初中数学代数式典型例题
代数式专项复习
一、知识储备
1. 代数式的定义
2. 单项式的定义、构成和注意事项
3. 多项式的定义、构成和注意事项
4. 求代数式的值的三种题型
5. 整式的定义
6. 同类项的定义
7. 去括号法则
8... 整式的运算法则(加减乘除乘方与混合运算)....................
9. 因式分解的定义和性质
10. 因式分解的常用方法
11. 公因式的定义
12. 因式分解的具体步骤
13. 因式分解的具体要求:幂大中正前,降整整畸形
14. 分式的定义和限制条件
15. 分式的基本性质
16. 分式的约分、通分和使用条件
17. 最简分式的定义
18.... 分式的运算法则(加减乘除乘方..............与混合运算.....).
19. 二次根式的定义和性质
20. 最简二次根式的定义
21. 化简最简二次根式的步骤
22. 同类二次根式的定义
23. 二次根式的基本性质
24.... 二次根式的运算法则(加减乘除乘方与混合运算)......................
二、经典例题
1. 将下列的代数式分别填入相应的大括号内:
221ab ,b a ,31,2x x +,23312-+-n mn n m ,32-x ,y
x +1,3122-+x x ,x x x ++12 单项式{ ...}
多项式{ ...}
二次式{ ...}
整式{ ...}
分式{ ...}
2. 若多项式()23522--+y n y x m 是关于x 、y 的四次二项式,求222n mn m +-的值。
3. 已知当2=x 时,代数式23+-bx ax 的值是-1,则当2-=x 时,这个代数式的值是( )
4. 化简:
(1)()()()()22223225x y y x y x y x -----+-,其中x =1,y =4
3;
(2)()()[]a b ab a b ab 2125323---+- ,其中52=+b a ,3-=ab
5. 试比较多项式的值的大小:1252--x x 与2352+-x x
6. 任意写出一个三位数,然后把这个三位数的百位数字和个位数字交换位置,得到另一个三位数,求证:这两个三位数的差总能被99整除。
7. 计算:(1)()=?÷326x x x (2)()=÷?3412x x x
8. 计算:(1)()()22245-25.0-?? (2)()3913
2125.0-? 9. 计算:(1)()()??????--?-523229432y x xy (2)b a abc c ab 23
2232123121-???? ??-???? ?? (3)()4222222141-b a b ab ab --???? ??+??? ?? (4)()()[]()2
23224224221-y y x xy y x -?---???? ?? 10.已知多项式乘积()()q x x q px x +-++322的结果中不含2x 和3x 项,求p,q 的值。
11.★已知多项式n x mx x +++111323能被56132+-x x 整除,求m,n 的值。
12.已知322=+x x ,则()()
()x x x x x -++-+14122的值为 13.公式法计算:(1)2212??? ?
?--z y x (2)()()a c b c b a -+--22 14.已知()()
212=---b a a a ,求代数式22
2b a ab +-的值 15.因式分解:(1)x y x --+224
1 (2)()()y x y y x x 43--- (3)()()
122222---a b a b a (4)()()652
----y x y x (5)444y x + (6)3523--x x 16.已知3=-b a ,2=-c b ,求ca bc ab c b a ---++222的值。
17.
代数式经典测试题及答案
代数式经典测试题及答案 一、选择题 1.若(x +1)(x +n )=x 2+mx ﹣2,则m 的值为( ) A .﹣1 B .1 C .﹣2 D .2 【答案】A 【解析】 【分析】 先将(x+1)(x+n)展开得出一个关于x 的多项式,再将它与x 2+mx-2作比较,即可分别求得m ,n 的值. 【详解】 解:∵(x+1)(x+n)=x 2+(1+n)x+n , ∴x 2+(1+n)x+n=x 2+mx-2, ∴12n m n +=??=-? , ∴m=-1,n=-2. 故选A . 【点睛】 本题考查了多项式乘多项式的法则以及类比法在解题中的运用. 2.下列各运算中,计算正确的是( ) A .2a?3a =6a B .(3a 2)3=27a 6 C .a 4÷a 2=2a D .(a+b)2=a 2+ab+b 2 【答案】B 【解析】 试题解析:A 、2a ?3a =6a 2,故此选项错误; B 、(3a 2)3=27a 6,正确; C 、a 4÷a 2=a 2,故此选项错误; D 、(a+b )2=a 2+2ab +b 2,故此选项错误; 故选B . 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算、完全平方公式、单项式乘以单项式等知识,正确化简各式是解题关键. 3.下列运算正确的是( ) A .21ab ab -= B 3=± C .222()a b a b -=- D .326()a a = 【答案】D 【解析】 【分析】 主要考查实数的平方根、幂的乘方、同类项的概念、合并同类项以及完全平方公式.
