东北大学高数试卷及答案2006.1.10
东北大学高等数学(上)期末考试试卷
2006.1.
一、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分）
1．下列结论中，正确的是（ ）
（A ）有界数列必收敛； （B ）单调数列必收敛； （C ）收敛数列必有界； （D ）收敛数列必单调.
2．函数)(x f 在0(,)U x δ内有定义，对于下面三条性质：≠)(x f 在0x 点连续；≡)(x f 在0x 点可导；≈)(x f 在0x 点可微. 若用“P Q ?”表示由性质P 推出性质Q ，则应有（ ）.
（A ）≡?≈?≠； （B ）≡?≠?≈ ； （C ）≈?≠?≡ ； （D ）≠?≡?≈ . 3. 曲线3x y x
=
-（ ）.
（A ）既有水平渐近线，又有垂直渐近线； （B ）仅有水平渐近线； （C ）仅有垂直渐近线； （D ）无任何渐近线. 4．函数)(x f 在[,]a b 上有定义，则()()b a
f x f x dx =
?
存在的必要条件是（ ）
（A ）)(x f 在[,]a b 上可导； （B ）)(x f 在[,]a b 上可导连续； （C ）)(x f 在[,]a b 上有界； （D ）)(x f 在[,]a b 上单调. 5．()y y x =是微分方程23x
y y e
''+=的解，且0()0y x '=. 则必有（ ）
（A ）()y x 在0x 某邻域内单调增加； （B ）()y x 在0x 某邻域内单调减少； （C ）()y x 在0x 取极大值； （D ）()y x 在0x 取极小值. 6．若)(x f 的导函数是sin x ，则)(x f 有一个原函数是（ ）. （A ）1sin x +； （B ）1sin x -； （C ）1cos x -； （D ）1cos x +.
二、填空题（本题36分，每小题4分）
1．1lim 1x
x x x →∞+??
= ?-??
. 2．1()11f x x
=
+
的可去间断点是x = .
3．1arctan y x
=，则dy = . 4．1
x xe dx ?的值是 .
5．2
tan lim
sin x x x x x
→-= .
6. 0x +→
2x x α
，则α= .
7. 0
(2)(3)
dx x x +∞=++?
.
8. 设23
23x t t y t t
?=-?=-?，则2
2d y dx = . 9. 微分方程
14dy y dx
x
-
=-满足条件(1)1y =的特解是y = .
三、（8分）计算不定积分2
2
arctan 1x x dx x
+?
.
四、（8分）求曲线326124y x x x =-++的升降区间，凹凸区间及拐点. 五、（8分）求微分方程323x y y y xe -'''++=的通解.
六、（10分）在[]0,1上给定函数2y x =，问t 为何值时，如图所示阴影部分的面积1S 与2S 的和最小？并求此时两图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.
七、（6分）设)(x f 在[],a b 上连续，且不恒为常数. 又)(x f 在(,)a b 内可微，且
()()f a f b =. 试证：(,)a b ξ?∈使()0f ξ'>.
高等数学答案及评分标准 2006.1.10
t
一、单项选择题(本大题分6小题, 每小题4分, 共24分) 1．(C)2.(A) 3.(A ) 4 .(C). 5.(D)6. (B)
二、填空题（本大题分9小题, 每小题4分, 共36分）
1.2
e 2.0=x 3.
dx x
dy 2
11+-
= 4.
e 21-
5.31
6.
52α=
7.
23
ln
8.2
2
3
4(1)d y
dx
t =
-9.)ln 41(x x y -=9*.
k
j i b a
35--=?
三、(8分)计算不定积分
dx
x
x x ?+2
2
1arctan .
解：?
?
+-+=
+dx
x
x
x x dx x
x x 2
2
2
2
1arctan arctan )1(1arctan ------------2分
??-
=
x
xd xdx arctan arctan
arctan
------------4分
C
x dx x
x x x +-
+
-
=?2
2
)(arctan 2
11arctan ------------6分
C
x x x x +-
+-=2
2
)(arctan 2
1)1ln(2
1arctan -----------8分
四、(8分)求曲线
4
1262
3++-=x x x y 的升降区间, 凹凸区间及拐点.
