小升初数学专题复习讲义

小升初数学专题总复习

专题一数论 (2)

专题二数的计算 (4)

专题三代数式与方程 (10)

专题四比和比例 (14)

专题五探索规律 (17)

专题六面积计算 (20)

专题七立体图形 (24)

专题八统计与概率 (30)

专题九行程问题、工程问题 (35)

专题十分数、百分数应用题 (38)

专题十一鸡兔同笼、优化问题等 (42)

专题十二抽屉原理、容斥原理、

方阵问题、时钟问题 (46)

小升初真题卷（一） (51)

小升初真题卷（二） (56)

专题一数论

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数论知识包括数的奇偶性、质数、合数、数的整除、余数的性质、数位的含义、平均数、分解因数、平方数、倍数与因数。

1.数的奇偶性

奇数+奇数=偶数奇数+偶数=奇数偶数+偶数=偶数

奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数

奇数个奇数相加=奇数偶数个奇数相加=偶数

（只要式子中含有偶数，那么相乘结果就是偶数）

2.数的整除，常见的数的整除特征

（1）2：个位是偶数；（2）3：各个数位之和是3的倍数；

（3）5：个位是0或5；（4）4、25：后两位可以被4（25）整除；（5）8、125：后三位可以被8（125）整除；（6）9：各个数位之和是9的倍数；（7）7：一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数；

（8）11：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(以大减小)是11的倍数；

（9）13：一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，可以被13整除即可被13整除；

（10）17：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

3.余数的性质

（1）余数的可加性：和的余数等于余数的和；

（2）余数的可减性：差的余数等于余数的差；

（3）余数的可乘性：积得余数等于余数的积；

（4）同余的性质：

对于同一个余数，如果有两个整数余数相同，那么它们的差就一定能被这个除数整除；

对于同一个除数，如果有两个整数余数相同，那么它们的乘方就一定能被这个除数整数。

【例1】下列各数中，（）同时是3和5的倍数。

A．18 B．102 C．45

【例2】能同时被2、3、5整除的最小两位数是，能同时被2、3整除的最小三位数是，最大三位数是。

【例3】2309至少加上是3的倍数，至少减去才是5的倍数。

【例4】三个连续偶数的和是90，这三个数分别是、、。

【例5】养鸡场一天收160千克鸡蛋，每18千克鸡蛋装一箱，可以装多少箱？还剩多少千克？

沙场点兵

1.从0、1、5、7四个数中任选三个数组成一个三位数，这个数既是2的倍数，又是3的倍数，还是5的倍数，这样的三位数有（）个。A．2 B．3 C．4

2.一列队伍，从第一个人向后按1至6顺序循环报数，最后一个人报的是3，这支队伍的人数一定是（）的倍数。A．2 B．3 C．5 D．6

3.三个连续偶数的和是120，其中最大的一个数是。

4.同学们献爱心捐款，有五名同学共捐了410元，他们的捐款数恰好是5个连续的偶数，这五

名同学各捐了多少钱？

5.一根绳子长21米，剪8米做一根长跳绳，剩下的每2米做一根短跳绳．可以做多少根短跳绳？还剩下多少米？

1.一个两位数除以5余3，除以7余5，这个两位数最大是（）。

A．72 B．37 C．33 D．68

2.某同学在计算一道除法时，误将除数35写成53，所得的商是35余12，正确的商与余数的和是。

3. 三个连续奇数的和是645．这三个奇数中，最小的奇数是。

4.既能被2整除，又能被3整除的最大两位数是，既能被3整除，又能被5整除的最小三位数是。

5. 列式计算：一个数除以99，商是10，余数是整数，这个数最大是多少？

6.学校进行团体操表演，每行站20人，正好站24排．如果要站成16排，那么每行需要站多少人？

专题二数的运算

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1.四则运算的意义

（1）整数加法、小数加法、分数加法的意义：把两个数合成一个数的运算；

（2）整数减法、小数减法、分数减法的意义：已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算；

（3）整数乘法的意义：求几个相同加数的和的简便运算；

（4）小数乘法的意义：小数乘整数与整数乘法的意义相同；一个数乘小数，就是求这个数的十分之几、百分之几……是多少；

（5）整数乘分数的意义：一个数乘分数，就是求这个数的几分之几是多少；

（6）分数乘整数的意义：分数乘整数，就是求几个相同分数的和的简便运算；

（7）整数除法、小数除法、分数除法的意义：已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。

2.四则运算的计算方法

（1）加减法的计算方法

①整数的加法：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就要向前一位进一；

②整数的减法：相同数位对齐，从低位减起，哪一位上的数不够减要从前一位上退一，在本位上加上10再减；

③小数的加减法：计算小数加减法时，先把小数点对齐（也就是相同的数位对齐），再按照整数加减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点，点上小数点；

