2008年高考安徽理科数学试卷及答案解析

2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数 学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．

考生注意事项：

1． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘

贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致．

2． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

3． 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无效． 4． 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：

如果事件A B ，互斥，那么

球的表面积公式 2

4πS R = ()()()P A B P A P B +=+

其中R 表示球的半径 如果事件A B ，相互独立，那么

()()()P A B P A P B =

球的体积公式 34π3

V R =

如果随机变量(,),B n p ξ 那么 其中R 表示球的半径

(1)D np p ξ=-

第I 卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）．复数 3

2

(1)i i +=（ ）

A ．2

B ．－2

C ．

2i D ． 2i -

（2）．集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{

2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ）

A ．}{

2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞

D ． }{

()2,1R C A B =--

（3）．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB = ，(1,3)AC = ,则AB = （ ）

A ． （－2，－4）

B ．（－3，－5）

C ．（3，5）

D ．（2，4）

（4）．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）

A ．,,m n m n αα若则‖‖‖

B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖

C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖

D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖

（5）．将函数sin(2)3

y x π

=+

的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12

π

-

中心对称，则向量

α的坐标可能为（ ）

A ．(,0)12

π

-

B ．(,0)6

π

-

C ．(

,0)12

π

D ．(

,0)6

π

（6）．设8

8

018(1),x a a x a x +=+++ 则0,18,,a a a 中奇数的个数为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

（7）．0a <是方程2

210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

（8）．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线2

2

(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）

A ．[

B ．(

C ．[33

-

D ．(,33

-

（9）．在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x

y e =的图象关于直线y x =对称。而函数

()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-，则m 的值是（ ）

A ．e -

B ．1

e

-

C ．e

D ．

1e

（10）．设两个正态分布2

111()(0)N μσσ>，和2

222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如图所示。则有

（ ）

A ． 1212,μμσσ<<

B ．1212,μμσσ<>

C ．1212,μμσσ><

D ．1212,μμσσ>>

（11）．若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x

f x

g x e -=，则有（ ）

A ．(2)(3)(0)f f g <<

B ．(0)(3)(2)g f f <<

C ．(2)(0)(3)f g f <<

D ．(0)(2)(3)g f f <<

（12）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )

A ．2

2

83C A

B ．26

86C A

C ．22

86C A

D ．22

85C A

2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数 学（理科）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

考生注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置． （13）

．函数2()f x =

的定义域为 ．

（14）在数列{}n a 在中，542

n a n =-

，212n a a a an bn ++=+ ，*

n N ∈,其中,a b 为常数，则lim n n n n

n a b a b →∞-+的值是 （15）若A 为不等式组002x y y x ≤??

≥??-≤?

表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=

扫过A 中的那部分区域的面积为

（16）已知,,,A B C D 在同一个球面上,,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若6,AB

=AC =

8AD =,则,B C 两点间的球面距离是

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）．（本小题满分12分） 已知函数()cos(2)2sin()sin()344

f x x x x π

ππ

=-

+-+

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122

ππ

-上的值域

如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4

ABC π

∠=

, OA ABCD ⊥底面,

2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点

（Ⅰ）证明：直线MN OCD

平面‖；

（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。

(19)．（本小题满分12分）

为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n 株沙柳，各

株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望3E ξ=，标准差σξ

为

2

。 （Ⅰ）求n,p 的值并写出ξ的分布列；

（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率

N

B

设函数1

()(01)ln f x x x x x

=

>≠且 （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）已知12a

x

x >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围。

（21）．（本小题满分13分）

设数列{}n a 满足3

*

010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数

（Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*

n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；

（Ⅱ）设103c <<

，证明：1*

1(3),n n a c n N -≥-∈; （Ⅲ）设103c <<，证明：222

*1221,13n a a a n n N c

++>+-∈-

（22）．（本小题满分13分）

设椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>过点M ，且着焦点为1(F

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足

AP QB AQ PB =

，证明：点Q 总在某定直线上

2008年高考安徽理科数学试题参考答案

一. 选择题

1A 2D 3B 4D 5C 6A 7B 8C 9B 10A 11D 12C (1)A .

【解析】()2

33

41222i i i i i +===

. (2)D .

【解析】{}|lg ,1(0,)A y R y x x =∈=>=+∞ ()

{}2,1R A B ∴=-- e. (3)B .

【解析】2(3,5)BD AD AB BC AB AC AB =-=-=-=--

.

(4)D .

【解析】若,m n αα∥∥，则,m n 可相交，平行、异面均可，A 错；若,αγβγ⊥⊥，则αβ,可平行，也可相交，B 错误；若,m n ββ∥∥，,m n 的位置关系决定αβ,的关系，C 也错误；若,m n αα⊥⊥，则m n ∥（线面垂直的性质定理），故选D . (5) C .