解：y '=3x 2-12x +12,令 y '=0，得x =2.
2≠x , y '>0故在),(+∞-∞内为上升曲线. -----------2分
y ''=6(x -2).令y ''=0,得.x =2. - -----------4分 因为当2
所以凸区间为]2,( -∞,凹区间为),2[∞+ ,拐点为)12,2( .-----------8分 五、(8分)求微分方程x
xe
y y y -=+'+''323的通解.
解：微分方程的特征方程为
r 2+3r +2=0,
特征根为r 1=-1,r 2=-2,------------2分
齐次方程的通解为Y =C 1e -x +C 2e -2x .-----------4分 因为f (x )=3xe -x
,λ=-1是特征方程的单根, 故原方程的特解设为y *=x (Ax +B )e -x
,-----------6分 代入原方程并整理得 2Ax +(2A +B )=3x ,
比较系数得23
=
A ,
B =-3,从而
)
32
3(
*2
x x e
y x
-=-.
因此,原方程的通解为 )
32
3(
2
221x x e
e
C e
C y x
x
x
-++=---. -----------8分
五*、(8分)求直线??
?=++-=--+0101z y x z y x 在平面0=++z y x 上的投影直线的方程. 解: 设过直线??
?=++-=--+0
101z y x z y x 的平面束的方程为
(x +y -z -1)+l (x -y +z +1)=0,
即 (1+l )x +(1-l )y +(-1+l )z +(-1+l )=0,------------2分
其中l 为待定的常数.这平面与平面 x + y + z = 0垂直的条件是 (1+l )?1+(1-l )?1+(-1+l )?1=0, 即l =-1.-----------4分
将l =-1代入平面束方程得投影平面的方程为2y -2z -2=0, 即y -z -1=0.------------6分 所以投影直线的方程为
??
?=++=--001z y x z y . -----------8分
六、(10分)在[0，1]上给定函数
2
x
y =，问t 为何值时,如图所示阴影部分的面积1S 与2S 的
和最小，何时最大？并求此时两图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积. 解：点的坐标为),(2
t t 故 3
2
2
13
2t
dx x t t S t
=
-
?=?
2
3
2
1
2
23231)1(t
t t
t dx x S t
-+=--=
?
31
3
42
321+
-=
+=t t S S S ----------3分
)
12(2)(-='t t t S 令0)(='
t S 得
21
,0=
=t t ---------6分
比较
31
)0(=
s ，41)21(=s ，32)1(=s
可知，)
(,2
1,t S t =
最小---------8分
此时，所求体积为
21)41(21
)41(212
14
21
042
?
π-π+π-?π=??dx x dx x V =3
16
π
-----------10分
七、设上连续在],[)(b a x f ,且不恒为常数.内可微在又),()(b a x f ,)()(b f a f =且. 试证:.0)(),(>ξ'
∈ξ?f b a 使
证明：因为)()(b f a f =, ],[)(b a x f 在上不恒为常数。必有),(b a c ∈, 使)()(a f c f ≠, 不妨假设)()(a f c f >, 于是在],[],[b a c a ?上使用lagrange
中值定理，
),(),(b a c a ?∈ξ?使
))(()()(a c f a f c f -ξ'=---------2分
从而0
)()()(>--=
ξ'a
c a f c f f ---------4分
若)()(b f c f <则
)
)(()()(0c b f c f b f -ξ'=-
)()()(0>--=
ξ'c
b c f b f f ---------6分
东北大学历年期末高等数学试题
八、高等数学试题 2005/1/10 一、填空题（本题20分，每小题4分） 1．已知==?? ? ??-+∞→a a x a x x x ，则9lim 2．设函数?????>+≤+=1 1 12)(2x b ax x x x f ，，，当a = ,b = 时，f (x )在x =1处可导。 3．方程017 =-+x x 共有 个正根。 4．当=x 时，曲线c bx ax y ++=2 的曲率最大。 5． ?=20sin π xdx x 。 二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是（ ） （A ）若a x n n =∞ →2lim ，a x n n =+∞ →12lim ，则a x n n =∞ →lim ； （B ）发散数列必然无界； （C ）若a x n n =-∞ →13lim ，a x n n =+∞ →13lim ，则a x n n =∞ →lim ； （D ）有界数列必然收敛。 2．函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则必有（ ）。 （A ）0)(0='x f ； （B ）0)(0<''x f ； （C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在； （D ）0)(0='x f 且0)(0<''x f 。 3．函数?= x a dt t f x F )()(在][ b a ，上可导的充分条件是：)(x f 在][b a ，上（ ） （A ）有界； （B ）连续； （C ）有定义； （D ）仅有有限个间断点。 4．设?-+=2242 cos 1sin π πxdx x x M ，?-+=2243)cos (sin π πdx x x N ，?--=22 432)cos sin (π πdx x x x P ，则必有关系式（ ） （A ） M P N <<；（B ）P M N <<；（C ）N P M <<；（D ）N M P <<。 5．设)(x f y =在0x x =的某邻域内具有三阶连续导数，如果0)()(00=''='x f x f ，而0)(0≠'''x f ，则必有（ ）。 （A ）0x 是极值点，))((00x f x ，不是拐点； （B ）0x 是极值点，))((00x f x ，不一定是拐点； （C ）0x 不是极值点，))((00x f x ，是拐点； （D ）0x 不是极值点，))((00x f x ，不是拐点。 6．直线3 7423z y x L =-+=-+： 与平面3224=--z y x ： π的位置关系是（ ） （A ）L 与π平行但L 不在π上； （B ）L 与π垂直相交； （C ）L 在π上； （D ）L 与π相交但不垂直。 6．微分方程x x e xe y y y 3265+=+'-''的特解形式为（ ） (A)x x cxe e b ax x y 32)(*++=； （B ）x x e c x b ae y 32)(*++=；