④分数的加减法：同分母的分数相加减，分母不变，只把分子相加减；异分母的分数相加减，先通分，然后按照同分母分数加减法的法则进行计算。

（2）乘法的计算方法

①整数的乘法：从低位到高位分别用因数的每一位去乘另一个因数；用一个因数的哪一位去乘，求得的数的末位就要和那一位对齐；然后把几次求得的积加起来；

②小数乘法：先按照整数乘法的法则算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点；

③分数乘法：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。

（3）除法的计算方法

①整数的除法：从被除数的高位除起，除数有几位就先看被除数的前几位，如果前几位比除数小，就多取一位再除，除到哪一位，商就写在那一位的上面；每次除得的余数必须比除数小；在求出商的最高位以后，如果被除数的哪一位上不够商1，就在那一位上写0；

②小数除法：除数是整数时，按照整数除法进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐。除数是小数时，要先把除数转化成整数，同时把被除数扩大相同的倍数，然后按照除数是整数的除法进行计算；

③分数的除法：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。

3.整数四则运算中各部分间的关系

（1）加法：和=加数+加数；加数=和－另一个加数

（2）减法：差=被减数－减数；减数=被减数－差；被减数=减数+差

（3）乘法：积=因数×因数；一个因数=积÷另一个因数

（4）除法：商=被除数÷除数；除数=被除数÷商；被除数=除数×商

4.四则运算定律、运算性质

（1）运算定律

加法结合律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。即：a+b=b+a

加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者先把后面两个数相加，再和第一个相加，它们的和不变。即：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。即：a×b=b×a

乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数，或者先把后面两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变。即：a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)

乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把两个积加起来。即：(a+b)×c=a×c+b×c；a×(b+c)=a×b+a×c

（2）运算性质

减法的运算性质：a－(b+c)=a－b－c a－(b－c)=a－b+c

除法的运算性质（除数不为0）：

a÷(b×c)=a÷b÷c a÷(b÷c)=a÷b×c

(a+b)÷c=a÷c+b÷c (a－b)÷c=a÷c－b÷c

5.四则混合运算的顺序

四则运算分为两级：加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算。

（1）在没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，再做第一级运算；

（2）在有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。

抛砖引玉

【例1】求几个加数的和的简便运算叫做乘法。（判断对错）

【例2】在一道减法算式中，被减数、减数与差的和是48，被减数是（）。

A．24 B．12 C．16 D．18

【例3】750÷90等于（）。

A．商是8余3 B．商是80余2 C．商是8余30

【例4】三位数除以一位数，商是（）。

A．两位数B．三位数C．可能是三位数也可能是两位数

【例5】两个数相除，商50余30，如果被除数和除数同时缩小10倍，所得的商和余数是（）。

A．商5余3 B．商50余3 C．商5余30 D．商50余30

【例6】一个数的1.8倍是36，求这个数的一半是多少？（）

A．36÷1.8÷2 B．36×1.8÷2 C．36÷1.8×0.5 D．36×1.8×0.5

【例7】把算式补充完整。

4×=24 30×=60 ÷8=60 21÷=7 ÷3=9

30÷=5 +80=120 ﹣30=90 9×=81 ÷6=60

【例8】

计算下面各题（能简算的简算）。

200﹣180÷15×2 46.71﹣6.81﹣3.19

×15×÷（﹣）×

×+÷÷[（+ ）×]

【例9】动物园里的一头蓝鲸一天要吃450千克食物，饲养员准备了7吨食物，够蓝鲸吃20天吗？

1.已知○+△=□，下列算式正确的是（）。

A．○+□=△B．△+□=○ C．□﹣△=○

2. 25×40的结果中有个“0”。

3.计算2274+（825﹣475÷25×4），第一步应算（）。

A．825﹣475 B．475÷25 C．25×4 D．2274+825

4. 3×÷3×=（）。A．1 B．0 C．D．9

5.怎样简便就怎样计算:

（1）3.26×5.3+0.74×5.3 （2）×2.7+6.3÷5+

（3）+（1.6+）×10 （4）1.25×2.8×

6.列式计算：

（1）一个数的，比这个数的20%多1，求这个数。

（2）与的和除以1与的差，商是多少？

1.我们学过+、﹣、×、÷这四种运算．现在规定“*”是一种新的运算．A*B表示2A﹣B，如：4*3=4×2﹣3=5．那么7*6*5= 。

2.一个五位数8□35△，如果这个数能同时被2、3、5整除，那么□代表的数字是，△代表的数字是。

3.小马虎在计算1.39加上一个一位小数时，由于错误地把数的末尾对齐，结果得到1.84．正确的得数应是（）。

A．4.5 B．6.34 C．5.89

4.甲数是840，______，乙数是多少？如果求乙数的算式是840÷（l+），那么横线上应补充的条件是（）。

A．甲数比乙数多B．甲数比乙数少

C．乙数比甲数多D．乙数比甲数少

5. 20千米比（）千米少20%。

A．24 B．16 C．22 D．25

6.（1）与它的倒数的差去除，商是多少？（列综合算式）

（2）一个除法算式中，被除数、除数、商、余数的和是147．已知商为11，余数为2，求除数是多少？（用方程）

专题三代数式与方程

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1.数的运算

（1）四则运算顺序：有括号的先算括号内的，没有括号的先乘除，后加减。

（2）小数乘、除法：小数乘、除法和整数乘、除法运算方法类似，可以把小数看成整数，运用整数乘除法计算出来。

（3）如何快速得出小数乘法得数的位数：小数乘法位数多少取决于两个乘数小数位数的和，但如果小数末尾的数字相乘有0出现的，位数就要减去0的个数。

（4）如何快速得出整数除法商的位数：商的位数取决于被除数与除数的位数差，如果被除数左边第一位比除数左边第一位小，那么商的位数=被除数与除数的位数差;如果被除数左边第一位比除数左边第一位大，那么商的位数=被除数与除数的位数差+1。

（5）分数除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数.

（6）运算定律：①加法交换律：a+b=b+a；

②加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；

③乘法交换律：a×b=b×a；

④乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)；

⑤乘法分配律：a×c+b×c = (a+b)×c.

（7）添括号及去括号对于运算顺序的影响：当式子中只有同级运算时，那么如果括号前是加法或者乘法时，去括号，括号内符号不改变;如果括号前是减法或者除法时，去括号，括号内符号改变。如果所添加的括号前面是加法或者乘法是，括号内符号不改变，如果所添加括号前是减法或除法时，括号内符号改变。

2.简易方程

（1）四则运算之间各部分的关系：

一个加数=和-另一个加数（例如x+3=8怎样进行验算）

（2）解方程的依据：一个因数=积÷另一个因数（例如5×X=18）

（3）被减数=差+减数（例如x-7=5）减数=被减数-差（例如7-x=5）

（4）被除数=商×除数（例如x÷7=5）除数=被除数÷商（例如21÷x=3）

3.等式的性质

（1）方程两边同时加上（减去）一个数，左右两边仍然相等；

方程两边同时乘或除以一个（不为0）的数，左右两边仍然相等。

（解方程应注意：书写时，要注意先写“解”字，上、下行的等号要对齐，不能连等） （2）解方程时，尽量让所有的未知数在等式的一边，而不要出现等式两边都有未知数的情况.（例如：爸爸的年龄比儿子大32岁，是儿子年龄的9倍，爸爸和儿子各多少岁？根据爸爸的年龄—儿子的年龄=相差的年龄的等量关系式来列方程） （3）列方程解应用题

列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，也就是列出方程，然后解出未知数的值。列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算。解这类应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程。而找出等量关系又在于熟练运用数量之间的各种已知条件.掌握了这两点就能正确地列出方程。 （4）列方程解应用题的一般步骤是：

①弄清题意，找出已知条件和所求问题； ②依题意确定等量关系，设未知数x ； ③根据等量关系列出方程； ④解方程； ⑤检验，写出答案。

抛砖引玉

【例1】两根2米长的电线，第一根用去全长的

41，第二根用去4

1

米，剩下的电线（ ）。 A ．第一根长 B ．第二根长 C ．一样长 D ．无法比较

【例2】下面哪道题的小括号去掉后不影响计算结果？（ ）

A ．（40+60）÷20

B ．300÷（5×6）

C ．200﹣（60×2）

【例3】甲袋有A 千克面粉，乙袋有B 千克面粉，如果从乙袋取出6千克放入甲袋中，甲乙两袋重量相等，列等式是 。

【例4】把9千克盐平均分装在x 个瓶子里，每瓶装1.5千克．用方程表示为（ ），方程的解是（ ）。

【例5】养殖场有789只鸡，比鸭少69只，鸭有几只？（先写等量关系式，再用两种方法列X 解）

沙场点兵

1.设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的数，则a﹣b+c=（）。

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

2.30比x的10倍多2.5，求x是多少？列方程为（）。

A．30+10x=2.5 B．10x﹣2.5=30 C．30﹣10x=2.5

3.某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在出租后的头两天每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光盘在出租第n天（n是大于2的自然数）应收租金是元。

