2019-2020学年吉林省油田高级中学高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版

吉林省油田高级中学2019-2020学年高二上学期期末考试

数学试卷(理科)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设命题:0p x ?>，||x x =，则p ?为( )

A ．0x ?>，||x x ≠

B ．00x ?≤，00||x x =

C ．0x ?≤，

||x x = D ．00x ?>，00||x x ≠ 2．已知A (－2,0,3)，B (－1,2,1)是空间直角坐标系中的两点，则|AB |=( )

A ．3

B

C ．9

D ．3．已知双曲线2

22:1(0)x C y a a

-=>的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )

A ．

2 B ．2 C ．32 D ．3

4．将正弦曲线sin y x =作如下变换:23X x

Y y =??=?

，得到的曲线的方程为( )

A ．2

sin

3X Y = B ．2sin 31X Y = C ．X Y 2sin 31

= D ．X Y 2sin 3=

5．已知向量(2,4,)AB x =，平面α的一个法向量(1,,3)n y =，若α⊥，则( ) A ．3420x y ++= B ．4320x y ++= C ．6x =，2y = D ．2x =，6y = 6．已知双曲线C:

x 216

?y 2

48=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 上一点，F 1Q ??????? =QP ????? ，O 为坐标

原点，若|PF 1|=10，则|OQ|=( ) A ．10 B ．9 C ．1 D ．1或9

7．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中(正四棱柱是指底面为正方形，侧棱和底面垂直的四棱柱)，AA 1＝2AB ，E 是AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( ) A ．35 B ．－31010 C ．1010 D ．310

10

8．设F 为抛物线24y x =的焦点，该抛物线上三点A 、B 、C 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y 、33(,)x y .若||||||9FA FB FC ++=，则123x x x ++=( )

A ．9

B ．6

C ．4

D ．3 9．“x 2?x ≤0”是“x ≤1”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

10．若椭圆22

13616

x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点F 1、F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面

积为( )

A ．36

B ．16

C ．20

D ．24

11．在三棱锥P －ABC 中，P A =AC =BC ，P A ⊥平面ABC ，90ACB ∠=?，O 为PB 的中点，则直线CO 与平面P AC 所成角的余弦值为( )

A B C D ．12

12．抛物线2

2(0)y px p =>的焦点为F ，

AB 是经过抛物线焦点F 的弦，M 是线段AB 的中点，过A ，B ，M 作抛物线的准线l 的垂线AC ，BD ，MN ，垂足分别是C ，D ，N ，其中MN 交抛物线于点Q .则下列说法中不正确的是( )

A ．

1

||||2

MN AB = B ．FN AB ⊥ C ．

Q 是线段MN 的一个三等分点 D ．QFM QMF ∠=∠ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知F 为椭圆C ：22

1164

x y +=的左焦点，

过F 作x 轴的垂线交C 于A 、B 两点，则|AB |=____． 14．给下列三个结论：

①命题“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题为假；②命题“若2am b <2m ，则a b <”的逆命题为真；③命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”；④命题“若直线a //直线b ，直线b //直线c ，则直线a //直线c”是真命题.其中正确的结论序号是______（填上所有正确结论的序号）．

15．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点，且x 1+x 2=5，则这样的直线有______条．

16．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1=2，

11120A AD A AB ∠=∠=?，则对角线BD 1的长度为__________.

三、解答题：本大题共6道题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．己知圆C 的圆

心的坐标为(4,0),C -半径为4，直线l 的参数方程为???

???

?=+

=t y t x 222

2

1(t 为参数) (1)求圆C 的极坐标方程，直线l 的普通方程； (2)若圆C 和直线l 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.

18．(本小题满分12分)

求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：

(1)以直线x y 3±=为渐近线，焦点是(－4，0)，(4，0)的双曲线；

(2)离心率为3

5

，短轴长为8的椭圆.

19．(本小题满分12分)

已知命题:p x R ?∈，230ax x -+>，命题:[1,2]q x ?∈，x a 2

1≥. (1)若p 为真命题，求a 的取值范围；

(2)若p q ∨为真命题，且p q ∧为假命题，求a 的取值范围.

20．(本小题满分12分)

已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 、F 分别为棱AB 、AA 1的中点. (1)求证：A 1C ⊥平面BC 1D ；

(2)求：EF 与平面BC 1D 所成角的正弦值.

21．(本小题满分12分)

已知动圆C 过定点F (2，0)，且与直线x =－2相切，圆心C 的轨迹为E ， (1)求圆心C 的轨迹E 的方程；

(2)若直线l 交E 于P ，Q 两点，且线段PQ 的中点坐标为(1，1)，求直线l 的方程．

22．(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点. (1)证明：P A //平面BDE ；

(2)若PD =DC ，求二面角B －DE －C 的余弦值.

四、选做题：

23．(本小题满分10分)

已知椭圆C ：22

221x y a b

+=(0a b >>)的左右焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，经过F 2的直

线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且△F 1AB 的周长为8． (1)则椭圆C 的方程为__________；

(2)斜率为2的直线m 与椭圆C 交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，且OP ⊥OQ ，则直线m 的方程为_________；

(3)若在x 轴上存在一点E ，使得过点E 的任一直线与椭圆两个交点M 、N ，都有22

11

||||EM EN +

为定值，则此定值为___________.