解: A 项,2ab ab ab -=,故A 项错误; B 3=,故B 项错误; C 项,222()2a b a ab b -=-+,故C 项错误; D 项,幂的乘方,底数不变,指数相乘,32236()a a a ?==. 故选D 【点睛】 本题主要考查: (1)实数的平方根只有正数,而算术平方根才有正负. (2)完全平方公式:222()2a b a ab b +=++,222()2a b a ab b -=-+. 4.已知:1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7=16=42,1+3+5+7+9=25=52,…,根据前面各式的规律可猜测:101+103+105+…+199=( ) A .7500 B .10000 C .12500 D .2500 【答案】A 【解析】 【分析】 用1至199的奇数的和减去1至99的奇数和即可. 【详解】 解:101+103+10 5+107+…+195+197+199 =22119919922++????- ? ????? =1002﹣502, =10000﹣2500, =7500, 故选A . 【点睛】 本题考查了规律型---数字类规律与探究,要求学生通过观察,分析、归纳发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题. 5.下列各式中,计算正确的是( ) A .835a b ab -= B .352()a a = C .842a a a ÷= D .23a a a ?= 【答案】D 【解析】 【分析】 分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可.
代数式知识点、经典例题、习题及答案
代数式 【考纲说明】 1、理解字母表示数的意义及用代数式表示规律。 2、用代数式表示实际问题中的数量关系,求代数式的值。 【知识梳理】 1、代数式:指含有字母的数学表达式。 2、一个代数式由数、表示数的字母、运算符号组成。单个字母或数字也是代数式。 3、代数式的值:一般地,用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果叫做代数式的值。 4、用字母表示数的规范格式: (1)、数和表示数的字母相乘,或字母和字母相乘时,乘号可以省略不写,或用“.”来代替。 (2)、当数和字母相乘,省略乘号时,要把数字写到前面,字母写后面。如:100a或100?a,na或n?a。 (3)、后面接单位的相加式子要用括号括起来。如:( 5s )时 (4)、除法运算写成分数形式。 (5)、带分数与字母相乘时,带分数要写成假分数的形式。 5、列代数式时要注意: (1)语言叙述中关键词的意义,如“大”“小”“增加”“减少”。 “倍”“几分之几”等词语与代数式中的运算符号之间的关系。 (2)要理清运算顺序和正确使用括号,以防出现颠倒等错误,例如“积的和”与“和的积”“平方差”“差的平方”等等。 (3)在同一问题中,不同的数量必须用不同的字母表示。
【经典例题】 【例1】(2012重庆,9,4分)下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成。其中第①个图形一共有2个五角星,第②个图形一共有8个五角星,第③个图形一共有18个五角星,…,则第⑥个图形中的五角星的个数为( ) 【解析】仔细观察图形的特点,它们都是轴对称图形,每一行的个数都是偶数,分别是2,4,6,…,6,4,2,故第⑥个图形中五角星的个数为2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72。 答案:D 【例2】(2011甘肃兰州,20,4分)如图,依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去,已知第一个矩形的面积为1,则第n 个矩形的面积为 . 【解析】由中点四边形的性质可知,每次所得新中点四边形的面积是前一个图形的1 2 ,故后一个矩形的面积是前一个矩形的 1 4 ,所以第n 个矩形的面积是第一个矩形面积的1 22 1142n n --????= ? ??? ?? ,已知第一个矩形面积为1,则第n 个矩形的面积为22 12n -?? ? ?? 。 【例3】按一定规律排列的一列数依次为111111 ,,,,,,2310152635 …,按此规律,第7个数是 。 【解析】先观察分子:都是1;再观察分母:2,3,10,15,26,…与一些平方数1,4,9,16,…都差1,2=12 +1,3=22 -1,10=32 +1,15=42 -1,26=52 +1,…,这样第7个数为2 11 7150 =+。 答案: 150 【例4】已知: 114a b -=,则2227a ab b a b ab ---+的值为( ) A .6 B .--6 C .215- D .2 7 - 【解析】由已知114a b -=,得 4b a ab -=,
代数式知识点、经典例题、习题及答案(供参考)
1.2 代数式 【考纲说明】 1、理解字母表示数的意义及用代数式表示规律。 2、用代数式表示实际问题中的数量关系,求代数式的值。 【知识梳理】 1、代数式:指含有字母的数学表达式。 2、一个代数式由数、表示数的字母、运算符号组成。单个字母或数字也是代数式。 3、代数式的值:一般地,用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果叫做代数式的值。 4、用字母表示数的规范格式: (1)、数和表示数的字母相乘,或字母和字母相乘时,乘号可以省略不写,或用“.”来代替。(2)、当数和字母相乘,省略乘号时,要把数字写到前面,字母写后面。如:100a或100?a,na或n?a。 (3)、后面接单位的相加式子要用括号括起来。如:(5s )时 (4)、除法运算写成分数形式。 (5)、带分数与字母相乘时,带分数要写成假分数的形式。 5、列代数式时要注意: (1)语言叙述中关键词的意义,如“大”“小”“增加”“减少”。 “倍”“几分之几”等词语与代数式中的运算符号之间的关系。 (2)要理清运算顺序和正确使用括号,以防出现颠倒等错误,例如“积的和”与“和的积”“平方差”“差的平方”等等。 (3)在同一问题中,不同的数量必须用不同的字母表示。 【经典例题】 【例1】(2012重庆,9,4分)下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成。其中第①个图形一共有2个五角星,第②个图形一共有8个五角星,第③个图形一共有18个五