下册东北大学高数期末考试试题
2008~2009学年第二学期 试题 一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分） 1.设函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内有定义，且(0,0)3x f =，(0,0)1y f =-，则[ ] (A)(0,0) 3dz dx dy =-； (B) 曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的一个法向量为(3,1,1)-； (C)曲线(,) 0z f x y y =??=?在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(1,0,3)； (D) 曲线(,) 0z f x y y =??=?在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(3,0,1) 2. 设1 0 (1,2,)n u n n ≤< =L ，则下列级数中必收敛的是[ ] (A)1 n n u ∞ =∑； (B) 1 (1)n n n u ∞ =-∑； (C) 1 n ∞ = (D) 21 (1)n n n u ∞ =-∑. 3. 如果81 lim 1=+∞→n n n a a ，则幂级数∑∞ =03n n n x a [ ] (A) (B) (C) (D) . 4. 设Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域，则222x y z dv Ω ++???= [ ] . (A) 545a π； (B) 44a π； (C) 543a π； (D) 52 5 a π. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分） 1. 曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)-处的法线方程为 . 2. 函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的全微分为 . 3. 已知曲线L 为连接(1,0)和(0,1)两点的直线段，则曲线积分
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
高数2-期末试题及答案
北京理工大学珠海学院 2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为 分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题（每小题6分，共36分）
东北大学高数试题上
一、高等数学试题 2007/1/14 二、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共6小题, 每小题4分, 共24分） 1.120 lim(1sin 3) ________x x x →+=． 2.方程x 5 – 5x – 1 = 0在(1, 2)共有______个根. 3. 7 222 (1)sin x xdx π π-+=?_________. 4. ________dx =． 5.球体半径的增长率为0.02m/s ，当半径为2 m 时，球体体积的增长率为_________. 6. 幂级数0!n n n n x n ∞ =∑的收敛半径R = . 三、计算题(6分?4 = 24分) 1.设23 21ln ,.t x t d y y t dx ==??=? 求 2.求201 1lim tan x x x x →??- ?? ?. 3. 求 2. 4．已知 ,2) 1(1 1 =-∑∞ =-n n n u ,51 1 2=∑∞ =-n n u 求1 n n u ∞ =∑ 四、(10分)设y = x e -x (0 ≤ x < +∞)，求函数的极大值，函数曲线的拐点，并求曲线与直线x = 2, x = 1, y = 0所 围成曲边梯形的面积及此平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体体积. 五、(8分) 将函数3 41 )(2 ++= x x x f 展开成(x -1)的幂级数．并给出收敛域。 六、(8分)设2,01 (), 1,x x f x ax b x ?≤≤=?+>?适当选取a , b 值，使f (x )成为可导函数，令0 ()()x x f t dt ?=?，并求 出?(x )的表达式. 七、(6分)设f (x )具有二阶连续导数，且f (a ) = f (b ), f '(a ) > 0, f '(b ) > 0, 试证：?ξ∈(a , b )，使f ''(ξ) = 0. 答案：一、1．(C) 2.(A) 3.(B ) 4 .(D). 5.(A) 二、1.32 e 2.1 3.2 π 4.2 (arctan C + 5. 0.32π 6.e. 三、1. 9. 2. 13. 3. 1 2arcsin 22 x C -. 4.8. 四、极大值1(1)y e =, 拐点222,e ?? ??? ，面积223A e e =-，体积245134V e e π??=- ???。 五、2 221 x y x = -.
