数,令
∑=n
i i n 1
ξη,则{n n a η}服从大数定律。
证:不妨设E ξ
n
=0,否则令
`n ξ= n ξ-E ξ
n
并讨论{`
n ξ}即可。记E 2
n ξ=2
σ,又
c=
∞<∑∞
=1
||n n
a
。因为∑∑∞
===1
1
n n
i i n n a a η,
()()1
∑∑∑====n
k
i i n k k i
i
k k a ξξ,故有 ∑∑∑===n n k n
k
i i k i i a E n a D n 3122)]([1
)(1ξη =∑∑==n k n
k
i i a n 12
22
)(σ≤∞→→n n c ,02
2σ 由4。23题知{a n n η}服从大数定律,结论得证。
4.29 设{}n ξ为独立同分布随机变量序列,方差存在,若1
n
n i
i ηξ
==
∑,又n a 为一列常数。
如果存在常数c>0,使对一切n 有2
2211
||n
n n
i k i k k c a n ===??≤ ???∑∑∑,则{}n n a η服从大数定律。
证:如同4.28题,不妨设0n E ξ=,记22n E ξδ=,对任意的n k ≥,有
||1(1)n
n i
i k
i k c c
a n k n n ==≤=-+∑∑,因而 2
222
22
11(1)(21)||(1)6n
n
n i k i k k c c n n n a n k n n ===++??≤-+= ???
∑∑∑ 如同4.28题之证明有
2
22222111(1)(21)()||0,6n
n n i i i i k i k c n n D a a n n n n δδδη===++??≤≤→→∞ ???
∑∑∑
成立,由4.23题知服从大数定律,结论得证。 4.30 设{n ξ}为独立同分布随即变量序列,共同分布为
P (n ξ=22k
k
)=,...2,1,21=k k
试问{n ξ}是否服从大数定理?
答:因为E n ξ存在,由辛钦大数定理知{n ξ}服从大数定理。
4.31 设{n ξ}为独立同分布随即变量序列,共同分布为P(k =n ξ)=
k
k c
2
2log ?,k=2,3,… 其中c =(
∑∞
=?22
2log 1k k
k )1
-,问{n ξ}是否服从大数定理? 答:因为E n ξ存在,由辛钦大数定理知{n ξ}服从大数定理。
4.32 如果要估计抛一枚图钉时尖头朝上的概率,为了有95%以上的把握保证所观察到的频率与概率p 的差小于p/10,向至少应该作多少次实验? 解:令
n ξ=??
?,其他
上次试验时图钉的尖头朝第0n ,1 据题意选取试验n 应满足p (
n n
n
i -∑==1
i
ξ
<
10
p
)95.0≥,因为n 比较大,由中心极限定理有 P (
n n
n
i -∑==1
i
ξ
<10
p
)=p (
npq
p n
i ∑==-1
i
)
(ξ<
q
np
101)
2
101101221x q np q
np e --?
≈
π
dx 95.0≥
故应取
q
np
101=2,及n =400×p q ,但图钉底部重,尖头轻,由直观判断有p 21≥,因而
1≤p
q
,故可取n =400。
4.33一本书共有一百万个印刷符号,排版每个符号被排错的概率为0.0001,校对时每个排版错误被改正的概率为0.9,求在校对后错误不多于15个的概率。 解:令
=i ξ??
?,其他
对后仍错误个印刷符号被排错且校
第0i ,1 因为排版与校对是两个独立的工序,因而 p =P (1i =ξ)=0.0001×0.1=10
5
-,P (0i =ξ)=q =1-p
{i ξ}是独立同分布随即变量序列,E i ξ=p ,令∑n
1
i i
n ==
ξ
η,其中n =106
,由中心极限定理
有 P (n η15≤)=P (
npq
np
n -ηb npq
np 15=-≤
)
?∞
≈
b
2
x 2
e 21
--π
dx
其中b 10
5≈
58.1≈,查N(0,1)分布表即可得P(15n ≤η)94.0≈,即在校对后错误不多于
15个的概率。
4.34 在一家保险公司里有10000个人参加保险,每个每年付12元保险费,在一年内一个人死亡的概率为0.0006,死亡时其家属可向保险公司领得1000元,问: (1)保险公司亏本的概率多大?
(2)保险公司一年的利润不少于40000元,60000,80000的概率各为多大? 解:保险公司一年总收入为120000元,这时 (1) 若一年中死亡人数>120,则公司亏本,
(2) 若一年中死亡人数80≤,则利润元40000
≥ 若一年中死亡人数60≤,则利润元60000≥, 若一年中死亡人数40≤,则利润元80000
≥, 令
??
?个人在一年内活着,
,第个人在一年内死亡
,第=i 0i 1i ξ
则P (i ξ=1)=0.006=p ,记∑n
1
i i
n ==ξ
η,n =104
已足够大,于是由中心极限定理可得欲
求事件的概率为
(1) P (n η>120)=1-P(
b npq
np
npq
np =-≤
-120n η)
dx e
b
x ?
∞
---≈2
2211π
0≈ ??? ?
?
≈723.760b 其中
同理可求得
(2)P (n η≤80)≈0.995 (对应的b ≈2.59),
P (n η≤60)≈
2
1
(对应的b =0), P (n η≤40)≈0.005 (对应的b ≈-2.59)。
4.35有一批种子,其中良种占1/6,从中任取6000粒,问能以0.99的概率保证其中良种的比例与1/6相差多少? 解:
令ξi =???粒不是良种,
,第粒为良种,,第i i 01则P (ξi =1)=1/6,记p=1/6,∑==n
i i i 1ξη,其中年,据题意即要
求α使满足99.0)|61(|
≥≤-
αηn
P n
。令q=1-p,b=npq
n α
因为n 很大,由中心极限定理有=≤-
)|61
(|
αηn
P n
99.021)(|2
2
≥≈≤-≤-?
