2019-2020学年安徽省黄山市屯溪一中高三(上)10月月考数学试卷(理科)
2019-2020学年安徽省黄山市屯溪一中高三（上）10月月考数
学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合M＝{x|?1 A.(2,?+∞) B.[2,?+∞) C.(?∞,??1) D.(?∞,??1] 【答案】 B 【考点】 集合的包含关系判断及应用 【解析】 由集合M＝{x|?1 个集合的端点可直接得出结论 【解答】 ∵集合M＝{x|?1 ∴a≥2， 实数a的取值范围是[2,?+∞) 2. 在复平面内与复数z=5i 1+2i 所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为（）A.1+2i B.1?2i C.?2+i D.2+i 【答案】 C 【考点】 复数的运算 【解析】 利用复数的运算法则、几何意义、对称性，即可得出． 【解答】 复数z=5i 1+2i =5i(1?2i) (1+2i)(1?2i) =5(i+2) 5 =2+i所对应的点(2,?1)关于虚轴对称的点为 A(?2,?1)， ∴A对应的复数为?2+i． 3. 条件p:|x+1|>2，条件q:1 3?x >1，则￢p是￢q的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 A 【考点】 先求出当命题为真时x 的范围，再根据补集思想求出命题为假时的x 的范围，然后根据题意观察两个集合之间的关系由小范围推大范围是充分不必要条件，即可得到答案． 【解答】 由题意得：条件p:|x +1|>2，即p:x >1或x 由题意得：条件q:1 3?x >1，即q:2 所以￢p 是￢q 的充分不必要条件． 4. 函数f(x)=√(log 2x)2?1 的定义域为( ) A.(0,?1 2) B.(2,?+∞) C.(0,?12)∪(2,?+∞) D.(0,?1 2]∪[2,?+∞) 【答案】 C 【考点】 函数的定义域及其求法 【解析】 根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域． 【解答】 解：要使函数有意义，则(log 2x)2?1>0(x >0)， 即log 2x >1或log 2x 2或0 2， 即函数的定义域为(0,?12)∪(2,?+∞)， 故选C. 5. 设f(x)＝lg(2 1?x +a)是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数是（ ） A.(?∞,?+∞)上的减函数 B.(?∞,?+∞)上的增函数 C.(?1,?1)上的减函数 D.(?1,?1)上的增函数 【答案】 D 【考点】 函数奇偶性的性质与判断 复合函数的单调性 【解析】 由f(0)＝0，求得a 的值，可得f(x)＝lg(1+x 1?x )，由此求得函数f(x)的定义域．再根据f(x)＝ lg(?1?2 x?1)，以及t ＝?1?2 x?1在(?1,?1)上是增函数，可得结论． 由于f(x)＝lg(2 1?x +a)是奇函数，且在x＝0处有意义，故有f(0)＝0，即lg(2+a)＝0，解得a＝?1． 故f(x)＝lg(2 1?x ?1)＝lg(1+x 1?x )． 令1+x 1?x >0，求得?1 再根据f(x)＝lg(1+x 1?x )＝lg(?1?2 x?1 )，函数t＝?1?2 x?1 在(?1,?1)上是增函数， 可得函数f(x)在(?1,?1)上是增函数， 6. 函数y＝cos(sin|x|)的图象大致是（） A. B. C. D. 【答案】 B 【考点】 函数的图象与图象的变换 【解析】 作函数y＝cos(sin|x|)的图象，从而确定答案． 【解答】 作函数y＝cos(sin|x|)的图象如下， 7. 定义：若函数f(x)的图象经过变换T后所得的图象对应的函数与f(x)的值域相同，则称变换T是f(x)的同值变换，下面给出了四个函数与对应的变换： ①f(x)＝(x?1)2，T：将函数f(x)的图象关于y轴对称； ②f(x)＝2x?1?1，T：将函数f(x)的图象关于x轴对称； ③f(x)=x x+1 ，T：将函数f(x)的图象关于点(?1,?1)对称． ④f(x)=sin(x+π 3 )，T：将函数f(x)的图象关于点(?1,?0)对称． 