大学高等数学高数期末考试试卷及答案
大学高等数学高数期末考 试试卷及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
华南农业大学2010/2011学年第一学期经济数学期中考试试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1、设函数3()1f x x =-，则()f x -=（） 31x -31x --31x -+31x +、函数y = A ．3x < B ．3x ≤ C ．4x < D ．4x ≤ 3、（）中的两个函数相同． A ．()f x x =，()g t =．2()lg f x x =，()2lg g x x = C ．21()1x f x x -=+，()1g x x =- D ．sin 2()cos x f x x =，()2sin g x x = 4、下列函数中()是奇函数。 A ．3sin()4x x - B ．1010x x -+ C ．2cos x x - D ． sin x x 5、1 lim(1)n n n →∞-=（） A ．1 B ．2e C ．1e - D ．∞+ 6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是（） 1 sin (0)x x x →.(0)x e x → ln (0)x x +→.sin ()x x x →∞ 7、设10 ()10x e x f x x x ?+≤=?->?，则在0=x 处，)(x f （） A ．连续 B ．左、右极限不存在 C ．极限存在但不连续 D ．左、右极限存在但不相等 8、若曲线()f x 在点0x x =处的切线平行于直线234x y +=，则0()f x '=（） A ．2 B ．3 C ． 23D ．23 - 9、设()x f x e =，则[(sin )]f x '=（）。 A ．x e B ．sin x e C ．sin cos x x e D ．sin sin x x e
东北大学汇编期末试题
汇编语言程序设计试题 注意：本试卷的一、二大题的答案涂在答题卡上，三、四、五、六大题的答案答在答题纸上。并且要正确地书写站点、班级、学号及姓名。 一、单项选择题（从四个备选答案中选出一个正确的答案涂在答题卡上）（20分） 1. 指令MOV AL，100H[SI]的源操作数的寻址方式为（）。 A. 基址寻址 B. 寄存器间接寻址 C.变址寻址 D.基址变址寻址 2．确定下列哪些数据在汇编语言中的表示是合法的（）。 A. AL+3 B. 25D AND 36H C. 108Q D. 102B 3．若栈顶的物理地址为20100H，当执行完指令PUSH AX后，栈顶的物理地址为（）。 A. 20098H B. 20102H C. 200FEH D. 20100H 4. JMP WORD PTR[SI] 的目标地址偏移量为（）。 A. SI的内容 B. SI所指向的内存字单元的内容 C. IP+SI的内容 D. IP+[SI] 5. NEXT是程序中某指令语句标号，下述哪个程序段不能实现转移到NEXT语句执行（）。 A. JMP NEXT B. MOV BX，OFFSET NEXT JMP BX C. MOV BX，NEXT D. LEA AX，NEXT JMP BX JMP AX 6. 已知AX=8065H，BX=103AH，则指令ADD BL，AL执行后，OF和CF的值分别为（）。 A. 0，0 B. 0，1 C. 1，0 D. 1，1 7. 已知AL，BX中各存放一个带符号数，计算AL*BX的积,用下述程序段（）。 A. XOR AH，AH B. CBW MUL BX MUL BX C. XOR AH,AH D. CBW IMUL BX IMUL BX 8. 当CX=0时，REP MOVSB执行的次数为。 ( ) A. 1次 B. 0次 C. 25535次 D. 25536次 9. 已知CALL DWORD PTR[BX]执行前SP=100H, 执行后SP的内容为 ( ) A. 0FEH B. 0FCH C. 104H D. 96H 10. 下面各组语句在语法上正确的是（） A. X EQU 100 B. X EQU 100 X EQU X+X X = X+X C. X = 100 D. X = 100 X EQU X+X X = X+X
大学高数期末考试题及答案
第一学期高等数学期末考试试卷答案 一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分）， 1．求极限()x x x x x 30 sin 2cos 1lim -+→． 解： ()30303012cos 1lim 12cos 12lim sin 2cos 1lim x x x x x x x x x x x x x x -??? ??+=????????-??? ??+=-+→→→ 20302cos 1ln 0 3 2cos 1ln 0 2cos 1ln lim 2cos 1ln lim 2 cos 1ln 1lim 1 lim x x x x x x x e x e x x x x x x x x +=+?+-=-=→→?? ? ??+→?? ? ??+→ ()4 1 2cos 1sin lim 0-=+-=→x x x x ． 2．设0→x 时，()x f 与2 2 x 是等价无穷小， ()?3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，求常数k 与A ． 解： 由于当0→x 时， ()? 3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，所以()1lim 3 =?→k x x Ax dt t f ．而 ()() () 1013 2 3201 3232 3 230132 3 00061lim 6lim 3122lim 31lim lim 3 -→--→-→-→→=?=??????? ? ? ???=??=?k x k x k x k x k x x Akx Akx x x Akx x x x x f Akx x x f Ax dt t f 所以，161lim 10=-→k x Akx ．因此，6 1 ,1==A k ． 3．如果不定积分 ()() ?++++dx x x b ax x 2 2 211中不含有对数函数，求常数a 与b 应满足的条件． 解：