--
dx e
b npq
np b P b
b
x n
π
η。由N (0,1)分布表
知当b=2.60时即能满足上面不等式,于是知410*25.1-≈=
npq n
b
α,即能以0.99的概率保证良种的比例与1/6相差不超过4
10*25.1-。
4.36若某产品的不合格率为0.005,任取100000件,问不合格品不多于70件的概率等于多少? 解: 令??
?=,0,,1件为合格品
,第件为不合格品第i i i ξ
则∑===
-====n
i i n i n p q P p 1
,10000,,1,005.0)1(其中记ξηξ
记npq
np b -=
70,由中心极限定理有
998.021)(
)70(2
2
≈≈
≤-=≤?∞
--
dx e
b npq
np
P P b
x n n π
ηη。
即不合格品不多于70件的概率约等于0.998。 4.37某螺丝厂的不合格品率是0.01,问一盒中应装多少只螺丝钉才能使其中包含有100只合格品的概率不小于0.95?
解: 令??
?=只是不合格品
第只是合格品第i i i ,0,1ξ,
则,,100,1,99.0)1(1
∑==-=
-====n
i i n i npq
np b p q P p ξηξ记其中n 尚待确定,它应满足
05.021)(
)100(2
2≤≈
<-=
∞
--
dx e
b npq
np
P P b
x n n π
ηη,查N(0,1)分布表可取b=-1.65,由
此求得n=103,即在一盒中装103螺丝钉时能使其中含有100只合格品的概率不少于0.95。 4.38 某灯泡厂生产的灯泡的平均寿命原为2000小时,标准差为250小时,经过革新采用新工艺使平均寿命提高到2250小时,标准i 差不变。为了确认这一改革的成果,上级技术部门派人前来检查,办法如下:任意挑选若干只灯泡,如果这些灯泡的平均寿命超过2200小时,就正式承认改革有效,批准采用新工艺。若欲使检查能通过的概率超过0.997。问至少应检查多少只灯泡?
解:设第i 只灯泡的寿命为i ξ,则{i ξ}独立分布,且i E ξ=2250,2(250)i D ξ=,记
1
n
n i i ηξ==∑,据题意为要求确定n 使满足P (12200n n
η>)>0.997,记=250σ,
b=
,则由中心极限定理有P (
1
2200n n
η>)
b >)
≈2
2
b
e
dx π∞
-
?
>0.997
查N (0,1)分布表知 2.75b ≤-,由此得189n ≥,故至少应检查189只灯泡,这时检查通过的概率超过0.997。
4.39 用特征函数的方法证明“二项分布收敛于普哇松分布”的普瓦松定理。 证 :设()
1n
?
?n
ξ≤≤独立同二项分布,即()()
1,01,1n n
?n ?n n P ξp P ξq p ?n =====-≤≤
n ?
ξ的特征函数为()it
n n q p e +,记1
n
n n ?i ηξ==∑,n η的特征函数记作()n ψt ,因为np λ→,
故11,1n n λλp Οq Οn n n n ????
=
+=-+ ? ?????
,于是有()()it n n n n ψt q p e =+= ()()()
.1
1111111it it
n
n
λe λe it it
λλe Ολe Οn n
n n n --????????-++=+-+ ? ? ????????
???(
)1
,it λe e
n -→→∞
而(
)1
it λe e
-是参数为λ的普哇松分布的特征函数,由特征函数的逆极限定理即知定理成立,证
毕。
4.40 设随机变量αξ服从Γ-分布,其分布密度为
()()()1,00,00,0ααβx
αβx e x Γαp x αβx --?>?
=>>??≤?
证:当α→∞
的分布函数弱收敛于N (0,1)分布。
证:αξ的特征函数为()1α
αit φt β-??=- ???
的特征函数为
(
)ln 11,α
a αδt e e
-?
- -?
?== ?
而2221ln 12t Оa ?
=+ ?, 因而有
2222ln 1ln 1.,22t t a a Оa ????
--==-++→-→∞ ?? 故()2
2
lim t αa δt e
-→∞
=,所以相应的分布函数若收敛于N (0,1)分布,命题得证。
4.41设
为独立随机变量序列,且n ξ服从(-n ,n )上的均匀分布,证明对
成立的
中心极限定理。
证:易知
E n ξ=0,D n ξ=E
2
n
ξ=22
n
n 2n 3
x n dx -=?,于是,2
2
1
11
D (1)(21)3
18n
n n k k k k B n n n ξ=====++∑∑,故32
3n n B >,对任意的0τ>,存在N ,使当n N ≥
1τ>,
τ>n ,从而当n N ≥,2||()0n k x B x dF x τ>=?,若k n ≤,
由此知
22||01
1lim ()0n n
k x B n k n x dF x B τ>→==∑?即林德贝尔格条件满足,
所以对成立的中心极限定
理,结论得证。 4.42 设
{}n
ξ,{}n
η皆为独立同分布随机变量序列,且{}n
ξ与{}n
η相互独立,其中
n E ξ=0, n D ξ=1; 1(1)2n P η=±=,n=1,2,…,
证明:1
n
n i
i
i s ξη
==得分布函数
弱收敛与正态分布N (0,1)。 证明:这时
{}n
n
ξη仍是独立同分布序列,易知有E n
n
ξη
=0,D (
n
n
ξη
)=
E 2
)(n n ξη=21n
E ξ=
,由林德贝尔格-勒维中心极限定理知1
n
n i i
i s ξη==得分布函数弱收敛于N (0,1),结论得证。 4.43 设{n ξ}为独立同(0,
)上均匀分布的随机变量序列,又n n n A ξηcos ?=,其中
0>n A ,且()∞→→∑∑==n A A n
k k n
k k 0)/(2/31
2
1
,则对{n η}成立中心极限定理。
证:易知0cos 1
==?
xdx A E n
n π
π
η,
2
c o s 1
22
22
n
n
n
n A x d x A E D ===?