【解析】设a =(h,0) ，则平移后所得的函数为y=sin 2()sin 2233x h x h ππ???

?-+=-+ ? ????

? ，图象关

于点,012π??-

??? 对称，从而有sin 2()2sin 201236h h πππ????

?--+=-= ? ?????

，解得122k h ππ=+（其

中k Z ∈），故选C .

(6)A .

【解析】081a a ==，奇遇都是偶数，选A . (7)B .

【解析】这一题是课本习题改编题，当0a < ，显然有121

0x x a

=

<，则有一负数根，具备充分性；反之若方程有一负数根，0a =或1210x x a =< 或12124402010a x x a x x a ?

?=-≥?

?

+=-

?=>??

，得到1a ≤，不具备必要性，

因此选B .

(8)C .

【解析】点()4,0A 在圆外，因此斜率必存在.设经过该点的直线方程为40kx y k --=

，所以有

1≤

，解得k ≤≤

从而选C . (9) B .

【解析】()1f m =- ，(,1)m ∴-在函数()y f x = 的图象上，从而点(,1)m --在()y g x =的图象上，因此点(1,)m -- 在x

y e = 的图象上，故有1m e --=，即1m e

=-，因而选B .

(10)A .

【解析】

正态分布函数22

()2()x F x μσ--

=

图象关于直线x μ=对

称，而2

D σξ=，其大小表示变量集中程度，值越大，数据分布越广，图象越胖；值越小，量越集中，图象越瘦，因此选A . (11)D .

【解析】()2

x x

e e

f x --=，在R 上为增函数，有

22212(2)(3)22e e e f f ---<<=<；()2

x x e e g x -+=，(0)1g =-，此选D .

(12)C .

【解析】在后排选出2个人有28C 种选法，分别插入到前排中去，有112

566A A A ?=种方法，由乘法原理知共有22

86C A ?种调整方案，选C .

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。 13: [3,)+∞ 14: 1 15: 74 16: 43

π

（13）[3,)+∞．

【解析】由1, 3

|x 2|101log(x 1)02x or x x x ≤≥?--≥??

?>??-≠??≠?

，解得：3x ≥，值域为[3,)+∞.

（14）1.

【解析】235(4)122222n n n s n n +-?==- ，12,2a b ∴==-，从而12(-)2lim lim 112(-)2

n n n n

n n n n n n

a b a b →∞→∞--==++

（15）

74

. 【解析】作出可行域,如右图，则直线扫过的面积为

117

2222224

AOBC S =??-??=即可.

（16）43

π.

【解析】ABC 、ABD 、ACD

都是直角三角形，因此球心O 为AD 的中点，

4R ∴=

，又4BC ==

3

BOC π

∴∠=

则B C ，两点间的球间距离是4

3

π.

二. 解答题

17解：（1）()cos(2)2sin()sin()344

f x x x x π

ππ

=-

+-+

1cos 22(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =

++-+

221cos 22sin cos 2x x x x =

+-

1cos 22cos 22x x x =

+- s i n (2)

6

x π

=- 2T 2

π

π∴=

=周期 由2(),()6

2

23

k x k k Z x k Z π

π

ππ

π-

=+

∈=

+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3

x k k Z π

π=+

∈

（2）5[,],2[,]122636

x x ππ

πππ

∈-

∴-∈- 因为()sin(2)6

f x x π

=-在区间[,]123

ππ-

上单调递增，在区间[,]32ππ

上单调递减，

所以

当3

x π

=

时，()f x 去最大值 1

又 1()()12

222f f

π

π-

=-

<= ，当12

x π

=-时，()f x 取最小值2-

所以 函数 ()f x 在区间[,]122

ππ

-

上的值域为[

18 方法一（综合法）

（1）取OB 中点E ，连接ME ，NE

ME CD ME CD ∴ ，‖AB,AB ‖‖

又,NE OC MNE OCD ∴ 平面平面‖‖

MN OCD ∴平面‖

（2）CD ‖AB,

M D C ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角） 作,AP CD

P ⊥于连接MP

⊥⊥平面A BC D ，∵OA ∴CD MP

,4

2

ADP π

∠=

∵∴DP =

MD ==，1cos ,23

DP MDP MDC MDP MD π

∠=

=∠=∠=∴ 所以 AB 与MD 所成角的大小为

3

π

（3）AB 平面∵∴‖OCD,

点A 和点B 到平面OCD 的距离相等，连接OP,过点A 作 AQ OP ⊥ 于点Q ，,,,AP CD OA CD CD OAP AQ CD ⊥⊥⊥⊥平面∵∴∴

又 ,

AQ OP AQ OCD ⊥⊥平面

∵∴,线段AQ 的长就是点A 到平面OCD 的距离

OP

==

==∵，2

AP DP ==

223OA AP AQ OP ==

= ∴，所以点B

到平面OCD 的距离为2

3 方法二(向量法)

作AP CD ⊥于点P,

如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为,

,x y z 轴建立坐标系

(0,0,0),(1,0,0),(0,

(

(0,0,2),(0,0,1),(1,

22244

A B P D O M

N --, (1)(11),(0,,2),(,2)44222MN OP OD =--=-=--

设平面OCD

的法向量为(,,)

n x y z =,

则0,n OP n =

即

2022022

y

z x y z -=??