角星,…,则第⑥个图形中的五角星的个数为( ) 【解析】仔细观察图形的特点,它们都是轴对称图形,每一行的个数都是偶数,分别是2,4,6,…,6,4,2,故第⑥个图形中五角星的个数为2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72。 答案:D 【例2】(2011甘肃兰州,20,4分)如图,依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去,已知第一个矩形的面积为1,则第n 个矩形的面积为 . 【解析】由中点四边形的性质可知,每次所得新中点四边形的面积是前一个图形的 12,故后一个矩形的面积是前一个矩形的14 ,所以第n 个矩形的面积是第一个矩形面积的1221142n n --????= ? ?????,已知第一个矩形面积为1,则第n 个矩形的面积为2212n -?? ???。 【例3】按一定规律排列的一列数依次为 111111,,,,,,2310152635 …,按此规律,第7个数是 。 【解析】先观察分子:都是1;再观察分母:2,3,10,15,26,…与一些平方数1,4,9,16,…都差1,2=12+1,3=22-1,10=32+1,15=42-1,26=52+1,…,这样第7个数为 2117150=+。 答案:150 【例4】已知: 114a b -=,则2227a ab b a b ab ---+的值为( ) A .6 B .--6 C .215- D .27 - 【解析】由已知114a b -=,得4b a ab -=, ∴4,4, 2()242 6.2272()787b a ab a b ab a ab b a b ab ab ab a b ab a b ab ab ab ∴-=-=-------∴===-+-+-+答案:A 【课堂练习】 1、(2012湖北武汉,9,3分)一列数a1,a2,a3,…,其中a1= 111,21n n a a -=+(n 为不
初中数学最值问题典型例题
初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短; 直线外一点与直线上所有点的连线段中,垂线段最短; 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值) 是解决几何最值问题的理论依据,根据不同特征转化是解决最值问题的关键.通过转化减少变量,向三个定理靠拢进而解决问题;直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段. 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A,B为定点,l为定直 线,P为直线l上的一 个动点,求AP+BP的 最小值 A,B为定点,l为定直线, MN为直线l上的一条动线 段,求AM+BN的最小值 A,B为定点,l为定直线, P为直线l上的一个动 点,求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M,N 重合,然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中,M,N两点分别是边AB,BC上的动点,将△BMN沿MN翻折, B点的对应点为B',连接AB',求AB'的最小值. 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1.如图:点P是∠AOB内一定点,点M、N分别在边OA、OB上运动,若∠AOB=45°,OP=32,则△PMN 的周长的最小值为. 【分析】作P关于OA,OB的对称点C,D.连接OC,OD.则当M,N是CD与OA,OB的交点时,△PMN 的周长最短,最短的值是CD的长.根据对称的性质可以证得:△COD是等腰直角三角形,据此即可求解.【解答】解:作P关于OA,OB的对称点C,D.连接OC,OD.则当M,N是CD与OA,OB的交点时,△PMN的周长最短,最短的值是CD的长. ∵PC关于OA对称, ∴∠COP=2∠AOP,OC=OP 同理,∠DOP=2∠BOP,OP=OD ∴∠COD=∠COP+∠DOP=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=90°,OC=OD.
旋转相似经典例题知识讲解
旋转与全等、相似中的线段数量关系 基本例题:1、如图,△ABC中,∠C=90°.(1)将△ABC绕点B逆时针旋转90,画出旋转后的三角形;(2)若BC=3,AC=4,点A旋转后的对应点为A′,求A′A的长 变式1,如图Rt△AB'C'是由Rt△ABC,绕点A顺时针旋转得到的,连接C C'交AB于E, (1)证明:△CA C'∽△BA B' (2)延长C C'交B B'于F,证明:△CA E∽△FBE 变式2,△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△DBE,若恰好得到C、E、D三点共线,则AC、BC、CD的数量关系是 变式3,△ABC绕点B逆时针旋转a°得到△DBE,若恰好得到C、E、D三点共线,则AC、
BC、CD的数量关系是 变式4、Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=∠ADB=90°,连接CD,求:AD、CD、BD的数量关系 变式5、Rt△ABC中,AC=kBC,∠ACB=∠ADB=90°,连接CD,探究:AD、CD、BD的数量关系 变式6、如图,在△OAB和△OCD中,∠A<90°,OB=KOD(K>1),∠AOB=∠COD,∠OAB与∠OCD互补,试探索线段AB与CD的数量关系,并证明你的结论。 变式7.如图AB∥CD,BC∥ED, ∠BCD+∠ACE=180°。 (1)当BC=CD 且∠ACE=90°时如图3探究线段AC和CE之间的数量关系 (2)当BC=CD 时如图2探究线段AC和CE之间的数量关系 (3)当BC=kCD时如图1探究线段AC和CE之间的数量关系(用含k的式子表示) E B C A D C A D B
80中田凌志老师提供 1如图R t △ABC ,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B 作直线MN ∥AC,点P 在直线BC 上,∠EPF=∠CAB ,且两边分别交直线AB 于E ,交直线MN 于F 。如图(1)(2)(3)探究PE 与PF 之间的数量关系,并证明 P N M F E C B A _ P _ N _ M _F _E _ C _ B _ A 图1 图2
代数式求值经典题型(含详细答案)
代数式求值 经典题型 【编著】黄勇权 经典题型: 1、x+x 1 =3,求代数式 x 2 -2 x 1的值。 2、已知a+b=3ab ,求代数式b 1 a 1+的值。 3、已知 x 2 -5x+1=0,求代数式x 1x +的值。 4、已知x-y=3,求代数式(x+1) 2 -2x+y (y-2x )的值。 5、已知x-y=2,xy=3,求代数式x 2 -xy 6+y 2的值。 6、已知y x =2,则x y -x 的值是多少?