其中T是f(x)的同值变换的有（） A.①② B.①③④ C.①④② D.①③ 【考点】 函数的图象与图象的变换 【解析】 根据同值变换的定义，先求出对应的函数解析式，求出相应的值域，结合值域关系进行判断即可． 【解答】 ①f(x)＝(x ?1)2的值域为[0,?+∞)，T ：将函数f(x)的图象关于y 轴对称得到f(x)＝(?x ?1)2＝(x +1)2的值域为[0,?+∞)，值域相同是同值变换． ②f(x)＝2x?1?1>0?1＝?1，值域为(?1,?+∞)，将函数f(x)的图象关于x 轴对称得到?y ＝2x?1?1，即y ＝?2x?1+1<1，两个函数的值域不相同，不是同值变换． ③f(x)=x x+1= x+1?1x+1 =1? 1 x+1 ，函数关于(?1,?1)对称，函数值域为{y|y ≠1}，将函 数f(x)的图象关于点(?1,?1)对称后函数是自身，满足值域相同，是同值变换 ④f(x)=sin(x +π 3)的值域为[?1,?1]，则f(x)的图象关于点(?1,?0)对称后的值域仍然为[?1,?1]，则两个函数的值域相同，是同值变换． 故T 是f(x)的同值变换的有①③④， 8. 如图所示的程序框图中，若f(x)＝x 2?x +1，g(x)＝x +4，且?(x)≥m 恒成立，则m 的最大值是（ ） A.4 B.3 C.1 D.0 【答案】 B 【考点】 程序框图 【解析】 由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数：?(x)={x 2?x +1x 2?x +1≥x +4x +4x 2?x +1≤x +4 的值，数形结合求出?(x)的最小值，可得答案． 【解答】 由已知中的程序框图可得该程序的功能是： 计算并输出分段函数：?(x)={x 2?x +1x 2?x +1≥x +4x +4x 2 ?x +1≤x +4 的值， 在同一坐标系，画出f(x)＝x 2?x +1，g(x)＝x +4的图象如下图所示： 由图可知：当x ＝?1时，?(x)取最小值3， 又∵ ?(x)≥m 恒成立， ∴ m 的最大值是3， 9. 二次函数f(x)＝x 2+bx +c(b,?c ∈R)，若c <0，且函数f(x)在[?1,?1]上有两个零点，求b +2c 的取值范围（ ） A.(?2,?2) B.(?2,?1) C.[?2,?1) D.(?1,?1) 【答案】 C 【考点】 二次函数的性质 函数零点的判定定理 二次函数的图象 【解析】 由题意函数f(x)与x 轴有两个交点，则f(?1)≥0，f(1)≥0进而求解． 【解答】 由题意f(x)与x 轴有2个交点，且f(x)min <0， 函数f(x)在[?1,?1]上有两个零点，则{ f(?1)=1?b +c ≥0f(1)=1+b +c ≥0 即{b ≤1+c b ≥?1? c ∵ c <0， ∴ b +2c ≤1+c +2c ＝1+3c <1， b +2c ≥?1?c +2c ＝?1+c ， 若b +2c ＝?2，则b ＝?2?2c 即{ ?2?2c ≤1+c ?2?2c ≥?1?c 解得{c ≥?1 c ≤?1 ∴ c ＝?1满足题意， 10. 设函数f(x)={|2x ?1|,x ≤2 ?x +5,x >2 ，若互不相等的实数a ，b ，c 满足f(a)＝f(b)＝f(c)， 则2a +2b +2c 的取值范围是（ ） A.(16,?32) B.(18,?34) C.(17,?35) D.(6,?7) 【答案】 B 【考点】 分段函数的应用 【解析】 不妨设a 互不相等的实数a ，b ，c 2a+2b+2c∈(18,?34) 11. 函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有 x2f(x1)?x1f(x2) x1?x2>0，记a＝?log23?f(log1 3 2)，b＝f(1)，c＝4f(0.52)，则（） A.c B.b C.c D.a C 【考点】 函数奇偶性的性质与判断 【解析】 设g(x)=f(x) x ，∵对任意两个不相等的正数x1，x2，都有x2f(x1)?x1f(x2) x1?x2 >0，可得 g(x)在(0,?