π
πηη 这时,
,2112
1
2
∑∑====n k k n
k k n
A D
B η当δ=1时
3
3
3
3
3
234c o s c o s k k k k
k
A dx x A E A E π
π
ξηπ
δ
=
=
=?
+ 2
/3123
221?
?
? ??==∑=+n k k n n
A B B δ
这时有
∞
→→???? ???=
∑∑∑==+=+n A A E B
n k k n k k n
k k
n
k
,034)21(11
121
2
/322123πη
δδ
由李雅普诺夫中心极限定理知对{n η}成立中心极限定理,命题得证。 4.44 设()F x 是一个分布函数,存在密度函数p(x),且
()0xp x dx ∞
-∞
=?
, 2()1x p x dx ∞
-∞
=?
若独立随机变量ξ与η的分布函数都是()F x
)ξ+η的分布函数也是()F x ,证明
()F x 必是(0 ,1)分布。
证:设
{}n ξ
,
{}n η为独立同分布随机变量序列,共同分布为()F x ,
又
2
1
2
1()1
,2
n t k k n k k k n E P n P x e
dt n B ξξξ-
=-∞
=??
- ??? ?<=<→
=
→∞ ? ???
???
∑∑与{}n η独立,令n n n ζξη=+,则{}n ζ仍是独立同分布随机变量序列,且{}0n E ζ=,{}1n D ζ=,由
林德贝尔格-勒维中心极限定理知对{}n ζ成立中心极限定理,因而当n →∞时,
21
21
n
i
i n
B ζ
=∑按分布收敛于(0,1)N 分布,其中22121
2n
n n
i i B
D ζ+===∑,故(1)
2
22
n n B +=。另一方面,由题
n 的分布函数仍为()F x
12121)()2ζζ=+的分布函
数也为()F x ,由归纳法可证
2(1)
21
12
n
i
n i ζ
+=∑的分布函数为()F x ,由前述已知
2(1)
21
12
n
i
n i ζ
+=∑按
分布收敛于(0,1)N 分布,即有()(0,1)w
F x N ??→分布,但()F x 与n 无关,所以()F x 必为(0,1)N 分布,命题得证。 4.45 利用中心极限定理证明:
01
!2k n n k n e k -=??→ ?
??
∑,n →∞。
证:设{}n ξ是独立同分布随即变量序列,共同分布为1λ=的Poisson 分布,故
1n n E D ξξ==,21
n
n
k k B D n ξ===∑
,由林德贝尔格-勒维中心极限定理知
20
1
2
1()12
n t k k n k k k n
E P n P x e
dt B ξξξ-
=-∞
=??
- ??? ?<=<→
=
? ??? ???
∑∑,n →∞
由普哇松分布的可知性知
1
n
k
k ξ
=∑是参数为n 的普哇松分布,因而
概率论第一章课后习题答案
《概率论与数理统计》课后习题解答 习题一 3.设A ,B ,C 表示三个事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列各事件: (1)A 发生,B 与C 不发生; (2)A 与B 都发生,而C 不发生; (3)A ,B ,C 都发生; (4)A ,B ,C 都不发生; (5)A ,B ,C 中至少有一个发生; (6)A ,B ,C 中恰有一个发生; (7)A ,B ,C 中至少有两个发生; (8)A ,B ,C 中最多有一个发生. 解:(1)C B A ; (2)C AB ; (3)ABC ; (4)C B A ; (5)C B A ; (6)C B A C B A C B A ++; (7)BC AC AB ; (8)BC AC AB 或C B C A B A . 5.在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任选3人记录其纪念章的号码. (1)求最小的号码为5的概率; (2)求最大的号码为5的概率. 解:设事件A 表示“最小的号码为5”,事件B 表示“最大的号码为5”,由概率的古典定义得 (1)12 1)(31025==C C A P ; (2)20 1)(31024==C C B P . 6.一批产品共有200件,其中有6件废品,求: (1)任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2)任取3件产品没有废品的概率; (3)任取3件产品中废品不少于2件的概率. 解:设事件i A 表示“取出的3件产品中恰有i 件废品”)3,2,1,0(=i ,由概率的古典定义得
(1)0855.0)(3200 2194161≈=C C C A P ; (2)9122.0)(3200 31940≈=C C A P ; (3)0023.0)(3200 3611942632≈+=+C C C C A A P . 8.从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字,求下列事件的概率: A 表示“这三个数字中不含0和5” ; B 表示“这三个数字中包含0或5” ; C 表示“这三个数字中含0但不含5”. 解:由概率的古典定义得 157)(31038==C C A P ;158)(1)(=-=A P B P ;30 7)(31028==C C C P 9.已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)(=A B P ,求)(AB P 和)(B A P . 解:4.08.05.0)|()()(=?==A B P A P AB P )]()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=-== 3.0) 4.06.0 5.0(1=-+-= 10.已知4.0)(=B P ,6.0)(=B A P ,求)(B A P . 解:314.014.06.0)(1)()() ()()(=--=--==B P B P B A P B P B A P B A P 11.某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为9.0,能正常使用15年的概率为3.0,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少? 解:设事件B A ,分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”,依题可知 3.0)()(,9.0)(===B P AB P A P ,则所求的概率为 3 19.03.0)()()|(===A P AB P A B P 12.某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨最后一个号码.