东北大学离散数学复习总结(满分版)
方法、知识点总结（知识重点和考题重点） 前三章重点内容（知识重点）： 1、蕴含（条件）“→”的真值 P→Q的真值为假，当且仅当P为真，Q为假。 2、重言(永真)蕴涵式证明方法 <1>假设前件为真，推出后件也为真。 <2>假设后件为假，推出前件也为假。 易错 3、等价公式和证明中运用
4、重要公式 重言蕴涵式：P∧Q => P or Q P or Q => p∨Q A->B =>(A∧or∨C)->(B∧or∨C) 其他是在此基础上演变 等价公式：幂等律P∧P=P P∨P=P 吸收律P∧(P∨Q)=P P∨(P∧Q)=P 同一律P∨F=P P∧T=P P∨T=T P∧F=F P <-> Q = (P->Q)∧(Q->P) = (P∧Q)∨(﹁P∧﹁Q) 5、范式的写法（最方便就是真值表法） 6、派遣人员、课表安排类算法： 第一步：列出所有条件，写成符号公式 第二步：用合取∧连接 第三步：求上一步中的析取范式即可 7、逻辑推理的写法 直接推理论证：其中I公式是指重言蕴涵式那部分 其中E公式是指等价公式部分 条件论证: 形如~ , ~, ~ => R->S
R P(附加条件) ... ... S T R->S CP 8、谓词基本内容 注意：任意用—> 连接 存在用∧连接 量词的否定公式 量词的辖域扩充公式
量词分配公式 其他公式 9、带量词的公式在论域内的展开 10、量词辖域的扩充公式 11、前束范式的写法 给定一个带有量词的谓词公式， 1)消去公式中的联接词→和←→(为了便于量词辖域的扩充)； 2)如果量词前有“﹁ ”，则用量词否定公式﹁ ”后移。再用摩根定律或求公式的否定公式，将“﹁ ”后移到原子谓词公式之前； 3)用约束变元的改名规则或自由变元的代入规则对变元换名(为量词辖域扩充作准备)； 4)用量词辖域扩充公式提取量词，使之成为前束范式形式。 简要概括：1、去-> ，<-> 2、移﹁ 3、换元 4、量词辖域扩充
高等数学(下册)期末复习试题及答案
一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为12 2++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ? ??+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为 2π． 3．设函数2 2232),,(z y x z y x f ++=，则= )1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则=∞ →n n u lim 0 ． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10 ,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处 收敛于 2 1π+． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式 x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 20 32z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分 ???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(22 2y x z +-=及22y x z += 所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分) ??? Ω v z y x f d ),,(? ??-=2 210 20 d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分)
东北大学高数试卷及答案2006.1.10
东北大学高等数学(上)期末考试试卷 2006.1. 一、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是（ ） （A ）有界数列必收敛； （B ）单调数列必收敛； （C ）收敛数列必有界； （D ）收敛数列必单调. 2．函数)(x f 在0(,)U x δ内有定义，对于下面三条性质：≠)(x f 在0x 点连续；≡)(x f 在0x 点可导；≈)(x f 在0x 点可微. 若用“P Q ?”表示由性质P 推出性质Q ，则应有（ ）. （A ）≡?≈?≠； （B ）≡?≠?≈ ； （C ）≈?≠?≡ ； （D ）≠?≡?≈ . 3. 曲线3x y x = -（ ）. （A ）既有水平渐近线，又有垂直渐近线； （B ）仅有水平渐近线； （C ）仅有垂直渐近线； （D ）无任何渐近线. 4．