4.一辆汽车每小时行90千米，它以这样的速度从甲地开往乙地，行a小时后距乙地还有b千米。用含用字母的式子表示甲，乙两地的路程是千米，从甲地到乙地共需要小时。

5.生产一批电视机，计划每天生产m台，生产a天，为适应市场需求，需提前3天完成任务．（1）用代数式表示实际每天应生产多少台；

（2）当m=1000，a=28时，每天要生产多少台。

1.甲数为x ，乙数是甲数的3倍多6，求乙数的算式是（ ）。

A ．x÷3+6

B ．（x+6）÷3

C ．（x ﹣6）÷3

D ．3 x+6

2.大客车每时行a 千米，小汽车每时行b 千米，两车分别从甲乙两地同时出发，经过c 时相遇，甲乙两地的距离是（ ）。

A ．（a+b ）c

B ．a+bc

C ．ab+c

D ．a+b+c

3.建筑工地上有a 吨水泥，每天用去b 吨，用了3天，用式子表示剩下的吨数是 ，如果a=20，b=4，那么剩下的是 吨。

4.求未知数x 。

4.8﹣3x=1.8 81：5

1

=x ：24 7.5x+6.5x=2.8

5.求未知数x 。 ①3x ﹣36×5=30；

②x 与现有的三个数4、5、6能组成一个比例，求x 。

6.x 的2倍与3.6的和是8.4，求x ．

专题四比和比例

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1.比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。

例如6:3=2中的“：”是比号，读作“比”；

比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项；

比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

2.比的前项和后项同时乘或除以（0除外）相同的数,比值不变,这叫做比的基本性质。

3.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。它是判定两个比能否组成比例的依据之一；

组成比例的四个数叫做它的项，分为内项和外项。

4.比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质；它

是判定两个比能否组成比例的另一个重要依据。运用比例的基本性质可以解比例。

5.解比例：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，就可以求出这个比例中的另外

一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。

6.正比例与反比例的概念及意义

正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化另一个量也随着变化；对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正；y：x=k（K定值）；

反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化另一；对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量；反比例的关系式：xy=K（K定值）。

抛砖引玉

【例1】1.75=7÷==28÷=。

【例2】写出两个比值是8的比和，并组成比例是。

【例3】先按要求填空，再回答后面的问题。

（1）图中A、B两个正方形边长的比是，周长的比是，这两个比能组成比例吗？（2）A、B两个正方形面积的比是，这个比和边长的比能组成比例吗？

【例4】解比例： （1）x ：43=2：109 （2）x 5.0=675.0 （3）x ：20=52 （4）43x÷15=3

2

【例5】一批化肥，第一次运走了30吨，第二次运走了总数的3

1

，剩下的化肥与运走的化肥的质量比是4：5，这批化肥一共有多少吨？

沙场点兵

1.能与3：8 组成比例的比是（ ）。

A ．8：3

B ．0.2：0.5

C ．15：40

D ．7：21 2.甲数的

54等于乙数的32

（甲数、乙数不为0），那么甲数与乙数的比是（ ）。 A ．31：54 B ．6：5 C ．5：6 D ．54：3

2

3.一个圆锥的底面半径与一个圆柱的底面直径相等，二者的高也相等．圆锥体与圆柱体的体积比是（ ）。

A ．1：3

B ．1：1

C ．2：3

D ．4：3 4.解方程或解比例。

x ：10=14：13 2.1x=78

13：18=89：x 2x+30%=9.2

5.运一批货物，运走的与剩下的比为3：7，如果再运走30吨，那么剩下的货物只占原有货物的2

1

，这批货物原有多少吨？

实战演练 1.