概率论与数理统计第三章课后习题答案
习题三 1.将一硬币抛掷三次,以X 表示在三次中出现正面的次数,以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X 表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为 F (x ,y )=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量(X ,Y )在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+
ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明:也可先求出密度函数,再求概率。 4.设随机变量(X,Y)的分布密度 f(x,y)= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求:(1)常数A; (2)随机变量(X,Y)的分布函数; (3)P{0≤X<1,0≤Y<2}. 【解】(1)由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 (2)由定义,有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k (1)确定常数k; (2)求P{X<1,Y<3}; (3)求P{X<1.5}; (4)求P{X+Y≤4}. 【解】(1)由性质有
李贤平 《概率论与数理统计 第一章》答案
第1章 事件与概率 2、若A ,B ,C 是随机事件,说明下列关系式的概率意义:(1)A ABC =;(2)A C B A =Y Y ; (3)C AB ?;(4)BC A ?. 3、试把n A A A Y ΛY Y 21表示成n 个两两互不相容事件的和. 6、若A ,B ,C ,D 是四个事件,试用这四个事件表示下列各事件:(1)这四个事件至少发生一个;(2)这四个事件恰好发生两个;(3)A ,B 都发生而C ,D 都不发生;(4)这四个事件都不发生;(5)这四个事件中至多发生一个。 8、证明下列等式:(1)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ; (2)0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C Λ; (3)∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C 0. 9、袋中有白球5只,黑球6只,陆续取出三球,求顺序为黑白黑的概率。 10、一部五本头的文集,按任意次序放书架上去,试求下列概率:(1)第一卷出现在旁边; (2)第一卷及第五卷出现在旁边;(3)第一卷或第五卷出现在旁边;(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边;(5)第三卷正好在正中。 11、把戏,2,3,4,5诸数各写在一小纸片上,任取其三而排成自左向右的次序,求所得数是偶数的概率。 12、在一个装有n 只白球,n 只黑球,n 只红球的袋中,任取m 只球,求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。 13、甲袋中有3只白球,7办红球,15只黑球,乙袋中有10只白球,6只红球,9只黑球。现从两袋中各取一球,求两球颜色相同的概率。 14、由盛有号码Λ,2,1,N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球,依次记下其号码,试求这些号码按严格上升次序排列的概率。
上海工程技术大学概率论第一章答案
习题一 2.设A ,B 为随机事件,且P (A )=0.7,P (A -B )=0.3,求P ( AB 解: P (AB ) =1-P (AB )=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6。 3. 设A ,B ,C 为三事件,且P (A )=P (B )=1/4,P (C )=1/3且P (AB )=P (BC )=0, P (AC )=1/12,求A ,B ,C 至少有一事件发生的概率。 解:因为 A B C A B ?,所以0()()P ABC P AB ≤≤,又 P (AB )=0,则()0P ABC =, P (A ∪B ∪C ) =P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ) =14+14+13-112=34 。 4.将3个不同的球随机地放入4个杯子中去,求所有杯中球的最大个数分别为1,2,3的概率。 解:设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3。 将3个球随机放入4个杯子中,全部可能放法有43种,杯中球的最大个数为1时,每个杯中最多放一球,故 34 13C 3!3()84 P A == 而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中,故1433C 1()164 P A ==,因此 213319()1()()181616 P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()164P A ==. 6.从1,2,3,4,5,6,7,8,9,0这10个数字中任取五个数按先后顺序组成多位数,求下列事件的概率:(1) 这五个数字组成一个五位偶数;(2) 2和3都被抽到且靠在一起. 解(1)5105987648764190 P A ????-???==. (2)145102!876445 C P A ????==. 7.对一个五人学习小组考虑生日问题: (1) 求五个人的生日都在星期日的概率;(2) 求五个人的生日都不在星期日的概率; (3) 求五个人的生日不都在星期日的概率. 解:基本事件总数为57, (1)设A 1={五个人的生日都在星期日},所求事件包含基本事件的个数为1个,故 P (A 1)=517=51()7 ;
概率论第一章习题解答