函数)(x f 在[,]a b 上有定义，则()()b a f x f x dx = ? 存在的必要条件是（ ） （A ）)(x f 在[,]a b 上可导； （B ）)(x f 在[,]a b 上可导连续； （C ）)(x f 在[,]a b 上有界； （D ）)(x f 在[,]a b 上单调. 5．()y y x =是微分方程23x y y e ''+=的解，且0()0y x '=. 则必有（ ） （A ）()y x 在0x 某邻域内单调增加； （B ）()y x 在0x 某邻域内单调减少； （C ）()y x 在0x 取极大值； （D ）()y x 在0x 取极小值. 6．若)(x f 的导函数是sin x ，则)(x f 有一个原函数是（ ）. （A ）1sin x +； （B ）1sin x -； （C ）1cos x -； （D ）1cos x +. 二、填空题（本题36分，每小题4分） 1．1lim 1x x x x →∞+?? = ?-?? . 2．1()11f x x = + 的可去间断点是x = .
(完整word版)大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 2 21n n n n n n ππ π π . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求
大一上学期(第一学期)高数期末考试题及答案
高等数学I （大一第一学期期末考试题及答案） 1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是 无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 2 2βα+ (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2x x βα 2. 极限 a x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是（ C ）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan 3. ??? ??=≠-+=001 sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1- 4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么= --+→h h a f h a f h )2()(lim 0（ A ）. （A ） )(3a f ' （B ） )(2a f ' (C) )(a f ' （D ） ) (31 a f ' 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. 极限) 0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1. 6. 由 x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x xe ye x y x xy xy ln 2sin 2+++- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直 线l 的方程为 13 1211--=--=-z y x . 8. 求函数2 )4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－，0）和（1，+ ） . 三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分） 9. 计算极限10(1)lim x x x e x →+-.
级高数A期末考试题及答案
10级高数A 2期末考 试题及答案 一、填空题（每题3分，共24分） 1. 微分方程054=-'-''y y y 的通解为 x x e C e C y -+=251 . 2.设函数2232y x z -=，则全微分=dz ___ydy xdx 64-______ 3．椭球面522222=++z y x 在点（1，1，1）处的切平面方程为___522=++z y x _ 4.设积分区域4:22≤+y x D ，则二重积分??D dxdy y x f ),(在极坐标下化为二次积分为 ______??2 020)sin ,cos (rdr r r f d θθθπ___ 5.设积分区域为11,11,11:≤≤-≤≤-≤≤-z y x Ω，则三重积分???=Ω dxdydz 2____16_____ 6.设L 是圆周222=+y x ，则对弧长的曲线积分?=+L ds y x )(22____π24_____ 7.无穷级数Λ+++= ∑∞=4 332211n n u 的通项=n u __1+n n ___. 8. 函数x x f 211)(+=展开成x 的幂级数为_____ ∑∞=-0 )2(n n n x _____. 二、计算下列各题（每题7分，共63分） 1、求微分方程0)1()1(=+-+dy y dx x 的通解. 解：分离变量：dy y dx x )1()1(+=+ 两边积分，得通解 C y y x x ++=+222 121 2、设函数2223cos y x x y z -+=，求x z ??，y z ??，y x z ???2 解：x x y x y x x y x y x z 6sin 6)(sin 22+=+-?-=?? y x y x y x x y y z 4sin 14)1(sin --=-?-=??