??-+-=?

?

取z =,解得n =

(1,1)(0,

044

MN n

=--= ∵

MN OCD ∴平面‖

(2)设AB 与MD 所成的角为θ,(1,0,0),(1)22

AB MD ==-

- ∵ 1c o s ,2

3AB MD AB MD π

θθ===?

∴∴

, AB 与MD 所成角的大小为3π (3)设点B 到平面OCD 的交流为d ,则d 为OB

在向量n =上的投影的绝对值,

由 (1,0,2)OB =-

, 得2

3

OB n d n

?=

=

.所以点B 到平面OCD 的距离为23

19 (1)由233,()(1),2E np np p ξσξ===-=

得112p -=,从而1

6,2

n p == ξ的分布列为

(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则()(3),P A P ξ=≤ 得 1615

2021(),64

32P A +++==

或 156121()1(3)16432

P A P ξ++=->=-=

20 解 (1) '

22ln 1(),

ln x f x x x

+=-若 '

()0,f x = 则 1x e = 列表如下

(2) 在 12a

x

x > 两边取对数, 得

1

ln 2ln a x x

>,由于01,x <<所以 1

ln 2ln a x x

>

(1) 由(1)的结果可知,当(0,1)x ∈时, 1

()()f x f e e ≤=-,

为使(1)式对所有(0,1)x ∈成立,当且仅当ln 2

a

e >-,即ln 2a e >-

21解 (1) 必要性 ：120,1a a c ==-∵∴ ，

又 2[0,1],011a c ∈≤-≤∵∴ ，即[0,1]c ∈

充分性 ：设 [0,1]c ∈，对*

n N ∈用数学归纳法证明[0,1]n a ∈

当1n =时，10[0,1]a =∈.假设[0,1](1)k a k ∈≥

则3

1111k k a ca c c c +=+-≤+-=，且3

1110k k a ca c c +=+-≥-=≥

1[0,1]k a +∈∴，由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*n N ∈成立

(2) 设 1

03

c <<

，当1n =时，10a =，结论成立 当2n ≥ 时，

3

2

11111,1(1)(1)n n n n n n a ca c a c a a a ----=+--=-++∵∴ 103

C <<

∵,由（1）知1[0,1]n a -∈，所以 2

1113n n a a --++≤ 且 110n a --≥ 113(1)n n a c a --≤-∴

21

112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤≤-= ∴

1

*1(3)

()n n a c n N -≥-∈∴

(3) 设 103c <<

，当1n =时，2

120213a c

=>--，结论成立 当2n ≥时，由（2）知1

1(3)

0n n a c -≥->

2

1212(1)1(1(3))12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ----≥-=-+>-∴ 222222112212[3(3)(3)

]n n n a a a a a n c c c -+++=++>--+++ ∴

2(1(3))2

111313n c n n c c

-=+->+---

22解 (1)由题意：

2222222211c a b c a b

?=?

?+=??

?=-? ，解得22

4,2a b ==，所求椭圆方程为 22142x y += (2)方法一

设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y 。

由题设知,,,AP PB AQ QB

均不为零，记AP AQ PB QB

λ==

,则0λ>且1λ≠

又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而,AP PB AQ QB λλ=-=

于是 12

41x x λλ-=-， 12

11y y λλ-=-

12

1x x x λλ

+=+， 12

1y y y λλ

+=

+

从而

222

12241x x x λλ-=-， （1） 222

122

1y y y λλ

-=-， （2） 又点A 、B 在椭圆C 上，即

2

2

1124,(3)x y += 2

2

2224,(4)x y += （1）+（2）×2并结合（3），（4）得424s y += 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上 方法二

设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，由题设，,,,PA PB AQ QB

均不为零。

且 PA PB AQ QB

=

又 ,,,P A Q B 四点共线，可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±

,于是

1141,11x y

x y λλλλ--=

=

-- （1） 2241,11x y

x y λλλλ

++==

++ （2） 由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程2

2

24,x y +=整理得

222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+= （3） 222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+= (4)

(4)－(3) 得 8(22)0

x y λ+-= 0,220x y λ≠+-=∵∴

即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上