+∞)上单调递增，分别化简a，b，c，即可得出结论．【解答】 设g(x)=f(x) x ，∵对任意两个不相等的正数x1，x2，都有x2f(x1)?x1f(x2) x1?x2 >0， ∴g(x)在(0,?+∞)上单调递增， ∵a＝?log23?f(log1 32)＝g(log1 3 2)，b＝f(1)＝g(1)，c＝4f(0.52)＝g(0.52)， log1 3 2<0<0.52<1， ∴c 故选：C． 12. 函数f(x)＝?x3+a+1，x∈[1 e ,?e]与g(x)＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（） A.[e,?e3?3] B.[1,?e2?4] C.[1,?e3?3] D.[0,?e3?4] 【答案】 D 【考点】 函数与方程的综合运用 【解析】 先求出函数g(x)关于x轴对称的函数，转化为f(x)与对称函数有交点，利用构造函数法，结合导数研究函数的最值即可． 【解答】 g(x)＝3lnx的图象关于x轴对称的函数解析式为?y＝3lnx，即y＝?3lnx， 若f(x)与g(x)＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点， 则等价为f(x)与y＝?3lnx在x∈[1 e ,?e]上有交点， 即?x3+a+1＝?3lnx，即a＝x3?3lnx?1，x∈[1 e ,?e]有解即可， 设?(x)＝x3?3lnx?1，x∈[1 e ,?e]， 则?′(x)＝3x2?3=3(x3?1)， 当?′(x)<0得1 e ≤x <1，此时函数?(x)为减函数， 即当x ＝1时，函数?(x)取得极小值同时也是最小值?(1)＝1?3ln1?1＝0， 当x =1 e 时，?(1 e )＝(1 e )3?3ln 1 e ?1＝(1 e )3+2， 当x ＝e 时，?(e)＝e 3?3lne ?1＝e 3?4， 则?(e)>?(1 e )， 即?(x)的取值范围是[0,?e 3?4]， 则实数a 的取值范围是[0,?e 3?4]， 故选：D ． 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分. 已知命题p:?x ∈R ，x 2+2ax +a ≤0，则命题p 的否定是________． 【答案】 ?x ∈R ，x 2+2ax +a >0 【考点】 命题的否定 【解析】 利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，写出命题的否定． 【解答】 命题p:?x ∈R ，x 2+2ax +a ≤0，则命题p 的否定是：?x ∈R ，x 2+2ax +a >0， 若函数f(x)＝log a (x +a x ?4)的值域为R ，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 (0,?1)∪(1,?4] 【考点】 函数的值域及其求法 【解析】 问题转化为x +a x ?4可以取所有正数，a >0且a ≠1，由分类讨论和基本不等式可得． 【解答】 ∵ 函数f(x)＝log a (x +a x ?4)的值域为R ， ∴ x +a x ?4>0，a >0且a ≠1， 当a >0时，x +a x ?4≥2√a ?4， 故只需2√a ?4≤0即可， 解不等式可得a ≤4， 综上可得a 的取值范围为：0 若直线y ＝kx +b 是曲线y ＝lnx +2的切线，也是曲线y ＝ln(x +1)的切线，则b ＝________． 