高二数学试卷(理科)参考答案

一、选择题：DADAC BDBAB BC

二、填空题：13. 2；14. ①④；15. 2；16. 2 三、解答题

17．【解】（1）圆C 的圆心的坐标为()4,0,C

-半径为4，得到圆的一般方程为：

()

2

2416,x y ++=化为极坐标得到8cos 0ρθ+=.

直线l 的参数方程为2

1:2x t l y t ?=+????=??

，可得到直线的斜率为1，过点（1，0），由点斜式得到

方程为：1y x =-.

（2）圆心为（-4，0），圆心到直线的距离为d=

5 2.22=半径为4，由勾股定理得到弦长为2

252414.2??

-= ???

18．【答案】（1）x 24－y 2

12＝1；（2）22

12516x y +=或2212516y x +=.

19．【详解】(1)当0a =时，30x -+>不恒成立，不符合题意；

当0a ≠时，01120a a >???=-

，解得1

12a >

. 综上所述：1

12

a >

. (2)[]1,2x ?∈

，2

1x

a ?≥，则14

a ≥

. 因为p q ∨为真命题，且q q ∧为假命题，所以p 真q 假或p 假q 真，

当p 真q 假，有11214a a ?>??????

，则a 无解.

综上所述，

11124

a <<. 20．解：建立坐标系如图，则

()

2,0,0A 、

()

2,2,0B ，

()

0,2,0C ，

()

12,0,2A ，

()

12,2,2B ，)2,2,0(1C ，

()10,0,2D ，

()

2,1,0E ，F (2,0,1)，

)1,1,0(-=EF ，)0,2,2(=DB ，)2,2,0(1=DC ,()12,2,2A C =--．

(1)∵

01=?DB C A ，011=?DC C A ，

∴D DC DB DC C A DB C A =⊥⊥1111,, ∴A 1C ⊥平面BC 1D

(2)由(1)知，1A C 为平面BC 1D 的法向量，

设EF 与平面BC 1D 所成的角为θ．∴sin θ=|

|||11C A EF =36

21．解：（1）由题设知，点C 到点F 的距离等于它到直线x =-2的距离，

所以点C 的轨迹是以F 为焦点x =-2为基准线的抛物线，所以所求E 的轨迹方程为y 2=8x ． （2）由题意已知，直线l 的斜率显然存在，

设直线l 的斜率为k ，11P x y （，）， 22Q x y （，），则有22

112288y x y x ==，，

两式作差得2

21

2128y y x x （）即得12

8

k y y =

+，

因为线段PQ 的中点的坐标为（1，1），所以k =4， 则直线l 的方程为y -1=4（x -1），即4x-y -3=0，

22．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AD DC =. ∵PD ⊥平面ABCD .

建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.

设PD DC a ==，则()0,0,0D

、(),0,0A a 、()0,0,P a 、(),,0B a a 、0,,22

a a

E ??

??

?

、()0,,0C a .

∴(),0,AP a a =-、(),,0DB a a =、0,

,22a a DE ??

= ???

、()0,,0DC a =. （1）设平面BDE 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则有110,0,n DB n DE ??=???=??即1

1110,02

2ax ay a a

y z +=???+=??

.

∴111

1,1,1x y z =??

=-??=?，∴()11,1,1n =-.100AP n a a ?=-++=，∴1AP n ⊥， 又∵AP ?平面BDE ，∴AP 平面BDE .

（2）设平面CDE 的一个法向量为()21,0,0n =

.12,3cosn n =

=

?

∴二面角B DE C --3

选做题：

23．【答案】（1）2

214

x y +=（2）220x y -±=（

3）5

【详解】（1）由已知，

1

122

c ab a ==，又2

22a b c =+，解得2,1,a b c === ∴椭圆的方程为2

214

x y +=。

（2）设直线l 的方程为2y x t =+，则由22142x y y x t

?+=???=+?可得222

24x y x y t -??+= ???，

即()

()

2

224416160y y t t x x ????-++-= ? ?????

∵OP OQ ⊥∴2

2216

14244

t t t t -=-?=?=±-

∴直线l 的方程为22y x =±即220x y -±=。 （3）设(),0E

m 、()11,M x y 、()22,N x y ，当直线n 不为x 轴时的方程为x ty m =+，

联立椭圆方程得：22

14x ty m x y =+???+=?? ()()222

4240t y tmy m ?+++-= 2121222

24

,44

tm m y y y y t t -∴+=-=++

()

()

()

()2

121222222222

2

1212211111

||||111y y y y EA EB y y t y t y t +-+=+=?+++ ()(

)()

222

22232828114

m m t

t m -++=?+-

∴当且仅当2

2

32828m m -=+

即5

m =±时22115||||EA EB +=（定值） 即在x 轴上存在点E 使得

22

11

||||EA EB +为定值5 点E

的坐标为?????

或??

? ???

。经检验，

当直线AB 为x 轴时上面求出的点E 也符合题意。