159=25

（）=0.3：( )=( )%=( )折=( )成。 2.钟面上，时针的转速与分针的转速之比是（ ）。

A ．1：60

B ．1：12

C ．12：1

D ．60：1 3.甲数比乙数少25%，甲数比乙数的最简整数比是（ ）

A ．1：4

B ．4：1

C ．3：4

D ．4：3 4.求未知数x 。 x ：2=212：51 32+52x=3

1

5

5.操作题。

（1）请你在正方形中画一个最大的圆；

（2）如果该正方形的面积是4平方厘米，计算正方形的面积与圆面积的比。

6.小明读一本书，上午读了一部分，这时读的页数与未读页数的比是1：9；下午比上午多读6页，这时已读的页数与未读的页数的比变成了1：3，这本书共多少页？

专题五探索规律

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1.数字规律

（1）数列：按一定次序排列的一列数叫做数列。

数列中的规律:

①规律隐含在相邻两数的和或差中；

②规律隐含在相邻两数的倍数中；

③前后几项为一组，以组为单位隐含一定的规律；

④相隔的项之间存在着一定的规律；

⑤数列的各项分别是项数的平方数；

⑥数列中的下一项是前几项的和。

2.图形规律

（1）图形的规律是指根据一组相关图形总结出图形变化所反映的规律；

（2）解决图形规律问题的方法有两种:一种是数字图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律解决问题；另一种是通过图形的直观性，从图形的变化中直接寻找规律。

3.算式中的规律

（1）利用计算器独立探索，发现规律；（2）利用规律来完成计算。

抛砖引玉

【例1】找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：

(1) 4，7，10，13，( )，( ).

(2) 84，72，60，( )，( ).

(3) 2，6，18，( )，( ).

(4) 625，125，25，( )，( ).

(5) 1，4，9，16，( ).

(6) 2，6，12，20，( )，( ).

【例2】寻找规律填数：

（1）

（2）

（1）_______、________；（2）_______、________。

【例3】在下列各组图形中寻找规律，并按此规律在“？”处填上合适的数：（1）

（2）

【例4】寻找规律填数：

1×9+2=11

12×9+3=111

123×9+4=1111

（）×9+5=11111

1234567×9+（）=11111111

沙场点兵

1.找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数。

（1）18，20，24，30，( )；

（2）11，12，14，18，26，( )；

（3）2，5，11，23，47，( )，( )。

2.寻找规律在空格内填数：

（1）

（2）

3.在下列表格中寻找规律，并求出“？”：

（1）（2）

（1）___________；（2）___________。

4.如图，用火柴棒按照下面的图示横着拼正方形，当拼出10个

正方形时，一共用了______根火柴棒。

5.观察规律：123456789×9=1111111101；

123456789×18=2222222202；

123456789×27=3333333303；

那么：123456789×36=_______________；

123456789×72=_______________。

实战演练

1.有10个等式：1+2=3；4+5+6=7+8；9+10+11+12=13+14+15，那么第10个等式的左右两边的和都是_______。

2.用黑白两种颜色的正方形纸片按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：如图所示，

（1）第4个图案中有白色纸片多少张？

（2）第n个图案中有白色纸片多少张？

3.按规律填空：2,2,4,6，10,16,26，42，（），（）。

4.不计算，根据3600÷18=200，直接写出下面各题的得数。

（1）36÷18=（）（2）900÷18=（）

（3）3600÷72=（）（4）360÷72=（）

5.观察图形找规律：

（1）按照图形变化规律填表：

正方形个数 1 2 3 4 5 …

直角三角形个数0 4 8 …

（2）______个直角三角形。

专题六面积计算

考点扫描

1.平面图形的周长和面积的意义

（1）周长：封闭图形一周的长度是它的周长；

（2）面积：物体表面或围城的平面图形的大小。

2.平面图形的周长和面积

（1）周长和面积的公式：

长方形：周长=（长+宽）×2；面积=长×宽

正方形：周长=边长×4；面积=边长×边长

平行四边形：面积=底×高三角形：面积=底×高÷2

梯形：面积=（上底+下底）×高÷2=中位线×高

圆：周长=直径×π=半径×2π；面积=半径×半径×π

π

扇形：面积=半径×半径×π×

360

【提示】求不规则四边形的周长时，可以采用平移的方法，把它变成基本图形，再利用周长计算公式来计算。

（2）计算组合图形的面积，可以把组合图形分解成几个已经学过的图形，还可以通过平移、割补、等量代换等方法解决。

抛砖引玉

【例1】小明用长25米的篱笆围城了一个一面靠墙的

养鸡栏（如图），这个养鸡栏的面积是多少？

【例2】已知梯形的上底是20厘米，下底是34厘米，其中阴影部分的

面积是442平方厘米，求这个梯形的面积。