【答案】 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可 【解答】 设y ＝kx +b 与y ＝lnx +2和y ＝ln(x +1)的切点分别为(x 1,?kx 1+b)、(x 2,?kx 2+b)； 由导数的几何意义可得k =1x 1 =1 x 2+1 ，得x 1＝x 2+1 再由切点也在各自的曲线上，可得{kx 1 +b =lnx 1+2 kx 2+b =ln(x 2+1) 联立上述式子解得{k =2 x 1=1 2x 2=?1 2 ； 从而kx 1+b ＝lnx 1+2得出b ＝1?ln2． 若△ABC 的内角A ，B 满足sinB sinA =2cos(A +B)，则当B 取最大值时，角C 大小为 ________． 【答案】 2π3 【考点】 同角三角函数间的基本关系 基本不等式及其应用 【解析】 已知等式变形后，利用同角三角函数间基本关系化简，利用基本不等式求出tanB 的最大值，进而求出B 的最大值，即可求出C 的度数． 【解答】 已知等式变形得：sinB ＝2sinAcos(A +B)， ∴ sinB ＝2sinAcosAcosB ?2sin 2AsinB ， ∴ tanB =2sinAcosA 1+2sin 2A =2tanA 1+3tan 2A ， ∵ sinB sinA =2cos(A +B)=?2cosC >0， ∴ C 为钝角，A 与B 为锐角，tanA >0， ∴ tanB = 2 1 tanA +3tanA ≤ √3 3，当且仅当tanA = √3 3 ，即A =π 6 时取等号， ∴ (tanB)max =√3 3，即B 的最大值为π 6， 则C = 2π3 ． 三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. cosA a 2c 求角B的大小；（2）若a＝1，b2＝ac，求△ABC的面积．【答案】 （1）根据题意，△ABC中，有cosA cosB +a b =2c b ，则有cosAsinB+cosBsinA cosBsinA =2sinC sinB ， 变形可得sin(A+B) cosBsinB =2sinC sinB ， 又由sin(A+B)＝sinC≠0，则cosB=1 2 ， 又由B∈(0,?π)，则B=π 3 ； （2）根据题意，△ABC中有b2＝ac， 由余弦定理可得b2=a2+c2?2ac?cosB=a2+c2?2ac?cosπ 3 =a2+c2?ac，故ac＝a2+c2?ac，变形可得(a?c)2＝0，得a＝c＝1， 故△ABC为正三角形， 故SΛABC=√3 4 ． 【考点】 解三角形 【解析】 （1）根据题意，由正弦定理可得cosAsinB+cosBsinA cosBsinA =2sinC sinB ，变形可得sin(A+B) cosBsinB =2sinC sinB ， 进而可得cosB的值，分析可得B的值； （2）根据题意，由余弦定理可得b2=a2+c2?2ac?cosB=a2+c2?2ac?cosπ 3 = a2+c2?ac，变形可得(a?c)2＝0，得a＝c＝1，据此分析可得答案． 【解答】 （1）根据题意，△ABC中，有cosA cosB +a b =2c b ，则有cosAsinB+cosBsinA cosBsinA =2sinC sinB ， 变形可得sin(A+B) cosBsinB =2sinC sinB ， 又由sin(A+B)＝sinC≠0，则cosB=1 2 ， 又由B∈(0,?π)，则B=π 3 ； （2）根据题意，△ABC中有b2＝ac， 由余弦定理可得b2=a2+c2?2ac?cosB=a2+c2?2ac?cosπ 3 =a2+c2?ac，故ac＝a2+c2?ac，变形可得(a?c)2＝0，得a＝c＝1， 故△ABC为正三角形， 故SΛABC=√3 4 ． 已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q>0，S2＝2a2?2，S3＝a4?2．（1）求数列{a n}的通项公式； 【答案】 ∵等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q>0，S2＝2a2?2，S3＝a4?2， ∴S3?S2＝a4?2a2，即a3＝a4?2a2， ∴q2?q?2＝0，解得q＝2或q＝?1（舍去）．