东北大学网络教育入学测试机考模拟题高起点 数学
东北大学网络教育入学测试机考模拟题 高起点数学 1、题目B1-1:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 2、题目B1-2:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:D 3、题目B1-3:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 4、题目B1-4:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:D 5、题目B1-5:(3)( )
A.A B.B C.C D.D 标准答案:A 6、题目B1-6:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 7、题目B1-7:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 8、题目B1-8:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 9、题目B1-9:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:B 10、题目D1-1(3)( )
A.A B.B C.C D.D 标准答案:B 11、题目B1-10:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 12、题目D1-2(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:B 13、题目B1-11:(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 14、题目D1-3(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 15、题目D1-4(3)( )
A.A B.B C.C D.D 标准答案:D 16、题目D1-5(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 17、题目D1-6(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 18、题目D1-7(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 19、题目D1-8(3)( ) A.A B.B C.C D.D 标准答案:C 20、题目D1-9(3)( )
大一(第一学期)高数期末考试题及答案.
1. 设 f ( x ) = cos x ( x + sin x ), 则在 x = 0处有 ( . 1 + x ，β ( x ) = 3 - 33 x ，则当x → 1时（ i 0 x 是 f ( x ) 的一个原函数 , x d x = 7. n →∞ n (cos n + cos ? x 2 arcsin x + 1 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) ) （A ） f '(0) = 2 （B ） f '(0) = 1 （C ） f '(0) = 0 （D ） f ( x ) 不可导. 2. 设α ( x ) = 1 - x ） . （A ）α ( x )与β ( x ) 是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）α ( x )与β ( x ) 是等价无穷小； （C ） α ( x ) 是比 β ( x ) 高阶的无穷小； （D ） β ( x ) 是比 α ( x ) 高阶的 无穷小. 3. 若 F ( x ) = ? 0x (2t - x ) f (t )dt ， 其 中 f ( x ) 在 区 间 上 (-1,1) 二 阶 可 导 且 f '( x ) > 0 ，则（ ）. （A ）函数 F ( x ) 必在 x = 0 处取得极大值； （B ）函数 F ( x ) 必在 x = 0 处取得极小值； （C ）函数 F ( x ) 在 x = 0 处没有极值，但点 (0, F (0)) 为曲线 y = F ( x ) 的拐点； （D ）函数 F ( x ) 在 x = 0 处没有极值，点 (0, F (0)) 也不是曲线 y = F ( x ) 的拐点。 4. 设 f ( x )是连续函数，且 f ( x ) = x + 2 ? 1 0 f ( t )dt , 则 f ( x ) = ( ) x 2 x 2 （A ） 2 （B ） 2 + 2 （C ） x - 1 （D ） x + 2 . 二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 2 5. l x →m( 1 + 3 x ) sin x = . 6. 已知 cos x . 则? f ( x ) ? cos x lim π 2 π 2 2π n + + cos 2 n - 1 n π ) = . 1 2 8. － 1 . 三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分） 9. 设函数 y = y ( x )由方程 e x + y + sin( xy ) = 1确定，求 y '( x ) 以及 y '(0) . 10. 求 ? 1 - x 7 x (1 + x 7 ) d x .