7、若2y 1x 1=+,求代数式:3y xy -3x y 3xy -x ++的值。 8、已知5-x =4y-4-y 2,则代数式2x-3+4y 的值 是多少? 9、化简求值,12x x 1-x 2 ++÷)(1x 2 1+-, 其中x=13- 10、x 2-4x+1=0,求代数式:x 2 +2 x 1 的值。 【答案】 1、x+x 1 =3,求代数式:x 2 -2 x 1的值。 解:x 2 -2 x 1 =(x+x 1)(x-x 1 ) =(x+x 1 )2x 1-x )( =(x+x 1 )2 2x 12x +- =(x+x 1)4x 12x 2 2 -++ =(x+x 1)4x 1x 2 -+)( 将 x+x 1 =3 代入式中
=3×432- =35 2、已知a+b=3ab ,求代数式:b 1 a 1+的值。 解:b 1 a 1+ =ab b a + 将a+b=3ab 代入式中 =3 3、已知x 2 -5x+1=0,求代数式:x 1 x +的值。 解:因x 2 -5x+1=0, 等式两边同时除以x 则有:x 0 x 1x x 5x x 2=+- 化简得:x-5+x 1 =0 把-5移到等号的右边,得: x 1 x +=5
初中数学10大解题方法及典型例题详解
初中数学10大解题方法及典型例题详解 1、配方法 所谓配方,就是把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中,用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法,它的应用十分非常广泛,在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 例题: 用配方法解方程x2+4x+1=0,经过配方,得到( ) A.(x+2) 2=5 B.(x-2) 2=5 C.(x-2) 2=3 D.(x+2) 2=3 【分析】配方法:若二次项系数为1,则常数项是一次项系数的一半的平方,若二次项系数不为1,则可先提取二次项系数,将其化为1后再计算。【解】将方程x2+4x+1=0, 移向得:x2+4x=-1, 配方得:x2+4x+4=-1+4, 即(x+2) 2=3; 因此选D。 2、因式分解法 因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 例题: 若多项式x2+mx-3因式分解的结果为(x-1)(x+3),则m的值为()A.-2 B.2 C.0 D.1 【分析】根据因式分解与整式乘法是相反方向的变形,先将(x-1)(x+3)乘法公式展开,再根据对应项系数相等求出m的值。
【解】∵x2+mx-3因式分解的结果为(x-1)(x+3), 即x2+mx-3=(x-1)(x+3), ∴x2+mx-3=(x-1)(x+3)=x2+2x-3, ∴m=2; 因此选B。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。 例题: 已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8,则x2+y2的值为() A.-5或1 B.1 C.5 D.5或-1 【分析】解题时把x2+y2当成一个整体来考虑,再运用因式分解法就比较简单【解】设x2+y2=t,t≥0,则原方程变形得 (t+1)(t+3)=8,化简得: (t+5)(t-1)=0, 解得:t 1=-5,t 2 =1 又t≥0 ∴t=1 ∴x2+y2的值为只能是1. 因此选B. 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R,a≠0)根的判别,△=b2-4ac,不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法,在代数式变形,解方程(组),解不等式,研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根;已知两个数的和与积,求
初中数学专题典型例题训练
第一讲:实数与代数专题典型例题讲解 一实数 1. 例:在14-和15 -之间,请写出两个有理数: . 2. 有理数2 2 3 1 2, (2), 2, 2 ---- 按从小到大的顺序排列是( ) A .322122< (2) 2-<--<-, B . 223 12< (2) 22 -<--<- C . 22312< (2) 22-<--<-, D . 232 12< 2(2)2 -<--<- 3. 将一刻度尺如图所示放在数轴上 (数轴的单位长度是1CM ),刻度尺上的“0cm ”和 “15cm ”分别对应数轴上的-3.6和x ,则( ) A .9<x <10; B .10<x <11; C .11<x <12; D .12<x <13; 4. 下列说法正确的是( ) A .互为相反数的两个数一定不相等; B .互为倒数的两个数一定不相等; C .互为相反数的两个数的绝对值相等; D .互为倒数的两个数的绝对值相等; 5. 若3x -和7x -是某个实数的平方根,则x = . 6. 若函数()f x 、()g x 满足()()0f x g x +=,当2()f x x x =-+,则函数()g x 的最小值为: 7. 有理数A 、B 、C 在数轴上的位置如图所示,则式子|A |+|B |+|A +B |+|B -C |化简结果为.[ ]. .A .2A +3B -C...B .3B -C..C .B +C....D .C -- 8. 若|A -2|=2-A ,求A 的取值范围。 9. 已知:|x -2|+x -2=0,.求:(1)x +2的最大值; 10. 单项式3x y π - 的系数是_______,次数是_____。 11. 如果21 13 m n a b +--与5 4a b 的同类项,则M =_____,N =_________。 12. 如图.在正方形ABCD 的边长为3,以A 为圆心,2为半径作圆弧.以D 为圆心, 3为半径作圆弧.若图中阴影部分的面积分为S 1、S 2.则S 1-S 2= . 13. 以Rt △ACB 两条直角边为直径向外作半圆,如图,其面积分别为1S 和2S ,若△ABC 的面积为S ,则12,S S 与S 的关系为 . 14. 若2 2(3)16x m x +-+是完全平方式,则m 的值为: . 15. 若m 2+m -1=0,求m 3+2m 2+2015的值. 16. 若0,0,x xy <<则15y x x y -+---=