又a1+a2＝2a2?2，∴a2＝a1+2， ∴a1q＝a1+2，代入q＝2，解得a1＝2， ∴a n=2×2n?1=2n． ∵b n=n a n =n 2n ， ∴{b n}的前n项和： T n=1 2+2 22 +3 23 +?+n 2n ，① 1 2T n=1 22 +2 23 +3 24 +?+n 2n+1 ，② ①-②，得： 1 2T n= 1 2 + 1 22 + 1 23 +?+ 1 2n ? n 2n+1 =1 2 (1?1 2n ) 1?1 2 =1?1 2n ?n 2n+1 ， ∴T n＝2?n+2 2n ． 【考点】 数列的求和 【解析】 （1）先求出a3＝a4?2a2，从而q2?q?2＝0，解得q＝2，再由a2＝a1+2，得a1＝2，从而求出数列{a n}的通项公式． （2）由b n=n a n =n 2 ，利用错位相减法能求出{b n}的前n项和． 【解答】 ∵等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q>0，S2＝2a2?2，S3＝a4?2， ∴S3?S2＝a4?2a2，即a3＝a4?2a2， ∴q2?q?2＝0，解得q＝2或q＝?1（舍去）．又a1+a2＝2a2?2，∴a2＝a1+2， ∴a1q＝a1+2，代入q＝2，解得a1＝2， ∴a n=2×2n?1=2n． ∵b n=n a n =n 2n ， ∴{b n}的前n项和： T n=1 2+2 22 +3 23 +?+n 2n ，① 1 2T n=1 22 +2 23 +3 24 +?+n 2n+1 ，② ①-②，得： 11111n = 12(1?12 n )1?12 =1?12n ?n 2n+1， ∴ T n ＝2? n+22n ． 如图，四棱锥P ?ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，AD?//?BC ，AD ＝3BC ＝6，PB =6√2，点M 在线段AD 上，且MD ＝4，AD ⊥AB ，PA ⊥平面ABCD ． （1）求证：平面PCM ⊥平面PAD ； （2）当四棱锥P ?ABCD 的体积最大时，求平面PCM 与平面PCD 所成二面角的余弦值． 【答案】 由AD ＝6，DM ＝4，可得AM ＝2， 得四边形ABCM 是矩形，∴ CM ⊥AD ， 又PA ⊥平面ABCD ，CM ?平面ABCD ，∴ PA ⊥CM ， 又，PM ，AD ?平面PAD ，∴ CM ⊥平面PAD ， 又CM ?平面PCM ，∴ 平面PCM ⊥平面PAD ． 四棱锥P ?ABCD 的体积为： V =1 3 ?1 2 ?(AD +BC)?AB ?PA =4 3 ?AB ?PA ， 要使四棱锥P ?ABCD 的体积取最大值，只需AB ?PA 取得最大值． 由条件可得PA 2+AB 2＝PB 2＝72， ∴ 72≥2PA ?AB ，即PA ?AB ≤36， 当且仅当PA ＝AB ＝6时，PA ?AB 取得最大值36． 分别以AP ，AB ，AD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A ?xyz ． 则P(6,?0,?0)，C(0,?6,?2)，D(0,?0,?6)，M(0,?0,?2)， PC → =(?6,6,2)，PD → =(?6,0,6)，PM → =(?6,0,2)， 设平面PCD 的一个法向量为n 1→ =(x 1,y 1,z 1)， 由n 1→?PC → =0，n 1→?PD → =0 ， 可得{ ?6x 1+6y 1+2z 1=0?6x 1+6z 1=0 ，令y 1＝2，得n 1→ =(3,2,3)， 同理可得平面PCM 的一个法向量为n 2→ =(1,0,3)， 设平面PCM 与平面PCD 所成二面角为θ， 则cosθ=| n 1→?n 2 → |n 1→|?|n 2→| |= √10?√ 22 =6√5555 ． 由于平面PCM 与平面PCD 所成角为锐二面角， ∴ 平面PCM 与平面PCD 所成二面角的余弦值为6√5555 ． 【考点】 平面与平面垂直 二面角的平面角及求法 【解析】 （1）推导出CM ⊥AD ，PA ⊥CM ，从而CM ⊥平面PAD ，由此能证明平面PCM ⊥平面PAD ． （2）四棱锥P ?ABCD 的体积为V =1 3?1 2?