00第一章 随机事件与概率 I 教学基本要求 1、了解随机现象与随机试验,了解样本空间的概念,理解随机事件的概念,掌握事件之间的关系与运算; 2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义,会计算简单的古典概率和几何概率,理解概率的基本性质; 3、了解条件概率,理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式,会用它们解决较简单的问题; 4、理解事件的独立性概念. II 习题解答 A 组 1、写出下列随机试验的样本空间 (1) 抛掷两颗骰子,观察两次点数之和; (2) 连续抛掷一枚硬币,直至出现正面为止; (3) 某路口一天通过的机动车车辆数; (4) 某城市一天的用电量. 解:(1) {2,3, ,12}Ω=; (2) 记抛掷出现反面为“0”,出现正面为“1”,则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=; (3) {0,1,2, }Ω=; (4) {|0}t t Ω=≥. 2、设A 、B 、C 为三个事件,试表示下列事件: (1) A 、B 、C 都发生或都不发生; (2) A 、B 、C 中至少有一个发生; (3) A 、B 、C 中不多于两个发生. 解:(1) ()()ABC ABC ; (2) A B C ; (3) ABC 或A B C . 3、在一次射击中,记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”,写出下列事件:(1) AB ;(2) A B ;(3) ()A B C ;(4) ABC . 解:(1) AB 为“命中5环”; (2) A B 为“命中0至1环或3至10环”;
(3) ()A B C 为“命中0至2环或5至10环”; (4) ABC 为“命中2至4环”. 4、任取两正整数,求它们的和为偶数的概率? 解:记取出偶数为“0”,取出奇数为“1”,则其出现的可能性相同,于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”,则 {(0,0),(1,1)}A =,从而1 ()2 p A = . 5、从一副52张的扑克中任取4张,求下列事件的概率: (1) 全是黑桃;(2) 同花;(3) 没有两张同一花色;(4) 同色? 解:从52张扑克中任取4张,有4 52C 种等可能取法. (1) 设A 为“全是黑桃”,则A 有413 C 种取法,于是413 452 ()C p A C =; (2) 设B 为“同花”,则B 有413 4C 种取法,于是413 452 4()C p B C =; (3) 设C 为“没有两张同一花色”,则C 有4 13种取法,于是4 452 13()p C C =; (4) 设D 为“同色”,则D 有426 2C 种取法,于是426 452 2()C p D C =. 6、把12枚硬币任意投入三个盒中,求第一只盒子中没有硬币的概率? 解:把12枚硬币任意投入三个盒中,有12 3种等可能结果,记A 为“第一个盒中没有硬币”,则A 有12 2种结果,于是12 2()()3 p A =. 7、甲袋中有5个白球和3个黑球,乙袋中有4个白球和6个黑球,从两个袋中各任取一球,求取到的两个球同色的概率? 解:从两个袋中各任取一球,有11 810C C ?种等可能取法,记A 为“取到的两个球同色”,则A 有1 111 5 4 3 6C C C C ?+?种取法,于是 1111543611 81019 ()40 C C C C p A C C ?+?==?. 8、把10本书任意放在书架上,求其中指定的三本书放在一起的概率? 解:把10本书任意放在书架上,有10!种等可能放法,记A 为“指定的三本书放在一起”,则A 有3!8!?种放法,于是3!8!1 ()10!15 p A ?= =. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯,假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始),求5个人在不同楼层走出的概率?
概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案 1.写出下列随机试验的样本空间. (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分); (2)一个口袋中有5个外形相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取 出3个球; (3)某人射击一个目标,若击中目标,射击就停止,记录射击的次数; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标. 解:(1)}100,,2,1{ =Ω; (2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω; (3)},2,1{ =Ω; (4)}|),{(22y x y x +=Ω. 2.在}10,,2,1{ =Ω,}432{,,=A ,}5,4,3{=B ,}7,6,5{=C ,具体写出下列各式:(1)B A ;(2)B A ;(3)B A ;(4)BC A ;(5)C B A . 解:(1),9,10}{1,5,6,7,8=A , }5{=B A ;(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ; (3)法1:}10,9,8,7,6,2,1{=B , }10,9,8,7,6,1{=B A , }5,4,3,2{=B A ; 法2:}5,4,3,2{===B A B A B A ; (4)}5{=BC , }10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC , }4,3,2{=BC A , }10,9,8,7,6,5,1{=BC A ;
(5)}7,6,5,4,3,2{=C B A , {1,8,9,10}=C B A . 3.设}20|{≤≤=Ωx x ,}121| {≤<=x x A ,}2 341|{≤≤=x x B ,具体写出下列各式:(1)B A ;(2)B A ;(3)AB ;(4)B A . 解:(1)B B A = , }22 3,410|{≤<<≤==x x x B B A ;(2)=B A ?; (3)A AB =, }21,10|{≤<≤ ≤==x x x A AB ;(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A .4.化简下列各式:(1)))((B A B A ;(2)))((C B B A ;(3)))((B A B A B A .解:(1)A B B A B A B A ==)())(( ; (2)AC B C A B C B B A ==)())((;(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(.5.A ,B ,C 表示3个事件,用文字解释下列事件的概率意义:(1)C B A C A C B A ;(2)BC AC AB ;(3)(C B A ;(4)BC AC AB . 解:(1)A ,B ,C 恰有一个发生; (2)A ,B ,C 中至少有一个发生; (3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生; (4)A ,B ,C 中不多于一个发生. 6.对于任意事件A ,B ,证明:Ω=-A B A AB )(.