高数考试试卷及答案
东 北 大 学 课程名称：高等数学 试卷： A 答案 考试形式： 闭卷 试卷：共2页 授课专业： 管理、电子商务、计工、自动化、材料、环境 考试日期：2009年12月29日 一、填空题（每题4分，共24分） 1、极限222121 lim[]______122 n n n n n n →∞+++=+++L 2 、已知1,x x → = 则3 __2a = 3、曲线2 2arctan 3 23ln(1) x t t y t t =-+??=-++? 在0t =处的切线方程为__5_______x y += 4、已知函数()(1)(2)(3)f x x x x =---，则' ()0f x =的实根个数为__2__ 5、曲线y =_(0,0)_ 6、定积分 1 sin )_ __2 x dx π -+=? 二、选择题（每题3分，共21分） 1、极限sin 0 lim x x x + →=[ B ] (A). 0 (B)1 (C)e (D)1 e - 2、函数1,0,()10, x x x f x e ?≠? =?+? ?其它. 在0x =处 [ B ] (A) 极限不存在 (B) 连续不可导 (C) 极限存在不连续 (D) 可导 3、设0x 是()f x 的极值点，则[ C ] (A) '0()0f x = (B) '0()f x 不存在 (C) '0()0f x =或不存在 (D) ' 0()(0)f x c c =≠ 4、函数1 y x x =+ 的单调减区间为[ B ] (A) (,0)-∞ (B) [1,0)(0,1]-U (C) (,1][1)-∞-+∞U ， (D) [1)+∞， 5、曲线x y xe -=[ B ] (A)在(,2)-∞是凹的，在(2,)+∞是凸的 (B) 在(,2)-∞是凸的，在(2,)+∞是凹的 (C)在(,)-∞+∞是凸的 (D) 在(,)-∞+∞是凹的 6、设()F x 为()f x 的一个原函数，则下列正确的是[ D ] (A) ()()()d f x dx F x =? (B)' ()()F x dx f x c =+? (C) ' ()()F x dx f x =? (D)()()()d f x dx f x dx =? 7、已知 ()1f x dx +∞ -∞ =? ，其中,01()0,x ce x f x ?≤≤=?? ， 其它. 则c =[ B ] (A) 1 e - (B)1 1 e - (C) 1 (D) 1e - 三、计算题（39分） 装 订 线 装 订 线 内 不 要 答 题 学 号 姓 名 班 级
期末高等数学(上)试题和答案解析
第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 2、(本小题5分) .d )1(22x x x ?+求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2021 6、(本小题5分) ??. d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求? ππ2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ．求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求 ．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分)
.d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分) ,,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿 2、(本小题7分) .823 2体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y == 三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230 一学期期末高数考试(答案) 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分) 解原式:lim =--+→x x x x 22231261812 =-→lim x x x 261218 =2 2、(本小题3分) ?+x x x d )1(22 ?++=222)1()1d(21x x =-++12112x c . 3、(本小题3分) 因为arctan x <π2而limarcsin x x →∞ =10 故limarctan arcsin x x x →∞ ?=10 4、(本小题3分) ?-x x x d 1 x x x d 111?----= ??-+-=x x x 1d d =---+x x c ln .1 5、(本小题3分)
高数期末考试题及答案
高数期末考试题及答案 一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为 分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题（每小题6分，共36分） 1.设2 ln()tan 2z x y x y =+++，求dz 分析：由z z dz dx dy x y ??= +??可知，需求z x ??及z y ?? 12z xy x x y ?=+?+ ， 21 z x y x y ?=+?+ ，
大一高数期末考试复习题及答案
一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1． 2 1 lim()x x x e x →-= . 2． ()()120051 1x x x x e e dx --+-= ? . 3．设函数()y y x =由方程2 1 x y t e dt x +-=?确定，则0 x dy dx == . 4. 设()x f 可导，且1 ()()x tf t dt f x =?，1)0(=f ，则()=x f . 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为 . 二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1．设常数0>k ，则函数 k e x x x f +- =ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）. （A ）cos2y A x *=; （B ）cos2y Ax x * =; （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x * =+; （D ） x A y 2sin *=. 3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若[][]b a d c ,,?,则必有()()??≤b a d c dx x f dx x f ; （B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b a f x dx ≥?; （C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有 ()()?? +=T T a a dx x f dx x f 0 ; （D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0x t f t dt ?也为奇函数. 4. 设 ()x x e e x f 11 321++= , 则0=x 是)(x f 的（ ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1．计算定积分2 230 x x e dx -? . 2．计算不定积分dx x x x ? 5cos sin . 本页满分36分 本页得分 本页满分 12分 本页得分