(AD +BC)?AB ?PA =4 3?AB ?PA ，要使四棱锥P ?ABCD 的体积取最大值，只需AB ?PA 取得最大值．推导出当且仅当PA ＝AB ＝6时，PA ?AB 取得最大值36．分别以AP ，AB ，AD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A ?xyz ．利用向量法能求出平面PCM 与平面PCD 所成二面角的余弦值． 【解答】 由AD ＝6，DM ＝4，可得AM ＝2， 得四边形ABCM 是矩形，∴ CM ⊥AD ， 又PA ⊥平面ABCD ，CM ?平面ABCD ，∴ PA ⊥CM ， 又，PM ，AD ?平面PAD ，∴ CM ⊥平面PAD ， 又CM ?平面PCM ，∴ 平面PCM ⊥平面PAD ． 四棱锥P ?ABCD 的体积为： V =1 3 ?1 2 ?(AD +BC)?AB ?PA =4 3 ?AB ?PA ， 要使四棱锥P ?ABCD 的体积取最大值，只需AB ?PA 取得最大值． 由条件可得PA 2+AB 2＝PB 2＝72， ∴ 72≥2PA ?AB ，即PA ?AB ≤36， 当且仅当PA ＝AB ＝6时，PA ?AB 取得最大值36． 分别以AP ，AB ，AD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A ?xyz ． 则P(6,?0,?0)，C(0,?6,?2)，D(0,?0,?6)，M(0,?0,?2)， PC → =(?6,6,2)，PD → =(?6,0,6)，PM → =(?6,0,2)， 设平面PCD 的一个法向量为n 1→ =(x 1,y 1,z 1)， 由n 1→?PC → =0，n 1→?PD → =0 ， 可得{ ?6x 1+6y 1+2z 1=0?6x 1+6z 1=0 ，令y 1＝2，得n 1→ =(3,2,3)， 同理可得平面PCM 的一个法向量为n 2→ =(1,0,3)， 设平面PCM 与平面PCD 所成二面角为θ， 则cosθ=| n 1→?n 2 → |n 1→|?|n 2→| |= √10?√ 22 =6√5555 ． 由于平面PCM 与平面PCD 所成角为锐二面角， ∴ 平面PCM 与平面PCD 所成二面角的余弦值为6√5555 ． 已知函数f(x)＝x2+bsinx?2，(b∈R)，F(x)＝f(x)+2，且对于任意实数x，恒有 F(x?5)＝F(5?x)． （1）求函数f(x)的解析式； （2）已知函数g(x)＝f(x)+2(x+1)+alnx在区间(0,?1)上单调，求实数a的取值范围； （3）函数?(x)=ln(1+x2)?1 2 f(x)?k有几个零点？ 【答案】 由题设得：F(x)＝x2+bsinx， ∵F(x?5)＝F(5?x)， ∴F(?x)＝F(x) ∴x2?bsinx＝x2+bsinx， ∴bsinx＝0对于任意实数x都成立， ∴b＝0 ∴f(x)＝x2?2． 由g(x)＝f(x)+2(x+1)+alnx＝x2+2x+alnx， 得g′(x)=2x+2+a x (x>0) g(x)在(0,?1)上恒单调，只需g′(x)≥0或g′(x)≤0在(0,?1)上恒成立． 即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在(0,?1)上恒成立． ∴a≥?(2x2+2x)或a≤?(2x2+2x)在(0,?1)上恒成立． 设u(x)＝?(2x2+2x)，x∈(0,?1)，易知：u(x)∈(?4,?0)， ∴a≥0或a≤?4． 令y=ln(1+x2)?1 2f(x)，y′=2x 1+x2 ?x=?x(x+1)(x?1) 1+x2 ， 令y′＝0?x＝0或x＝1或x＝?1，列表如下： ∴当k>ln2+1 2 时，无零点； 当k<1或k=ln2+1 2 时，有两个零点； 当k＝1时，有三个零点； 1 利用导数研究函数的极值 【解析】 （1）先表示出汗水F(x)的表达式，再根据F(x?5)＝F(5?x)求出b的值，进而可确定函数f(x)的解析式． （2）将（1）中求出的函数f(x)的解析式代入函数g(x)然后求导，将问题转化为 g′(x)≥0或g′(x)≤0在(0,?1)上恒成立． （3）对函数?