概率论习题第三章答案
第三章连续型随机变量 3、1设随机变量 ξ 的分布函数为F(x),试以F(x)表示下列概率: 。 )()4();()3();()2();()1(a P a P a P a P >≥≤=ξξξξ 。 )(解:)0(1)()4(); (1)()3(); 0()(P 2); ()0()()1(+-=>-=≥+=≤-+==a F a P a F a P a F a a F a F a P ξξξξ 3、2函数x 211 F(x)+=就是否可以作为某一随机变量的分布函数,如果 在其它场合恰当定义。 在其它场合恰当定义;)(,0)3(,0)2(1<<∞-∞<<∞ <<∞-x x x 解:(1)F(x)在),(∞-∞内不单调,因而不可能就是随机变量的分布函数; (2)F(x)在)0∞,(内单调下降,因而也不可能就是随机变量的分布函数; (3)F(x)在) ,(-0∞内单调上升、连续且,若定义 ???≥<<∞=01 0)()(~x x X F x F - 则)(~ x F 可以就是某一随机变量的分布函数。 3、3函数 sinx 就是不就是某个随机变量ξ的分布函数?如果ξ的取值范围为 []。,);(,);(,)(?? ??????????πππ230302201 解:(1)当?? ????∈2,0πx 时,sinx 0≥且1sin 20=?πxdx ,所以 sinx 可以就是某个随机变量的分布密度; (2) 因为12sin 0≠=?πxdx ,所以sinx 不就是随机变量的分布密度; (3) 当 ?????? ∈23, ππx 时,sinx<=0所以sinx 不就是随机变量的分布密度。 3、4设随机变量ξ具有对称的分布函数p(x),即p(x)=p(-x) 证明:对任意的a>0,有
同济大学版概率论与数理统计——修改版答案
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率(一) 一.选择题 1.对掷一粒骰子的试验,在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] (A )不可能事件 (B )必然事件 (C )随机事件 (D )样本事件 2.下面各组事件中,互为对立事件的有 [ B ] (A )1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} (B )1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} (C )1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} (D )1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3.下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] (A )A A B - (B )()A B B ?- (C )A B (D )A B 4.甲、乙两人进行射击,A 、B 分别表示甲、乙射中目标,则A B ?表示 [ C] (A )二人都没射中 (B )二人都射中 (C )二人没有都射着 (D )至少一个射中 5.以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对应事件A 为. [ D] (A )“甲种产品滞销,乙种产品畅销”; (B )“甲、乙两种产品均畅销”; (C )“甲种产品滞销”; (D )“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6.设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<,则A B 表示 [ A] (A ){|01}x x ≤< (B ){|01}x x << (C ){|12}x x ≤< (D ){|0}{|1}x x x x -∞<≤<+∞ 7.在事件A ,B ,C 中,A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A] (A )C A C B ; (B )C AB ; (C )C AB C B A BC A ; (D )A B C . 8、设随机事件,A B 满足()0P A B =,则 [ D ] (A ),A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容
概率论与数理统计习题及答案第三章
习题3-1 1. 而且12{P X X =. 求X 1和X 2的联合分布律. 解 由12 {0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布必形 于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律
(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04 P X P X =?== ≠, 所以X 1和X 2 不独立. 2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律. 解 从7只球中取4球只有354 7 =C 种取法. 在4只球中, 黑球有i 只, 红 球有j 只(余下为白球4i j -- 只)的取法为 4322i j i j C C C --,0,1,2,3,0,1,2,i j i j ==+≤4. 于是有 022 322 1{0,2}35 35 P X Y C C C ====,111322 6{1,1}35 35 P X Y C C C ====, 121322 6 {1,2}35 35 P X Y C C C ====,202322 3 {2,0}35 35 P X Y C C C ==== , 211 322 12{2,1}35 35P X Y C C C ==== ,220 322 3{2,2}35 35P X Y C C C === = , 301 322 2 {3,0}3535P X Y C C C === =, 310 322 2 {3,1}3535 P X Y C C C ====, {0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0P X Y P X Y P X Y P X Y ============. 3. (,)(6),02,24, 0,.f x y k x y x y =--<<<?? 其它 求: (1) 常数k ; (2) {1,3}P X Y <<; (3) { 1.5}P X <; (4) {4}P X Y +≤.
概率统计第一章答案
概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第一章 概率论的基本概念 教学要求: 一、了解样本空间的概念,理解随机事件的概念,掌握事件的关系及运算. 二、理解概率、条件概率的概念,掌握概率的基本性质,会计算古典概率,掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式. 三、理解事件的独立性的概念,掌握用事件独立性进行概率计算,理解独立重复试验的概念,掌握计算有关事件概率的方法. 重点:事件的表示与事件的独立性;概率的性质与计算. 难点:复杂事件的表示与分解;试验概型的选定与正确运用公式计算概率;条件概率的理 解与应用;独立性的应用. 练习一 随机试验、样本空间、随机事件 1.写出下列随机事件的样本空间 (1)同时掷两颗骰子,记录两颗骰子点数之和; (2)生产产品直到有5件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标. 解:(1){=Ω2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12 }; (2){=Ω5;6;7;…}; (3)(){} 1,22≤+=Ωy x y x 2.设C B A ,,三事件,用C B A ,,的运算关系表示下列事件: (1)A 发生,B 与C 不发生,记为 C B A ; (2)C B A ,,至少有一个发生,记为C B A Y Y ; (3) C B A ,,中只有一个发生,记为C B A C B A C B A Y Y ; (4)C B A ,,中不多于两个发生,记为ABC . 3.一盒中有3个黑球,2个白球,现从中依次取球,每次取一个,设i A ={第i 次取到黑
球},,2,1=i 叙述下列事件的内涵: (1)21A A ={}次都取得黑球次、第第21. (2)21A A Y ={}次取得黑球次或地第21. (3)21A A ={}次都取得白球次、第第21 . (4)21A A Y ={}次取得白球次或地第21. (5)21A A -={}次取得白球次取得黑球,且第第21. 4.若要击落飞机,必须同时击毁2个发动机或击毁驾驶舱,记1A ={击毁第1个发动机};2A ={击毁第2个发动机};3A ={击毁驾驶舱};试用1A 、2A 、3A 事件表示=B {飞机被击落}的事件. 解:321A A A B Y = 练习二 频率与概率、等可能概型(古典概率) 1.若41)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P , 16 3)(=AC P , 求事件A 、B 、C 都不发生的概率. 解:由于 ,AB ABC ? 则 ()(),00=≤≤AB P ABC P 得(),0=ABC P 于是 ()()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=Y Y 16 9163414141=-++= 所以 ()().16 716911=- =-=C B A P C B A P Y Y 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P ===Y 求B A P (). 解:因为 ()()(),AB A P B A P B A P -=-=且,A AB ?则() ()().AB P A P B A P -= 又 ()()()(),r q p B A P B P A P AB P -+=-+=Y