旋转经典题型
01 分点突破 知识点1中心对称与中心对称图形 1. 图形的是 C 1) 2.(齐齐哈尔屮考)下列汉字或字母既是屮 心对称图形又是轴对称图形的是 知识点2平面直角坐标系与旋转 (阜新屮考)ri 章末复习 旋转 A. Bl cH D Z (济宁中考)下列图形是中心对称 如图,正方形OABC 在平面直角坐标系屮,点 A 的坐标为 (2, 0),将正方形OABC 绕点0顺时针旋转45 0得到正方形 标为( ) OA B' C 则点C'的坐 A. ( .2, .2) C. ( . 2, — . 2) B. (— 2, . 2) D. (2 .2, 2 .2) 3. 4. (宁夏中考)如图,在平面直角坐标系xOy
中,△ A'B'由込ABC绕点P旋转得到,则点P的坐标为 . 5. __________________________ (北京中考)如图,在平面直角坐标系xOy中, 4AOB可以看作是AOCD经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的, 写出一种由△ OCD得到△ AOB的过程:
知识点 3 6.(天津 屮考)如图, 将厶 ABC 绕 点B 顺时针 旋转60 ° E 恰好落在AB 的延长线上,连 接AD.下列结论一定正确的是() AC = 5 cm, BC = 12 cm. 将厶ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△ BDE ,连接DC 交AB 于点F,则厶ACF 和厶BDF 的周长之和为 cm. 8?(徐州中考)如图,已知AC 丄BC,垂足为C, AC 二4, BC 二3. 3,将线 段AC 绕 点A 按逆时针方向旋转60°得到线段AD,连接DC, DB. (1)线段 DC 二 4; (2)求线段DB 的长度. 02 中考题型演练 9. (聊城中考)如图,将AABC 绕点C 顺时针旋转,使点B 落在AB 边上点 B'处,此时,点A 的对应点A'恰好落在BC 的延长线上,下列结论错误的是() 得"DBE,点 C 的对应点 旋转屮的让算问题 4 A. Z ABD 二Z E B. Z CBE 二Z C C. AD II BC D. AD =BC E B
初中数学知识要点及典型例题
初中数学知识要点及典型例题 第一章实数 第一讲实数的有关概念 【回顾与思考】 知识点:有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值 课标要求: 1.使学生复习巩固有理数、实数的有关概念. 2.了解有理数、无理数以及实数的有关概念;理解数轴、相反数、绝对值等概念,了解数的绝对值的几何意义。 3.会求一个数的相反数和绝对值,会比较实数的大小 4.画数轴,了解实数与数轴上的点一一对应,能用数轴上的点表示实数,会利用数轴比较大小。 考查重点: 1.有理数、无理数、实数、非负数概念; 2.相反数、倒数、数的绝对值概念; 3.在已知中,以非负数a2、|a|、 a (a≥0)之和为零作为条件,解决有关问题。 实数的有关概念
(1)实数的组成 {} ?????????????????????????????????正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数 (2)数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴 时,要注童上述规定的三要素缺一个不可),实数与数轴上的点是一 一对应的。数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数, (3)相反数 实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数,叫做互为相反 数,零的相反数是零). 从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称. (4)绝对值 ?? ???<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a 从数轴上看,一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 (5)倒数 实数a(a ≠0)的倒数是a 1(乘积为1的两个数,叫做互为倒数); 零没有倒数. 【例题经典】 理解实数的有关概念
旋转 典型例题(精品解析)
典型例题一 例 如图,以点O 为旋转中心,将ABC ?顺时针旋转45°,画出图形. 分析 当旋转中心O 在图形之外时,O 是一个孤立的点,没有从O 出发的线段或射线作参照,就无法确定旋转的角度,因此,首先还须将O 与图形上的某点(或某些点)连结起来. 解 如图,连结OA 、OB 、OC .将这三条线段绕O 点分别顺时针旋转45°,得C O B O A O '''、、,则C B A '''?就是按题目要求得到的旋转后的图形. 说明: 图形旋转后的效果有时不像平移那样直观,画图出现错误时可能不易发现,因此画图时要特别细心. 典型例题二 例 如图,正方形ABCD 中,E 是正方形内的一点,把AED ?绕着点A 按逆时针旋转90°,画出旋转后的三角形,并回答: (1)图中有哪些等线段和等角? (2)哪两个三角形形状、大小都一样? 分析 一个图形绕它的对称中心旋转一个角度后,图形中的每一点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度.本例中可以发现AD 旋转90°后,刚好与AB 重合,于是将AE 旋转90°到E A '的位置,使?='∠90E EA ,确定点E ',连E B ',则E AB '?就是ADE ?按要求旋转的三角形.(1)(2)中,根据图形旋转的特征,图形从一个位置旋转到另一个位置,形状和大小都没有改变,可确定相等的线段、相等的角以及形状相同的三角形. 答案 (1)相等的线段有:E B DE E A AE CD BC AB AD '='====,,.相等的角有:E E E AB ADE E BA DAE '∠=∠'∠=∠'∠=∠,,.
