《函数的单调性》公开课教案

1.3.1：《函数的单调性》

一、本节内容在教材中的地位与作用：

《函数的单调性》是人教版高中数学必修一第一章第三节第一课时的内容，该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。教材中从形和数来判断函数的增减性。函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数最值性和奇偶性，合称为函数的简单性质。函数的单调性为进一步学习函数其它性质提供了方法依据。同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。

二、学情、教法分析：

按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。

对于函数单调性，学生的认知困难可能存在以下两个方面的问题：

（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；

（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．

因此，在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。

三、教学目标

1.知识与技能：

(1)使学生理解函数单调性和最值的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性和最值。　

(2)能够利用函数的单调性及最值进行综合运用。

(3)启发学生发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题和解决问题的能力。

2.过程与方法：

(1)通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法.

(2)从已有知识出发，培养学生学会运用函数图象理解和研究函数的性质的能力。

3.情感、态度与价值观：

(1)通过知识的探究过程，突出学生的主观能动性：

(2)培养学生认真分析、严谨论证的数学思维习惯,让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。

四、教学重、难点：

教学重点：函数单调性的概念；判断、证明函数的单调性。

教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性。

五、教学手段：班班通设备

六、教学过程

1、创设情境，引入课题

函数是描述事物运动变化规律的数学模型，了解函数的变化规律势在必行。观察下面函数的图象，能说出它的变化规律吗？

通过分析遗忘曲线变化情况. 课上通过交流函数图象的“上升”“下降”反映了函数

〖设计意图〗让学生亲近数学，感受到数学就在他们的周围，强化学生的感性认识，从而达到学生对数学的理解，同时培养学生观察、分析图形的能力。

2、课堂探究

观察下面函数的图象，探究它们的函数值随自变量x 变化的规律。（图象在PPT 中呈现）

（1）y=x+2 ；（2）y=-x+2 ； (3)y=x 2

可观察到的图象特征：（引导学生）

（1）函数y=x+2的图象由左至右是上升的；在区间（）上，随着x 的增大f(x)+∞∞-,的值随着增大.

（2）函数y=x+2的图象由左至右是下降的；在区间（）请你仿照刚才的描述，+∞∞-,说明函数2)(x x f =在区间]0,(-∞上是减函数。),0(+∞上，随着x 的增大f(x)的值随着减小.

（3）函数2)(x x f =的图象在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的；也就是图象在区间]0,(-∞

上，随着x 的增大，相应的)(x f 随着减小，在区间),0(+∞上，随着x 的增大，相应的)

(x f 也随着增大。对于函数2)(x x f =，经过师生讨论得出：在区间),0(+∞上，任取两个21,x x ，当2

1x x <时，有)()(21x f x f <。这时，我们就说函数2)(x x f =在区间),0(+∞上是增函数

在区间]0,(-∞上，任取两个21,x x ，当21x x <时，有)()(21x f x f >。这时，我们就

说函数2)(x x f =在区间),0(+∞上是增函数

〖设计意图〗对照绘制的函数图像，并在此基础上进行概念的符号化建构，完成从图形语言向自然语言及符号语言的转化，与学生的认知起点衔接紧密。

3、形成概念

（1）增函数和减函数的定义 （板书）

设函数)(x f 的定义域为I ：

①如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数

②如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数。

（2）如果函数y=f(x)在区间D 上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间。

〖设计意图〗引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)。同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质。同时描述“同增异减”的含义探究问题：你可以从什么角度来判断函数的单调性？（合作探究）

〖设计意图〗让学生从图象（形的角度）和单调性的概念（数的角度）来认识函数的单调性。

4、探究实践

例1：（课本P29例1）图2-10是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出x=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，y=f(x)是增函数还是减函数。

解：函数y=f(x)的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中 y=f(x)在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2， 1)，[3， 5]上是增函数。

〖设计意图〗用提问的形式，让学生从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识（从形的角度）。并强调区间与区间之间只能用“，”或“和”隔开。

5、跟踪训练 1

根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数是增函数还是减函数。

〖设计意图〗让学生从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的进一步认识（从形的角度）。

分析： y=-x 2+6x+10=-(x-3)2+19

函数的图象如图所示：，]3,(-∞∴单调增区间是)

,3[+∞单调减区间是〖设计意图〗本例还是用提问的形式，让学生从从形的角度更深入理解函数的单调性的相关概念。

例3. 判断函数 f ( x ) = 3x+2 在 R 上的单调性并用定义证明。

解：函数 f ( x ) = 3x+2 在 R 上是单调增函数。

证明：设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且x 1＜x 2， ------------取值

则f(x 1)-f(x 2)=(3x 1+2)-(3x 2+2) ------------作差

=3(x 1-x 2)。 ------------变形

由x 1＜x 2，得x 1-x 2＜0，

于是 f(x 1)-f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)。 ---------- -定号 所以，f(x)= 3x+ 2在R 上是增函数 ------------结论〖设计意图〗教师示范板书，使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性。把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识。

知识点归纳：用定义证明函数单调性的步骤是：

①取值：即取x 1、x 2是该区间内的任意两个值且x 1

②作差变形：即求f(x 1)－f(x 2)，变形的方法主要有因式分解、配方、有理化等

③定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）即根据给定的区间和 x 1-x 2的符号的确定f(x 1)－f(x 2)的符号

结论：根据单调性的定义得结论

○4

〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.

6、课堂小结

（1）函数单调性的相关概念

（2）判断函数单调性的方法（在PPT中展示图表）

①图象法：从左到右看升降

②直接法：看函数值随自变量的增大怎样变化

（3）证明函数的单调性的基本步骤是：

①取值；②作差变形；③定号；④判断。

〖设计意图〗总结回顾本节课学过的知识。

7、作业布置

证明函数f(x)=x2+2在(－∞,0)上是减函数

（尝试）若定义在R上的单调减函数f(x)满足f(1-a) ＜f(a-3),你知道a的取值范围吗？〖设计意图〗巩固知识，查缺补漏,并通过尝试使所学知识得到延伸、拓展。

七、教学反思：

本节课是一节概念课，因此对定义的解读费时较多。函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函数图象的性质。因学生第一次接触函数的单调性，陌生感强，函数单调性，单调区间的概念掌握起来有一定困难，特别是增函数、减函数的定义很抽象，学生很难理解。因此，在教学的整个过程中，需要教师利用学生熟悉的函数模型，从具体函数的图象分析入手，使学生对增、减函数有一个直观的印象。通过引导的方式与学生共同分析函数图象的变化趋势，启发学生归纳总结出增、减函数中函数值与自变量之间的变化规律，使学生学会通过函数的图象来熟练的判断一个函数是增函数，还是减函数。通过这样的一节课基本上达到了让学生学会从形和数的角度来判断函数单调性这一教学目标。通过函数的单调性的概念的

形成过程，例题和习题的完成情况分析以及教师巡视和提问中及时发现问题并纠正学生出现的错误等情况分析，本课最终实现良好的课堂效果，促进了学生知识的正迁移，提高学生的学习效率。学生在课堂中基本掌握知识要点。这节课让学生获得了有价值的数学知识，让学生在数学课上得到不同方向的发展。