概率论与数理统计复旦大学出版社第一章课后答案
第一章 1.见教材习题参考答案. 2.设A ,B ,C 为三个事件,试用A ,B ,C (1) A 发生,B ,C 都不发生; (2) A ,B ,C 都发生; (3) A ,B ,C (4) A ,B ,C 都不发生; (5) A ,B ,C (6) A ,B ,C 至多有1个不发生; 【解】(1) ABC (2) ABC (3)A B C (4) ABC =A B C (5) ABC (6) ABC ∪ABC ∪ABC ∪ABC =AB BC AC 3. . 4.设A ,B 为随机事件,且P (A )=0.7,P (A -B )=0.3,求P (AB ). 【解】 P (AB )=1-P (AB )=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A ,B 是两事件,且P (A )=0.6,P (B )=0.7, (1) 在什么条件下P (AB (2) 在什么条件下P (AB 【解】(1) 当AB =A 时,()()0.6P AB P A ==,()P AB 取到最大值为0.6. (2) 当A ∪B =Ω时,()()()()0.3P AB P A P B P A B =+-=,()P AB 取到最小值为0.3. 6.设A ,B ,C 为三事件,且P (A )=P (B )=1/4,P (C )=1/3且P (AB )=P (BC )=0, P (AC )=1/12,求A ,B ,C 至少有一事件发生的概率. 【解】 因为P (AB )=P (BC )=0,所以P (ABC )=0, 由加法公式可得 ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ = 14+14+13-112=34
概率论第一章答案
.1. 解:(正, 正), (正, 反), (反, 正), (反, 反) A (正 ,正) , (正, 反) .B (正,正),(反,反) C (正 ,正) , (正, 反) ,(反,正) 2.解:(1,1),(1,2), ,(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2), ,(6,6);AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1); A B (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1); AC - BC (1,1),(2,2). A B C D (1,5), (2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4) 3. 解:(1) ABC ;(2) ABC ;(3) ABC ABC ABC ; (4) ABC ABC ABC ;( 5) A B C ; (6) ABC ;(7) ABC ABC ABC ABC 或AB AC BC (8) ABC ;(9) ABC 4. 解:甲未击中;乙和丙至少一人击中;甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中; 甲和乙都未击中;甲和乙击中而丙未击中;甲、乙、丙三人至少有两人击中c 5. 解:如图: 第一章概率论的基本概念习题答案
每次拿一件,取后放回,拿3次: ABC ABC; AB C ABC C; B A C ABC ABC ABC BA ABC BC ABC 6. 解:不 疋成立 。例如: A 3,4,5 B 那么 A C B C 但A B 0 7. 解:不 疋成立 。例如: A 3,4,5 B 那么 A (B C) 3 , 但是 (A B) C 3,6,7 ABC ABC A B 4,5,6 o 8.解: C ABC ABC ABC 3 C 4,5 6,7 P( BA) P(B AB) P(B) P(AB) (1) 2 ; (2) P( BA) P(B A) P(B) 1 P(A) 6 ; (3) P( BA) P(B AB) P(B) 1 P(AB)- 2 9. 解: P(ABC) P A B C 1 P(A B C)= 1 1 8 P (1 ) 2 982 1003 0.0576 ; 1旦 1003 0.0588 ; 1 P(A) 1 P(B) 1 P(C) 1 P(AB) 1 P(AC) 3 P(BC) P(ABC) 16 16 g 八牛 A)n .(.( (C p( B P (1) C ;8C ; C 100 0.0588 ; P (2) 3 100 1 98 0.0594 ; D P 3 2 2 P c ;c
概率论第三章题库
第三章 多维随机变量及其分布 一、选择题 1、(易)设任意二维随机变量(X ,Y )的两个边缘概率密度函数分别为f X (x )和f Y (y ),则以 下结论正确的是( ) A.? +∞ ∞-=1)(dx x f X B. ? +∞ ∞ -= 2 1 )(dx y f Y C. ? +∞ ∞ -=0)(dx x f X D. ? +∞ ∞ -=0)(dx y f Y 2、(易)设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ,则X ~( ) A. 211(,)N μσ B. 221(,)N μσ C. 2 12 (,)N μσ D. 2 22(,)N μσ 3、(易)设二维随机变量(X ,Y )服从区域D :x 2 +y 2 ≤1上的均匀分布,则(X ,Y )的概率密度为( ) A. f(x ,y)=1 B. 1(,)0, x y D f x y ∈?=? ?, (,),其他 C. f(x ,y)=1 π D. 1 (,)0, x y D f x y π?∈?=???, (,),其他 4、(中等)下列函数可以作为二维分布函数的是( ). A .1,0.8,(,)0, .x y F x y +>?=? ?其他 B .?????>>??=--.,0,0,0,),(00其他y x dsdt e y x F y x t s C . ??= ∞-∞ ---y x t s dsdt e y x F ),( D .? ????>>=--. , 0, 0,0,),(其他y x e y x F y x 5、(易)设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=?????<<<<,, 0; 20,20,41 其他y x 则P{0概率论知识点总结复习整理
概率论总结 目录 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 第一节:1.、将一切具有下面三个特点: (1)可重复性 (2)多结果性 (3)不确定性的试验或观察称为随机试验,简称为试验,常用E表 示。 在一次试验中,可能出现也可能不出现的事情(结果)称为 随机事件,简称为事件。 不可能事件:在试验中不可能出现的事情,记为Ф。 必然事件:在试验中必然出现的事情,记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点,记作e 或ω. 全 体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集,复合事件—多点集
一个随机事件发生,当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件间的关系及运算,就是集合间的关系和运算。 3、定义:事件的包含与相等 若事件A发生必然导致事件B发生,则称B包含A,记为B?A或A?B。 若A?B且A?B则称事件A与事件B相等,记为A=B。 定义:和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件,称此事件为事件A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A,或e∈B}。 定义:积事件 称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件,记为A∩B或AB,用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。 定义:差事件 称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A-B,用集合表示为 A-B={e|e∈A,e?B} 。 定义:互不相容事件或互斥事件 如果A,B两事件不能同时发生,即AB=Φ,则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。 定义6:逆事件/对立事件 称事件“A不发生”为事件A的逆事件,记为ā。A与ā满足:A∪ā= S,且Aā=Φ。 运算律: 设A,B,C为事件,则有 (1)交换律:A∪B=B∪A,AB=BA (2)结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC (3)分配律:A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC Y= A I B A B