(x)进行求导，然后根据导函数的正负和原函数的单调性的关系判断函数的单调性，进而确定零点． 【解答】 由题设得：F(x)＝x2+bsinx， ∵F(x?5)＝F(5?x)， ∴F(?x)＝F(x) ∴x2?bsinx＝x2+bsinx， ∴bsinx＝0对于任意实数x都成立， ∴b＝0 ∴f(x)＝x2?2． 由g(x)＝f(x)+2(x+1)+alnx＝x2+2x+alnx， 得g′(x)=2x+2+a x (x>0) g(x)在(0,?1)上恒单调，只需g′(x)≥0或g′(x)≤0在(0,?1)上恒成立． 即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在(0,?1)上恒成立． ∴a≥?(2x2+2x)或a≤?(2x2+2x)在(0,?1)上恒成立． 设u(x)＝?(2x2+2x)，x∈(0,?1)，易知：u(x)∈(?4,?0)， ∴a≥0或a≤?4． 令y=ln(1+x2)?1 2f(x)，y′=2x 1+x2 ?x=?x(x+1)(x?1) 1+x2 ， 令y′＝0?x＝0或x＝1或x＝?1，列表如下： ∴当k>ln2+1 2 时，无零点； 当k<1或k=ln2+1 2 时，有两个零点； 当k＝1时，有三个零点； 当1 2 时，有四个零点． 已知函数f(x)＝(a+2)lnx+ax?x2． （1）讨论f(x)的单调性； 32 定义域为(0,?+∞)， f ′(x)= a+2x +a ?2x =? (x+1)(2x?a?2) x ， 当a ≤?2时，f ′(x)<0，f(x)在(0,?+∞)上单调递减， 当a >?2时，由f ′(x)>0，得0 ，f(x)在(0, a+22 )上单调递增， 由f ′(x)<0，得x > a+22 ，f(x)在( a+22 ,+∞)上单调递减， 综上，当a ≤?2时，f(x)的单调递减区间是(0,?+∞)； 当a >?2时，f(x)的单调递减区间是(a+22 ,+∞)，单调递增区间是(0, a+22 )． 易知a >0， ①当0 a+22 ≥a ，由（1）知，f(x)在(0,?a)上单调递减，此时，f(x)在 (0,?a)上不存在最大值． ②当a >2时，f(x)在(0,a+22 )上单调递增，在( a+22 ,a)上单调递减， 则f(x)max =f( a+22 )=(a +2)ln a+22 + a(a+2)2 ?( a+22 )2 =(a +2)ln a+22 + a 2?44 ， 故p(a)=(a +2)ln a+22+a 2?44(a >2)， 设g(x)=(x +2)ln x+22 + x 2?44 (x >2)，则g ′(x)=1+ln x+22 +x 2， ∵ x >2，∴ g ′(x)>0，∴ g(x)在(2,?+∞)上单调递增， ∴ g(x)>g(2)＝4ln2，即p(a)>4ln2．① ∵ 3 2a 2+a ?4=1 2(3a ?4)(a +2)，且a >2， ∴ 要证p(a)<3 2a 2+a ?4，只需证ln a+22 + a?24 < 3a?42 ，即证ln a+22 ? 5a?64 <0， 设?(x)=ln x+22 ? 5x?64 (x >2)， 则?(x)=1x+2?5 4<0，则?(x)在(2,?+∞)上单调递减， 从而?(x) a+22 ? 5a?64 <0，则p(a)<3 2a 2+a ?4，② 由①②可知，4ln2 2a 2+a ?4． 【考点】 利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的单调性 【解析】 （1）分类讨论，利用导数求函数的单调区间即可，注意函数的定义域为(0,?+∞)； （2）从（1）中结论可知，当02时，f(x)max =f(a+22 )，再构造函数，结合导数，利用分析法证明即可． 定义域为(0,?+∞)， f ′(x)= a+2x +a ?2x =? (x+1)(2x?a?2) x ，