现代控制理论试题与答案

现代控制理论

1.经典-现代控制区别:

经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接和输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具.可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程.

2.实现-描述

由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题.实现是非唯一的.

3.对偶原理

系统=∑1(A1,B1,C1)和=∑2(A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性.或者说,若∑1是状态完全能控的(完全能观的),则∑2是状态完全能观的(完全能控的).对偶系统的传递函数矩阵互为转置

4.对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件是的不能观子系统为渐近稳定

第一章控制系统的状态空间表达式

1.状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组

2.输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式

3.状态空间表达式:状态方程和输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述

4.友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为0

5.非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+Du.T为任意非奇异阵(变换矩阵),空间表达式非唯一

6.同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量

第二章控制系统状态空间表达式的解

1.状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t)

2.线性定常非齐次方程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ

第三章线性控制系统的能控能观性

1.能控:使系统由某一初始状态x(t0),转移到指定的任一终端状态x(tf),称此状态是能控的.若系统的所有状态都是能控的,称系统是状态完全能控

2.系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A和控制矩阵b

3.一般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为0.(2)T-1B中对于互异特征值部分,它的各行元素没有全为0的

4.在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为0

5.约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型

6.最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解无穷多,但其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的.

第五章线性定常系统综合

1.状态反馈:将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律,作为受控系统的控制输入.K为r*n维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵

2.输出反馈:采用输出矢量y构成线性反馈律H为输出反馈增益阵

3.从输出到状态矢量导数x的反馈:A+GC

4.线性反馈:不增加新状态变量,系统开环与闭环同维,反馈增益阵都是常矩阵

动态补偿器:引入一个动态子系统来改善系统性能

5.(1)状态反馈不改变受控系统的能控性

(2)输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性

6.极点配置问题:通过选择反馈增益阵,将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置,以获得所希望的动态性能

(1)采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是∑0完全能控

(2)对完全能控的单输入-单输出系统,通过带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件[1]∑0完全能控[2]动

态补偿器的阶数为n-1

(3)对系统用从输出到x 线性反馈实现闭环极点任意配置充要条件是完全能观 7.传递函数没有零极点对消现象,能控能观

8.对完全能控的单输入-单输出系统,不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置

9.系统镇定:保证稳定是控制系统正常工作的必要前提,对受控系统通过反馈使其极点均具有负实部,保证系统渐近稳定 (1)对系统采用状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统渐近稳定

(2)对系统通过输出反馈能镇定的充要条件是其结构分解中的能控且能观子系统是输出反馈能镇定的,其余子系统是渐近稳定的

(3)对系统采用输出到x 反馈实现镇定充要条件是其不能观子系统为渐近稳定

10.解耦问题:寻求适当的控制规律,使输入输出相互关联的多变量系统的实现每个输出仅受相应的一个输入所控制,每个输入也仅能控制相应的一个输出

11.系统解耦方法:前馈补偿器解耦和状态反馈解耦 12.全维观测器:维数和受控系统维数相同的观测器

现代控制理论试题

1 ①已知系统u u u

y y 222++=+ ，试求其状态空间最小实现。（5分） ②设系统的状态方程及输出方程为11000101;0111x x u ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

[]001y x =试判定系统的能控性。（5分） 2 已知系统的状态空间表达式为

00001⎛⎫⎡⎤

=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x x u t ；

[]x y 01=； ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=11)0(x 试求当0;

≥=t t u 时，系统的输出)(t y 。（10分）

3给定系统的状态空间表达式为

u x x ⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100100110100013 ，211021y x -⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦ 试确定该系统能否状态反馈解耦，若能，则将其解耦（10分）

4 给定系统的状态空间表达式为

[]12020110,

1001011--⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

x x u y x

设计一个具有特征值为 1 1 1---，，的全维状态观测器（10分）

5 ①已知非线性系统 ⎩⎨⎧--=+-=2112

211sin 2x a x x x x x

试求系统的平衡点，并确定出可以保证系统大范围渐近稳定的1a 的范围。（5分） ② 判定系统112

212

23x x x x x x =-+⎧⎨

=--⎩在原点的稳定性。(5分)

6 已知系统 u x x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=110011 试将其化为能控标准型。

（10分） 7 已知子系统

1∑ 111

121011x x u -⎡⎤⎡⎤

=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，[]1110y x = 2∑ []22222

110,

01011x x u y x -⎡⎤

⎡⎤

=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

⎣⎦

求出串联后系统

∑

1∑ 2∑

现代控制理论试题

1 ① 取拉氏变换知 )()2()()22(3

3

s u s s s y s ++=+

2

1121)1(21)(2

2

1

3++-=+++=s s s s s g （3分） 其状态空间最小实现为u x x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101110 ； 21021+⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=x y （2分）

② 1

n c u B

A B A

B -⎡⎤=⎣⎦01

2111101⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

，秩为2，系统状态不完全能控。

2 解 022

10(,)0.50.51⎛

⎫

Φ= ⎪-⎝⎭t t t t ， 0

()(,0)(0)(,)()t

x t t x t B d τττ=Φ+Φ⎰ 1y = 3解 [][]100211101101c B ⎡⎤⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦， [][]200021102101c B ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦

所以120d d ==， 121121E E E -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。 1

111213--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

E 又因为E 非奇异，所以能用实现解耦控制。 （2分）

12630011c A F c A ⎡⎤⎡⎤

==⎢⎥⎢⎥

-⎣⎦⎣⎦

（1分） 求出u kx Lv =-+

4 解 令122E E E E ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

, 代入系统得()123120()011100101s

E sI A EC s

E s E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪--=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

123120

11101

s E E s E s ++=+--++32211132233122222s s s E s E s E E E s E =+++++++--- 32113123(3)(623)33s E s E E s E E E =++++-+--+

理想特征多项式为*332

()(1)331f x s s s s =-=+++ 列方程，比较系数求得 001E ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

全维状态观测器为[]ˆˆx A EC x Bu Ey =-++ 12020ˆ01100,00111x u y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦

5 解 ①显然原点为一个平衡点，根据克拉索夫斯基方法，可知

⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=11111112cos 21cos 2121

cos 21cos 211

a x x a x a x F 因为 02<-；所以，当

0)cos 21(42cos 21cos 2122111

1

1

>--=----x a a x x

时，该系统在原点大范围渐近稳定。解上述不等式知，4

9

1>a 时，不等式恒成立。 即4

9

1>

a 时，系统在原点大范围渐近稳定。 ② 解

21

1

4523I A λλλλλ+--=

=+++，两个特征根均具有负实部，系统大范围一致渐近稳定。

（2分） 6 解 1210c u ⎡⎤

=⎢⎥

⎣⎦，1

112

20

1c u -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ [][][]1

11

1221122010101c p u -⎡⎤===-⎢⎥-⎣⎦

[

][]1

111212

22

2

1100p p A ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦

112

211

12

211,11P P --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控标准型为u x x ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101010 7 解 组合系统状态空间表达式为

[]1200101001,00010011010010x x u y x -⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

-⎢

⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

（5分）

组合系统传递函数为

21()()()G s G s G s = （2分）

2

1331(1)(1)(1)(1)

s s s s s s s ++=

⨯=+-+-+ （3分）

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