概率论第三章练习题
习 题 三 1.(1)盒子中装有3只黑球,2只红球,2只白球,在其中任取4只球.以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.(2)在(1)中求Y}-3P{X 3},Y P{X 2X},P{Y Y},P{X <=+=>. 2.设随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?<<<<--=其他,0,42,20),6(),(y x y x k y x f (1) 确定常数k . (2)求3}Y 1,P{X <<. (3)求 1.5}P{X <. (4)求4}Y P{X ≤+. 3.设随机变量)Y X,(具有分布函数 ?? ?>>+--=----其他,0,0,0,1),(F y x e e e y x y x y x 求边缘概率密度. 4.将一枚硬币掷3次,以X表示前2次出现H的次数,以Y表示3次出现H的次数.求X,Y的联合分布律以及)Y X,(的边缘分布律. 5.设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?≤≤≤≤-=其他,0,0,10), 2(8.4),(x y x x y y x f 求边缘概率密度. 6.设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?≤≤=其他,0,1,),(22y x y cx y x f (1)确定常数C. (2)求边缘概率密度.
7.设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?<<=-其他,0,0,),(y x e y x f y 求边缘概率密度. 8.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在区间)1,0(上服从均匀分布,Y 的概率密度为 ?????≤>=-.0,0,0,2 1)(2Y y y e y f y 求X 和Y 的联合概率密度. 9.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为 ?? ?≤≤=.,0,10,1)(X 其他x x f ???>=-.,0,0,)(Y 其他y e y f y 求随机变量Y X Z +=的概率密度. 10. 设随机变量X 和Y 相互独立,且具有相同的分布,它们的概率密度均为 ?? ?>=-.,0,1,)(1其他x e x f x 求随机变量Y X Z +=的概率密度. 11. 设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?????>>+=+-其他,0,0,0,)(2 1),()(y x e y x y x f y x (1) 问X 和Y 是否相互独立? (2) 求Y X Z +=的概率密度. 12. 某种商品一周的需求量是一个随机变量,其概率密度为 ?? ?≤>=-.0,0,0,)(t t e t t f t 设各周的需求量是相互独立的.求 (1) 两周的需求量的概率密度. (2) 三周的需求量的概率密度.
概率论课后答案
习题1-2 1. 选择题 (1) 设随机事件A ,B 满足关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生. (C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生,则B 一定不发生. 解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D). (2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销. 解 设B 表示“甲种商品畅销”,C 表示“乙种商品滞销”,根据公式B C B C = , 本题应选(D). 2. 写出下列各题中随机事件的样本空间: (1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色; (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数; (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}; (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}; (3) {0,1,2}; (4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品,则样本空间为{10|0,1,2,n n += }. 3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件: (1) 仅有A 发生; (2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生; (6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) A B C ; (3) ABC ABC ABC ; (4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C . 4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件: (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2-A 3; (5)2 3A A ; (6)12A A . 解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标. 习题1-3 1. 选择题 (1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ). (A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+ . (C)()()()P AB P A P B = . (D)()()()P A P AB P AB =+. 解 由文氏图易知本题应选(D). (2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ). (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解 本题答案应选(C). 2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )=p ,求P (B ). 解 因 ()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+= , 故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =- 3. 已知() 0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B = , 求()P AB .
大学概率统计试题及答案 (1)
)B= B (A) 0.15 B是两个随机事件, )B= (A) 0(B) B,C是两个随机事件
8.已知某对夫妇有四个小孩,但不知道他们的具体性别。设他们有Y 个儿子,如果生男孩的概率为0.5,则Y 服从 B 分布. (A) (01)- 分布 (B) (4,0.5)B (C) (2,1)N (D) (2)π 9.假设某市公安机关每天接到的110报警电话次数X 可以用泊松(Poisson)分布 ()πλ来描述.已知{49}{50}.P X P X ===则该市公安机关每天接到的110报警电话次数的方差为 B . (A) 51 (B) 50 (C) 49 (D) 48 10.指数分布又称为寿命分布,经常用来描述电子器件的寿命。设某款电器的寿命(单位:小时)的密度函数为 则这种电器的平均寿命为 B 小时. (A) 500 (B) 1000 (C) 250000 (D) 1000000 11.设随机变量X 具有概率密度 则常数k = C . (A) 1/4 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 1 12.在第11小题中, {0.50.5}P X -≤≤= D . (A) 14 (B) 34 (C) 1 8 (D) 38 13.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗骰子的点数之和(Z=X+Y)为6的概率为 C . (A) 336 (B) 436 (C) 5 36 (D) 636 14.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗 0.0010.001, 0()0, t e t f t -?>=? ?其它,01,()0, 其它. x k x f x +≤≤?=? ?