(2)ADE ?与E AB '?的形状和大小都一样. 典型例题三 例 如图,把一块砖ABCD 直立于地面上,然后将其轻轻推倒.在这个过程中,A 点保持不动,四边形ABCD 旋转到B C D A '''位置. (1)指出在这个过程中的旋转中心,并说出旋转的角度是多大? (2)指出图中的对应线段. 分析(1)由于四边形B C D A '''是由四边形ADCB 旋转得到的,A 点保持不动,所以A 是旋转中心.又由于D A B ',,三点在一条直线上,且AB AD ⊥,所以旋转的角度是90°.(2)由于D C B A ,,,的对应点分别是D C B A ''',,,,所以不难找出图中的对应线段. 答案 (1)A 是旋转中心,旋转的角度是90°. (2)CD BC AD AB ,,,的对应线段分别是D C C B D A B A '''''',,,. 典型例题四 例 (1)把长方形ABCD 绕着顶点A 逆时针旋转60°.如图. (2)把长方形ABCD 绕着长方形内一点P 逆时针旋转60°. 解 (1)①AB 绕A 点逆时针旋转60°到B A '位置,.,60AB B A AB B ='?='∠ ②连结AC ,作.,60AC C A AC C ='?='∠ ③作.,60AD D A AD D ='?='∠ 连结B C C D '''',,则四边形D C B A '''是四边形ABCD 逆时针旋转60°得到的图形. (2)①连结AP ,作?='∠60PA A ,使.AP P A =' ②用同样的方法作出D C B '''、、,连结A D D C C B B A ''''''''、、、.
初中数学代数式典型例题
代数式专项复习 一、知识储备 1. 代数式的定义 2. 单项式的定义、构成和注意事项 3. 多项式的定义、构成和注意事项 4. 求代数式的值的三种题型 5. 整式的定义 6. 同类项的定义 7. 去括号法则 8... 整式的运算法则(加减乘除乘方与混合运算).................... 9. 因式分解的定义和性质 10. 因式分解的常用方法 11. 公因式的定义 12. 因式分解的具体步骤 13. 因式分解的具体要求:幂大中正前,降整整畸形 14. 分式的定义和限制条件 15. 分式的基本性质 16. 分式的约分、通分和使用条件 17. 最简分式的定义 18.... 分式的运算法则(加减乘除乘方..............与混合运算.....). 19. 二次根式的定义和性质 20. 最简二次根式的定义 21. 化简最简二次根式的步骤 22. 同类二次根式的定义 23. 二次根式的基本性质 24.... 二次根式的运算法则(加减乘除乘方与混合运算)...................... 二、经典例题 1. 将下列的代数式分别填入相应的大括号内: 221ab ,b a ,31,2x x +,23312-+-n mn n m ,32-x ,y x +1,3122-+x x ,x x x ++12 单项式{ ...} 多项式{ ...} 二次式{ ...} 整式{ ...} 分式{ ...} 2. 若多项式()23522--+y n y x m 是关于x 、y 的四次二项式,求222n mn m +-的值。 3. 已知当2=x 时,代数式23+-bx ax 的值是-1,则当2-=x 时,这个代数式的值是( ) 4. 化简: (1)()()()()22223225x y y x y x y x -----+-,其中x =1,y =4 3;
初中数学几何证明经典题(含答案)
初中几何证明题 经典题(一) 1、已知:如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO. 求证:CD=GF.(初二) .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆,所以∠GFH=∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO,所以CD=GF得证。 2、已知:如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=150. 求证:△PBC是正三角形.(初二) .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆,所以∠GFH=∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO,所以CD=GF得证。 .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆,所以∠GFH=∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO,所以CD=GF得证。 A P C D B A F G C E B O D
3、如图,已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形,A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点. 求证:四边形A 2B 2C 2D 2是正方形.(初二) 4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F . 求证:∠DEN =∠F . 经典题(二) 1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O (1)求证:AH =2OM ; (2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二) D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B
图形旋转练习题(经典题)
图形旋转练习题 1. 如图1,P 是正三角形ABC 内的一点,且PA=6,PB=8,PC=10,求∠APB 的度数。 2. 如图P 是正方形ABCD 内一点,点P 到正方形的三个顶点A 、B 、C 的距离分别为PA=1,PB=2,PC=3。求此正方形ABCD 面积。 A B C D P 3.设点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上滑动且保持∠EAF=450, A P ⊥EF 于点P (1) 求证:AP=AB ,(2)若AB=5,求ΔECF 的周长。 4.如图17,正方形ABCD ,E 、F 分别为BC 、CD 边上一点. (1)若∠EAF=45o.求证:EF=BE+DF . (2)若⊿AEF 绕A 点旋转,保持∠EAF=45o,问⊿CEF 的周长是否随⊿AEF 位置的变化而变化? (3)已知正方形ABCD 的边长为1,如果⊿CEF 的周长为2.求∠EAF 的度数. 5ABC 中,∠ABC=90°,点D 在AC 上,将△ABD 绕顶点B 沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE. ⑴求∠DCE 的度数; ⑵当AB=4,AD ∶DC=1∶3时,求DE 的长. F E D C B A A A F P P B B C C
6.如图所示,△ABC 是直角三角形,BC 是斜边,将△ABP 绕点A 逆时针旋转后,使AB 落到AC 上,则P 落到点P '处。如果AP=1,则PP '=___________. 7.如图,四边形ABCD 中,∠BAD=∠C=90o,AB=AD ,AE ⊥BC 于E ,若线段AE=5,则S 四边形ABCD = 。 8.如图所示,已知P 是正方形ABCD 内一点,以B 为 旋转中心,把△PBC 沿逆时针方向旋转90°得到△P BA ',连接PP ', 则∠P PB '的度数是______。 9、如图,将△ABC 绕点A 旋转一定角度后能与△ADE 重合,如果△ABC 的面积是 12cm 2 ,那么△ADE 的面积是 。 10、如图,△ABC 是等边三角形,D 为BC 边上的点,∠BAD =15°, △ABD 经旋转后到达△ACE 的位置,那么旋转角的度数是 . 11、如图,把三角形△ABC 绕着点C 顺时针旋转350,得到△A 'B 'C ,A 'B '交AC 于点D ,若∠A 'DC=900,则∠A 的度数是__________。 E D C B A 11
代数式知识点经典例题习题及答案
1.2代数式 【考纲说明】 1、理解字母表示数的意义及用代数式表示规律。 2、用代数式表示实际问题中的数量关系,求代数式的值。 【知识梳理】 1、代数式:指含有字母的数学表达式。 2、一个代数式由数、表示数的字母、运算符号组成。单个字母或数字也是代数式。 3、代数式的值:一般地,用数值代替代数式?里的字母,计算后所得的结果叫做代数式的值。 4、用字母表示数的规范格式: (1)、数和表示数的字母相乘,或字母和字母相乘时,乘号可以省略不写,或用“?"来代替。 (2)、当数和字母相乘,省略乘号时,要把数字写到前面,字母写后而。如:100a或100?“,na 或n*a o (3)、后而接单位的相加式子要用括号括起来。如:(5s )时 (4)、除法运算写成分数形式° (5)、带分数与字母相乘时,带分数要写成假分数的形式。 5、列代数式时要注意: (1)语言叙述中关键词的意义,如“大”,“小” “增加”“减少”。 "倍”「'几分「之几”等词语与代数式中的运算符号之间的关系。 (2)要理淸运算顺序和正确使用括号,以防出现颠倒等错误,例如“积的和”与“和的积” “平方差” “差的平方”等等。 (3)在同一问题中,不同的数呈必须用不"同的字母表示。
【经典例题】 【例1] (2012重庆,9, 4分〉下列图形都是由同样大小的五角星按一立的规律组成。其中第①个图形一共有2个五角星,第②个图形一共有8个五角星,第③个图形一共有18个五
角星,…,则第⑥个图形中的五角星的个数为() ★★ ★★★★★★ ¥举 图①图② 【解析】仔细观察图形的特点,它们都是轴对称图形,每一行的个数都是偶数,分别是2, 4,6,…,642,故第⑥个图形中五角星的个数为2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72o 答案:D 【例2] (2011甘肃兰州,20, 4分)如图,依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形, 再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去,已知第一个矩形的面积 为1,则第n个矩形的面积为______________ : 【解析】由中点四边形的性质可知,每次所得新中点四边形的面积是前一个图形的丄.故 2 后一个矩形的而积是前一个矩形的丄,所以第n个矩形的而积是第一个矩形而积的4 / ] 、2刃_2 已知第一个矩形面积为则第n个矩形的而积为一 辽丿 【例3】按一定规律排列的一列数依次为丄丄,丄,丄,丄,丄按此规律,第7个数 2 3 10 15 26 35 是 ____ O 【解析】先观察分子:都是1;再观察分母:2310,15.26,…与一些平方数1,4.9,16,…都 差1,2二1*1, 3=2<1, 10=3*1, 15=43-1, 26=5*1,…,这样第7 个数为-J—= —0 72+1 50 答案:丄 50 ★★ ★★★★ ★★★★★★ 图③ 答案:
(最新最全)实数经典例题+习题(全word已整理)
经典例题 类型一.有关概念的识别 1.下面几个数:0.23,1.010010001…,,3π,,,其中,无理数的个 数有() A、1 B、2 C、3 D、4 解析:本题主要考察对无理数概念的理解和应用,其中,1.010010001…,3π,是无理数 故选C 举一反三: 【变式1】下列说法中正确的是() A、的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、=±1 D、是5的平方根的相反数 【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念, ∵=9,9的平方根是±3,∴A正确. ∵1的立方根是1,=1,是5的平方根,∴B、C、D都不正确. 【变式2】如图,以数轴的单位长线段为边做一个正方形,以数轴的原点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是() A、1 B、1.4 C、 D、 【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系.∵正方形的边长为1,对角线为,由圆的定义知|AO|=,∴A表示数为,故选C. 【变式3】 【答案】∵π= 3.1415…,∴9<3π<10 因此3π-9>0,3π-10<0 ∴ 类型二.计算类型题 2.设,则下列结论正确的是() A. B.
C. D. 解析:(估算)因为,所以选B 举一反三: 【变式1】1)1.25的算术平方根是__________;平方根是__________.2)-27立方根是__________. 3) ___________,___________,___________. 【答案】1);.2)-3. 3),, 【变式2】求下列各式中的 (1)(2)(3) 【答案】(1)(2)x=4或x=-2(3)x=-4 类型三.数形结合 3. 点A在数轴上表示的数为,点B在数轴上表示的数为,则A,B两点的距离为______ 解析:在数轴上找到A、B两点, 举一反三: 【变式1】如图,数轴上表示1,的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则点C 表示的数是(). A.-1 B.1-C.2-D.-2 【答案】选C [变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示: 化简 【答案】: 类型四.实数绝对值的应用
初中数学最值问题典型例题(含答案分析)
中考数学最值问题总结 考查知识点:1、“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”,“线段的平移”。 (2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题) 问题原型:饮马问题造桥选址问题(完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点)出题背景变式:角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路:找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型: 条件:如下左图,A、B是直线l同旁的两个定点. 问题:在直线l上确定一点P,使PA PB +的值最小. 方法:作点A关于直线l的对称点A',连结A B'交l于 点P,则PA PB A B' +=的值最小 例1、如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三 角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM. (1)求证:△AMB≌△ENB; (2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小; ②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由; (3)当AM+BM+CM的最小值为 时,求正方形的边长。 A B A' ′ P l
例2、如图13,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为(1,4),交x轴于A、B,交y轴于D,其中B点的坐标为(3,0) (1)求抛物线的解析式 (2)如图14,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中E点的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为PQ上一动点,则x轴上是否存在一点H,使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在,求出这个最小值及G、H的坐标;若不存在,请说明理由. (3)如图15,抛物线上是否存在一点T,过点T作x的垂线,垂足为M,过点M作直线M N∥BD,交线段AD于点N,连接MD,使△DNM∽△BMD,若存在,求出点T的坐标;若不存在,说明理由.
(整理)中考数学几何图形旋转试题经典问题及解答
几何图形旋转常见问题 一、填空题 1.如图1,把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′,则它们的公共部分的面积等于. 2.如图2,将一块斜边长为12cm,∠B=60°的直角三角板ABC,绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置,再沿CB向右平移,使点B′刚好落在斜边AB上,那么此三角板向右平移的距离是cm. 3.正△ABC的边长为3cm,边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合,点P,Q分别在AC,AB上,将△RPQ沿着边AB,BC,CA顺时针连续翻转(如图3所示),直至点P第一次回到原来的位置,则点P运动路径的长为cm. 4.如图4,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=3,∠BCD=45°,将腰CD 以点D为中心逆时针旋转90°至ED,连结AE,CE,则△ADE的面积是. 二、解答题 5.如图5-1,已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合),PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F. (1) 求证:BP=DP; (2) 如图5-2,若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转,在旋转过程中是否总有BP=DP?若是,请给予证明;若不是,请用反例加以说明; (3) 试选取正方形ABCD的两个顶点,分别与四边形PECF的两个顶点连结,使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等,并证明你的结论 .
6.如图6-1是一个美丽的风车图案,你知道它是怎样画出来的吗?按下列步骤可画出这个风车图案:在图6-2中,先画线段OA,将线段OA平移至CB处,得到风车的第一个叶 片F 1,然后将第一个叶片OABC绕点O逆时针旋转180°得到第二个叶片F 2 ,再将F 1 、F 2 同时 绕点O逆时针旋转90°得到第三、第四个叶片F 3、F 4 .根据以上过程,解答下列问题: (1)若点A的坐标为(4,0),点C的坐标为(2,1),写出此时点B的坐标; (2)请你在图6-2中画出第二个叶片F 2 ; (3)在(1)的条件下,连接OB,由第一个叶片逆时针旋转180°得到第二个叶片的过程中,线段OB扫过的图形面积是多少? 7.如图7,在直角坐标系中,已知点P 0的坐标为(1,0),将线段OP 按逆时针方向旋转 45°,再将其长度伸长为OP 0的2倍,得到线段OP 1 ;又将线段OP 1 按逆时针方向旋转45°, 长度伸长为OP 1的2倍,得到线段OP 2 ;如此下去,得到线段OP 3 ,OP 4 ,…,OP n (n为正整数). (1)求点P 6 的坐标; (2)求△P 5OP 6 的面积; (3)我们规定:把点P n (x n ,y n )(n=0,1,2,3,…)的横坐标x n 、纵坐标y n 都取绝对值后 得到的新坐标(|x n |,|y n |)称之为点P n 的“绝对坐标”.根据图中点P n 的分布规律,请你猜 想点P n 的“绝对坐标”,并写出来. 8.把正方形ABCD绕着点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG,边FG与BC交于点H (如图8).试问线段HG与线段HB相等吗?请先观察猜想,然后再证明你的猜想.